Seznam běžných polytopů a sloučenin - List of regular polytopes and compounds

Příklad běžných polytopů

Pravidelné (2D) polygony
Konvexní	Hvězda
{5}	{5/2}
Pravidelný (3D) mnohostěn
Konvexní	Hvězda
{5,3}	{5/2,5}
Pravidelné 2D teselace
Euklidovský	Hyperbolický
{4,4}	{5,4}
Pravidelné 4D polytopy
Konvexní	Hvězda
{5,3,3}	{5/2,5,3}
Pravidelné 3D teselace
Euklidovský	Hyperbolický
{4,3,4}	{5,3,4}

Tato stránka obsahuje seznam běžné polytopy a pravidelné polytopové sloučeniny v Euklidovský, sférický a hyperbolický mezery.

The Schläfliho symbol popisuje každou pravidelnou mozaikování n-sphere, euklidovské a hyperbolické prostory. Schläfliho symbol popisující n-polytop ekvivalentně popisuje mozaikování (n - 1) - koule. Kromě toho je symetrie pravidelného mnohostěn nebo mozaikování vyjádřena jako a Skupina coxeterů, který Coxeter vyjádřeno shodně se symbolem Schläfliho, s výjimkou ohraničení hranatými závorkami, notace, která se nazývá Coxeterova notace. Dalším souvisejícím symbolem je Coxeter-Dynkinův diagram což představuje skupinu symetrie bez prstenců a představuje pravidelný mnohostěn nebo mozaikování s prstencem na prvním uzlu. Například krychle má symbol Schläfli {4,3} as ním oktaedrická symetrie, [4,3] nebo , je reprezentován Coxeterovým diagramem .

Pravidelné polytopy jsou seskupeny podle rozměrů a podskupiny konvexních, nekonvexních a nekonečných tvarů. Nekonvexní formy používají stejné vrcholy jako konvexní formy, ale protínají se fazety. Nekonečné formy mozaiková deska jednoruký euklidovský prostor.

Nekonečné formy lze rozšířit na mozaikování a hyperbolický prostor. Hyperbolický prostor je jako normální prostor v malém měřítku, ale paralelní linie se rozcházejí na dálku. To umožňuje, aby číslice vrcholů byly negativní úhlové vady, jako byste vytvořili vrchol se sedmi rovnostranné trojúhelníky a nechat ho ležet naplocho. Nelze to provést v normální rovině, ale může to být ve správném měřítku hyperbolické roviny.

Obecnější definice běžných polytopů, které nemají jednoduché Schläfliho symboly, zahrnuje pravidelné zkosené polytopy a pravidelné šikmé apeirotopy s neplanárním fazety nebo vrcholové postavy.

Přehled

Tato tabulka zobrazuje souhrn pravidelných počtů polytopů podle dimenze.

V žádném počtu dimenzí neexistují žádné euklidovské pravidelné hvězdné mozaiky.

Jedna dimenze

A Coxeterův diagram představují zrcadlová „letadla“ jako uzly a umístí kruh kolem uzlu, pokud je bod ne v letadle. A dion { }, , je bod p a jeho zrcadlový obrazový bod p 'a úsečka mezi nimi.

Jednorozměrný polytop nebo 1-polytop je uzavřený úsečka, ohraničený dvěma koncovými body. 1-mnohostěn je z definice pravidelný a je reprezentován Schläfliho symbol { },^[1][2] nebo a Coxeterův diagram s jediným prstencovým uzlem, . Norman Johnson říká tomu a dion^[3] a dává mu symbol Schläfli {}.

Ačkoli je triviální jako mnohostěn, jeví se jako hrany polygonů a dalších vícerozměrných polytopů.^[4] Používá se při definici jednotné hranoly jako Schläfliho symbol {} × {p} nebo Coxeterův diagram jako kartézský součin úsečky a pravidelného mnohoúhelníku.^[5]

Dva rozměry (polygony)

Dvojrozměrné polytopy se nazývají mnohoúhelníky. Pravidelné polygony jsou rovnostranný a cyklický. Pravidelný mnohoúhelník p-gonal je reprezentován Schläfliho symbol {p}.

Obvykle jen konvexní polygony jsou považovány za pravidelné, ale hvězdné polygony, jako pentagram, lze také považovat za pravidelné. Používají stejné vrcholy jako konvexní formy, ale spojují se v alternativní konektivitě, která prochází kolem kruhu více než jednou.

Hvězdné polygony by měly být volány nekonvexní spíše než konkávní protože protínající se hrany negenerují nové vrcholy a všechny vrcholy existují na hranici kruhu.

Konvexní

Symbol Schläfli {p} představuje a pravidelný p-gon.

název	Trojúhelník (2-simplexní )	Náměstí (2-orthoplex ) (2 kostky )	Pentagon (2-pětiúhelníkové polytop )	Šestiúhelník	Sedmiúhelník	Osmiúhelník
Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Symetrie	D3, [3]	D4, [4]	D5, [5]	D6, [6]	D7, [7]	D8, [8]
Coxeter
obraz
název	Nonagon (Enneagon)	Decagon	Hendecagon	Dodekagon	Tridecagon	Tetradekagon
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Symetrie	D9, [9]	D10, [10]	D11, [11]	D12, [12]	D13, [13]	D14, [14]
Dynkin
obraz
název	Pentadekagon	Hexadekagon	Heptadekagon	Octadecagon	Enneadecagon	Icosagon	... p-gon
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{p}
Symetrie	D15, [15]	D16, [16]	D17, [17]	D18, [18]	D19, [19]	D20, [20]	Dp, [p]
Dynkin
obraz

Sférické

Pravidelný digon {2} lze považovat za degenerovat pravidelný mnohoúhelník. Lze jej realizovat nedegenerovaně v některých neeuklidovských prostorech, například na povrchu a koule nebo torus.

název	Monogon	Digone
Schläfliho symbol	{1}	{2}
Symetrie	D1, [ ]	D2, [2]
Coxeterův diagram	nebo
obraz

Hvězdy

Existuje nekonečně mnoho pravidelných hvězdných polytopů ve dvou dimenzích, jejichž Schläfliho symboly se skládají z racionálních čísel {n/m}. Se nazývají hvězdné polygony a sdílet to samé uspořádání vrcholů konvexních pravidelných mnohoúhelníků.

Obecně platí, že pro jakékoli přirozené číslo n, existují n -cípé hvězdy, pravidelné polygonální hvězdy se Schläfliho symboly {n/m} pro všechny takové m m < n/ 2 (přísně vzato {n/m}={n/(n−m)}) a m a n jsou coprime (jako takové budou všechny hvězdy mnohoúhelníku s primárním počtem stran pravidelné hvězdy). Případy kde m a n nejsou coprime se nazývají složené polygony.

název	Pentagram	Heptagramy		Octagram	Enneagramy		Dekagram	...n-gramů
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{p / q}
Symetrie	D5, [5]	D7, [7]		D8, [8]	D9, [9],		D10, [10]	Dp, [p]
Coxeter
obraz

Pravidelné hvězdicové polygony až 20 stran

{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

Mohou existovat hvězdné polygony, které mohou existovat pouze jako sférické obklady, podobně jako monogon a digon (například: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9 / 5}), nicméně se nezdá, že by byly podrobně studovány.

