Plástev (geometrie) - Honeycomb (geometry)

kubický plástev

v geometrie, a plástev je vyplňování prostoru nebo zavřít balení z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů. Jeho rozměr lze objasnit jako n- plástev pro voštinu n-rozměrný prostor.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský („plochý“) prostor. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

Je možné letadlo naplnit mnohoúhelníky které se nesetkávají na svých rozích, například pomocí obdélníky, jako v a cihlový vzor stěny: toto není správná dlažba, protože rohy leží částečně podél okraje sousedního mnohoúhelníku. Podobně ve správném plástve nesmí být žádné hrany nebo vrcholy ležící částečně podél tváře sousední buňky. Interpretace každé cihlové tváře jako a šestiúhelník mít dva vnitřní úhly 180 stupňů umožňuje, aby byl vzor považován za správný obklad. Ne všichni geometři však takové šestiúhelníky akceptují.

Klasifikace

Existuje nekonečně mnoho voštin, které byly klasifikovány pouze částečně. O pravidelnější se zajímal největší zájem, zatímco bohatý a rozmanitý sortiment dalších se stále objevuje.

Nejjednodušší voštiny, které se vytvářejí, jsou tvořeny skládanými vrstvami nebo desky z hranoly na základě některých mozaikování letadla. Zejména pro každého rovnoběžnostěn, kopie mohou vyplnit prostor pomocí kubický plástev být výjimečný, protože je jediný pravidelný plástev v běžném (euklidovském) prostoru. Další zajímavou rodinou je Hill čtyřstěn a jejich zevšeobecnění, která mohou také pokrýt prostor.

Jednotné 3 voštiny

Trojrozměrný jednotný plástev je včelí plást 3-prostor složen z jednotný mnohostěn buňky, a mít všechny vrcholy stejné (tj. skupina [izometrií 3-prostoru, které zachovávají obklady) je tranzitivní na vrcholech ). Existuje 28 konvexní příklady v euklidovském 3-prostoru,^[1] také volal Archimedovy voštiny.

Volá se plástev pravidelný pokud skupina izometrií zachovávající obklady působí přechodně na vlajky, kde a vlajka je vrchol ležící na okraji ležící na tváři ležící na buňce. Každý běžný plástev je automaticky jednotný. V euklidovském 3prostoru je však jen jeden pravidelný plástev, tzv kubický plástev. Dva jsou quasiregular (vyrobeno ze dvou typů pravidelných buněk):

Typ	Pravidelný kubický plástev	Kvaziregulární voštiny
Buňky	Krychlový	Octahedra a čtyřstěn
Vrstva desky

The čtyřstěnný-oktaedrický plástev a kroucené čtyřboká-oktaedrické voštiny jsou generovány 3 nebo 2 pozicemi deskové vrstvy buněk, přičemž každá střídá čtyřstěn a osmistěn. Nekonečné množství jedinečných voštin lze vytvořit vyšším řádem vzorů opakování těchto vrstev desek.

Mnohostěn vyplňující prostor

Říká se, že včelí plást, který má všechny buňky shodné ve své symetrii buněčně tranzitivní nebo izochorický. V trojrozměrném euklidovském prostoru se říká, že buňka takového pláství je a vesmírný mnohostěn.^[2] A nutná podmínka pro mnohostěn být mnohostěn vyplňujícím prostor je to jeho Dehn invariant musí být nula,^[3][4] vyloučení kteréhokoli z Platonické pevné látky jiné než kostka.

Pět mnohostěnů vyplňujících prostor může mozaikovat trojrozměrný euklidovský prostor pouze pomocí překladů. Se nazývají rovnoběžník:

1. Krychlový plástev (nebo varianty: kvádr, kosočtverečný šestistěn nebo rovnoběžnostěn )
2. Šestihranný hranolový plástev^[5]
3. Kosočtverečný dodekahedrální plástev
4. Prodloužený dodekaedrický plástev^[6]
5. Bitrunkovaný krychlový plástev nebo zkrácená oktaedra^[7]

kubický plástev	Šestihranný hranolový plástev	Kosočtverečná dodekahedra	Prodloužená dodekahedra	Zkrácená oktaedra
Krychle (rovnoběžnostěn)	Šestihranný hranol	Kosočtverečný dvanáctistěn	Prodloužený dvanáctistěn	Zkrácený osmistěn
3 délky hran	3 + 1 délky hran	4 délky hran	4 + 1 délky hran	6 délek hran

Mezi další známé příklady mnohostěnů vyplňujících prostor patří:

• The trojúhelníkový hranolový plástev
• The kroucený trojúhelníkový hranolový plástev
• The triakis zkrácený čtyřboký plástev. Voronoiové buňky atomů uhlíku v diamantu jsou tohoto tvaru.^[8]
• The lichoběžníkovitý dodekahedrální plástev^[9]
• Isohedral obklady^[10]

Jiné voštiny se dvěma nebo více mnohostěnmi

Někdy dva ^[11] nebo více různých mnohostěnů může být kombinováno k vyplnění prostoru. Kromě mnoha jednotných voštin je dalším dobře známým příkladem Weaire – Phelan struktura, převzato ze struktury krystalů hydrátu klatrátu ^[12]

Weaire – Phelan struktura (Se dvěma typy buněk)

Konvexní 3-voštiny

Dokumentované příklady jsou vzácné. Lze rozlišit dvě třídy:

• Nekonvexní buňky, které se balí bez překrývání, analogicky k naklonění konkávních polygonů. Tyto zahrnují balení malého hvězdný dodecahedron, jako v Kostka Yoshimoto.
• Překrývající se buňky, jejichž kladná a záporná hustota se „ruší“ a vytvářejí rovnoměrně husté kontinuum, obdobně jako překrývající se naklonění roviny.

