Order-5 dodecahedral honeycomb - Order-5 dodecahedral honeycomb - Wikipedia

Order-5 dodecahedral honeycomb
Perspektivní projekce Pohled od středu města Poincaré model disku
Typ	Hyperbolický pravidelný plástev Jednotný hyperbolický plástev
Schläfliho symbol	{5,3,5}
Coxeter-Dynkinův diagram
Buňky	{5,3}
Tváře	Pentagon {5}
Postava hrany	Pentagon {5}
Vrcholová postava	dvacetistěnu
Dvojí	Self-dual
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {K}} _ {3}}$, [5,3,5]
Vlastnosti	Pravidelný

The objednávka 5 dodekahedrální plástev je jedním ze čtyř kompaktních pravidelný vyplňování prostoru mozaikování (nebo voštiny ) v hyperbolický 3-prostor. S Schläfliho symbol {5,3,5}, má pět dodekahedrál buňky kolem každého okraje a každý vrchol je obklopen dvaceti dodekahedrou. Své vrchol obrázek je dvacetistěnu.

A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

Popis

The vzepětí úhel euklidovce pravidelný dvanáctistěn je ~ 116,6 °, takže ne více než tři z nich se vejdou kolem okraje v euklidovském 3-prostoru. V hyperbolickém prostoru je však vzepětí úhel menší než v euklidovském prostoru a závisí na velikosti obrázku; nejmenší možný úhel vzepětí je 60 °, což je ideální hyperbolický pravidelný dvanáctistěn s nekonečně dlouhými okraji. The dodekahedra v tomto dodekaedrickém plástve jsou dimenzovány tak, aby všechny jejich úhly byly přesně 72 °.

snímky

Je to analogické s 2D hyperbolikem objednávka 5 pětiúhelníkové obklady, {5,5}

Související polytopy a voštiny

Ve 3D hyperbolickém prostoru jsou čtyři pravidelné kompaktní voštiny:

Čtyři pravidelné kompaktní voštiny v H³

{5,3,4}

{4,3,5}

{3,5,3}

{5,3,5}

V hyperbolickém 3-prostoru je další plástev nazývaný řád-4 dodekahedrální plástev, {5,3,4}, který má pouze čtyři dodekahedry na okraji. Tyto voštiny také souvisí s 120 buněk který lze považovat za plástev v pozitivně zakřiveném prostoru (povrch 4-dimenzionální koule), se třemi dodekahedry na každém okraji, {5,3,3}. A konečně dodekahedrál ditope, {5,3,2} existuje na 3 koule, se 2 hemisférickými buňkami.

Existují devět jednotných voštin v [5,3,5] Skupina coxeterů rodina, včetně této pravidelné formy. Také bitruncated forma, t_1,2{5,3,5}, , z této voštiny má vše zkrácený dvacetistěn buňky.

[5,3,5] rodinné voštiny
{5,3,5}	r {5,3,5}	t {5,3,5}	rr {5,3,5}	t0,3{5,3,5}
	2t {5,3,5}	tr {5,3,5}	t0,1,3{5,3,5}	t0,1,2,3{5,3,5}

The Seifert – Weberův prostor je kompaktní potrubí které lze vytvořit jako kvocientový prostor dodekahedrálního plástve řádu 5.

Tato plástev je součástí řady polychora a voštin s dvacetistěnu vrcholové postavy:

{p, 3,5} polytopy
Prostor	S3	H3
Formulář	Konečný	Kompaktní		Paracompact	Nekompaktní
název	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞,3,5}
obraz
Buňky	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Tento plást je součástí řady pravidelných polytopů a plástů s dodekahedrál buňky:

{5,3, p} mnohostěnů
Prostor	S3	H3
Formulář	Konečný	Kompaktní		Paracompact	Nekompaktní
název	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
obraz
Vrchol postava	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