Existují také selhalo hvězdné polygony, jako například piangle, které mnohokrát definitivně nepokrývají povrch kruhu.^[6]

Šikmé polygony

V trojrozměrném prostoru, a pravidelný zkosený mnohoúhelník se nazývá antiprismatic polygon, s uspořádání vrcholů z antiprism a podmnožina hran, klikatá mezi horními a dolními polygony.

Příklad pravidelných šikmých klikatých polygonů

Šestiúhelník	Osmiúhelník	Decagons
D3d, [2+,6]	D4d, [2+,8]	D5 d, [2+,10]
{3}#{ }	{4}#{ }	{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

Ve 4-dimenzích může mít pravidelný zkosený mnohoúhelník vrcholy na a Clifford torus a související a Cliffordův výtlak. Na rozdíl od antiprismatických zkosených polygonů mohou zkosené polygony ve dvojitých rotacích obsahovat lichý počet stran.

Mohou být vidět v Petrie polygony z konvexní pravidelné 4-polytopy, viděn jako pravidelné rovinné polygony v obvodu projekce Coxeterovy roviny:

Pentagon	Osmiúhelník	Dodekagon	Triacontagon
5článková	16 buněk	24článková	600 buněk

Tři rozměry (mnohostěn)

Ve třech rozměrech se nazývají polytopy mnohostěn:

Pravidelný mnohostěn s Schläfliho symbol {p, q}, Coxeterovy diagramy , má normální typ obličeje {p} a normální vrchol obrázek {q}.

A vrchol obrázek (mnohostěnu) je mnohoúhelník, viděný spojením těch vrcholů, které jsou jeden okraj pryč od daného vrcholu. Pro pravidelný mnohostěn, tento vrchol je vždy pravidelný (a rovinný) mnohoúhelník.

Existence regulárního mnohostěnu {p, q} je omezena nerovností související s vrcholovým obrazcem defekt úhlu:

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}}> { frac {1} {2}}: { text {Mnohostěn (existující v euklidovském 3-prostoru)}} [6pt] & { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} = { frac {1} {2}}: { text {Obklady euklidovské roviny}} [6pt] & { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} <{ frac {1} {2}}: { text {Hyperbolický obklady roviny}} end {zarovnáno}}}$

Výčet obměny, najdeme pět konvexních forem, čtyři hvězdné formy a tři rovinné sklony, všechny s polygony {p} a {q} omezené na: {3}, {4}, {5}, {5/2} a {6} .

Za euklidovským prostorem existuje nekonečná sada pravidelných hyperbolických obkladů.

Konvexní

Pět konvexních pravidelných mnohostěn se nazývají Platonické pevné látky. The vrchol obrázek je uveden s každým počtem vrcholů. Všechny tyto mnohostěny mají Eulerova charakteristika (χ) ze 2.

název	Schläfli {p, q}	Coxeter	obraz (pevný)	obraz (koule)	Tváře {p}	Hrany	Vrcholy {q}	Symetrie	Dvojí
Čtyřstěn (3-simplexní )	{3,3}				4 {3}	6	4 {3}	Td [3,3] (*332)	(já)
Hexahedron Krychle (3 kostky )	{4,3}				6 {4}	12	8 {3}	Óh [4,3] (*432)	Octahedron
Octahedron (3-orthoplex )	{3,4}				8 {3}	12	6 {4}	Óh [4,3] (*432)	Krychle
Dodecahedron	{5,3}				12 {5}	30	20 {3}	Jáh [5,3] (*532)	Dvacetistěnu
Dvacetistěnu	{3,5}				20 {3}	30	12 {5}	Jáh [5,3] (*532)	Dodecahedron

Sférické

v sférická geometrie, pravidelné sférický mnohostěn (obklady z koule ) existují, které by se jinak zvrhly jako polytopy. Tohle jsou hosohedra {2, n} a jejich duální dihedra {n, 2}. Coxeter nazývá tyto případy „nesprávnými“ mozaikování.^[7]

Prvních několik případů (n od 2 do 6) je uvedeno níže.

Hosohedra

název	Schläfli {2, str}	Coxeter diagram	obraz (koule)	Tváře {2}π / str	Hrany	Vrcholy {p}	Symetrie	Dvojí
Digonal hosohedron	{2,2}			2 {2}π / 2	2	2 {2}π / 2	D2h [2,2] (*222)	Já
Trigonální hosohedron	{2,3}			3 {2}π / 3	3	2 {3}	D3h [2,3] (*322)	Trigonální dihedron
Čtvercový hosohedron	{2,4}			4 {2}π / 4	4	2 {4}	D4h [2,4] (*422)	Čtvercový dvojstěn
Pětiúhelníkový hosohedron	{2,5}			5 {2}π / 5	5	2 {5}	D5h [2,5] (*522)	Pětiúhelníkový dvojstěn
Šestihranný hosohedron	{2,6}			6 {2}π / 6	6	2 {6}	D6h [2,6] (*622)	Šestihranný dihedron

Dihedra

název	Schläfli {p, 2}	Coxeter diagram	obraz (koule)	Tváře {p}	Hrany	Vrcholy {2}	Symetrie	Dvojí
Digonal dihedron	{2,2}			2 {2}π / 2	2	2 {2}π / 2	D2h [2,2] (*222)	Já
Trigonální dihedron	{3,2}			2 {3}	3	3 {2}π / 3	D3h [3,2] (*322)	Trigonální hosohedron
Čtvercový dvojstěn	{4,2}			2 {4}	4	4 {2}π / 4	D4h [4,2] (*422)	Čtvercový hosohedron
Pětiúhelníkový dvojstěn	{5,2}			2 {5}	5	5 {2}π / 5	D5h [5,2] (*522)	Pětiúhelníkový hosohedron
Šestihranný dihedron	{6,2}			2 {6}	6	6 {2}π / 6	D6h [6,2] (*622)	Šestihranný hosohedron

Star-dihedra a hosohedra {p/q, 2} a {2,p/q} existují také pro jakýkoli hvězdný polygon {p/q}.