Hyperbolické voštiny

V trojrozměrném hyperbolický prostor, vzepětí úhel mnohostěn závisí na jeho velikosti. Pravidelné hyperbolické voštiny tedy zahrnují dva se čtyřmi nebo pěti dodekahedra setkání na každém okraji; jejich dihedrální úhly jsou tedy π / 2 a 2π / 5, oba jsou menší než úhel euklidovského dodekaedru. Kromě tohoto efektu se hyperbolické voštiny řídí stejnými topologickými omezeními jako euklidovské voštiny a polychory.

4 kompaktní a 11 paracompaktních pravidelných hyperbolických voštin a mnoho dalších kompaktní a paracompact byly vyjmenovány jednotné hyperbolické voštiny.

Čtyři pravidelné kompaktní voštiny v H³

{5,3,4}

{4,3,5}

{3,5,3}

{5,3,5}

11 paracompact pravidelných voštin
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Dualita 3-voštin

Pro každý plástev je dvojitý plástev, který lze získat výměnou:

buňky pro vrcholy.

plochy pro hrany.

Toto jsou pouze pravidla pro dualizaci čtyřrozměrných 4-polytopes kromě toho, že obvyklá konečná metoda oplácení o soustředné hypersféře může narazit na problémy.

Pravidelnější plástve úhledně dualise:

• Kubický plástev je samodvojný.
• Osmiboká a čtyřstěn je dvojí ve srovnání s kosočtverečnou dodekahedrou.
• Deskové voštiny odvozené od stejnoměrných rovinných naklonění jsou navzájem dvojí, stejně jako jsou naklonění.
• Duální kmeny zbývajících archimédských voštin jsou buněčné a byly popsány Inchbaldem.^[13]

Vlastní duální voštiny

Také mohou být voštiny self-dual. Všechno n-dimenzionální hyperkubické voštiny s Schläfliho symboly {4,3ⁿ⁻², 4}, jsou sebe-duální.

Viz také

• Seznam uniformních obkladů
• Pravidelné voštiny
• Nekonečný zkosený mnohostěn
• Plesiohedron

Reference

Další čtení

• Coxeter, H. S. M.: Pravidelné Polytopes.
• Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. str. 164–199. ISBN  0-486-23729-X. Kapitola 5: Balení mnohostěnů a vyplňování prostoru
• Critchlow, K .: Objednávka ve vesmíru.
• Pearce, P .: Struktura v přírodě je strategií pro design.
• Goldberg, Michael Tři nekonečné rodiny čtyřbokých vesmírných výplní Journal of Combinatorial Theory A, 16, s. 348–354, 1974.
• Goldberg, Michael (1972). „Vesmírná pentahedra“. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 13 (3): 437–443. doi:10.1016/0097-3165(72)90077-5.
• Goldberg, Michael Vesmírná Pentahedra II, Journal of Combinatorial Theory 17 (1974), 375–378.
• Goldberg, Michael (1977). „Na hexahedru vyplňujícím vesmír“. Geometriae Dedicata. 6. doi:10.1007 / BF00181585.
• Goldberg, Michael (1978). „Na heptahedru vyplňující vesmír“. Geometriae Dedicata. 7 (2): 175–184. doi:10.1007 / BF00181630.
• Goldberg, Michael Konvexní polyedrické vesmírné výplně více než dvanácti tváří. Geom. Dedicata 8, 491-500, 1979.
• Goldberg, Michael (1981). „Na vesmírném oktaedru“. Geometriae Dedicata. 10 (1–4): 323–335. doi:10.1007 / BF01447431.
• Goldberg, Michael (1982). „Na vesmírnou Decahedru“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
• Goldberg, Michael (1982). „Na vesmírnou enneahedru“. Geometriae Dedicata. 12 (3). doi:10.1007 / BF00147314.

externí odkazy

• Olshevsky, Georgi. "Plástev". Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.
• Pět mnohostěnů vyplňujících prostor Guy Inchbald, Matematický věstník 80, Listopad 1996, str. 466-475.
• Raumfueller (mnohostěn vyplňující vesmír) od T.E. Dorozinski
• Weisstein, Eric W. „Vesmírný mnohostěn“. MathWorld.

Zásadní konvexní pravidelný a jednotné voštiny v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${displaystyle {ilde {A}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${displaystyle {ilde {B}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {D}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$ / ${displaystyle {ilde {F}} _ {4}}$ / ${displaystyle {ilde {E}} _ {n-1}}$
E2	Jednotné obklady	{3[3]}	δ3	hδ3	qδ3	Šestihranný
E3	Jednotný konvexní plástev	{3[4]}	δ4	hδ4	qδ4
E4	Jednotný 4-plástev	{3[5]}	δ5	hδ5	qδ5	24článkový plástev
E5	Jednotný 5 voštin	{3[6]}	δ6	hδ6	qδ6
E6	Jednotný 6 voštin	{3[7]}	δ7	hδ7	qδ7	222
E7	Jednotný 7 voštin	{3[8]}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
E8	Jednotný 8 voštin	{3[9]}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
E9	Jednotný 9-plástev	{3[10]}	δ10	hδ10	qδ10
En-1	Jednotný (n-1)-plástev	{3[n]}	δn	hδn	qδn	1k2 • 2k1 • k21