Oktaedrická symetrie - Octahedral symmetry
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Květen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
![]() Involuční symetrie Cs, (*) [ ] = ![]() | ![]() Cyklická symetrie Cnv, (* nn) [n] = ![]() ![]() ![]() | ![]() Dihedrální symetrie Dnh, (* n22) [n, 2] = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Polyhedrální skupina, [n, 3], (* n32) | |||
---|---|---|---|
![]() Čtyřboká symetrie Td, (*332) [3,3] = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Oktaedrická symetrie Óh, (*432) [4,3] = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Ikosahedrální symetrie Jáh, (*532) [5,3] = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |

Čtyři šestihranné cykly mají společnou inverzi (černý uzel nahoře). Šestiúhelníky jsou symetrické, takže např. 3 a 4 jsou ve stejném cyklu.
Pravidelný osmistěn má 24 rotačních (nebo zachovávajících orientaci) symetrií a celkem 48 symetrií. Patří mezi ně transformace, které kombinují odraz a rotaci. A krychle má stejnou sadu symetrií, protože se jedná o mnohostěn dvojí na osmistěn.
Skupina symetrií zachovávající orientaci je S4, symetrická skupina nebo skupina permutací čtyř objektů, protože pro každou permutaci čtyř párů protilehlých ploch osmistěnu existuje přesně jedna taková symetrie.
Detaily
Chirál a úplný (nebo achirál) oktaedrická symetrie jsou diskrétní bodové symetrie (nebo ekvivalentně, symetrie na kouli ) s největší skupiny symetrie kompatibilní s translační symetrie. Patří mezi krystalografické skupiny bodů z kubický krystalový systém.
Prvky O. | Inverze prvků O | ||
---|---|---|---|
identita | 0 | inverze | 0' |
3 × otočení o 180 ° kolem čtyřnásobné osy | 7, 16, 23 | 3 × odraz v rovině kolmé na čtyřnásobnou osu | 7', 16', 23' |
8 × otočení o 120 ° kolem 3násobné osy | 3, 4, 8, 11, 12, 15, 19, 20 | 8 × otočení o 60 ° | 3', 4', 8', 11', 12', 15', 19', 20' |
6 × otočení o 180 ° kolem 2násobné osy | 1', 2', 5', 6', 14', 21' | 6 × odraz v rovině kolmé na 2násobnou osu | 1, 2, 5, 6, 14, 21 |
6 × otočení o 90 ° kolem čtyřnásobné osy | 9', 10', 13', 17', 18', 22' | 6 × otočení o 90 ° | 9, 10, 13, 17, 18, 22 |
Příklady | ||||
---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Kompletní seznam naleznete v článek Wikiversity. |
Jako hyperoktaedrická skupina dimenze 3 je úplná oktaedrická skupina produkt věnce ,
a přirozeným způsobem, jak identifikovat jeho prvky, jsou páry s a .
Ale jak to je také přímý produkt , lze jednoduše identifikovat prvky čtyřboké podskupiny Td tak jako a jejich inverze jako .
Takže např. identita je reprezentován jako a inverze tak jako .
je reprezentován jako a tak jako .
A rotační odraz je kombinace rotace a odrazu.
Ilustrace rotačních odrazů | ||||
---|---|---|---|---|
![]() Odraz ![]() aplikováno na rotaci 120 ° ![]() dává 60 ° rotaci . | ||||
![]() Odraz ![]() aplikován na 90 ° rotaci ![]() dává 90 ° rotaci . |
Chirální oktaedrická symetrie
Gyrační osy | ||
---|---|---|
C4![]() | C3![]() | C2![]() |
3 | 4 | 6 |
Ó, 432, nebo [4,3]+ objednávky 24, je chirální oktaedrická symetrie nebo rotační oktaedrická symetrie . Tato skupina je jako chirál čtyřboká symetrie T, ale C.2 osy jsou nyní C.4 osy a navíc je zde 6 C.2 osami středy okrajů krychle. Td a Ó jsou izomorfní jako abstraktní skupiny: obě odpovídají S4, symetrická skupina na 4 objektech. Td je unie T a množina získaná kombinací každého prvku Ó \ T s inverzí. Ó je rotační skupina krychle a pravidelné osmistěn.
Ortogonální projekce | Stereografická projekce | ||
---|---|---|---|
2krát | 4krát | 3krát | 2krát |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Plná oktaedrická symetrie
Óh, *432, [4,3] nebo m3m objednávky 48 - achirální oktaedrická symetrie nebo plná oktaedrická symetrie. Tato skupina má stejné osy otáčení jako Ó, ale se zrcadlovými rovinami obsahujícími obě zrcadlové roviny Td a Th. Tato skupina je izomorfní s S4.C2, a je úplná skupina symetrie krychle a osmistěn. To je hyperoktaedrická skupina pro n = 3. Viz také izometrie krychle.
