Duální mnohostěn - Dual polyhedron

Dvojí a krychle je osmistěn. Vrcholy jednoho odpovídají plochám druhého a hrany si navzájem odpovídají.

v geometrie, jakýkoli mnohostěn je spojena s vteřinou dvojí postava, kde vrcholy jednoho odpovídá tváře druhého a hrany mezi dvojicemi vrcholů jednoho odpovídají hranám mezi dvojicemi ploch druhého.^[1] Takové dvojčíslí zůstávají kombinatorické nebo abstraktní mnohostěn, ale ne všechny jsou také geometrické mnohostěny.^[2] Počínaje jakýmkoli daným mnohostěnem je duál jeho duálu původní mnohostěn.

Dualita zachovává symetrie mnohostěnu. Proto pro mnoho tříd mnohostěn definovaných jejich symetrií duály také patří do symetrické třídy. Pravidelný mnohostěn - (konvexní) Platonické pevné látky a (hvězda) Kepler – Poinsotův mnohostěn - tvoří dvojice, kde jsou běžné čtyřstěn je self-dual. Duál izogonálního mnohostěnu, který má ekvivalentní vrcholy, je ten, který je isohedrální a má ekvivalentní plochy. Duální z isotoxální mnohostěn (mající ekvivalentní hrany) je také toxický.

Dualita s tím úzce souvisí vzájemnost nebo polarita, geometrická transformace, která při aplikaci na konvexní mnohostěn realizuje duální mnohostěn jako další konvexní mnohostěn.

Druhy duality

Dvojí a Platonická pevná látka lze vytvořit spojením středů obličeje. Obecně to vytváří pouze a topologická duální.
Obrázky z Kepler je Harmonices Mundi (1619)

Existuje mnoho druhů duality. Druhy nejdůležitější pro elementární mnohostěny jsou polární vzájemnost a topologická nebo abstraktní dualita.

Polární oplácení

Dvojník mnohostěnů ${displaystyle P}$ je často definován v pojmech polární oplácení o kouli. Zde je každý vrchol (pól) spojen s rovinou obličeje (polární rovina nebo jen polární), takže paprsek od středu k vrcholu je kolmý k rovině a součin vzdáleností od středu ke každému se rovná čtverec poloměru.^[3]

Když má koule poloměr ${displaystyle r}$ a je vystředěn na počátek, tj. definován rovnicí ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2},}$ a ${displaystyle P}$ je konvexní mnohostěn, pak je jeho polární dvojník definován jako

{displaystyle P ^ {circ} = {qin mathbb {R} ^ {3} mid qcdot pleq r ^ {2} {ext {for all}} pin P}}

kde ${displaystyle qcdot p}$ označuje standard Tečkovaný produkt z ${displaystyle q}$ a ${displaystyle p}$ .

Typicky, když není v konstrukci duálu zadána žádná koule, použije se jednotková koule, což znamená ${displaystyle r = 1}$ ve výše uvedených definicích.^[4]

Pro každou tvář ${displaystyle P}$ popsáno lineární rovnicí

{displaystyle x_ {0} x + y_ {0} y + z_ {0} z = r ^ {2},}

duální mnohostěn ${displaystyle P ^ {circ}}$ bude mít vrchol ${displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ . Podobně každý vrchol ${displaystyle P}$ odpovídá tváři ${displaystyle P ^ {circ}}$ a každý okraj ${displaystyle P}$ odpovídá okraji ${displaystyle P ^ {circ}}$ . Korespondence mezi vrcholy, hranami a plochami ${displaystyle P}$ a ${displaystyle P ^ {circ}}$ obrací zařazení. Například pokud hrana ${displaystyle P}$ obsahuje vrchol, odpovídající hranu ${displaystyle P ^ {circ}}$ bude obsažen v odpovídajícím obličeji.

U symetrických mnohostěnů se zjevným těžištěm je běžné, že jsou mnohostěny a koule soustředné, jako v níže popsané konstrukci Dorman Luke. Pokud je přítomno více os symetrie, budou se nutně protínat v jednom bodě, a to se obvykle považuje za těžiště. V opačném případě se běžně používá ohraničená koule, vepsaná koule nebo střední koule (jedna se všemi hranami jako tečnami).

Je však možné oplácet mnohostěn o jakékoli sféře a výsledná podoba duálu bude záviset na velikosti a poloze koule; jak je sféra různorodá, tak i duální forma. Volba středu pro sféru je dostatečná k definování duální až podobnosti.