Hvězdy

Pravidelný hvězda mnohostěn se nazývají Kepler – Poinsotův mnohostěn a jsou čtyři, na základě uspořádání vrcholů z dvanáctistěn {5,3} a dvacetistěnu {3,5}:

Tak jako sférické obklady, tyto hvězdné formy vícekrát překrývají kouli, nazývané její hustota, přičemž pro tyto formy je 3 nebo 7. Na obkladových obrázcích se zobrazuje jeden sférický mnohoúhelník obličej žlutě.

název	obraz (kosterní)	obraz (pevný)	obraz (koule)	Stelace diagram	Schläfli {p, q} a Coxeter	Tváře {p}	Hrany	Vrcholy {q} verf.	χ	Hustota	Symetrie	Dvojí
Malý hvězdný dvanáctistěn					{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	−6	3	Jáh [5,3] (*532)	Velký dvanáctistěn
Velký dvanáctistěn					{5,5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	−6	3	Jáh [5,3] (*532)	Malý hvězdný dvanáctistěn
Velký hvězdný dvanáctistěn					{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	Jáh [5,3] (*532)	Velký dvacetistěn
Velký dvacetistěn					{3,5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	Jáh [5,3] (*532)	Velký hvězdný dvanáctistěn

Je jich nekonečně mnoho selhalo hvězda mnohostěn. Jedná se také o sférické obklady s hvězdnými polygony v jejich Schläfliho symbolech, ale mnohokrát nepokrývají kouli. Některé příklady jsou {5 / 2,4}, {5 / 2,9}, {7 / 2,3}, {5 / 2,5 / 2}, {7 / 2,7 / 3}, {4, 5/2} a {3,7 / 3}.

Šikmý mnohostěn

Pravidelný šikmý mnohostěn jsou zobecnění na množinu pravidelný mnohostěn které zahrnují možnost neplanárnosti vrcholové postavy.

Pro čtyřrozměrný šikmý mnohostěn nabídl Coxeter upravený Schläfliho symbol {l, m | n} pro tato čísla, přičemž {l, m} znamená vrchol obrázek, m l-gons kolem vrcholu a n-gonal otvory. Jejich vrcholné postavy jsou šikmé polygony cik-cak mezi dvěma rovinami.

Pravidelný zkosený mnohostěn, reprezentovaný {l, m | n}, se řídí touto rovnicí:

2 sin (π / l) sin (π / m) = cos (π / n)

Čtyři z nich lze vidět ve 4-dimenzích jako podmnožinu čtyř tváří běžné 4-polytopes, sdílení stejné uspořádání vrcholů a uspořádání hran:

{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}	{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}

Čtyři rozměry

Pravidelný 4-polytopes s Schläfliho symbol ${ displaystyle {p, q, r }}$ mít buňky typu ${ displaystyle {p, q }}$, tváře typu ${ displaystyle {p }}$, hranové postavy${ displaystyle {r }}$a vrcholové údaje ${ displaystyle {q, r }}$.

• A vrchol obrázek (ze 4-mnohostěnů) je mnohostěn, viděný uspořádáním sousedních vrcholů kolem daného vrcholu. U běžných 4-polytopů je tato vrcholná postava pravidelným mnohostěnem.
• An hrana postava je mnohoúhelník, viděný uspořádáním ploch kolem okraje. U běžných 4-polytopů bude tato hrana vždy pravidelným mnohoúhelníkem.

Existence běžného 4-polytopu ${ displaystyle {p, q, r }}$ je omezen existencí pravidelné mnohostěny ${ displaystyle {p, q }, {q, r }}$. Navrhovaný název pro 4-polytopy je „polychoron“.^[8]

Každá bude existovat v prostoru závislém na tomto výrazu:

${ displaystyle sin left ({ frac { pi} {p}} right) sin left ({ frac { pi} {r}} right) - cos left ({ frac { pi} {q}} vpravo)}$

${ displaystyle> 0}$ : Hypersférický 3prostorový plástev nebo 4-mnohostěn

${ displaystyle = 0}$ : Euklidovský 3prostorový plástev

${ displaystyle <0}$ : Hyperbolický 3prostorový plástev

Tato omezení umožňují 21 formulářů: 6 je konvexních, 10 je nekonvexních, jeden je euklidovský tříprostorový plástev a 4 jsou hyperbolické voštiny.

The Eulerova charakteristika ${ displaystyle chi}$ pro konvexní 4-polytopy je nula:${ displaystyle chi = V + F-E-C = 0}$

Konvexní

Šest konvexních běžné 4-polytopes jsou uvedeny v následující tabulce. Všechny tyto 4-polytopy mají Eulerova charakteristika (χ) 0.

název	Schläfli {p, q, r}	Coxeter	Buňky {p, q}	Tváře {p}	Hrany {r}	Vrcholy {q, r}	Dvojí {r, q, p}
5článková (4-simplexní )	{3,3,3}		5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(já)
8článková (4 kostky ) (Tesseract)	{4,3,3}		8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	16 buněk
16 buněk (4-orthoplex )	{3,3,4}		16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	Tesseract
24článková	{3,4,3}		24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(já)
120 buněk	{5,3,3}		120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600 buněk
600 buněk	{3,3,5}		600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120 buněk

5článková	8článková	16 buněk	24článková	120 buněk	600 buněk
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Drátový model (Petrie polygon ) šikmo pravopisné projekce
Pevný pravopisné projekce
čtyřboká obálka (buňka/ na střed)	krychlová obálka (centrováno na buňku)	krychlová obálka (centrováno na buňku)	cuboctahedral obálka (centrováno na buňku)	zkrácený kosočtverec triacontahedron obálka (centrováno na buňku)	Pentakis icosidodecahedral obálka (na střed)
Drátový model Schlegel diagramy (Perspektivní projekce )
(centrováno na buňku)	(centrováno na buňku)	(centrováno na buňku)	(centrováno na buňku)	(centrováno na buňku)	(na střed)
Drátový model stereografické projekce (Hypersférické )

Sférické

Di-4-topes a hoso-4-topes existují jako pravidelné mozaikování 3 koule.

Pravidelný di-4-topes (2 fazety) zahrnují: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p, 2 , 2} a jejich hoso-4-tope duální (2 vrcholy): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. 4-polytopy formy {2,p, 2} jsou stejné jako {2,2,p}. Existují také případy {p,2,q}, které mají dihedrální buňky a hosohedrální vrcholy.

Pravidelné hoso-4-topy jako 3 koule voštiny

Schläfli {2,p,q}	Coxeter	Buňky {2,p}π /q	Tváře {2}π /p, π /q	Hrany	Vrcholy	Vrcholová postava {p,q}	Symetrie	Dvojí
{2,3,3}		4 {2,3}π / 3	6 {2}π / 3, π / 3	4	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}		6 {2,4}π / 3	12 {2}π / 4, π / 3	8	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}		8 {2,3}π / 4	12 {2}π / 3, π / 4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}		12 {2,5}π / 3	30 {2}π / 5, π / 3	20	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}		20 {2,3}π / 5	30 {2}π / 3, π / 5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

Hvězdy

Je jich deset pravidelná hvězda 4-polytopes, které se nazývají Schläfli – Hess 4-polytopy. Jejich vrcholy jsou založeny na konvexních 120 buněk {5,3,3} a 600 buněk {3,3,5}.

