Dvacetistěnu - Icosahedron
v geometrie, an dvacetistěnu (/ˌaɪkɒsəˈhiːdr.n,-kə-,-koʊ-/ nebo /aɪˌkɒsəˈhiːdr.n/[1]) je mnohostěn s 20 tvářemi. Jméno pochází z Starořečtina εἴκοσι (eíkosi) což znamená „dvacet“ a od Starořečtina ἕδρα (hédra) což znamená „sedadlo“. Množné číslo může být buď „icosahedra“ (/-drə/) nebo „dvacetistěny“.
Existuje nekonečně mnoho ne-podobný tvary icosahedry, některé z nich jsou symetrickější než jiné. Nejznámější je (konvexní, ne-hvězdný ) pravidelný dvacetistěn -jeden z Platonické pevné látky —Které tváře mají 20 rovnostranné trojúhelníky.
Pravidelná icosahedra
 Konvexní pravidelný dvacetistěn |  Velký dvacetistěn |
Existují dva objekty, jeden konvexní a jeden nekonvexní, kterým lze oba říkat obyčejná icosahedra. Každý má 30 okrajů a 20 rovnostranný trojúhelník tváře s pěti setkáními na každém ze svých dvanácti vrcholů. Oba mají ikosahedrální symetrie. Termín „pravidelný dvacetistěn“ se obecně týká konvexní odrůdy, zatímco nekonvexní forma se nazývá velký dvacetistěn.
Konvexní pravidelný dvacetistěn
Konvexní pravidelný dvacetistěn se obvykle označuje jednoduše jako pravidelný dvacetistěn, jeden z pěti pravidelných Platonické pevné látky, a je reprezentován jeho Schläfliho symbol {3, 5}, obsahující 20 trojúhelníkových ploch, s 5 plochami, které se setkávají kolem každého vrcholu.
Své duální mnohostěn je pravidelný dvanáctistěn {5, 3} se třemi pravidelnými pětiúhelníkovými plochami kolem každého vrcholu.
Velký dvacetistěn
The velký dvacetistěn je jednou ze čtyř pravidelných hvězd Kepler-Poinsotův mnohostěn. Své Schläfliho symbol je {3, 5/2}. Stejně jako konvexní forma má také 20 rovnostranných trojúhelníkových ploch, ale její vrchol je a pentagram spíše než pětiúhelník, což vede k geometricky se protínajícím plochám. Průsečíky trojúhelníků nepředstavují nové hrany.
Své duální mnohostěn je velký hvězdný dvanáctistěn {5/2, 3}, se třemi pravidelnými hvězdnými pětiúhelníkovými plochami kolem každého vrcholu.
Stellated icosahedra
Stelace je proces rozšiřování ploch nebo hran mnohostěnů, dokud se nesetkají, aby vytvořily nový mnohostěn. Dělá se to symetricky, takže výsledný obrázek zachovává celkovou symetrii nadřazeného obrázku.
Ve své knize Padesát devět Icosahedra Coxeter a kol. vyjmenoval 58 takových hvězd pravidelného dvacetistěnu.
Z nich mnozí mají jednu tvář v každé z 20 rovin tváře, a tak jsou také icosahedra. Mezi nimi je icosahedron.
Jiné hvězdice mají v každé rovině více než jednu tvář nebo tvoří sloučeniny jednodušších mnohostěnů. Nejsou to striktně dvacetistěny, i když se o nich často říká.
Pyritohedrální symetrie
| Pyritohedrální a čtyřboká symetrie | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Coxeterovy diagramy |     (pyritohedrální)  (čtyřboká)  | ||||
| Schläfliho symbol | s {3,4} sr {3,3} nebo | ||||
| Tváře | 20 trojúhelníků: 8 rovnostranný 12 rovnoramenných | ||||
| Hrany | 30 (6 krátkých + 24 dlouhých) | ||||
| Vrcholy | 12 | ||||
| Skupina symetrie | Th, [4,3+], (3 * 2), objednávka 24 | ||||
| Rotační skupina | Td, [3,3]+, (332), objednávka 12 | ||||
| Duální mnohostěn | Pyritohedron | ||||
| Vlastnosti | konvexní | ||||
 Síť | |||||
| |||||
A pravidelný dvacetistěn mohou být zkresleny nebo označeny jako nižší pyritohedrální symetrie,[2] a nazývá se a potlačit osmistěn, potlačit tetratetrahedron, potlačit čtyřstěn, a Pseudo icosahedron. To lze považovat za střídal zkrácený osmistěn. Pokud jsou všechny trojúhelníky rovnostranný, symetrii lze také odlišit různým zbarvením množin trojúhelníků 8 a 12.
