Pětiúhelníkové obklady - Pentagonal tiling

The 15. konvexní konvexní pětiúhelníkový typ, objeveno v roce 2015

v geometrie, a pětiúhelníkové obklady je obklad letadla kde každý jednotlivý kus má tvar a Pentagon.

A pravidelný pětiúhelníkový obklady na Euklidovské letadlo je nemožné, protože vnitřní úhel a pravidelný pětiúhelník 108 ° není dělitelem 360 °, což je míra úhlu celku otáčet se. Pravidelné pětiúhelníky však mohou obkládat dlaždice hyperbolická rovina a koule; druhý vytváří obklad topologicky ekvivalentní s dvanáctistěn.

Monohedral konvexní pětiúhelníkové obklady

Příklad pětiúhelníkové dlaždice se štítky úhlu A, B, C, D a E a štítky délky hrany a, b, c, d a e

Je známo patnáct typů konvexních pětiúhelníků, které obkládají rovinu monohedrally (tj. s jedním typem dlaždice).^[1] Ten nejnovější byl objeven v roce 2015. Ukázalo se, že tento seznam je úplný Rao (2017) (výsledek je předmětem peer-review). Bagina (2011) ukázal, že jich je jen osm od okraje k okraji konvexní typy, výsledek získaný nezávisle Sugimoto (2012).

Michaël Rao z École normale supérieure de Lyon tvrdil v květnu 2017, že našel důkaz, že ve skutečnosti neexistují žádné konvexní pětiúhelníky, které by překračovaly těchto 15 typů.^[2] Ke dni 11. července 2017 byla první polovina Raova důkazu nezávisle ověřena (k dispozici je počítačový kód^[3]) Thomasem Halesem, profesorem matematiky na University of Pittsburgh.^[4] V prosinci 2017 nebyl důkaz ještě plně přezkoumán.

Každá vyjmenovaná rodina obkladů obsahuje pětiúhelníky, které nepatří k žádnému jinému typu; některé jednotlivé pětiúhelníky však mohou patřit do více typů. Kromě toho některé pětiúhelníky ve známých typech obkladů také umožňují alternativní vzory obkladů nad rámec standardních obkladů vystavených všemi členy jeho typu.

Boky délky A, b, C, d, E jsou přímo ve směru hodinových ručiček od úhlů na vrcholech A, B, C, D, E resp. (Tím pádem,A, B, C, D, E jsou naproti d, E, A, b, C resp.)

15 monohedrálních pětiúhelníkových dlaždic
1	2	3	4	5
B + C = 180 ° A + D + E = 360 °	c = e B + D = 180 °	a = b, d = c + e A = C = D = 120 °	b = c, d = e B = D = 90 °	a = b, d = e A = 60 °, D = 120 °
6	7	8	9	10
a = d = e, b = c B + D = 180 °, 2B = E	b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360 °	b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360 °	b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360 °	a = b = c + e A = 90 °, B + E = 180 ° B + 2C = 360 °
11	12	13	14	15
2a + c = d = e A = 90 °, C + E = 180 ° 2B + C = 360 °	2a = d = c + e A = 90 °, C + E = 180 ° 2B + C = 360 °	d = 2a = 2e B = E = 90 ° 2A + D = 360 °	2a = 2c = d = e A = 90 °, B ≈ 145,34 °, C ≈ 69,32 ° D ≈ 124,66 °, E ≈ 110,68 ° (2B + C = 360 °, C + E = 180 °)	a = c = e, b = 2a A = 150 °, B = 60 °, C = 135 ° D = 105 °, E = 90 °

Mnoho z těchto monohedrálních typů dlaždic má stupně volnosti. Mezi tyto svobody patří varianty vnitřní úhly a délky hran. V limitu mohou mít hrany délky, které se blíží nule, nebo úhly, které se blíží 180 °. Typy 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a 13 umožňují parametrické možnosti s nekonvexními prototily.

Periodické obklady se vyznačují svými skupina tapet symetrie, například p2 (2222) je definována čtyřmi 2násobnými body gyrace. Tato nomenklatura se používá v níže uvedených diagramech, kde jsou dlaždice také obarveny k-edohedral pozice v symetrii.