Ludwig Schläfli našel čtyři z nich a posledních šest přeskočil, protože nedovolil formuláře, které selhaly Eulerova charakteristika na buňkách nebo vrcholcích (pro tori s nulovou dírou: F + V − E = 2). Edmund Hess (1843–1903) dokončil úplný seznam deseti ve své německé knize Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (1883)[1].

K dispozici jsou 4 jedinečné uspořádání hran a 7 jedinečných úpravy obličeje z těchto 10 pravidelných hvězdných 4-polytopů, zobrazených jako ortogonální projekce:

název	Drátový model	Pevný	Schläfli {p, q, r} Coxeter	Buňky {p, q}	Tváře {p}	Hrany {r}	Vrcholy {q, r}	Hustota	χ	Skupina symetrie	Dvojí {r, q, p}
Ikosahedrální 120 buněk (fazetovaný 600 buněk)			{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480	H4 [5,3,3]	Malý hvězdicový 120 buněk
Malý hvězdicový 120 buněk			{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480	H4 [5,3,3]	Ikosahedrální 120 buněk
Skvělý 120 buněk			{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0	H4 [5,3,3]	Self-dual
Velký 120 buněk			{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0	H4 [5,3,3]	Skvělá hvězdicová 120článková
Skvělá hvězdicová 120článková			{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0	H4 [5,3,3]	Velký 120 buněk
Velký hvězdicový 120 buněk			{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0	H4 [5,3,3]	Self-dual
Skvělý velký 120 buněk			{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480	H4 [5,3,3]	Skvělá ikosaedrální 120článková
Skvělá ikosaedrální 120článková (skvělý fazetovaný 600 buněk)			{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480	H4 [5,3,3]	Skvělý velký 120 buněk
Velká 600 buněk			{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0	H4 [5,3,3]	Skvělá hvězdná 120článková
Skvělá hvězdná 120článková			{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H4 [5,3,3]	Velká 600 buněk

K dispozici jsou 4 selhalo potenciální pravidelné hvězdné permutace 4-polytopů: {3,5 / 2,3}, {4,3,5 / 2}, {5 / 2,3,4}, {5 / 2,3,5 / 2}. Jejich buňky a vrcholové postavy existují, ale nepokrývají hypersféru s konečným počtem opakování.

Pět a více dimenzí

v pět dimenzí, běžný mnohostěn lze pojmenovat jako${ displaystyle {p, q, r, s }}$ kde ${ displaystyle {p, q, r }}$ je typ 4 tváře, ${ displaystyle {p, q }}$ je typ buňky, ${ displaystyle {p }}$ je typ obličeje a ${ displaystyle {s }}$ je postava, ${ displaystyle {r, s }}$ je hranová postava a ${ displaystyle {q, r, s }}$ je vrcholová figura.

A vrchol obrázek (z 5-mnohostěn) je 4-mnohostěn, viděný uspořádáním sousedních vrcholů ke každému vrcholu.

An hrana postava (z 5-mnohostěn) je mnohostěn, viděný uspořádáním ploch kolem každého okraje.

A obličejová postava (z 5-mnohostěnů) je mnohoúhelník, viděný uspořádáním buněk kolem každé tváře.

Pravidelný 5-mnohostěn ${ displaystyle {p, q, r, s }}$ existuje pouze pokud ${ displaystyle {p, q, r }}$ a ${ displaystyle {q, r, s }}$ jsou pravidelné 4-polytopes.

Prostor, do kterého se vejde, je založen na výrazu:

${ displaystyle { frac { cos ^ {2} left ({ frac { pi} {q}} right)} { sin ^ {2} left ({ frac { pi} {p }} right)}} + { frac { cos ^ {2} left ({ frac { pi} {r}} right)} { sin ^ {2} left ({ frac { pi} {s}} vpravo)}}}$

${ displaystyle <1}$ : Sférická 4prostorová mozaikování nebo 5prostorový polytop

${ displaystyle = 1}$ : Euklidovská 4prostorová mozaikování

${ displaystyle> 1}$ : hyperbolická 4prostorová mozaikování

Vytvoří se výčet těchto omezení 3 konvexní polytopes, nula nekonvexní polytopy, 3 4prostorové mozaikování a 5 hyperbolické 4prostorové mozaikování. Neexistují žádné nekonvexní pravidelné polytopy v pěti nebo vyšších rozměrech.

Konvexní

Ve dimenzích 5 a vyšších existují pouze tři druhy konvexních pravidelných polytopů.^[9]

název	Schläfli Symbol {str1, ..., sn−1}	Coxeter	k- tváře	Aspekt typ	Vrchol postava	Dvojí
n-jednodušší	{3n−1}	...	${ displaystyle {{n + 1} zvolit {k + 1}}}$	{3n−2}	{3n−2}	Self-dual
n-krychle	{4,3n−2}	...	${ displaystyle 2 ^ {n-k} {n zvolit k}}$	{4,3n−3}	{3n−2}	n-orthoplex
n-orthoplex	{3n−2,4}	...	${ displaystyle 2 ^ {k + 1} {n zvolit {k + 1}}}$	{3n−2}	{3n−3,4}	n-krychle

Existují také nesprávné případy, kdy některá čísla v Schläfliho symbolu jsou 2. Například {p, q, r, ... 2} je nesprávný pravidelný sférický polytop, kdykoli je {p, q, r ...} pravidelný sférický polytop a {2, ... p, q, r} je nesprávný pravidelný sférický polytop, kdykoli {... p, q, r} je pravidelný sférický polytop. Takové polytopy lze také použít jako fazety, čímž vzniknou formy jako {p, q, ... 2 ... y, z}.

5 rozměrů

název	Schläfli Symbol {p, q, r, s} Coxeter	Fazety {p, q, r}	Buňky {p, q}	Tváře {p}	Hrany	Vrcholy	Tvář postava {s}	Okraj postava {r, s}	Vrchol postava {q, r, s}
5-simplexní	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5 kostek	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-orthoplex	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}

5-simplexní

5 kostek

5-orthoplex

6 rozměrů

6-simplexní

6 kostek

6-orthoplex

7 rozměrů

7-simplexní

7 kostek

7-orthoplex

8 rozměrů

8-simplexní

8 kostek

8-orthoplex

9 rozměrů

9-simplexní

9 kostek

9-orthoplex

10 rozměrů

10-simplexní

10 kostek

10-orthoplex

...

Nekonvexní

Neexistují žádné nekonvexní pravidelné polytopy v pěti nebo vyšších rozměrech, s výjimkou hosotopů vytvořených z nízkorozměrných nekonvexních pravidelných polytopů.