Pokud je mnohostěn v Euklidovský prostor má prvek procházející středem koule, odpovídající prvek jeho duálu přejde do nekonečna. Protože euklidovský prostor nikdy nedosáhne nekonečna, lze projektivní ekvivalent, nazývaný rozšířený euklidovský prostor, vytvořit přidáním požadované „roviny v nekonečnu“. Někteří teoretici se raději drží euklidovského prostoru a říkají, že neexistuje duální. Mezitím, Wenninger (1983) našel způsob, jak reprezentovat tyto nekonečné duály způsobem vhodným pro vytváření modelů (nějaké konečné části).

Koncept dualita zde úzce souvisí s dualita v projektivní geometrie, kde jsou čáry a hrany zaměňovány. Projektivní polarita pro konvexní mnohostěn funguje dostatečně dobře. Ale u nekonvexních postav, jako je hvězdná mnohostěna, když se snažíme důsledně definovat tuto formu mnohostěnné duality z hlediska projektivní polarity, objevují se různé problémy.^[5] Kvůli definičním problémům pro geometrickou dualitu nekonvexních mnohostěnů, Grünbaum (2007) tvrdí, že jakákoli správná definice nekonvexního mnohostěnu by měla zahrnovat pojem dvojitého mnohostěnu.

Kanonické duální

Kanonický dvojitá sloučenina cuboctahedron (světlý) a kosočtverečný dvanáctistěn (tmavý). Dvojice hran se setkávají na společné midsphere.

Jakýkoli konvexní mnohostěn může být zkreslen na kanonická forma, ve kterém je jednotka midsphere (nebo intersphere) existuje tečna ke každé hraně a taková, že průměrná poloha bodů tečny je středem koule. Tato forma je jedinečná až do shody.

Pokud oplácíme takový kanonický mnohostěn kolem jeho střední sféry, bude mít duální mnohostěn stejné body tečné hrany, a proto musí být také kanonický. Jedná se o kanonický duální a dva dohromady tvoří kanonický duální pár.^[6]

Topologická dualita

Dokonce i když dvojici mnohostěnů nelze získat vzájemným oplácením, lze je nazývat duálními navzájem, pokud vrcholy jednoho odpovídají plochám druhého a okraje jednoho odpovídají hranám druhého způsobem, který chrání incidenci. Takové páry mnohostěnů jsou stále topologicky nebo abstraktně dvojí.

Vrcholy a hrany konvexního mnohostěnu tvoří a graf (dále jen 1-kostra mnohostěn), vložený na topologické sféře, povrch mnohostěn. Stejný graf lze promítnout tak, aby vytvořil Schlegelův diagram na rovině. Graf tvořený hranami a vrcholy dvojitého mnohostěnu je jeho duální graf. Obecněji řečeno, pro jakýkoli mnohostěn, jehož plochy tvoří uzavřený povrch, tvoří vrcholy a okraje mnohostěnového grafu vloženého na tento povrch a vrcholy a okraje (abstraktního) dvojitého mnohostěnu tvoří dvojitý graf.

An abstraktní mnohostěn je určitý druh částečně objednaná sada (poset) prvků, například to, že sousedství nebo spojení mezi prvky sady odpovídají sousednostem mezi prvky (plochy, hrany atd.) mnohostěnu. Každý takový poset má dvojí poset, vytvořený obrácením všech řádových vztahů. Pokud je poset zobrazen jako a Hasseův diagram, dvojitý poset lze vizualizovat jednoduše otočením Hasseho diagramu vzhůru nohama. Každý geometrický mnohostěn tímto způsobem odpovídá abstraktnímu mnohostěnu a má abstraktní dvojitý mnohostěn. U některých typů nekonvexních geometrických mnohostěnů však dvojitý mnohostěn nemusí být realizován geometricky.

Konstrukce Dormana Luka

Pro jednotný mnohostěn, tvář dvojitého mnohostěnu lze nalézt z původního mnohostěnu vrchol obrázek za použití Dorman Luke konstrukce.^[7]

Jako příklad ukazuje níže uvedená ilustrace vrchol (červený) obrázku cuboctahedron se používá k odvození obličeje (modré) z kosočtverečný dvanáctistěn.

Před zahájením stavby byla vrchol obrázek abeceda se získá řezáním každé připojené hrany v (v tomto případě) jejím středu.

Stavba Dormana Luka poté pokračuje:

Nakreslete vrchol abeceda
Nakreslete circumcircle (tečnu do každého rohu A, B, C a D).
V každém rohu nakreslete čáry tečné k oblouku A, B, C, D.
Označte body E, F, G, H, kde se každá tečná čára setkává se sousední tečnou.
Mnohoúhelník EFGH je tváří dvojitého mnohostěnu.

V tomto příkladu byla zvolena velikost vrcholové figury tak, aby její kruhový kruh ležel na intersphere cuboctahedron, který se také stane intersphere dvojitého kosočtverečného dodecahedron.

Konstrukci Dormana Luka lze použít pouze tam, kde mnohostěn má takovou mezisféru a vrchol je cyklický. Například jej lze použít na jednotná mnohostěna.

