Sedmiúhelník - Heptagon
Pravidelný sedmiúhelník | |
---|---|
![]() Pravidelný sedmiúhelník | |
Typ | Pravidelný mnohoúhelník |
Hrany a vrcholy | 7 |
Schläfliho symbol | {7} |
Coxeterův diagram | ![]() ![]() ![]() |
Skupina symetrie | Vzepětí (D.7), objednat 2 × 7 |
Vnitřní úhel (stupňů ) | ≈128.571° |
Duální mnohoúhelník | Já |
Vlastnosti | Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální |
v geometrie, a sedmiúhelník je sedmistranný polygon nebo 7-gon.
Sedmiúhelník je někdy označován jako septagonpomocí „sept-“ (an elize z septua-, a latinský -odvozený číselná předpona, spíše než hepta-, a řecký - odvozená číselná předpona; oba jsou příbuzní) spolu s řeckou příponou „-agon“, což znamená úhel.
Pravidelný sedmiúhelník
A pravidelný sedmiúhelník, ve kterém jsou všechny strany a všechny úhly stejné, má vnitřní úhly 5π / 7 radiány (1284⁄7 stupňů ). Své Schläfliho symbol je {7}.
Plocha
Oblast (A) pravidelného sedmiúhelníku o délce strany A darováno:
To lze vidět rozdělením jednostranného sedmiúhelníku na sedm trojúhelníkových „koláčových řezů“ s vrcholy ve středu a na vrcholech sedmiúhelníku a následným rozpolením každého trojúhelníku pomocí apothem jako společná strana. Apothem je poloviční kotangens a plocha každého ze 14 malých trojúhelníků je jednou čtvrtinou apothemu.
Přesný algebraický výraz, počínaje kubický polynom 8X3 + 4X2 − 4X − 1 (z nichž jeden kořeny je )[1] je uveden v komplexní čísla podle:
ve kterém se imaginární části navzájem kompenzují a zanechávají výraz se skutečnou hodnotou. Tento výraz nelze algebraicky přepsat bez složitých komponent, protože je uvedeno kubická funkce je casus irreducibilis.
Oblast pravidelného sedmiúhelníku napsaný v kruhu poloměr R je zatímco samotná plocha kruhu je pravidelný sedmiúhelník tedy vyplňuje přibližně 0,8710 svého opsaná kružnice.
Konstrukce
Protože 7 je a Pierpont prime ale ne Fermat prime, pravidelný sedmiúhelník není konstruovatelný s kompas a pravítko ale je konstruovatelný s vyznačeným pravítko a kompas. Jedná se o nejmenší pravidelný mnohoúhelník s touto vlastností. Tento typ konstrukce se nazývá a konstrukce neusis. Je také konstruovatelný pomocí kompasu, pravítka a úhlového trisektoru. Z pozorování vyplývá nemožnost konstrukce pravítka a kompasu je nula z neredukovatelné krychlový X3 + X2 − 2X − 1. V důsledku toho je tento polynom minimální polynom 2cos (2π⁄7), zatímco stupeň minimálního polynomu pro a konstruovatelné číslo musí být síla 2.
![]() A konstrukce neusis vnitřního úhlu v pravidelném sedmiúhelníku. | ![]() Animace z konstrukce neusis s poloměrem kružnice , podle Andrew M. Gleason[1] založeno na úhlová trisekce prostřednictvím Tomahavk. Tato konstrukce se spoléhá na to, že |

Animace z a konstrukce neusis s označeným pravítkem, podle Davida Johnsona Leiska (Crockett Johnson ),[2] pauza na konci 30 s.
Gerard 't Hooft ukazuje pravidelný sedmiúhelník vyrobený pouze z 15 proužků Meccano s tyčemi velikosti 8 a 11.[3]

Konstrukce obsahuje dva rovnoramenné trojúhelníky, které drží zbytek tyčí pevně. Pravidelná sedmiúhelníková strana A, kratší rovnoramenná strana trojúhelníku Ea delší rovnoramenná strana trojúhelníku d uspokojit
Z toho je odvozen vzorec Heptagonální trojúhelník vzorec:
Malé možné konstrukce sedmiúhelníků:
Sedmiúhelník | A | d | E |
---|---|---|---|
1 | 3 | 4 | 1 |
2 | 8 | 11 | 6 |
3 | 33 | 46 | 29 |
4 | 40 | 53 | 6 |
5 | 55 | 74 | 27 |
Nejmenší sedmiúhelník meccano 1:
Přiblížení
Na obrázku je uvedena aproximace pro praktické použití s chybou asi 0,2%. Je to přičítáno Albrecht Dürer.[4] Nechat A leží na obvodu hýždě. Nakreslete oblouk BOC. Pak udává přiblížení k okraji sedmiúhelníku.
Tato aproximace používá pro stranu sedmiúhelníku zapsanou v jednotkovém kruhu, zatímco přesná hodnota je .
Příklad pro ilustraci chyby:
V opsaném poloměru kruhu r = 1 m, absolutní chyba 1. strany by byla přibližně -1,7 mm

Konstrukci aproximace mekacana lze vytvořit s jedenácti pruhy velikostí 20, 36 a 45. Tyto hodnoty zanechávají chybu kolem 0,1%.
Symetrie

The pravidelný sedmiúhelník patří do D7h bodová skupina (Schoenflies notace ), řád 28. Prvky symetrie jsou: 7násobná správná osa otáčení C7, sedminásobná nesprávná osa otáčení, S7, 7 vertikálních rovin zrcadlení, σproti, 7 2násobných os rotace, C2, v rovině sedmiúhelníku a vodorovné rovině zrcadla, σh, také v rovině sedmiúhelníku.[6]
Úhlopříčky a sedmiboký trojúhelník