{p, 3, p} běžné voštiny
Prostor	S3	Euklidovský E3	H3
Formulář	Konečný	Afinní	Kompaktní	Paracompact	Nekompaktní
název	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3,6}	{7,3,7}	{8,3,8}	...{∞,3,∞}
obraz
Buňky	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
Vrchol postava	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Rektifikovaná objednávka 5 dodekahedrální plástev

Rektifikovaná objednávka 5 dodekahedrální plástev
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	r {5,3,5}
Coxeterův diagram
Buňky	r {5,3} {3,5}
Tváře	trojúhelník {3} Pentagon {5}
Vrcholová postava	pětiúhelníkový hranol
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {K}} _ {3}}$, [5,3,5]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The opravený řád-5 dodekahedrální plástev, , se střídá dvacetistěnu a icosidodecahedron buňky s a pětiúhelníkový hranol vrchol obrázek.

Související obklady a plástev

Lze to považovat za analogické s 2D hyperbolikem objednávka 4 pětiúhelníkové obklady, r {5,5}

K dispozici jsou čtyři opravené kompaktní pravidelné voštiny:

Čtyři opravené pravidelné kompaktní voštiny v H³

obraz
Symboly	r {5,3,4}	r {4,3,5}	r {3,5,3}	r {5,3,5}
Vrchol postava

r {p, 3,5}

Prostor	S3	H3
Formulář	Konečný	Kompaktní		Paracompact	Nekompaktní
název	r {3,3,5}	r {4,3,5}	r {5,3,5}	r {6,3,5}	r {7,3,5}	... r {∞, 3,5}
obraz
Buňky {3,5}	r {3,3}	r {4,3}	r {5,3}	r {6,3}	r {7,3}	r {∞, 3}

Zkrácený dodekedrální plástev řádu 5

Zkrácená objednávka 5 dodekahedrální plástev
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	t {5,3,5}
Coxeterův diagram
Buňky	t {5,3} {3,5}
Tváře	trojúhelník {3} desetiúhelník {10}
Vrcholová postava	pětiboká pyramida
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {K}} _ {3}}$, [5,3,5]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The zkrácená objednávka-5 dodekahedrální plástev, , má dvacetistěnu a zkrácený dvanáctistěn buňky s a pětiboká pyramida vrchol obrázek.

Související voštiny

Čtyři zkrácené pravidelné kompaktní voštiny v H³

obraz
Symboly	t {5,3,4}	t {4,3,5}	t {3,5,3}	t {5,3,5}
Vrchol postava

Bitruncated order-5 dodecahedral honeycomb

Bitruncated order-5 dodecahedral honeycomb
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	2t {5,3,5}
Coxeterův diagram
Buňky	t {3,5}
Tváře	Pentagon {5} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	tetragonální disphenoid
Skupina coxeterů	${ displaystyle 2 times { overline {K}} _ {3}}$, [[5,3,5]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, hranový-tranzitivní, buněčný-tranzitivní

The bitruncated order-5 dodecahedral honeycomb, , má zkrácený dvacetistěn buňky s a tetragonální disphenoid vrchol obrázek.

Související voštiny

Tři bitrunované kompaktní voštiny v H³

obraz
Symboly	2t {4,3,5}	2t {3,5,3}	2t {5,3,5}
Vrchol postava

Kanylovaný vousatý dodekedrální plást řádu 5

Kanylovaný vousatý dodekedrální plást řádu 5
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	rr {5,3,5}
Coxeterův diagram
Buňky	rr {5,3} r {3,5} {} x {5}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} Pentagon {5}
Vrcholová postava	klín
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {K}} _ {3}}$, [5,3,5]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantellated order-5 dodecahedral honeycomb, , má rhombicosidodecahedron, icosidodecahedron, a pětiúhelníkový hranol buňky s a klín vrchol obrázek.

