Horocykl - Horocycle - Wikipedia

Modrý horocykl v Poincaré model disku a některé červené normály. Normály konvergují asymptoticky k horní střední části ideální bod.

v hyperbolická geometrie, a horocykl (řecký: ὅριον + κύκλος - ohraničení + kruh, někdy nazývané jako kolo, kruhnebo mezní kruh) je křivka, jejíž normální nebo kolmý všechny geodézie se asymptoticky sbíhají stejným směrem. Jedná se o dvourozměrný příklad a horosféra (nebo sféra).

Středem horocyklu je ideální bod kde se všechny normální geodetiky asymptoticky sbíhají. Dva horocykly, které mají stejný střed, jsou koncentrický I když to vypadá, že dva soustředné horocykly nemohou mít stejnou délku nebo zakřivení, ve skutečnosti jsou dva horocykly shodný.

Horocykl lze také popsat jako limit kružnic, které sdílejí tečnu v daném bodě, protože jejich poloměry směřují k nekonečno. v Euklidovská geometrie, takový „kruh nekonečného poloměru“ by byl přímkou, ale v hyperbolické geometrii je to horocykl (křivka).

Z konvexní strany je horocykl aproximován hypercykly jejichž vzdálenosti od jejich osy směřují k nekonečnu.

Vlastnosti

Skrz každý pár bodů jsou 2 horocykly. Středy horocyklů jsou ideálními body kolmého půlícího řezu úseku mezi nimi.
Žádné tři body horocyklu nejsou na přímce, kruhu nebo hypercyklu.
A přímka, kruh, hypercyklus, nebo jiný horocykl prořízne horocykl ve maximálně dvou bodech.
Kolmá osa a akord horocyklu je normální horocyklu a půlí oblouk podřízený akordem.
The délka oblouku horocyklu mezi dvěma body je:

delší než délka úsečky mezi těmito dvěma body,

delší než délka oblouku hypercyklu mezi těmito dvěma body a

kratší než délka jakéhokoli oblouku kružnice mezi těmito dvěma body.

Vzdálenost od horocyklu do jeho středu je nekonečná a zatímco u některých modelů hyperbolické geometrie to vypadá, že se dva „konce“ horocyklu přibližují a přibližují k sobě a blíže k jeho středu, není to pravda; dva "konce" horocyklu se dostávají stále více od sebe.
Pravidelný apeirogon je ohraničen buď horocyklem nebo hypercyklem.
Li C je středem horocyklu a A a B jsou body na horocyklu, pak úhly KABINA a CBA jsou rovny.^[1]
Oblast sektoru horocyklu (oblast mezi dvěma poloměry a horocyklem) je konečná.^[2]

Standardizované Gaussovo zakřivení

Když má hyperbolická rovina standardizovanou Gaussovo zakřivení K. z -1:

The délka s oblouku horocyklu mezi dvěma body je:

{ displaystyle s = 2 sinh left ({ frac {1} {2}} d right) = { sqrt {2 ( cosh d-1)}}}

kde d je vzdálenost mezi dvěma body a sinh a cosh jsou hyperbolické funkce.^[3]

Délka oblouku horocyklu taková, že tečna na jednom konci je omezující paralelně do poloměru přes druhou končetinu je 1.^[4] oblast uzavřená mezi tímto horocyklem a poloměry je 1.^[5]
Poměr délek oblouku mezi dvěma poloměry dvou soustředných horocyklů, kde jsou horocykly ve vzdálenosti 1 od sebe, je E : 1.^[6]

Reprezentace v modelech hyperbolické geometrie

The objednávka 3 apeirogonal obklady, {∞, 3}, vyplňuje hyperbolickou rovinu pomocí apeirogony jejichž vrcholy existují podél horocyklických cest.

Poincaré model disku

V Poincaré model disku hyperbolické roviny jsou horocykly reprezentovány kruhy tečna do hraničního kruhu je střed horocyklu ideálním bodem, kde se horocykl dotýká hraničního kruhu.

The konstrukce kompasu a pravítka dvou horocyklů ve dvou bodech je stejná konstrukce CPP konstrukce pro Zvláštní případy Apollónova problému kde oba body jsou uvnitř kruhu.

Poincarého polorovinový model

V Poincarého polorovinový model, horocykly jsou reprezentovány kružnicemi tečnami k hraniční čáře, v takovém případě je jejich střed ideálním bodem, kde se kružnice dotýká hraniční čáry.

Když je střed horocyklu ideálním bodem v ${ displaystyle y = infty}$ pak je horocykl čára rovnoběžná s hraniční čárou.

The konstrukce kompasu a pravítka v prvním případě je stejná konstrukce jako konstrukce LPP pro Zvláštní případy Apollónova problému.

Hyperboloidní model

V hyperboloidní model jsou reprezentovány průsečíky hyperboloidu s rovinami, jejichž normální leží v asymptotickém kuželu.

Metrický

Pokud je metrika normalizována na Gaussovo zakřivení −1, pak je horocyklus křivkou geodetické zakřivení 1 v každém bodě.

Viz také

Kruhy viděné v Apollonian těsnění které jsou tečny k vnějšímu kruhu, lze považovat za horocykly v a Poincaré model disku

Reference

^ Sossinsky, A.B. (2012). Geometrie. Providence, R.I .: American Mathematical Society. 141–2. ISBN 9780821875711.
^ Coxeter, H.S.M. (1998). Neeuklidovská geometrie (6. vyd.). Washington, DC: Mathematical Assoc. Ameriky. str.243 –244. ISBN 978-0-88385-522-5.
^ Smogorzhevsky (1976). Lobachevskian geometrie. Moskva: Mir. str. 65.
^ Sommerville, D.M.Y. (2005). Prvky neeuklidovské geometrie (Unabr. A nezměněné vydání ed.). Mineola, NY: Dover Publications. str. 58. ISBN 0-486-44222-5.
^ Coxeter, H.S.M. (1998). Neeuklidovská geometrie (6. vyd.). Washington, DC: Mathematical Assoc. Ameriky. str.250. ISBN 978-0-88385-522-5.
^ Sommerville, D.M.Y. (2005). Prvky neeuklidovské geometrie (Unabr. A nezměněné vydání ed.). Mineola, NY: Dover Publications. str. 58. ISBN 0-486-44222-5.

H. S. M. Coxeter (1961) Úvod do geometrie, §16.6: „Kruhy, horocykly a ekvidistantní křivky“, strana 300, 1, John Wiley & Sons.
Čtyři sloupy geometrie str. 198

[1] Sossinsky, A.B. (2012). Geometrie. Providence, R.I .: American Mathematical Society. 141–2. ISBN 9780821875711.

[2] Coxeter, H.S.M. (1998). Neeuklidovská geometrie (6. vyd.). Washington, DC: Mathematical Assoc. Ameriky. str.243 –244. ISBN 978-0-88385-522-5.

[3] Smogorzhevsky (1976). Lobachevskian geometrie. Moskva: Mir. str. 65.

[4] Sommerville, D.M.Y. (2005). Prvky neeuklidovské geometrie (Unabr. A nezměněné vydání ed.). Mineola, NY: Dover Publications. str. 58. ISBN 0-486-44222-5.

[5] Coxeter, H.S.M. (1998). Neeuklidovská geometrie (6. vyd.). Washington, DC: Mathematical Assoc. Ameriky. str.250. ISBN 978-0-88385-522-5.

[6] Sommerville, D.M.Y. (2005). Prvky neeuklidovské geometrie (Unabr. A nezměněné vydání ed.). Mineola, NY: Dover Publications. str. 58. ISBN 0-486-44222-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]