A primitivní jednotka je část obkladu, která generuje celý obklad pouze pomocí překladů a je co nejmenší.

Reinhardt (1918)

Reinhardt (1918) našel prvních pět typů pětiúhelníkové dlaždice. Všech pět může vytvářet isohedrální tilings, což znamená, že symetrie obkladů mohou přenést jakoukoli dlaždici na jakoukoli jinou dlaždici (formálněji automorfická skupina jedná přechodně na dlaždicích).

B. Grünbaum a G. C. Shephard prokázali, že existuje přesně dvacet čtyři odlišných „typů“ isohedrálních naklonění roviny pětiúhelníky podle jejich klasifikačního schématu.^[5] Všichni používají Reinhardtovy dlaždice, obvykle s dalšími podmínkami nezbytnými pro obklady. U všech dlaždic typu 2 existují dva obklady a každý z ostatních čtyř typů jeden. Patnáct z dalších osmnácti obkladů je zvláštními případy dlaždic typu 1. Devět z dvaceti čtyř obkladů je od okraje k okraji.^[6]

K dispozici jsou také 2izoedrické obklady podle zvláštních případů dlaždic typu 1, typu 2 a typu 4 a 3izoedrické obklady, všechny od kraje k okraji, podle zvláštních případů dlaždic typu 1. Neexistuje žádná horní mez na k pro k-isohedrální obklady určitých dlaždic, které jsou jak typu 1, tak typu 2, a tedy ani na počtu dlaždic v primitivní jednotce.

The skupina tapet je uvedena symetrie pro každý obklad, s orbifold notace v závorkách. Pokud je dlaždice, je uvedena druhá nižší skupina symetrie chirality existuje, kde zrcadlové obrazy jsou považovány za odlišné. Ty jsou v těchto případech zobrazeny jako žluté a zelené dlaždice.

Typ 1

Existuje mnoho obkladových topologií, které obsahují pětiúhelníky typu 1. Níže je uvedeno pět příkladů topologií.

Obklady pětiúhelníku typu 1
p2 (2222)	cmm (2 * 22)	cm (* ×)	pmg (22 *)	pgg (22 ×)	p2 (2222)	cmm (2 * 22)
p2 (2222)	cmm (2 * 22)	p1 (°)	p2 (2222)	p2 (2222)	p2 (2222)	cmm (2 * 22)

2-dlaždice primitivní jednotka			4-dlaždice primitivní jednotka
B + C = 180 ° A + D + E = 360 °		a = c, d = e A + B = 180 ° C + D + E = 360 °	a = c A + B = 180 ° C + D + E = 360 °	a = e B + C = 180 ° A + D + E = 360 °	d = c + e A = 90 °, 2B + C = 360 ° C + D = 180 °, B + E = 270 °

Typ 2

Tyto příklady typu 2 jsou izohedrální. Druhým je variace od okraje k okraji. Oba mají pgg (22 ×) symetrii. Pokud jsou protilehlé dlaždice zrcadlového obrazu (žluté a zelené) považovány za odlišné, je symetrie p2 (2222).

Typ 2
pgg (22 ×)
p2 (2222)

4-dlaždice primitivní jednotka
c = e B + D = 180 °	c = e, d = b B + D = 180 °

Typy 3, 4 a 5

Typ 3		Typ 4		Typ 5
p3 (333)	p31m (3 * 3)	p4 (442)	p4g (4 * 2)	p6 (632)


3-dlaždice primitivní jednotka		4-dlaždice primitivní jednotka		6-dílná primitivní jednotka	18-dílná primitivní jednotka
a = b, d = c + e A = C = D = 120 °		b = c, d = e B = D = 90 °		a = b, d = e A = 60 °, D = 120 °	a = b = c, d = e A = 60 °, B = 120 °, C = 90 ° D = 120 °, E = 150 °

Kershner (1968), typy 6, 7, 8

Kershner (1968) našel další tři typy pětiúhelníkových dlaždic, čímž se celkový počet zvýšil na osm. Nesprávně tvrdil, že se jedná o úplný seznam pětiúhelníků, které mohou dláždit letadlo.