Self-dual mnohostěn

Topologicky je self-dual mnohostěn je ten, jehož dual má přesně stejnou konektivitu mezi vrcholy, hranami a plochami. Abstraktně mají stejný Hasseův diagram.

Geometricky self-dual mnohostěn je nejen topologicky sebe-duální, ale jeho polární reciprocita ohledně určitého bodu, typicky jeho těžiště, je podobná postava. Například duál pravidelného čtyřstěnu je další pravidelný čtyřstěn, odráží přes původ.

Každý mnohoúhelník je topologicky sebe-duální (má stejný počet vrcholů jako hrany a ty jsou přepínány dualitou), ale obecně nebudou geometricky sebe-duální (například až po tuhý pohyb). Každý mnohoúhelník má a pravidelná forma který je geometricky sebe-duální o své intersphere: všechny úhly jsou shodné, stejně jako všechny hrany, takže pod dualitou se tyto kongruence zaměňují.

Podobně každý topologicky sebe-duální konvexní mnohostěn může být realizován ekvivalentním geometricky sebe-duálním mnohostěnem, jeho kanonický mnohostěn, vzájemně o středu midsphere.

Existuje nekonečně mnoho geometricky sebe-duální mnohostěnů. Nejjednodušší nekonečná rodina je kanonická pyramidy z n strany. Další nekonečná rodina, protáhlé pyramidy, se skládá z mnohostěnů, které lze zhruba popsat jako pyramidu sedící na vrcholu a hranol (se stejným počtem stran). Přidání komolého jehlanu (pyramida s odříznutou horní částí) pod hranol vytváří další nekonečnou rodinu atd.

Existuje mnoho dalších konvexních mnohostěnů. Například existuje 6 různých se 7 vrcholy a 16 s 8 vrcholy.^[8]

Self-dual^{[je zapotřebí objasnění ]} non-konvexní dvacetistěn s šestiúhelníkovými plochami byl identifikován Brücknerem v roce 1900.^[9]^[10]^[11] Byly nalezeny další nekonvexní mnohočetné mnohostěny, a to podle určitých definic nekonvexních mnohostěnů a jejich duálů.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Rodina pyramid
3	4	5	6

Rodina protáhlé pyramidy
3	4	5

Rodina zmenšená lichoběžník
3	4	5	6	7

Duální polytopy a mozaikování

Dualitu lze zobecnit na n-rozměrný prostor a dvojí polytopes; ve dvou dimenzích se tomu říká duální polygony.

Vrcholy jednoho polytopu odpovídají (n - 1) -dimenzionální prvky nebo fazety druhého a j body, které definují (j - 1) -dimenzionální prvek bude odpovídat j hyperplány, které se protínají, aby poskytly (n − j) -dimenzionální prvek. Duální z n-dimenzionální mozaikování nebo plástev lze definovat podobně.

Obecně budou aspekty duálního polytopu topologickými duálními hodnotami vrcholů polytopů. Pro polární převrácené hodnoty pravidelný a jednotný polytopes, duální fazety budou polárními převrácenými hodnotami vrcholového útvaru originálu. Například ve čtyřech rozměrech je vrcholová figura 600 buněk je dvacetistěnu; duální 600článková je 120 buněk, jejichž aspekty jsou dodekahedra, což jsou duály dvacetistěnu.

Vlastní duální polytopy a mozaikování

The čtvercové obklady, {4,4}, je samo-duální, jak ukazují tyto červené a modré obklady

The Apeirogonální obklady nekonečného řádu, {∞, ∞} červeně a jeho dvojitá poloha modře

Primární třída samo-duálních polytopů jsou běžné polytopy s palindromický Schläfliho symboly. Všechny běžné polygony, {a}, jsou sebe-duální, mnohostěn formuláře {a, a}, 4-polytopes formuláře {a, b, a}, 5-polytopes formuláře {a, b, b, a} atd.

Vlastní duální pravidelné polytopy jsou:

Všechno pravidelné mnohoúhelníky, {a}.
Pravidelný čtyřstěn: {3,3}
Obecně vše běžné n-simplexes, {3,3,...,3}
Pravidelný 24článková ve 4 rozměrech, {3,4,3}.
The skvělý 120 buněk {5,5 / 2,5} a hvězdicovitá 120článková {5/2,5,5/2}

Self-dual (nekonečný) pravidelný Euclidean voštiny jsou:

Apeirogon: {∞}
Čtvercové obklady: {4,4}
Krychlový plástev: {4,3,4}
Obecně vše běžné n-dimenzionální euklidovský hyperkubické voštiny: {4,3,...,3,4}.

