Order-4 oktaedrický plástev - Order-4 octahedral honeycomb

Order-4 oktaedrický plástev
Perspektivní projekce Pohled v rámci Poincaré model disku
Typ	Hyperbolický pravidelný plástev Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	{3,4,4} {3,4^1,1}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔
Buňky	{3,4}
Tváře	trojúhelník {3}
Postava hrany	náměstí {4}
Vrcholová postava	čtvercové obklady, {4,4}
Dvojí	Čtvercový obklad voštinový, {4,4,3}
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [3,4,4] ${ displaystyle { overline {O}} _ {3}}$ , [3,4^1,1]
Vlastnosti	Pravidelný

The řád-4 oktaedrický plástev je běžný paracompaktní plástev v hyperbolický 3-prostor. to je paracompact protože to má nekonečno vrcholové postavy, se všemi vrcholy jako ideální body v nekonečnu. Dána Schläfliho symbol {3,4,4}, má čtyři ideál oktaedra kolem každého okraje a nekonečný osmistěn kolem každého vrcholu v a čtvercové obklady vrchol obrázek.^[1]

A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako běžné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

Symetrie

Konstrukce poloviční symetrie, [3,4,4,1⁺], existuje jako {3,4^1,1}, se dvěma střídavými typy (barvami) oktaedrických buněk: ↔ .

Druhá polovina symetrie je [3,4,1⁺,4]: ↔ .

Vyšší subsymetrie indexu, [3,4,4^*], což je index 8, existuje s pyramidovou základní doménou, [((3, ∞, 3)), ((3, ∞, 3))]: .

Tento plástev obsahuje a ta taška 2-hypercyklus povrchy, které jsou podobné paracompactu nekonečné řádové trojúhelníkové obklady a , respektive:

Související polytopy a voštiny

Oktaedrický plást řádu 4 je a pravidelný hyperbolický plástev ve 3-prostoru a je jednou z jedenácti běžných paracompaktních voštin.

11 paracompact pravidelných voštin
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Existují patnáct uniformních voštin v [3,4,4] Skupina coxeterů rodina, včetně této pravidelné formy.

[4,4,3] rodinné voštiny
{4,4,3}	r {4,4,3}	t {4,4,3}	rr {4,4,3}	t_0,3{4,4,3}	tr {4,4,3}	t_0,1,3{4,4,3}	t_0,1,2,3{4,4,3}


{3,4,4}	r {3,4,4}	t {3,4,4}	rr {3,4,4}	2t {3,4,4}	tr {3,4,4}	t_0,1,3{3,4,4}	t_0,1,2,3{3,4,4}

Je součástí řady voštin s a čtvercové obklady vrchol obrázek:

{p, 4,4} voštiny [ proti t E ]
Prostor	E³	H³
Formulář	Afinní	Paracompact		Nekompaktní
název	{2,4,4}	{3,4,4}	{4,4,4}	{5,4,4}	{6,4,4}	..{∞,4,4}
Coxeter
obraz
Buňky	{2,4}	{3,4}	{4,4}	{5,4}	{6,4}	{∞,4}

Je součástí posloupnosti běžná polychora a voštiny s osmistěn buňky:

{3,4, p} mnohostěnů
Prostor	S³	H³
Formulář	Konečný	Paracompact	Nekompaktní
název	{3,4,3}	{3,4,4}	{3,4,5}	{3,4,6}	{3,4,7}	{3,4,8}	... {3,4,∞}
obraz
Vrchol postava	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}	{4,∞}

Rektifikovaná objednávka-4 oktaedrický plástev

Rektifikovaná objednávka-4 oktaedrický plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	r {3,4,4} nebo t₁{3,4,4}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔
Buňky	r {4,3} {4,4}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	hranatý hranol
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [3,4,4] ${ displaystyle { overline {O}} _ {3}}$ , [3,4^1,1]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The opravený řád - 4 oktaedrický plástev, t₁{3,4,4}, má cuboctahedron a čtvercové obklady fazety, s a hranatý hranol vrchol obrázek.

