Degenerace (matematika) - Degeneracy (mathematics)
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, a zvrhlý případ je omezující případ třídy objektů, které se zdají být kvalitativně odlišné od (a obvykle jednodušší) od zbytku třídy,[1][2] a termín zvrhlost je podmínkou bytí zvrhlého případu.[3]
Definice mnoha tříd složených nebo strukturovaných objektů často implicitně zahrnují nerovnosti. Například úhly a boční délky a trojúhelník mají být pozitivní. Omezujícími případy, kdy se jedna nebo několik z těchto nerovností stávají rovnocennými, jsou degenerace. V případě trojúhelníků má jeden a zdegenerovaný trojúhelník pokud je alespoň jedna délka nebo úhel strany nulová (ekv.), stane se z ní „úsečka“[4]).
Degenerovanými případy jsou často výjimečné případy, kdy dochází ke změnám obvyklých dimenze nebo mohutnost objektu (nebo jeho části). Například trojúhelník je objektem dimenze dva a zdegenerovaný trojúhelník je obsažen v a čára,[4] díky čemuž je jeho rozměr jeden. Je to podobné jako v případě kruhu, jehož dimenze se zmenšuje ze dvou na nulu, když se degeneruje do bodu.[2] Dalším příkladem je sada řešení a soustava rovnic to záleží na parametry obecně má pevnou mohutnost a rozměr, ale mohutnost a / nebo rozměr se mohou u některých výjimečných hodnot, zvaných zvrhlé případy, lišit. V tak zvrhlém případě se říká, že řešení je zvrhlé.
U některých tříd složených objektů degenerované případy závisí na vlastnostech, které jsou konkrétně studovány. Zejména může být třída objektů často definována nebo charakterizována soustavami rovnic. Ve většině scénářů může být daná třída objektů definována několika různými systémy rovnic a tyto různé systémy rovnic mohou vést k různým degenerovaným případům, zatímco charakterizují stejné nedegenerované případy. To může být důvod, proč neexistuje obecná definice degenerace, a to navzdory skutečnosti, že koncept je široce používán a definován (je-li to nutné) v každé konkrétní situaci.
Degenerovaný případ má tedy speciální vlastnosti, díky nimž se stává negenerický. Ne všechny negenerické případy jsou však zdegenerované. Například, pravé trojúhelníky, rovnoramenné trojúhelníky a rovnostranné trojúhelníky jsou negenerické a nedegenerované. Ve skutečnosti degenerované případy často odpovídají singularity, buď v objektu, nebo v některých konfigurační prostor. Například a kuželovitý řez je zdegenerovaný právě tehdy, má-li singulární body (např. bod, čára, protínající se čáry[5]).
V geometrii
Kuželovitý řez
Degenerovaný kuželovitý tvar je kuželovitý řez (druhého stupně rovinná křivka, definovaný a polynomiální rovnice stupně dva), který není neredukovatelná křivka.
- A směřovat je zdegenerovaný kruh, jmenovitě jeden s poloměrem 0.[2]
- The čára je zvrhlý případ a parabola pokud parabola spočívá na a tečná rovina. v inverzní geometrie, linka je zdegenerovaný případ a kruh, s nekonečným poloměrem.
- Dva paralelní čáry také tvoří degenerovanou parabolu.
- A úsečka lze považovat za zvrhlý případ elipsa ve kterém osa semiminoru jde na nulu, ohniska přejděte na koncové body a excentricita jde do jednoho.
- Kruh lze považovat za zdegenerovanou elipsu, jako excentricita blíží 0.[2]
- Elipsa může také degenerovat do jediného bodu.
- A hyperbola může degenerovat do dvou linií, které se kříží v bodě,[1] prostřednictvím rodiny hyperbola, které mají tyto řádky společné asymptoty.
Trojúhelník
- Zdegenerovaný trojúhelník má kolineární vrcholy[4] a nulová oblast, a tak se shoduje s úsekem pokrytým dvakrát (pokud tři vrcholy nejsou všechny stejné; v opačném případě se trojúhelník degeneruje do jediného bodu). Pokud jsou tři vrcholy párově odlišné, má dva úhly 0 ° a jeden úhel 180 °. Pokud jsou dva vrcholy stejné, má jeden úhel 0 ° a dva nedefinované úhly.
Obdélník
- Úsečka je zdegenerovaný případ a obdélník který má stranu délky 0.
- Pro jakoukoli neprázdnou podmnožinu , existuje ohraničený, osově zarovnaný degenerovaný obdélník
Konvexní mnohoúhelník
- A konvexní mnohoúhelník je zdegenerovaný, pokud se alespoň dvě po sobě následující strany shodují alespoň částečně, nebo alespoň jedna strana má nulovou délku, nebo alespoň jeden úhel je 180 °. Takto zdegenerovaný konvexní polygon o n stranách vypadá jako mnohoúhelník s méně stranami. V případě trojúhelníků se tato definice shoduje s definicí uvedenou výše.
Konvexní mnohostěn
- A konvexní mnohostěn je zdegenerovaný, pokud jsou dva sousední aspekty koplanární nebo jsou zarovnány dva okraje. V případě a čtyřstěn, to je ekvivalentní s tvrzením, že všechny vrcholy ležet ve stejném letadlo, dávat to objem nula.
Standardní torus
- V kontextech, kde je povolen vlastní průnik, a koule je zdegenerovaný standardní torus kde osa otáčení prochází středem generující kružnice, spíše než mimo ni.
Koule
- Když poloměr koule klesne na nulu, výsledná zdegenerovaná koule nulového objemu je a směřovat.
jiný
- Vidět obecná pozice pro další příklady.
Někde jinde
- Sada obsahující jediný bod je zdegenerovaná kontinuum.
- Objekty, jako je digon a monogon lze považovat za zvrhlé případy mnohoúhelníky: platí v obecném abstraktním matematickém smyslu, ale není součástí původní euklidovské koncepce polygonů.
- A náhodná proměnná který může mít pouze jednu hodnotu, má a zdegenerovaná distribuce; pokud je touto hodnotou skutečné číslo 0, pak je jeho hustota pravděpodobnosti Diracova delta funkce.
- Kořeny a polynomiální se říká, že jsou degenerovat pokud se shodují, protože obecně n kořeny npolynom tého stupně jsou všechny odlišné.[2] Toto použití se přenáší na vlastní problémy: zdegenerovaný vlastní číslo (tj. vícenásobně se shodující kořen charakteristický polynom ) je ten, který má více než jednu lineárně nezávislou vlastní vektor.
- v kvantová mechanika, jakýkoli takový multiplicita v vlastních hodnotách Hamiltonovský operátor dává vzniknout zdegenerované energetické hladiny. Jakákoli taková degenerace obvykle naznačuje nějaké základní symetrie v systému.
Viz také
- Degenerace (teorie grafů)
- Degenerovaná forma
- Triviální (matematika)
- Patologická (matematika)
- Nejasná pravda
Reference
- ^ A b „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - degenerovaný případ“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-11-29.
- ^ A b C d E Weisstein, Eric W. "Degenerovat". mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-11-29.
- ^ „Definice DEGENERACY“. www.merriam-webster.com. Citováno 2019-11-29.
- ^ A b C „Mathwords: Degenerate“. www.mathwords.com. Citováno 2019-11-29.
- ^ „Mathwords: Degenerate Conic Sections“. www.mathwords.com. Citováno 2019-11-29.