Pravidelné projektivní polytopy

Projektivní pravidelný (n+1) -polytop existuje, když je původní regulární n-spherical tessellation, {p, q, ...}, is centrálně symetrický. Takový mnohostěn se jmenuje hemi- {p, q, ...} a obsahuje o polovinu méně prvků. Coxeter dává symbol {p, q, ...} / 2, zatímco McMullen píše {p, q, ...}_{h / 2} s h jako číslo coxeteru.^[10]

Rovnoměrné pravidelné mnohoúhelníky mít hemi-2n-gon projektivní polygony, {2p} / 2.

K dispozici jsou 4 pravidelné projektivní mnohostěn související s 4 z 5 Platonické pevné látky.

Hemi-kostka a hemi-oktaedron se zobecňují jako hemi-n- kostky a hemi-n-ortoplexy v jakýchkoli rozměrech.

Pravidelný projektivní mnohostěn

3-dimenzionální pravidelné hemi-polytopes

název	Coxeter McMullen	obraz	Tváře	Hrany	Vrcholy	χ
Hemi-kostka	{4,3}/2 {4,3}3		3	6	4	1
Hemi-oktaedron	{3,4}/2 {3,4}3		4	6	3	1
Hemi-dodecahedron	{5,3}/2 {5,3}5		6	15	10	1
Hemi-icosahedron	{3,5}/2 {3,5}5		10	15	6	1

Pravidelné projektivní 4-polytopy

Ve 4-dimenzích 5 ze 6 konvexních pravidelných 4-polytopů generuje projektivní 4-polytopes. 3 speciální případy jsou hemi-24-cell, hemi-600-cell a hemi-120-cell.

Pravidelné projektivní 5-polytopes

Existují pouze 2 konvexní pravidelné projektivní hemi-polytopy o rozměrech 5 nebo vyšších.

Apeirotopy

An apeirotop nebo nekonečný mnohostěn je polytop který má nekonečně mnoho fazety. An n-apeirotope je nekonečný n-polytop: 2-apeirotop nebo apeirogon je nekonečný mnohoúhelník, 3-apeirotop nebo apeirohedron je nekonečný mnohostěn atd.

Existují dvě hlavní geometrické třídy apeirotopu:^[11]

• Pravidelný voštiny v n rozměry, které zcela vyplňují n-rozměrný prostor.
• Pravidelný šikmé apeirotopy, zahrnující n-dimenzionální potrubí ve vyšším prostoru.

Jedna dimenze (apeirogony)

Přímo apeirogon je pravidelná mozaikování čáry, rozdělující ji na nekonečně mnoho stejných segmentů. Má nekonečně mnoho vrcholů a hran. Své Schläfliho symbol je {∞} a Coxeterův diagram .

......

Apeirogony v hyperbolická rovina, nejvíce pozoruhodně pravidelný apeirogon, {∞}, může mít zakřivení stejně jako konečné polygony euklidovské roviny s vrcholy ohraničenými horocykly nebo hypercykly spíše než kruhy.

Pravidelné apeirogony, jejichž měřítko konverguje v nekonečnu, mají symbol {∞} a existují na horocyklech, obecněji na hypercyklech.

{∞}	{πi / λ}
Apeirogon dál horocykl	Apeirogon dál hypercyklus

Nahoře jsou dva pravidelné hyperbolické apeirogony v Poincaré model disku, ten pravý ukazuje kolmé reflexní linie divergentní základní domény, oddělené délkou λ.

Šikmé apeirogony

Zkosený apeirogon ve dvou dimenzích tvoří v rovině klikatou čáru. Pokud je cik-cak rovnoměrný a symetrický, pak je apeirogon pravidelný.

Šikmé apeirogony mohou být konstruovány v libovolném počtu rozměrů. Ve třech rozměrech, obyčejný zkosit apeirogon stopuje spirálovitou spirálu a může být levou nebo pravou rukou.

2-rozměry	3-rozměry
Cik-cak apeirogon	Helix apeirogon

Dvě dimenze (apeirohedra)

Euklidovské obklady

Rovina má tři pravidelné mozaikování. Všichni tři mají Eulerova charakteristika (χ) 0.

název	Čtvercové obklady (čtverylka)	Trojúhelníkový obklad (deltille)	Šestihranný obklad (hextille)
Symetrie	p4m, [4,4], (* 442)	p6m, [6,3], (* 632)
Schläfli {p, q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
Coxeterův diagram
obraz

Existují dva nesprávné pravidelné tilings: {∞, 2}, apeirogonal dihedron, vyrobený ze dvou apeirogony, každá vyplňuje polovinu letadla; a za druhé, jeho duální, {2, ∞}, apeirogonal hosohedron, viděný jako nekonečná sada paralelních linií.

{∞,2},

{2,∞},

Euklidovské obklady hvězd

Neexistují žádné pravidelné náklony letadel hvězdné polygony. Existuje mnoho výčtů, které se vejdou do roviny (1 /p + 1/q = 1/2), jako {8 / 3,8}, {10 / 3,5}, {5 / 2,10}, {12 / 5,12} atd., Ale žádný se neopakuje pravidelně.

Hyperbolické obklady

Teselace jazyka hyperbolický 2-prostor jsou hyperbolické obklady. V H je nekonečně mnoho pravidelných naklonění². Jak je uvedeno výše, každý kladný celočíselný pár {p,q} takový, že 1 /p + 1/q <1/2 dává hyperbolický obklad. Ve skutečnosti pro generála Schwarzův trojúhelník (p, q, r) to samé platí pro 1 /p + 1/q + 1/r < 1.

Existuje řada různých způsobů, jak zobrazit hyperbolickou rovinu, včetně Model disku Poincaré který mapuje letadlo do kruhu, jak je znázorněno níže. Mělo by být uznáno, že všechny polygonové plochy v níže uvedených nakloněních jsou stejně velké a zdá se, že se v blízkosti aplikovaných projekcí zmenšují pouze blízko okrajů, což je velmi podobné účinku kamery objektiv s rybím okem.