Pyritohedrální symetrie má symbol (3 * 2), [3+, 4], s objednávkou 24. Čtyřboká symetrie má symbol (332), [3,3]+, s řádem 12. Tyto nižší symetrie umožňují geometrické zkreslení od 20 rovnostranných trojúhelníkových ploch, místo toho mají 8 rovnostranných trojúhelníků a 12 shodných rovnoramenné trojúhelníky.
Tyto symetrie nabízejí Coxeterovy diagramy: a respektive každý představuje spodní symetrii k pravidelný dvacetistěn 
, (*532), [5,3] ikosahedrální symetrie objednávky 120.
Kartézské souřadnice
Souřadnice 12 vrcholů lze definovat vektory definovanými všemi možnými cyklickými permutacemi a znaménkovými převrácení souřadnic formuláře (2, 1, 0). Tyto souřadnice představují zkrácený osmistěn s střídal vrcholy odstraněny.
Tato konstrukce se nazývá a potlačit čtyřstěn ve své pravidelné ikosahedronové formě, generované stejnými operacemi prováděnými počínaje vektorem (ϕ, 1, 0), kde ϕ je Zlatý řez.[2]
Jessenův dvacetistěn
V Jessenově dvacetistěnu, někdy nazývaném Jessenův ortogonální dvacetistěn, 12 rovnoramenných ploch je uspořádáno odlišně, takže postava není konvexní a má že jo vzepětí.
to je nůžky shodné na kostku, což znamená, že ji lze nakrájet na menší mnohostěnné kousky, které lze přeskupit a vytvořit tak pevnou kostku.
Ostatní icosahedra
Kosočtverečný dvacetistěn
The kosočtverečný dvacetistěn je zonohedron skládá se z 20 shodných kosočtverců. To lze odvodit z kosočtverečný triacontahedron odstraněním 10 středních ploch. I když jsou všechny tváře shodné, kosočtverečný kosočtverec není tvář-tranzitivní.
Symetrie pyramidy a hranolu
Mezi běžné ikosahedry s pyramidovou a hranolovou symetrií patří:
- 19stranný pyramida (plus 1 základna = 20).
- 18stranný hranol (plus 2 konce = 20).
- 9stranný antiprism (2 sady po 9 stranách + 2 konce = 20).
- 10stranný bipyramid (2 sady po 10 stranách = 20).
- 10stranný lichoběžník (2 sady po 10 stranách = 20).
Johnson pevné látky
Několik Johnson pevné látky jsou icosahedra:[3]
| J22 | J35 | J36 | J59 | J60 | J92 |
|---|---|---|---|---|---|
 Gyroelongated trojúhelníkový kopule |  Prodloužená trojúhelníková orthobicupola |  Prodloužený trojúhelníkový gyrobicupola |  Parabiaugmentovaný dvanáctistěn |  Metabiaugmented dodecahedron |  Trojúhelníkový hebesphenorotunda |
 |  |  |  |  |  |
| 16 trojúhelníků 3 čtverce 1 šestihran | 8 trojúhelníků 12 čtverců | 8 trojúhelníků 12 čtverců | 10 trojúhelníků 10 pětiúhelníků | 10 trojúhelníků 10 pětiúhelníků | 13 trojúhelníků 3 čtverce 3 pětiúhelníky 1 šestihran |
Viz také
Reference
- ^ Jones, Daniel (2003) [1917], Peter Roach; James Hartmann; Jane Setter (eds.), Slovník výslovnosti v angličtině, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 3-12-539683-2
- ^ A b John Baez (11. září 2011). "Bláznovo zlato".
- ^ Dvacetistěnu na Mathworld.
Kontrolní úřad  |
|---|