Tyto příklady jsou 2-isohedral a edge-to-edge. Typy 7 a 8 mají chirální páry dlaždic, které jsou zbarveny jako páry ve žlutozelené barvě a ostatní ve dvou odstínech modré. Symetrie pgg je snížena na p2, když jsou chirální páry považovány za odlišné.

Typ 6	Typ 6 (Také typ 5)	Typ 7	Typ 8
p2 (2222)		pgg (22 ×)	pgg (22 ×)
p2 (2222)		p2 (2222)	p2 (2222)


a = d = e, b = c B + D = 180 °, 2B = E	a = d = e, b = c, B = 60 ° A = C = D = E = 120 °	b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360 °	b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360 °
4-dlaždice primitivní jednotka	4-dlaždice primitivní jednotka	8-dílná primitivní jednotka	8-dílná primitivní jednotka

James (1975) Typ 10

V roce 1975 Richard E. James III našel devátý typ, poté, co si přečetl o Kershnerových výsledcích v Martin Gardner „“Matematické hry "sloupec v Scientific American časopis z července 1975 (dotisk v Gardner (1988) ). Je indexován jako typ 10. Obklad je 3-izohedrální a není od okraje k okraji.

Typ 10
p2 (2222)	cmm (2 * 22)


a = b = c + e A = 90, B + E = 180 ° B + 2C = 360 °	a = b = 2c = 2e A = B = E = 90 ° C = D = 135 °
6-dílná primitivní jednotka

Rice (1977), typy 9,11,12,13

Marjorie Riceová, amatérský matematik, objevil čtyři nové typy mozaikování pětiúhelníky v letech 1976 a 1977.^[6]^[7]

Všechny čtyři obklady jsou 2-isohedral. Chirální páry dlaždic jsou pro jednu isohedrickou sadu zbarveny žlutě a zeleně a pro druhou sadu dva odstíny modré. Symetrie pgg je snížena na p2, když jsou chirální páry považovány za odlišné.

Obklady podle dlaždic typu 9 jsou od okraje k okraji, ale ostatní nejsou.

Každá primitivní jednotka obsahuje osm dlaždic.

Typ 9	Typ 11	Typ 12	Typ 13
pgg (22 ×)
p2 (2222)


b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360 °	2a + c = d = e A = 90 °, 2B + C = 360 ° C + E = 180 °	2a = d = c + e A = 90 °, 2B + C = 360 ° C + E = 180 °	d = 2a = 2e B = E = 90 °, 2A + D = 360 °
8-dílná primitivní jednotka	8-dílná primitivní jednotka	8-dílná primitivní jednotka	8-dílná primitivní jednotka

Stein (1985), typ 14

14. konvexní typ pětiúhelníku našel Rolf Stein v roce 1985.^[8]

Obklad je 3-isohedral a non-edge-to-edge. Má zcela určené dlaždice bez stupňů volnosti. Přesné poměry určuje ${displaystyle {frac {b} {a}} = {sqrt {frac {11 {sqrt {57}} - 25} {8}}}}$ a úhel B tupý s ${displaystyle sin (B) = {frac {{sqrt {57}} - 3} {8}}}$ . Jiné vztahy lze snadno odvodit.

Primitivní jednotky obsahují šest dlaždic. Má symetrii p2 (2222).

Typ 14
	2a = 2c = d = e A = 90 °, B≈145,34 °, C≈69,32 °, D≈124,66 °, E≈110,68 ° (2B + C = 360 °, C + E = 180 °).	6-dílná primitivní jednotka

Mann / McLoud / Von Derau (2015), typ 15

University of Washington Bothell matematici Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann a David Von Derau objevili v roce 2015 15. monohedrální obkladový konvexní pětiúhelník pomocí a počítačový algoritmus.^[9]^[10] Je to 3-isohedral a non-edge-to-edge, nakreslený 6 barvami, 2 odstíny 3 barev, což představuje chirální páry tří isohedral pozic. Symetrie pgg je snížena na p2, když jsou chirální páry považovány za odlišné. Má zcela určené dlaždice bez stupňů volnosti. Primitivní jednotky obsahují dvanáct dlaždic. Má symetrii pgg (22 ×) a p2 (2222), pokud jsou chirální páry považovány za odlišné.