Existuje nekonečně mnoho plochých regulárních 3-apeirotopů (apeirohedra) jako pravidelných naklonění hyperbolické roviny ve tvaru {p, q} s p + q uvedené výše jako mozaiky)

• {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
• {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
• {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
• {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
• {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
• {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
• {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
• ...
• {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Vzorkování:

Pravidelný hyperbolický obkladový stůl [ proti t E ]
Sférické (nevhodný/Platonický)/Euklidovský/ hyperbolický (disk Poincaré: kompaktní/paracompact/nekompaktní) teselace s jejich Schläfliho symbol
p q	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ / λ
2	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}		{2,∞}		{2, iπ / λ}
3	{3,2}	(čtyřstěn ) {3,3}	(osmistěn ) {3,4}	(dvacetistěnu ) {3,5}	(deltille ) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3,∞}		{3, iπ / λ}
4	{4,2}	(krychle ) {4,3}	(čtverylka ) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4,∞}		{4, iπ / λ}
5	{5,2}	(dvanáctistěn ) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5,∞}		{5, iπ / λ}
6	{6,2}	(Hextille ) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6,∞}		{6, iπ / λ}
7	{7,2}	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7,∞}		{7, iπ / λ}
8	{8,2}	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8,∞}		{8, iπ / λ}
...
∞	{∞,2}	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞,6}	{∞,7}	{∞,8}	{∞,∞}	{∞, iπ / λ}
...
iπ / λ	{iπ / λ, 2}	{iπ / λ, 3}	{iπ / λ, 4}	{iπ / λ, 5}	{iπ / λ, 6}	{iπ / λ, 7}	{iπ / λ, 8}	{iπ / λ, ∞}	{iπ / λ, iπ / λ}

Hyperbolické obklady hvězd

Existují 2 nekonečné formy hyperbolických obkladů, jejichž tváře nebo vrcholové postavy jsou hvězdné polygony: {m/2, m} a jejich duály {m, m/ 2} s m = 7, 9, 11, .... {m/2, m} obklady jsou stellations z {m, 3} naklonění, zatímcom, m/ 2} duální obklady jsou fazety z {3, m} obklady a opery z {m, 3} obklady.

Vzory {m/2, m} a {m, m/ 2} pokračujte na liché m <7 jako mnohostěn: když m = 5, získáme malý hvězdný dvanáctistěn a velký dvanáctistěn, a kdy m = 3, případ degeneruje na a čtyřstěn. Další dva Kepler – Poinsotovy mnohostěny ( velký hvězdný dvanáctistěn a velký dvacetistěn ) nemají běžné hyperbolické analogové obklady. Li m je sudé, podle toho, jak se rozhodneme definovat {m/ 2}, můžeme buď získat zdegenerované dvojité kryty jiných obkladů, nebo sloučenina obklady.

název	Schläfli	Coxeterův diagram	obraz	Typ obličeje {p}	Vrcholová postava {q}	Hustota	Symetrie	Dvojí
Heptagrammické obklady řádu 7	{7/2,7}			{7/2}	{7}	3	*732 [7,3]	Heptagrammické řádové heptagonální obklady
Heptagrammické řádové heptagonální obklady	{7,7/2}			{7}	{7/2}	3	*732 [7,3]	Heptagrammické obklady řádu 7
Order-9 enneagrammic obklady	{9/2,9}			{9/2}	{9}	3	*932 [9,3]	Enneagrammatické pořadí enneagonal obklady
Enneagrammický řád enneagonal obklady	{9,9/2}			{9}	{9/2}	3	*932 [9,3]	Order-9 enneagrammic obklady
Order-11 hendecagrammic obklady	{11/2,11}			{11/2}	{11}	3	*11.3.2 [11,3]	Hendecagramm hendecagonal obklady
Hendecagramm hendecagonal obklady	{11,11/2}			{11}	{11/2}	3	*11.3.2 [11,3]	Objednávka 11 hendecagrammic obklady
Objednat-p p-gramatické obklady	{p/2,p}			{p/2}	{p}	3	*p32 [str. 3]	p-gramatické pořadí p-gonal obklady
p-gramatické pořadí p-gonal obklady	{p,p/2}			{p}	{p/2}	3	*p32 [str. 3]	Objednat-p p-gramatické obklady

Zkosit apeirohedru v euklidovském 3prostoru

Tam jsou tři pravidelný šikmý apeirohedra v euklidovském 3prostoru, s pravidelný zkosený mnohoúhelník vrcholové postavy.^[12][13][14] Sdílejí to samé uspořádání vrcholů a uspořádání hran ze dne 3. konvexní jednotné voštiny.

• 6 čtverců kolem každého vrcholu: {4,6 | 4}
• 4 šestiúhelníky kolem každého vrcholu: {6,4 | 4}
• 6 šestiúhelníků kolem každého vrcholu: {6,6 | 3}

12 „čistá“ apeirohedra v euklidovském 3prostoru založená na struktuře kubický plástev, {4,3,4}.^[15] A π petrie dual operátor nahradí plochy znakem Petrie polygony; δ je dvojitý operátor, který obrací vrcholy a plochy; φ_k je koperátor fazetování; η je operátor půlení a σ zkosení operátor půlení.

Pravidelný šikmý mnohostěn
{4,6|4}	{6,4|4}	{6,6|3}

V euklidovském 3prostoru je třicet pravidelných apeirohedrů.^[16] Patří mezi ně ty, které jsou uvedeny výše, a 8 dalších „čistých“ apeirohedrů, všechny související s kubickým plástem, {4,3,4}, přičemž ostatní mají zkosené polygonové tváře: {6,6}₄, {4,6}₄, {6,4}₆, {∞,3}^A, {∞,3}^b, {∞,4}^.*3, {∞,4}_6,4, {∞,6}_4,4a {∞, 6}_6,3.

Šikmý apeirohedra v hyperbolickém 3-prostoru

Existuje 31 pravidelný šikmý apeirohedra v hyperbolickém 3 prostoru:^[17]

• 14 je kompaktních: {8,10 | 3}, {10,8 | 3}, {10,4 | 3}, {4,10 | 3}, {6,4 | 5}, {4,6 | 5 }, {10,6 | 3}, {6,10 | 3}, {8,8 | 3}, {6,6 | 4}, {10,10 | 3}, {6,6 | 5}, {8,6 | 3} a {6,8 | 3}.
• 17 je paracompact: {12,10 | 3}, {10,12 | 3}, {12,4 | 3}, {4,12 | 3}, {6,4 | 6}, {4,6 | 6 }, {8,4 | 4}, {4,8 | 4}, {12,6 | 3}, {6,12 | 3}, {12,12 | 3}, {6,6 | 6}, {8,6 | 4}, {6,8 | 4}, {12,8 | 3}, {8,12 | 3} a {8,8 | 4}.

Tři dimenze (4-apeirotopy)

Teselace euklidovského 3-prostoru

Edge framework of cubic honeycomb, {4,3,4}

Existuje pouze jedna nedegenerovaná pravidelná mozaikování 3 prostoru (voštiny ), {4, 3, 4}:^[18]

název	Schläfli {p, q, r}	Coxeter	Buňka typ {p, q}	Tvář typ {p}	Okraj postava {r}	Vrchol postava {q, r}	χ	Dvojí
Krychlový plástev	{4,3,4}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	Self-dual

Nesprávné mozaikování euklidovského 3-prostoru

Pravidelný plást {2,4,4}, který je vidět promítnutý do koule.