Související voštiny

Čtyři cantellované pravidelné kompaktní voštiny v H3
obraz Symboly rr {5,3,4} rr {4,3,5} rr {3,5,3} rr {5,3,5} Vrchol postava

Cantitruncated order-5 dodecahedral honeycomb

Cantitruncated order-5 dodecahedral honeycomb
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	tr {5,3,5}
Coxeterův diagram
Buňky	tr {5,3} t {3,5} {} x {5}
Tváře	náměstí {4} Pentagon {5} šestiúhelník {6} desetiúhelník {10}
Vrcholová postava	zrcadlový sfénoid
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {K}} _ {3}}$, [5,3,5]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantitruncated order-5 dodecahedral honeycomb, , má zkrácený icosidodecahedron, zkrácený dvacetistěn, a pětiúhelníkový hranol buňky s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.

Související voštiny

Čtyři cantruncated pravidelné kompaktní voštiny v H³

obraz
Symboly	tr {5,3,4}	tr {4,3,5}	tr {3,5,3}	tr {5,3,5}
Vrchol postava

Runcinated order-5 dodecahedral honeycomb

Runcinated order-5 dodecahedral honeycomb
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	t0,3{5,3,5}
Coxeterův diagram
Buňky	{5,3} {} x {5}
Tváře	náměstí {4} Pentagon {5}
Vrcholová postava	trojúhelníkový antiprism
Skupina coxeterů	${ displaystyle 2 times { overline {K}} _ {3}}$, [[5,3,5]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The runcinated order-5 dodecahedral honeycomb, , má dvanáctistěn a pětiúhelníkový hranol buňky s a trojúhelníkový antiprism vrchol obrázek.

Související voštiny

Tři runcinované pravidelné kompaktní voštiny v H³

obraz
Symboly	t0,3{4,3,5}	t0,3{3,5,3}	t0,3{5,3,5}
Vrchol postava

Runcitruncated order-5 dodecahedral honeycomb

Runcitruncated order-5 dodecahedral honeycomb
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	t0,1,3{5,3,5}
Coxeterův diagram
Buňky	t {5,3} rr {5,3} {} x {5} {} x {10}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} Pentagon {5} desetiúhelník {10}
Vrcholová postava	rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {K}} _ {3}}$, [5,3,5]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcitruncated order-5 dodecahedral honeycomb, , má zkrácený dvanáctistěn, rhombicosidodecahedron, pětiúhelníkový hranol, a desetiboký hranol buňky, s rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida vrchol obrázek.

The runcicantellated order-5 dodecahedral honeycomb je ekvivalentní dodekatedrálnímu plástu řádu 5 spuštěného v pořadí.

Související voštiny

Čtyři runcitrunované pravidelné kompaktní voštiny v H3
obraz Symboly t0,1,3{5,3,4} t0,1,3{4,3,5} t0,1,3{3,5,3} t0,1,3{5,3,5} Vrchol postava

Omnitruncated order-5 dodecahedral honeycomb

Omnitruncated order-5 dodecahedral honeycomb
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	t0,1,2,3{5,3,5}
Coxeterův diagram
Buňky	tr {5,3} {} x {10}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} desetiúhelník {10}
Vrcholová postava	fylický disfenoid
Skupina coxeterů	${ displaystyle 2 times { overline {K}} _ {3}}$, [[5,3,5]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The omnitruncated order-5 dodecahedral honeycomb, , má zkrácený icosidodecahedron a desetiboký hranol buňky s a fylický disfenoid vrchol obrázek.

Související voštiny

Tři omnitrunované pravidelné kompaktní voštiny v H3
obraz Symboly t0,1,2,3{4,3,5} t0,1,2,3{3,5,3} t0,1,2,3{5,3,5} Vrchol postava

Viz také

• Konvexní jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
• Pravidelné mozaikování hyperbolického 3-prostoru
• 57 buněk - An abstraktní pravidelný polychoron který sdílel symbol {5,3,5}.

Reference

• Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
• Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejů, Dover Publications, 1999 ISBN  0-486-40919-8 (Kapitola 10: Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru, souhrnné tabulky II, III, IV, V, p212-213)
• Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis
  • N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
  • N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) Kapitola 13: Skupiny hyperbolických coxeterů