V červenci 2017 dokončil Michaël Rao počítačem podporovaný důkaz o tom, že neexistují žádné jiné typy konvexních pětiúhelníků, které by mohly dláždit letadlo. Úplný seznam konvexních polygonů, které mohou dláždit rovinu, zahrnuje výše uvedených pětiboků, tři typy šestiúhelníků a všechny čtyřúhelníky a trojúhelníky.^[4] Důsledkem tohoto důkazu je, že neexistuje žádný konvexní polygon, který by obkládal rovinu pouze neperiodicky, protože všechny výše uvedené typy umožňují periodické obklady.

Typ 15
(Větší obrázek)	a = c = e, b = 2a, d = $A + \sqrt 2 / \sqrt 3 -1$ A = 150 °, B = 60 °, C = 135 ° D = 105 °, E = 90 °	12-dílná primitivní jednotka

Obklady neperiodických monohedrálních pětiúhelníků

Lze také zkonstruovat neperiodické monohedrální pětiúhelníkové obklady, jako je příklad níže se 6násobným rotační symetrie Michael Hirschhorn. Úhly jsou A = 140 °, B = 60 °, C = 160 °, D = 80 °, E = 100 °.^[11]^[12]

V roce 2016 mohl Bernhard Klaassen ukázat, že každý typ diskrétní rotační symetrie může být reprezentován monohedrálním pětiúhelníkovým obkladem ze stejné třídy pětiúhelníků.^[13] Níže jsou uvedeny příklady pětinásobné a sedminásobné symetrie. Takové obklady jsou možné pro jakýkoli typ n-násobná rotační symetrie s n>2.

Pětinásobná rotační symetrie v monohedrálním pětiúhelníkovém obkladu	Hirschhornova šestinásobná rotační symetrie monohedrální pětiúhelníkové obklady	Sedminásobná rotační symetrie v monohedrálním pětiúhelníkovém obkladu

Dvojité jednotné obklady

Tam jsou tři isohedrální pětiúhelníkové obklady generované jako duální z jednotné obklady, ti s 5-valenčními vrcholy. Představují speciální případy vyšší symetrie 15 monohedrálních obkladů výše. Rovnoměrné obklady a jejich duály jsou od okraje k okraji. Tyto dvojité obklady se také nazývají Laves tilings. Symetrie stejnoměrných dvojitých obkladů je stejná jako u jednotných obkladů. Protože jednotné obklady jsou isogonal, duální jsou isohedrální.

cmm (2 * 22)	p4g (4 * 2)	p6 (632)

Prizmatický pětiúhelníkový obklad Příklad typ 1^[14]	Káhirské pětiúhelníkové obklady Příklad typ 4^[14]^[15]	Floretové pětiúhelníkové obklady Příklad typy 1, 5 a 6^[14]
120°, 120°, 120°, 90°, 90° V3.3.3.4.4	120°, 120°, 90°, 120°, 90° V3.3.4.3.4	120°, 120°, 120°, 120°, 60° V3.3.3.3.6

Dvojí k-uniformní obklady

The k-uniformní obklady s vrcholy valence-5 mají také pětiúhelníkové duální tilings, obsahující stejné tři tvarované pětiúhelníky jako semiregular duals výše, ale obsahují směs pětiúhelníkových typů. A k-uniformní obklady mají k-edohedral dual tiling a jsou reprezentovány různými barvami a odstíny barev níže.

Například tyto 2, 3, 4 a 5 uniformní duály jsou všechny pětiúhelníkové:^[16]^[17]

2-isohedral		3-isohedral
p4g (4 * 2)	pgg (22 ×)		p2 (2222)	p6 (* 632)


4-isohedral			5-isohedral
pgg (22 ×)		p2 (2222)		p6m (* 632)


5-isohedral
pgg (22 ×)			p2 (2222)

Pětiboká / šestihranná mozaikování

Pětiboká dělení šestiúhelníku

Pentagony mají zvláštní vztah k šestiúhelníkům. Jak je graficky znázorněno níže, některé typy šestiúhelníků lze rozdělit na pětiúhelníky. Například běžný šestiúhelník se rozdělí na dva pětiúhelníky typu 1. Rozdělení konvexních šestiúhelníků je také možné se třemi (typ 3), čtyřmi (typ 4) a devíti (typ 3) pětiúhelníky.

