Schlegelův diagram - Schlegel diagram

Příklady zabarvené počtem stran na každé ploše. Žlutá trojúhelníky, Červené čtverce a zelená pětiúhelníky.

A tesseract promítnutý do 3-prostoru jako Schlegelův diagram. Je jich 8 kubické buňky viditelné: vnější buňka, do které se promítají ostatní, jedna pod každou ze šesti vnějších ploch a jedna ve středu.

Různé vizualizace dvacetistěnu

v geometrie, a Schlegelův diagram je projekce a polytop z ${extstyle mathbb {R} ^ {d}}$ do ${extstyle mathbb {R} ^ {d-1}}$ přes a směřovat těsně mimo jeden z jeho fazety. Výsledná entita je a polytopální dělení fazety v ${extstyle mathbb {R} ^ {d-1}}$ který je spolu s původní fazetou kombinačně ekvivalentní původnímu mnohostěnu. Diagram je pojmenován pro Victor Schlegel, který v roce 1886 představil tento nástroj pro studium kombinační a topologické vlastnosti polytopů. v dimenze 3 je Schlegelův diagram projekcí a mnohostěn do letadlo obrázek; v dimenze 4, je to projekce a 4-mnohostěn na 3-prostor. Schlegelovy diagramy se běžně používají jako prostředek vizualizace čtyřrozměrný polytopes.

Konstrukce

Nejzákladnější Schlegelův diagram, mnohostěn, popsal Duncan Sommerville jak následuje:^[1]

Velmi užitečnou metodou reprezentace konvexního mnohostěnu je projekce rovinou. Pokud se promítá z libovolného vnějšího bodu, protože každý paprsek jej dvakrát prořízne, bude reprezentován polygonální oblastí rozdělenou dvakrát na mnohoúhelníky. Vhodnou volbou středu promítání je vždy možné, aby promítání jedné plochy zcela obsahovalo projekce všech ostatních ploch. Tomu se říká a Schlegelův diagram mnohostěnu. Schlegelův diagram zcela představuje morfologii mnohostěnu. Někdy je vhodné promítnout mnohostěn z vrcholu; tento vrchol je promítnut do nekonečna a v diagramu se neobjevuje, jeho hrany jsou reprezentovány přímkami nakreslenými směrem ven.

Sommerville rovněž zvažuje případ a simplexní ve čtyřech rozměrech:^[2] „Schlegelův diagram simplexu v S₄ je čtyřstěn rozdělena na čtyři čtyřstěny. “Obecněji řečeno, mnohostěn v n-dimenzích má Schegelův diagram konstruovaný perspektivní projekce při pohledu z bodu vně polytopu nad středem fazety. Všechny vrcholy a hrany mnohostěnu se promítnou na a nadrovina toho aspektu. Pokud je mnohostěn konvexní, bude existovat bod poblíž fazety, který mapuje fazetu vně a všechny ostatní fazety uvnitř, takže v projekci není třeba protínat žádné hrany.

Příklady

Dodecahedron	Dodecaplex
12 pětiúhelníkových ploch v rovině	120 dodekaedrických buněk ve 3 prostoru

Viz také

Síť (mnohostěn) - Odlišným přístupem k vizualizaci snížením dimenze mnohostěnu je vytvoření sítě, odpojení fazet a odvíjející se dokud fazety nemohou existovat na jedné nadrovině. To udržuje geometrické měřítko a tvar, ale topologické spojení je těžší vidět.

Reference

^ Duncan Sommerville (1929). Úvod do geometrie N rozměrů, s. 100. E. P. Dutton. Dotisk 1958 od Dover Books.
^ Sommerville (1929), s. 101.

Další čtení

Victor Schlegel (1883) Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde, Nova Acta, Ksl. Leop.-Carol. Deutsche Akademie der Naturforscher, Band XLIV, Nr. 4, Druck von E. Blochmann & Sohn v Drážďanech. [1]
Victor Schlegel (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper, Waren.
Coxeter, H.S.M.; Pravidelné Polytopes (Methuen and Co., 1948). (str. 242)
- Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8
Grünbaum, Branko (2003), Kaibel, Volker; Klee, Victor; Ziegler, Günter M. (eds.), Konvexní polytopy (2. vyd.), New York a Londýn: Springer-Verlag, ISBN 0-387-00424-6.

externí odkazy

[1] Duncan Sommerville (1929). Úvod do geometrie N rozměrů, s. 100. E. P. Dutton. Dotisk 1958 od Dover Books.

[2] Sommerville (1929), s. 101.

[1]

[2]