Existuje šest nesprávných pravidelných mozaikování, páry založené na třech pravidelných euklidovských obkladech. Jejich buňky a vrcholové postavy jsou všechny pravidelné hosohedra {2, n}, dihedra, {n, 2} a euklidovské obklady. Tyto nesprávné pravidelné sklony jsou konstrukčně spojeny s hranolovými jednotnými voštinami pomocí operací zkrácení. Jsou to vícerozměrné analogy order-2 apeirogonal obklady a apeirogonal hosohedron.

Schläfli {p, q, r}	Coxeter diagram	Buňka typ {p, q}	Tvář typ {p}	Okraj postava {r}	Vrchol postava {q, r}
{2,4,4}		{2,4}	{2}	{4}	{4,4}
{2,3,6}		{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}		{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}		{4,4}	{4}	{2}	{4,2}
{3,6,2}		{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}		{6,3}	{6}	{2}	{3,2}

Teselace hyperbolického 3-prostoru

Existuje deset plochých pravidelných voštin hyperbolického 3 prostoru:^[19] (dříve uvedené výše jako mozaiky)

• 4 jsou kompaktní: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} a {5,3,5}
• zatímco 6 je paracompact: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3, 6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} a {6,3,6}.

4 kompaktní pravidelné voštiny {5,3,4} {5,3,5} {4,3,5} {3,5,3}

4 z 11 běžných voštin paracompact {3,4,4} {3,6,3} {4,4,3} {4,4,4}

Teselace jazyka hyperbolický 3-prostor lze volat hyperbolické voštiny. V H je 15 hyperbolických voštin³, 4 kompaktní a 11 paracompact.

4 kompaktní pravidelné voštiny

název	Schläfli Symbol {p, q, r}	Coxeter	Buňka typ {p, q}	Tvář typ {p}	Okraj postava {r}	Vrchol postava {q, r}	χ	Dvojí
Ikosahedrální plástev	{3,5,3}		{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	0	Self-dual
Objednávka-5 kubických voštin	{4,3,5}		{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	0	{5,3,4}
Order-4 dodecahedral honeycomb	{5,3,4}		{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	0	{4,3,5}
Order-5 dodecahedral honeycomb	{5,3,5}		{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	0	Self-dual

Existuje také 11 paracompactů H³ voštiny (ty s nekonečnými (euklidovskými) buňkami nebo čísly vrcholů): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3 , 6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} a {6, 3,6}.

11 paracompact pravidelných voštin

název	Schläfli Symbol {p, q, r}	Coxeter	Buňka typ {p, q}	Tvář typ {p}	Okraj postava {r}	Vrchol postava {q, r}	χ	Dvojí
Objednávka 6 čtyřstěnný plástev	{3,3,6}		{3,3}	{3}	{6}	{3,6}	0	{6,3,3}
Šestihranný obkladový plástev	{6,3,3}		{6,3}	{6}	{3}	{3,3}	0	{3,3,6}
Order-4 oktaedrický plástev	{3,4,4}		{3,4}	{3}	{4}	{4,4}	0	{4,4,3}
Čtvercový obkladový plástev	{4,4,3}		{4,4}	{4}	{3}	{4,3}	0	{3,3,4}
Trojúhelníkový obkladový plástev	{3,6,3}		{3,6}	{3}	{3}	{6,3}	0	Self-dual
Objednávka-6 kubických voštin	{4,3,6}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	{6,3,4}
Order-4 šestihranný obkladový plástev	{6,3,4}		{6,3}	{6}	{4}	{3,4}	0	{4,3,6}
Objednávka-4 čtvercový obkladový plástev	{4,4,4}		{4,4}	{4}	{4}	{4,4}	0	{4,4,4}
Order-6 dodecahedral honeycomb	{5,3,6}		{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	0	{6,3,5}
Order-5 šestihranný obkladový plástev	{6,3,5}		{6,3}	{6}	{5}	{3,5}	0	{5,3,6}
Order-6 šestihranný obkladový plástev	{6,3,6}		{6,3}	{6}	{6}	{3,6}	0	Self-dual

Nekompaktní řešení existují jako Skupiny Lorentzian Coxeter, a lze jej vizualizovat otevřenými doménami v hyperbolickém prostoru (základní čtyřstěn, který má některé části za nekonečnem nepřístupné). Všechny voštiny s hyperbolickými buňkami nebo vrcholovými čísly, které nemají ve svém Schläfliho symbolu 2, jsou nekompaktní.

Sférické (nevhodný/Platonický)/Euklidovský/hyperbolický(kompaktní/paracompact/ nekompaktní) voštiny {p, 3, r}

{p,3} \ r	2	3	4	5	6	7	8	... ∞
{2,3}	{2,3,2}	{2,3,3}	{2,3,4}	{2,3,5}	{2,3,6}	{2,3,7}	{2,3,8}	{2,3,∞}
{3,3}	{3,3,2}	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	{3,3,∞}
{4,3}	{4,3,2}	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	{4,3,∞}
{5,3}	{5,3,2}	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	{5,3,∞}
{6,3}	{6,3,2}	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	{6,3,∞}
{7,3}	{7,3,2}	{7,3,3}	{7,3,4}	{7,3,5}	{7,3,6}	{7,3,7}	{7,3,8}	{7,3,∞}
{8,3}	{8,3,2}	{8,3,3}	{8,3,4}	{8,3,5}	{8,3,6}	{8,3,7}	{8,3,8}	{8,3,∞}
... {∞,3}	{∞,3,2}	{∞,3,3}	{∞,3,4}	{∞,3,5}	{∞,3,6}	{∞,3,7}	{∞,3,8}	{∞,3,∞}

{p, 4, r} {p,4} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,4} {2,4,2} {2,4,3} {2,4,4} {2,4,5} {2,4,6} {2,4,∞} {3,4} {3,4,2} {3,4,3} {3,4,4} {3,4,5} {3,4,6} {3,4,∞} {4,4} {4,4,2} {4,4,3} {4,4,4} {4,4,5} {4,4,6} {4,4,∞} {5,4} {5,4,2} {5,4,3} {5,4,4} {5,4,5} {5,4,6} {5,4,∞} {6,4} {6,4,2} {6,4,3} {6,4,4} {6,4,5} {6,4,6} {6,4,∞} {∞,4} {∞,4,2} {∞,4,3} {∞,4,4} {∞,4,5} {∞,4,6} {∞,4,∞}

{p, 5, r} {p,5} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,5} {2,5,2} {2,5,3} {2,5,4} {2,5,5} {2,5,6} {2,5,∞} {3,5} {3,5,2} {3,5,3} {3,5,4} {3,5,5} {3,5,6} {3,5,∞} {4,5} {4,5,2} {4,5,3} {4,5,4} {4,5,5} {4,5,6} {4,5,∞} {5,5} {5,5,2} {5,5,3} {5,5,4} {5,5,5} {5,5,6} {5,5,∞} {6,5} {6,5,2} {6,5,3} {6,5,4} {6,5,5} {6,5,6} {6,5,∞} {∞,5} {∞,5,2} {∞,5,3} {∞,5,4} {∞,5,5} {∞,5,6} {∞,5,∞}