Se čtyřnásobnými osami jako souřadnicovými osami je základní doménou Óh je dáno 0 ≤ X ≤ y ≤ z. Objekt s touto symetrií je charakterizován částí objektu v základní doméně, například krychle darováno z = 1 a osmistěn podle X + y + z = 1 (nebo odpovídající nerovnosti pro získání tělesa místo povrchu).sekera + podle + cz = 1 dává mnohostěn se 48 tvářemi, např. disdyakis dodecahedron.
Tváře jsou kombinovány 8 na 8 s většími tvářemi pro A = b = 0 (krychle) a 6 ku 6 pro A = b = C (osmistěn).
9 zrcadlových linií plné osmistěnné symetrie lze rozdělit do dvou podskupin 3 a 6 (nakreslených fialově a červeně), představujících ve dvou ortogonálních subsymmetriích: D2h, a Td. D2h symetrii lze zdvojnásobit na D.4h obnovením 2 zrcadel z jedné ze tří orientací.
Oktaedrická symetrie a reflexní podskupiny | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
Rotační matice
Vezměte sadu všech 3x3 permutační matice a přiřadit znaménko + nebo znaménko - každé ze tří 1s. Existuje 6 permutací x 8 kombinací znaménků = celkem 48 matic, což dává celou oktaedrickou skupinu. Existuje přesně 24 matic s určující = +1 a toto jsou matice rotace chirální oktaedrické skupiny. Dalších 24 matic odpovídá odrazu nebo inverzi.
Pro oktaedrickou symetrii jsou zapotřebí tři matice odrazového generátoru, které představují tři zrcadla a Coxeter-Dynkinův diagram. Produktem odrazů jsou 3 rotační generátory.
Úvahy | Rotace | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
název | R0 | R1 | R2 | R0R1 | R1R2 | R0R2 |
Skupina | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() |
Objednat | 2 | 2 | 2 | 4 | 3 | 2 |
Matice |
Podskupiny plné osmistěnné symetrie
Ó Td Th Cyklujte grafy podskupin řádu 24 |
![]() Podskupiny seřazené podle Hasseho diagramu |
Rotační podskupiny Reflexní podskupiny Podskupiny obsahující inverzi |
Schoe. | Coxeter | Koule. | H-M | Struktura | Cyc. | Objednat | Index | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Óh | [4,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | *432 | m3m | S4 × S.2 | 48 | 1 | |
Td | [3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | *332 | 43 m | S4 | ![]() | 24 | 2 |
D4h | [2,4] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | *224 | 4 / mmm | Dih1× Dih4 | ![]() | 16 | 3 |
D2h | [2,2] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | *222 | mmm | Dih13= Dih1× Dih2 | ![]() | 8 | 6 |
C4v | [4] | ![]() ![]() ![]() | *44 | 4 mm | Dih4 | ![]() | 8 | 6 |
C3v | [3] | ![]() ![]() ![]() | *33 | 3 m | Dih3= S3 | ![]() | 6 | 8 |
C2v | [2] | ![]() ![]() ![]() | *22 | mm2 | Dih2 | ![]() | 4 | 12 |
Cs= C.1v | [ ] | ![]() | * | 2 nebo m | Dih1 | ![]() | 2 | 24 |
Th | [3+,4] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 3*2 | m3 | A4 × S.2 | ![]() | 24 | 2 |
C4h | [4+,2] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 4* | 4 / m | Z4 × Dih1 | ![]() | 8 | 6 |
D3d | [2+,6] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2*3 | 3m | Dih6= Z2× Dih3 | ![]() | 12 | 4 |
D2d | [2+,4] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2*2 | 42 m | Dih4 | ![]() | 8 | 6 |
C2h = D1d | [2+,2] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2* | 2 / m | Z2× Dih1 | ![]() | 4 | 12 |
S6 | [2+,6+] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 3× | 3 | Z6= Z2× Z.3 | ![]() | 6 | 8 |
S4 | [2+,4+] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2× | 4 | Z4 | ![]() | 4 | 12 |
S2 | [2+,2+] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | × | 1 | S2 | ![]() | 2 | 24 |
Ó | [4,3]+ | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 432 | 432 | S4 | ![]() | 24 | 2 |
T | [3,3]+ | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 332 | 23 | A4 | ![]() | 12 | 4 |
D4 | [2,4]+ | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 224 | 422 | Dih4 | ![]() | 8 | 6 |
D3 | [2,3]+ | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 223 | 322 | Dih3= S3 | ![]() | 6 | 8 |
D2 | [2,2]+ | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 222 | 222 | Dih2= Z22 | ![]() | 4 | 12 |
C4 | [4]+ | ![]() ![]() ![]() | 44 | 4 | Z4 | ![]() | 4 | 12 |
C3 | [3]+ | ![]() ![]() ![]() | 33 | 3 | Z3= A3 | ![]() | 3 | 16 |
C2 | [2]+ | ![]() ![]() ![]() | 22 | 2 | Z2 | ![]() | 2 | 24 |
C1 | [ ]+ | ![]() | 11 | 1 | Z1 | ![]() | 1 | 48 |
![]() |
Oktaedrické podskupiny v Coxeterova notace[1] |
Izometrie krychle

Kostka má 48 izometrií (prvky symetrie), tvořící skupina symetrie Óh, izomorfní s S4 × C2. Lze je rozdělit do následujících kategorií:
- Ó (totožnost a 23 správných rotací) s následujícím třídy konjugace (v závorkách jsou uvedeny permutace tělesných úhlopříček a reprezentace čtveřice jednotek ):
- identita (identita; 1)
- rotace kolem osy od středu obličeje ke středu protilehlého obličeje o úhel 90 °: 3 osy, 2 na osu, dohromady 6 ((1 2 3 4) atd .; ((1 ±i )/√2, atd.)