Rozšířením tohoto vztahu lze rovinu mozaikovat jedním pětiúhelníkovým prototilním tvarem způsoby, které generují šestihranné překryvy. Například:

Rovinná mozaikování pomocí jednoho pětiúhelníkového prototilu (typ 1) s překryvy pravidelných šestiúhelníků (každý obsahuje 2 pětiúhelníky).	Rovinná mozaikování pomocí jednoho pětiúhelníkového prototilu (typ 3) s překryvy pravidelných šestiúhelníků (každý obsahuje 3 pětiúhelníky).	Rovinná mozaikování pomocí jednoho pětiúhelníkového prototilu (typ 4) s překryvy semiregulárních šestiúhelníků (každý obsahuje 4 pětiúhelníky).	Rovinná mozaikování pomocí jednoho pětiúhelníkového prototilu (typ 3) s překryvy dvou velikostí pravidelných šestiúhelníků (obsahuje 3 a 9 pětiúhelníků).

Konvexní pětiúhelníky

Pravidelné obkládání sfingou

S pětiúhelníky, které nemusí být konvexní, jsou možné další typy obkladů. Příkladem je obklady sfingy, an neperiodické obklady tvořený pětiúhelníkem plaz.^[18] Sfinga může také pravidelně srovnávat rovinu tím, že spojí dvě dlaždice sfingy dohromady a vytvoří a rovnoběžník a poté obložení roviny překládáním tohoto rovnoběžníku,^[18] vzor, který lze rozšířit na jakýkoli nekonvexní pětiúhelník, který má dva po sobě následující úhly a přidává se k 2 $π$ , čímž splňují podmínky konvexní Typ 1 výše.

Je možné rozdělit rovnostranný trojúhelník do tří shodných nekonvexních pětiúhelníků, které se setkávají ve středu trojúhelníku, a obkládat rovinu výslednou třípětiúhelníkovou jednotkou.^[19]Podobnou metodu lze použít k dalšímu rozdělení čtverce do čtyř shodných nekonvexních pětiúhelníků, nebo pravidelné šestiúhelníky do šesti kongruentních nekonvexních pětiúhelníků a poté položte rovinu na výslednou jednotku.

Pravidelné pětiúhelníkové sklony v neeuklidovské geometrii

A dvanáctistěn lze považovat za pravidelný obklad 12 pětiúhelníků na povrchu a koule, s Schläfliho symbol {5,3}, se třemi pětiúhelníky kolem každého vrcholu.

V hyperbolická rovina, existují například obklady pravidelných pětiúhelníků objednávka 4 pětiúhelníkové obklady, {5,4}, se čtyřmi pětiúhelníky kolem každého vrcholu. Na hyperbolické rovině mohou být zkonstruovány pravidelné tilery vyššího řádu {5, n}, končící na {5, ∞}.

Koule	Hyperbolické letadlo
{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	...{5,∞}

Nepravidelné pětiúhelníkové sklony hyperbolické roviny

Existuje nekonečné množství duálních rovnoměrné naklánění v hyperbolické rovině s izogonálními nepravidelnými pětiúhelníkovými plochami. Oni mají konfigurace obličeje jako V3.3.str.3.q.

Objednat *str*-q floretové pětiúhelníkové obklady
7-3	8-3	9-3	...	5-4	6-4	7-4	...	5-5
V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.9	...	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	...	V3.3.5.3.5

Polygonální hyperbolický binární obklady s pětiúhelníky 60-120-60-120-120 stupňů

The binární obklady může být vyroben do pětiúhelníkového obkladu, pokud nahradíte horocyklické hrany úsečkami.