Pravidelná sedmiúhelníková strana A, kratší úhlopříčka ba delší úhlopříčka C, s A<b<C, uspokojit[7]:Lemma 1
- (dále jen optická rovnice )
a tudíž
a[7]:Coro. 2
Tím pádem -b/C, C/A, a A/b všichni uspokojí kubická rovnice Ne algebraické výrazy s čistě reálnými pojmy existují pro řešení této rovnice, protože je příkladem casus irreducibilis.
Přibližné délky úhlopříček z hlediska strany pravidelného sedmiúhelníku jsou dány vztahem
Také máme[8]
a
A sedmiúhelníkový trojúhelník má vrcholy shodující se s prvním, druhým a čtvrtým vrcholem pravidelného sedmiúhelníku (z libovolného počátečního vrcholu) a úhlů a Jeho strany se tedy shodují s jednou stranou a dvěma konkrétními úhlopříčky pravidelného sedmiúhelníku.[7]
Hvězdné sedmiúhelníky
Dva druhy hvězdných sedmiúhelníků (heptagramy ) lze zkonstruovat z běžných sedmiúhelníků označených Schläfliho symboly {7/2} a {7/3} s dělitel je interval připojení.
Modré, {7/2} a zelené {7/3} hvězdné sedmiúhelníky uvnitř červeného sedmiúhelníku.
Empirické příklady

Spojené království má v současné době (2020) dva sedmiúhelníky mince, 50p a 20p kousky a Barbados Dolar je také sedmiúhelníkový. 20-eurocentová mince má dutiny umístěné podobně. Striktně je tvar mincí a Sedmiúhelník Reuleaux, a křivočarý sedmiúhelník k jejich výrobě křivky konstantní šířky: strany jsou zakřivené směrem ven, aby se mince po vložení do a hladce odvalila prodejní automat. Botswana pula mince v nominálních hodnotách 2 Pula, 1 Pula, 50 Thebe a 5 Thebe jsou také tvarovány jako sedmiúhelníky s rovnostrannou křivkou. Mince ve tvaru sedmiúhelníků Reuleaux jsou také v oběhu na Mauriciu, Spojených arabských emirátech, Tanzanii, Samoi, Papui-Nové Guineji, Svatém Tomáše a Princova ostrova, Haiti, Jamajce, Libérie, Ghany, Gambie, Jordánska, Jersey, Guernsey, ostrova Man, Gibraltar, Guyana, Šalamounovy ostrovy, Falklandské ostrovy a Svatá Helena. 1000 Kwacha mince Zambie je skutečný sedmiúhelník.
The brazilský 25-centová mince má sedmiúhelník vepsaný do disku mince. Některé staré verze erb Gruzie, včetně v Sovětské dny, jako prvek použil heptagram {7/2}.
V architektuře jsou heptagonální půdorysy velmi vzácné. Pozoruhodným příkladem je Mauzoleum knížete Ernsta v Stadthagen, Německo.
Mnoho policejních odznaků v USA má heptagramový obrys {7/2}.
Kromě sedmihranný hranol a sedmihranný antiprism, žádný konvexní mnohostěn vyrobený zcela z pravidelných mnohoúhelníků neobsahuje sedmiúhelník jako tvář.
Pravidelné sedmiúhelníky mohou obkládat hyperbolická rovina, jak je znázorněno v tomto Poincaré model disku projekce:
Grafy
K7 kompletní graf je často kreslen jako pravidelný sedmiúhelník se všemi 21 spojenými hranami. Tento graf také představuje pravopisná projekce ze 7 vrcholů a 21 okrajů 6-simplexní. The pravidelný zkosený mnohoúhelník po obvodu se nazývá Petrie polygon.
![]() 6-simplexní (6D) |
Sedmiúhelník v přírodě
Viz také
Reference
- ^ A b Gleason, Andrew Mattei (březen 1988). „Úhlová trisekce, sedmiúhelník a triskaidekagon str. 186 (obr. 1) –187“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624. Archivovány od originál (PDF) dne 19. prosince 2015.
- ^ Weisstein, Eric W. "Heptagon." Od MathWorld, webového zdroje Wolfram.
- ^ Gerard 't Hooft. "Meccano Mathematics I"
- ^ G.H. Hughes, „Polygony Albrechta Dürera-1525, Pravidelný sedmiúhelník“, obr. 11 strana sedmiúhelníku (7) obr. 15, obrázek na levé straně, získaný dne 4. prosince 2015
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Symetrie věcí, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 20, Zobecněné Schaefliho symboly, Typy symetrie polygonu, str. 275-278)
- ^ Salthouse, J. A.; Ware, M. J. (1972). Tabulky znaků skupiny bodů a související data. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0 521 08139 4.
- ^ A b C Abdilkadir Altintas, „Některé kolinearity v sedmibokém trojúhelníku“, Fórum Geometricorum 16, 2016, 249–256.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
- ^ Leon Bankoff a Jack Garfunkel, „sedmiboký trojúhelník“, Matematický časopis 46 (1), leden 1973, 7–19.
externí odkazy
- Definice a vlastnosti sedmiúhelníku S interaktivní animací
- Heptagon podle Johnsona
- Další přibližná konstrukční metoda
- Polygony - sedmiúhelníky
- Nedávno objevená a vysoce přesná aproximace pro konstrukci pravidelného sedmiúhelníku.
- Heptagon, přibližná konstrukce jako animace
- Sedmiúhelník s danou stranou, přibližná konstrukce jako animace