- totéž o úhel 180 °: 3 osy, 1 na osu, dohromady 3 ((1 2) (3 4) atd .; i, j, k)
- rotace kolem osy od středu hrany ke středu protilehlé hrany o úhel 180 °: 6 os, 1 na osu, dohromady 6 ((1 2) atd .; ((i ± j )/√2, atd.)
- rotace kolem tělesa úhlopříčně o úhel 120 °: 4 osy, 2 na osu, dohromady 8 ((1 2 3) atd .; (1 ±i ± j ± k)/2)
- Totéž s inverze (X je mapováno na -X) (také 24 izometrií). Všimněte si, že rotace o úhel 180 ° kolem osy kombinovaná s inverzí je pouze odrazem v kolmé rovině. Kombinace inverze a rotace kolem úhlopříčky těla o úhel 120 ° je rotace kolem úhlopříčky těla o úhel 60 ° v kombinaci s odrazem v kolmé rovině (samotné otáčení nemapuje krychli k sobě; průsečík odrazové roviny s krychlí je pravidelná šestiúhelník ).
Izometrii krychle lze identifikovat různými způsoby:
- pomocí ploch jsou mapovány tři dané sousední plochy (řekněme 1, 2 a 3 na matrici)
- obrazem krychle s nesymetrickým značením na jedné straně: tvář se značením, ať už je to normální nebo zrcadlový obraz, a orientace
- permutací čtyř úhlopříček těla (každá z 24 permutací je možná), v kombinaci s přepínačem pro inverzi krychle, nebo ne
Pro kostky s barvami nebo značkami (jako kostky mít), skupina symetrie je podskupinou Óh.
Příklady:
- C4proti, [4], (* 422): pokud má jeden obličej jinou barvu (nebo dvě protilehlé tváře mají barvy odlišné od sebe navzájem a od ostatních čtyř), má krychle 8 izometrií, jako má čtverec ve 2D.
- D2h, [2,2], (* 222): pokud mají protilehlé tváře stejné barvy, odlišné pro každou sadu dvou, má krychle 8 izometrií, jako kvádr.
- D4h, [4,2], (* 422): pokud mají dvě protilehlé tváře stejnou barvu a všechny ostatní tváře mají jednu jinou barvu, má krychle 16 izometrií, jako čtverec hranol (čtvercová krabice).
- C2proti, [2], (*22):
- pokud dvě sousední plochy mají stejnou barvu a všechny ostatní plochy mají jednu jinou barvu, má krychle 4 izometrie.
- pokud tři tváře, z nichž dvě proti sobě mají jednu barvu a další tři jednu jinou barvu, má krychle 4 izometrie.
- pokud dvě protilehlé plochy mají stejnou barvu a dvě další protilehlé plochy také a poslední dvě mají různé barvy, má krychle 4 izometrie, jako kus prázdného papíru s tvarem se zrcadlovou symetrií.
- Cs, [ ], (*):
- pokud dvě sousední tváře mají navzájem odlišné barvy a další čtyři mají třetí barvu, má krychle 2 izometrie.
- pokud mají dvě protilehlé tváře stejnou barvu a všechny ostatní tváře mají různé barvy, má krychle 2 izometrie, jako asymetrický kus prázdného papíru.
- C3proti, [3], (* 33): pokud tři tváře, z nichž žádný není naproti sobě, mají jednu barvu a další tři jednu jinou barvu, má krychle 6 izometrií.