Reference

^ Grünbaum & Shephard 1987, Sec. 9.3 Další monohedrální obklady konvexními polygony.
^ Rao 2017.
^ „Mathematica code verifying Rao-convex-pentagon-tiling classification“, GitHub
^ ^A ^b Wolchover 2017.
^ Grünbaum & Shephard 1978.
^ ^A ^b Schattschneider 1978.
^ Marjorie Riceová, "Teselace", Zajímavé mozaikování, vyvoláno 22. srpna 2015 - prostřednictvím Webů Google
^ Schattschneider 1985.
^ Bellos 2015.
^ Mann, McLoud-Mann a Von Derau 2018.
^ Schattschneider 1978, Obr.
^ Hirschhorn & Hunt 1985.
^ Klaassen 2016.
^ ^A ^b ^C Reinhardt 1918, str.77–81 (upozornění: v tomto článku je alespoň jedna zjevná chyba, tj. součet úhlů γ + δ se musí rovnat π, ne 2π pro první dva typy obkladů definované na straně 77)
^ Káhirské pětiúhelníkové obklady generované a typ pětiúhelníku 4 dotaz a podle a typ pětiúhelníku 2 obklady dotaz na wolframalpha.com (upozornění: definice wolframu z obklady typu pětiúhelník 2 neodpovídá typ 2 definovaný Reinhardtem v roce 1918)
^ Chavey 1989.
^ Brian Galebach, „Vítejte v mé sbírce n-uniformních obkladů!“, probabilitysports.com
^ ^A ^b Godrèche 1989.
^ Gerver 2003.

Bibliografie

Bagina, Olga (2004), „Obkládání letadla shodnými rovnostrannými konvexními pětiúhelníky“, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 105 (2): 221–232, doi:10.1016 / j.jcta.2003.11.002, ISSN 1096-0899, PAN 2046081
Bagina, Olga (2011), Мозаики из выпуклых пятиугольников [Naklonění roviny s konvexními pětiúhelníky], Vestnik (v Rusku), 4 (48): 63–73, ISSN 2078-1768, vyvoláno 29. ledna 2013
Bellos, Alex (11. srpna 2015), „Útok na pětiúhelník má za následek objev nové matematické dlaždice“, Opatrovník
Chavey, D. (1989), „Tilings by Regular Polygons — II: A Catalog of Tilings“, Počítače a matematika s aplikacemi, 17 (1–3): 147–165, doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9
Gardner, Martin (1988), „Obklady s konvexními polygony“, Cestování v čase a další matematické zmatky, New York: W.H. Freemane, Bibcode:1988ttom.book ..... G, ISBN 978-0-7167-1925-0, PAN 0905872
Gerver, M. L. (2003), „Věty o mozaikování polygony“, Sbornik: Matematika, 194 (6): 879–895, Bibcode:2003SbMat.194..879G, doi:10.1070 / sm2003v194n06abeh000743
Godrèche, C. (1989), „Sfinga: limitovaná periodická dlažba letadla“, Journal of Physics A: Mathematical and General, 22 (24): L1163 – L1166, Bibcode:1989JPhA ... 22L1163G, doi:10.1088/0305-4470/22/24/006, PAN 1030678
Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1978), „Isohedral tilings of the plane by polygons“, Commentarii Mathematici Helvetici, 53: 542–571, doi:10.1007 / bf02566098, ISSN 0010-2571
Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1987), „Tilings by polygons“, Obklady a vzory, New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 978-0-7167-1193-3, PAN 0857454
Hirschhorn, M. D .; Hunt, D. C. (1985), "Rovnostranné konvexní pětiúhelníky, které obkládají letadlo" (PDF), Journal of Combinatorial Theory, Series A, 39 (1): 1–18, doi:10.1016/0097-3165(85)90078-0, ISSN 1096-0899, PAN 0787713, vyvoláno 2020-10-30
Kershner, Richard (1968), „O dláždění letadla“, Americký matematický měsíčník, 75 (8): 839–844, doi:10.2307/2314332, ISSN 0002-9890, JSTOR 2314332, PAN 0236822
Klaassen, Bernhard (2016), „Rotačně symetrické sklony s konvexními pětiúhelníky a šestiúhelníky“, Elemente der Mathematik, 71 (4): 137–144, arXiv:1509.06297, doi:10,4171 / em / 310, ISSN 0013-6018
Mann, Casey; McLoud-Mann, Jennifer; Von Derau, David (2018), „Konvexní pětiúhelníky, které připouštějí ${displaystyle i}$ -block transitive tilings ", Geometriae Dedicata, 194 (1): 141–167, arXiv:1510.01186, doi:10.1007 / s10711-017-0270-9
Rao, Michaël (2017), Vyčerpávající hledání konvexních pětiúhelníků, které dláždí letadlo (PDF), arXiv:1708.00274
Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone (Dizertační práce) (v němčině), Borna-Leipzig: Druck von Robert Noske
Schattschneider, Doris (1978), "Obkládání letadla shodnými pětiúhelníky", Matematický časopis, 51 (1): 29–44, doi:10.2307/2689644, ISSN 0025-570X, JSTOR 2689644, PAN 0493766
Schattschneider, Doris (1985), „New pentagon tiler“, Matematický časopis, 58 (5): 308, Obálka má obrázek nového obkladu
Sugimoto, Teruhisa; Ogawa, Tohru (2005), „Systematické studium konvexních pětiúhelníkových sklonů. I. Případ konvexních pětiúhelníků se čtyřmi hranami stejné délky“, Forma, 20: 1–18, PAN 2240616
Sugimoto, Teruhisa; Ogawa, Tohru (2009), „Systematické studium konvexních pětiúhelníkových obkladů, II: obklady konvexními pětiúhelníky se čtyřmi hranami stejné délky“, Forma, 24 (3): 93–109, PAN 2868775; Errata, Forma 25 (1): 49, 2010, PAN2868824
Sugimoto, Teruhisa (2012), "Konvexní pětiúhelníky pro obklady od okraje k okraji, já", Forma, 27 (1): 93–103, PAN 3030316
Wolchover, Natalie (11. července 2017), „Pentagónový obklad řeší staletý matematický problém“, Časopis Quanta