{p, 6, r} {p,6} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,6} {2,6,2} {2,6,3} {2,6,4} {2,6,5} {2,6,6} {2,6,∞} {3,6} {3,6,2} {3,6,3} {3,6,4} {3,6,5} {3,6,6} {3,6,∞} {4,6} {4,6,2} {4,6,3} {4,6,4} {4,6,5} {4,6,6} {4,6,∞} {5,6} {5,6,2} {5,6,3} {5,6,4} {5,6,5} {5,6,6} {5,6,∞} {6,6} {6,6,2} {6,6,3} {6,6,4} {6,6,5} {6,6,6} {6,6,∞} {∞,6} {∞,6,2} {∞,6,3} {∞,6,4} {∞,6,5} {∞,6,6} {∞,6,∞}

{p,7,r} {p,7} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,7} {2,7,2} {2,7,3} {2,7,4} {2,7,5} {2,7,6} {2,7,∞} {3,7} {3,7,2} {3,7,3} {3,7,4} {3,7,5} {3,7,6} {3,7,∞} {4,7} {4,7,2} {4,7,3} {4,7,4} {4,7,5} {4,7,6} {4,7,∞} {5,7} {5,7,2} {5,7,3} {5,7,4} {5,7,5} {5,7,6} {5,7,∞} {6,7} {6,7,2} {6,7,3} {6,7,4} {6,7,5} {6,7,6} {6,7,∞} {∞,7} {∞,7,2} {∞,7,3} {∞,7,4} {∞,7,5} {∞,7,6} {∞,7,∞}

{p, 8, r} {p,8} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,8} {2,8,2} {2,8,3} {2,8,4} {2,8,5} {2,8,6} {2,8,∞} {3,8} {3,8,2} {3,8,3} {3,8,4} {3,8,5} {3,8,6} {3,8,∞} {4,8} {4,8,2} {4,8,3} {4,8,4} {4,8,5} {4,8,6} {4,8,∞} {5,8} {5,8,2} {5,8,3} {5,8,4} {5,8,5} {5,8,6} {5,8,∞} {6,8} {6,8,2} {6,8,3} {6,8,4} {6,8,5} {6,8,6} {6,8,∞} {∞,8} {∞,8,2} {∞,8,3} {∞,8,4} {∞,8,5} {∞,8,6} {∞,8,∞}

{p, ∞, r} {p,∞} \ r 2 3 4 5 6 ∞ {2,∞} {2,∞,2} {2,∞,3} {2,∞,4} {2,∞,5} {2,∞,6} {2,∞,∞} {3,∞} {3,∞,2} {3,∞,3} {3,∞,4} {3,∞,5} {3,∞,6} {3,∞,∞} {4,∞} {4,∞,2} {4,∞,3} {4,∞,4} {4,∞,5} {4,∞,6} {4,∞,∞} {5,∞} {5,∞,2} {5,∞,3} {5,∞,4} {5,∞,5} {5,∞,6} {5,∞,∞} {6,∞} {6,∞,2} {6,∞,3} {6,∞,4} {6,∞,5} {6,∞,6} {6,∞,∞} {∞,∞} {∞,∞,2} {∞,∞,3} {∞,∞,4} {∞,∞,5} {∞,∞,6} {∞,∞,∞}

V H nejsou žádné pravidelné hyperbolické hvězdné voštiny³: všechny formy s pravidelným hvězdným mnohostěnem jako buňkou, vrcholnou postavou nebo oběma jsou kulovité.

Čtyři dimenze (5-apeirotopy)

Teselace euklidovského 4-prostoru

Existují tři druhy nekonečných pravidelných mozaikování (voštiny ), které mohou mozaikovat euklidovský čtyřrozměrný prostor:

Předpokládaná část {4,3,3,4} (Tesseractic honeycomb)

Předpokládaná část {3,3,4,3} (16článková plástev)

Předpokládaná část {3,4,3,3} (24článková voština)

Existují také dva nesprávné případy {4,3,4,2} a {2,4,3,4}.

Existují tři ploché pravidelné voštiny euklidovského 4-prostoru:^[18]

• {4,3,3,4}, {3,3,4,3} a {3,4,3,3}.

Existuje sedm plochých pravidelných konvexních voštin hyperbolického 4 prostoru:^[19]

• 5 je kompaktních: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 , 5}
• 2 jsou paracompact: {3,4,3,4} a {4,3,4,3}.

Existují čtyři ploché pravidelné hvězdné voštiny hyperbolického 4 prostoru:^[19]

• {5 / 2,5,3,3}, {3,3,5,5 / 2}, {3,5,5 / 2,5} a {5,5 / 2,5,3}.

Teselace hyperbolického 4-prostoru

Existuje sedm konvexních pravidelných voštiny a čtyři hvězdné voštiny v H⁴ prostor.^[20] Pět konvexních je kompaktní a dva jsou paracompact.

Pět kompaktních pravidelných voštin v H⁴:

Dva paracompactové pravidelné H⁴ voštiny jsou: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

Nekompaktní řešení existují jako Skupiny Lorentzian Coxeter, a lze jej vizualizovat otevřenými doménami v hyperbolickém prostoru (základní 5článková buňka, která má některé části za nekonečnem nepřístupné). Všechny voštiny, které nejsou uvedeny v níže uvedené tabulce a nemají ve svém symbolu Schläfli 2, jsou nekompaktní.

Sférické/Euklidovský/hyperbolický(kompaktní/paracompact/nekompaktní) voštiny {p, q, r, s}
q = 3, s = 3 p 3 4 5 3 {3,3,3,3} {3,3,4,3} {3,3,5,3} 4 {4,3,3,3} {4,3,4,3} {4,3,5,3} 5 {5,3,3,3} {5,3,4,3} {5,3,5,3}	q = 3, s = 4 p 3 4 3 {3,3,3,4} {3,3,4,4} 4 {4,3,3,4} {4,3,4,4} 5 {5,3,3,4} {5,3,4,4}	q = 3, s = 5 p 3 4 3 {3,3,3,5} {3,3,4,5} 4 {4,3,3,5} {4,3,4,5} 5 {5,3,3,5} {5,3,4,5}
q = 4, s = 3 p 3 4 3 {3,4,3,3} {3,4,4,3} 4 {4,4,3,3} {4,4,4,3}	q = 4, s = 4 p 3 4 3 {3,4,3,4} {3,4,4,4} 4 {4,4,3,4} {4,4,4,4}	q = 4, s = 5 p 3 4 3 {3,4,3,5} {3,4,4,5} 4 {4,4,3,5} {4,4,4,5}