Zkrácený oktaedrický plástev řádu 4

Zkrácený oktaedrický plástev řádu 4
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	t {3,4,4} nebo t_0,1{3,4,4}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔
Buňky	t {3,4} {4,4}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	čtvercová pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [3,4,4] ${ displaystyle { overline {O}} _ {3}}$ , [3,4^1,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The zkrácený oktaedrický plástev řádu 4, t_0,1{3,4,4}, má zkrácený osmistěn a čtvercové obklady fazety, s a čtvercová pyramida vrchol obrázek.

Bitúmenovaný oktaedrický plástev řádu 4

The bitruncated order-4 octahedral honeycomb je stejný jako bitruncated náměstí obklady plástev.

Kanylovaný oktaedrický plástev řádu 4

Kanylovaný oktaedrický plástev řádu 4
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	rr {3,4,4} nebo t_0,2{3,4,4} s₂{3,4,4}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	rr {3,4} {} x4 r {4,4}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	klín
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [3,4,4] ${ displaystyle { overline {O}} _ {3}}$ , [3,4^1,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantellated order-4 octahedral honeycomb, t_0,2{3,4,4}, má kosočtverec, krychle, a čtvercové obklady fazety, s a klín vrchol obrázek.

Cantitruncated objednávka-4 oktaedrický plástev

Cantitruncated objednávka-4 oktaedrický plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	tr {3,4,4} nebo t_0,1,2{3,4,4}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	tr {3,4} {} x {4} t {4,4}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	zrcadlový sfénoid
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [3,4,4] ${ displaystyle { overline {O}} _ {3}}$ , [3,4^1,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantitruncated order-4 octahedral honeycomb, t_0,1,2{3,4,4}, má zkrácený cuboctahedron, krychle, a zkrácený čtvercový obklad fazety, s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.

Runcinated order-4 octahedral honeycomb

The runcinated order-4 octahedral honeycomb je stejný jako runcinated square obklady plástev.

Runcitruncated objednávka-4 oktaedrický plástev

Runcitruncated order-4 octahedral honeycomb
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	t_0,1,3{3,4,4}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	t {3,4} {6} x {} rr {4,4}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	čtvercová pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [3,4,4]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcitruncated order-4 octahedral honeycomb, t_0,1,3{3,4,4}, má zkrácený osmistěn, šestihranný hranol, a čtvercové obklady fazety, s a čtvercová pyramida vrchol obrázek.

Runcicantellated order-4 octahedral honeycomb

The runcicantellated order-4 octahedral honeycomb je stejný jako runcitruncated čtvercový obkladový plástev.

Omnitruncated order-4 octahedral honeycomb

The všesměrová objednávka-4 oktaedrický plástev je stejný jako všestranný čtvercový obkladový plástev.

Snub order-4 octahedral honeycomb

Snub order-4 octahedral honeycomb
Typ	Paracompact scaliform voštinový
Schläfliho symboly	s {3,4,4}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔
Buňky	čtvercové obklady dvacetistěnu čtvercová pyramida
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava
Skupiny coxeterů	[4,4,3⁺] [4^1,1,3⁺] [(4,4,(3,3)⁺)]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The snub order-4 octahedral honeycomb, s {3,4,4}, má Coxeterův diagram . Je to včelí plástev, s čtvercová pyramida, čtvercové obklady, a dvacetistěnu fazety.

Viz také

Reference

^ Coxeter Krása geometrie, 1999, kapitola 10, tabulka III

Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
Krása geometrie: Dvanáct esejů (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Kapitola 10, Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru ) Tabulka III
Jeffrey R. Weeks Tvar vesmíru, 2. vydání ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitola 16-17: Geometrie na trojnásobném potrubí I, II)
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
- N.W. Johnson: Geometrie a transformace(2015) Kapitola 13: Skupiny hyperbolických coxeterů
- Norman W. Johnson a Asia Ivic Weiss Kvadratická celá čísla a skupiny coxeterů PDF Umět. J. Math. Sv. 51 (6), 1999, s. 1307–1336

[1] Coxeter Krása geometrie, 1999, kapitola 10, tabulka III

[1]