externí odkazy

[FOOTNOTEGrünbaumShephard1987Sec._9.3_Other_Monohedral_tilings_by_convex_polygons-1] Grünbaum & Shephard 1987, Sec. 9.3 Další monohedrální obklady konvexními polygony.

[FOOTNOTERao2017-2] Rao 2017.

[3] „Mathematica code verifying Rao-convex-pentagon-tiling classification“, GitHub

[FOOTNOTEWolchover2017-4] A ^b Wolchover 2017.

[FOOTNOTEGrünbaumShephard1978-5] Grünbaum & Shephard 1978.

[FOOTNOTESchattschneider1978-6] A ^b Schattschneider 1978.

[7] Marjorie Riceová, "Teselace", Zajímavé mozaikování, vyvoláno 22. srpna 2015 - prostřednictvím Webů Google

[FOOTNOTESchattschneider1985-8] Schattschneider 1985.

[FOOTNOTEBellos2015-9] Bellos 2015.

[FOOTNOTEMannMcLoud-MannVon_Derau2018-10] Mann, McLoud-Mann a Von Derau 2018.

[FOOTNOTESchattschneider1978Fig_12-11] Schattschneider 1978, Obr.

[FOOTNOTEHirschhornHunt1985-12] Hirschhorn & Hunt 1985.

[FOOTNOTEKlaassen2016-13] Klaassen 2016.

[Reinhardt1918-14] A ^b ^C Reinhardt 1918, str.77–81 (upozornění: v tomto článku je alespoň jedna zjevná chyba, tj. součet úhlů γ + δ se musí rovnat π, ne 2π pro první dva typy obkladů definované na straně 77)

[15] Káhirské pětiúhelníkové obklady generované a typ pětiúhelníku 4 dotaz a podle a typ pětiúhelníku 2 obklady dotaz na wolframalpha.com (upozornění: definice wolframu z obklady typu pětiúhelník 2 neodpovídá typ 2 definovaný Reinhardtem v roce 1918)

[FOOTNOTEChavey1989-16] Chavey 1989.

[17] Brian Galebach, „Vítejte v mé sbírce n-uniformních obkladů!“, probabilitysports.com

[FOOTNOTEGodrèche1989-18] A ^b Godrèche 1989.

[FOOTNOTEGerver2003-19] Gerver 2003.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]