U některých větších podskupin není kostka s touto skupinou jako skupinou symetrie možná pouze s vybarvením celých obličejů. Jeden musí nakreslit nějaký vzor na tvářích.
Příklady:
- D2d, [2+, 4], (2 * 2): má-li jedna plocha úsečku dělící plochu na dva stejné obdélníky a opačná má stejný v kolmém směru, krychle má 8 izometrií; existuje rovina symetrie a 2násobná rotační symetrie s osou pod úhlem 45 ° k této rovině a ve výsledku existuje také další rovina symetrie kolmá k první a další osa 2násobné rotační symetrie kolmo na první.
- Th, [3+, 4], (3 * 2): má-li každá plocha úsečku rozdělující plochu na dva stejné obdélníky, takže úsečky sousedních ploch dělají ne setkat se na okraji, kostka má 24 izometrií: rovnoměrné permutace úhlopříček těla a totéž v kombinaci s inverzí (X je mapováno na -X).
- Td, [3,3], (* 332): pokud kostka sestává z osmi menších kostek, čtyř bílých a čtyř černých, sestavených střídavě ve všech třech standardních směrech, má kostka znovu 24 izometrií: tentokrát sudé permutace úhlopříčky těla a inverze jiný správné rotace.
- T, [3,3]+, (332): má-li každá plocha stejný vzor se 2násobnou rotační symetrií, řekněme písmeno S, takže na všech okrajích se horní část jednoho S setkává se stranou druhého S, krychle má 12 izometrií: sudá permutace úhlopříček těla.
Plná symetrie krychle, Óh, [4,3], (* 432), je zachován kdyby a jen kdyby všechny tváře mají stejný vzor, takže plná symetrie náměstí je zachována, přičemž pro čtverec je skupina symetrie, Dih4, [4], pořadí 8.
Plná symetrie krychle při správných rotacích, Ó, [4,3]+, (432), je zachována právě tehdy, pokud mají všechny tváře stejný vzor s Čtyřnásobná rotační symetrie, C.4, [4]+.
Oktaedrická symetrie povrchu Bolza
v Riemannův povrch teorie Povrch Bolza, někdy nazývaná Bolzova křivka, se získává jako rozvětvené dvojité pokrytí Riemannovy koule s lokusem rozvětvení na množině vrcholů pravidelného vepsaného osmistěnu. Jeho skupina automorfismu zahrnuje hyperelliptickou involuci, která převrátí dva listy krytu. Kvocient podskupiny řádu 2 generovaný hyperelliptickou involucí poskytuje přesně skupinu symetrií osmistěnu. Mezi mnoha pozoruhodnými vlastnostmi povrchu Bolza je skutečnost, že maximalizuje systola mezi všemi hyperbolickými povrchy rodu 2.
Tělesa s osmistěnnou chirální symetrií
Třída | název | Obrázek | Tváře | Hrany | Vrcholy | Duální jméno | Obrázek |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Archimédův pevný (Katalánština pevná ) | urážka kostka | ![]() | 38 | 60 | 24 | pětiúhelníkový icositetrahedron | ![]() |
Tělesa s plnou oktaedrickou symetrií
Třída | název | Obrázek | Tváře | Hrany | Vrcholy | Duální jméno | Obrázek |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Platonická pevná látka | Krychle | ![]() | 6 | 12 | 8 | Octahedron | ![]() |
Archimédův pevný (dvojí Katalánština pevná ) | Cuboctahedron | ![]() | 14 | 24 | 12 | Kosočtverečný dvanáctistěn | ![]() |
Zkrácená kostka | ![]() | 14 | 36 | 24 | Triakis octahedron | ![]() | |
Zkrácený osmistěn | ![]() | 14 | 36 | 24 | Tetrakis hexahedron | ![]() | |
Rhombicuboctahedron | ![]() | 26 | 48 | 24 | Deltoidní icositetrahedron | ![]() | |
Zkrácený cuboctahedron | ![]() | 26 | 72 | 48 | Disdyakis dodecahedron | ![]() | |
Pravidelný sloučenina mnohostěn | Stella octangula | ![]() | 8 | 12 | 8 | Self-dual | |
Krychle a osmistěn | ![]() | 14 | 24 | 14 | Self-dual |
Viz také
- Čtyřboká symetrie
- Ikosahedrální symetrie
- Binární oktaedrická skupina
- Hyperoktaedrická skupina
Celá oktaedrická skupina
Reference
- ^ John Conway, Symetrie věcí, Obr. 20.8, p280
- Peter R. Cromwell, Mnohostěn (1997), str. 295
- Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
- Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie, 11.5 Skupiny sférických coxeterů
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. "Oktaedrická skupina". MathWorld.
- Skupinové výhry: Přímý produkt S4 a Z2