Self-dual (nekonečný) pravidelný hyperbolický voštiny jsou:

Kompaktní hyperbolické obklady: {5,5}, {6,6}, ... {p, p}.
Parakompaktní hyperbolické obklady: {∞,∞}
Kompaktní hyperbolické voštiny: {3,5,3}, {5,3,5}, a {5,3,3,5}
Parakompaktní hyperbolické voštiny: {3,6,3}, {6,3,6}, {4,4,4} a {3,3,4,3,3}

Viz také

Reference

Poznámky

^ Wenninger (1983) „Základní pojmy o hvězdářství a dualitě“, s. 1.
^ Grünbaum (2003)
^ Cundy & Rollett (1961) „3.2 Dualita, s. 78–79; Wenninger (1983), Strany 3-5. (Poznámka, Wenningerova diskuse zahrnuje nekonvexní mnohostěny.)
^ Barvinok (2002), Strana 143.
^ Viz například Grünbaum & Shephard (2013), a Gailiunas & Sharp (2005). Wenninger (1983) také diskutuje o některých problémech na cestě k odvození jeho nekonečných duálů.
^ Grünbaum (2007), Věta 3.1, str. 449.
^ Cundy & Rollett (1961), str. 117; Wenninger (1983), str. 30.
^ 3D Jáva modely na Symetrie kanonických samostatných mnohostěnů, na základě příspěvku Gunnara Brinkmanna, Brendana D. McKaye, Rychlé generování rovinných grafů PDF [1]
^ Anthony M. Cutler a Egon Schulte; "Pravidelná mnohostěna indexu dva", I; Beiträge zur Algebra und Geometrie / Příspěvky k algebře a geometrii Duben 2011, svazek 52, číslo 1, s. 133–161.
^ N. J. Bridge; "Faceting the Dodecahedron", Acta Crystallographica, Sv. A 30, část 4. července 1974, obr. 3c a doprovodný text.
^ Brückner, M .; Velecke und Vielflache: Theorie und Geschichte, Teubner, Lipsko, 1900.

Bibliografie

Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Matematické modely (2. vyd.), Oxford: Clarendon Press, PAN 0124167.
Gailiunas, P .; Sharp, J. (2005), „Dualita mnohostěnů“, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 36 (6): 617–642, doi:10.1080/00207390500064049, S2CID 120818796.
Grünbaum, Branko (2003), „Are your polyhedra the same as my polyhedra?“, In Aronov, Borisi; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha (eds.), Diskrétní a výpočetní geometrie: Goodman – Pollack FestschriftAlgoritmy a kombinatorika, 25, Berlín: Springer, s. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755, doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21, ISBN 978-3-642-62442-1, PAN 2038487.
Grünbaum, Branko (2007), „Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs“, Diskrétní matematika, 307 (3–5): 445–463, doi:10.1016 / j.disc.2005.09.037, hdl:1773/2276, PAN 2287486.
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (2013), „Dualita mnohostěnů“, in Senechal, Marjorie (vyd.), Tvarování vesmíru: Zkoumání mnohostěnů v přírodě, umění a geometrické představivosti, New York: Springer, s. 211–216, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_15, ISBN 978-0-387-92713-8, PAN 3077226.
Wenninger, Magnus (1983), Duální modely, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, PAN 0730208.
Barvinok, Alexander (2002), Kurz konvexity, Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688.

externí odkazy

[1] Wenninger (1983) „Základní pojmy o hvězdářství a dualitě“, s. 1.

[2] Grünbaum (2003)

[3] Cundy & Rollett (1961) „3.2 Dualita, s. 78–79; Wenninger (1983), Strany 3-5. (Poznámka, Wenningerova diskuse zahrnuje nekonvexní mnohostěny.)

[4] Barvinok (2002), Strana 143.

[5] Viz například Grünbaum & Shephard (2013), a Gailiunas & Sharp (2005). Wenninger (1983) také diskutuje o některých problémech na cestě k odvození jeho nekonečných duálů.

[6] Grünbaum (2007), Věta 3.1, str. 449.

[7] Cundy & Rollett (1961), str. 117; Wenninger (1983), str. 30.

[8] 3D Jáva modely na Symetrie kanonických samostatných mnohostěnů, na základě příspěvku Gunnara Brinkmanna, Brendana D. McKaye, Rychlé generování rovinných grafů PDF [1]

[9] Anthony M. Cutler a Egon Schulte; "Pravidelná mnohostěna indexu dva", I; Beiträge zur Algebra und Geometrie / Příspěvky k algebře a geometrii Duben 2011, svazek 52, číslo 1, s. 133–161.

[10] N. J. Bridge; "Faceting the Dodecahedron", Acta Crystallographica, Sv. A 30, část 4. července 1974, obr. 3c a doprovodný text.

[11] Brückner, M .; Velecke und Vielflache: Theorie und Geschichte, Teubner, Lipsko, 1900.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]