Order-4 šestihranný obkladový plástev - Order-4 hexagonal tiling honeycomb

Order-4 šestihranný obkladový plástev
Perspektivní projekce Pohled v rámci Poincaré model disku
Typ	Hyperbolický pravidelný plástev Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	{6,3,4} {6,31,1} t0,1{(3,6)2}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔
Buňky	{6,3}
Tváře	šestiúhelník {6}
Postava hrany	náměstí {4}
Vrcholová postava	osmistěn
Dvojí	Objednávka-6 kubických voštin
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6] ${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$, [6,31,1] ${ displaystyle { widehat {VV}} _ {3}}$, [(6,3)[2]]
Vlastnosti	Pravidelný, quasiregular

V oblasti hyperbolická geometrie, objednávka 4 šestihranný obkladový plástev vzniká jako jeden z 11 pravidelné paracompaktní voštiny v 3-dimenzionálním hyperbolický prostor. to je paracompact protože má buňky složený z nekonečného počtu tváří. Každá buňka je a šestihranný obklad jehož vrcholy leží na a horosféra: plochá rovina v hyperbolickém prostoru, která se blíží k jedinému ideální bod v nekonečnu.

A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako běžné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

The Schläfliho symbol šestihranných plástů řádu 4 je {6,3,4}. Od té doby šestihranný obklad je {6,3}, tento plást má čtyři takové šestiúhelníkové sklony, které se setkávají na každém okraji. Od Schläfliho symbolu osmistěn je {3,4} vrchol obrázek tohoto plástve je osmistěn. Osm hexagonálních náklonů se tedy setkává u každého vrcholu této voštiny a šest hran, které se u každého vrcholu nacházejí, leží podél tří ortogonálních os.^[1]

snímky

Perspektivní projekce	Jedna buňka, při pohledu zvenčí sféry Poincare
Vrcholy a t {(3, ∞, 3)}, obklady existují jako 2-hypercyklus v tomto plástve	Plástev je analogický s H2 objednávka 4 apeirogonal obklady „{∞, 4}, zde zobrazené s jednou zelenou apeirogon nastínil jeho horocykl

Symetrie

Vztahy podskupin

Šestihranný obkladový plátek řádu 4 má tři konstrukce reflexní simplexní symetrie.

Polosymetrická jednotná konstrukce {6,3^1,1} má dva typy (barvy) šestihranných obkladů, s Coxeterův diagram ↔ . Existuje také konstrukce se čtvrtletní symetrií se čtyřmi barvami šestihranných naklonění: .

Existují další dvě reflexní symetrie s nesimplektickými základními doménami: [6,3^*, 4], což je index 6, s Coxeterův diagram ; a [6, (3,4)^*], což je index 48. Ten má a krychlový základní doména a osmistěn Coxeterův diagram se třemi nekonečnými axiálními větvemi: . Je vidět, že k barvení šestihranných vrstev plástve používá osm barev.

Šestihranný obkladový plást řádu 4 obsahuje , která dlaždice 2-hypercyklus povrchy a jsou podobné zkrácený trojúhelníkový obklad nekonečného řádu, :

Související polytopy a voštiny

Voštinový šestihranný obklad řádu 4 je a pravidelný hyperbolický plástev ve 3-prostoru a jeden z 11, které jsou paracompact.

11 paracompact pravidelných voštin
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Existují patnáct uniformních voštin v [6,3,4] Skupina coxeterů rodina, včetně této pravidelné formy, a její dvojí, objednávka-6 kubických voštin.

[6,3,4] rodinné voštiny
{6,3,4}	r {6,3,4}	t {6,3,4}	rr {6,3,4}	t0,3{6,3,4}	tr {6,3,4}	t0,1,3{6,3,4}	t0,1,2,3{6,3,4}
{4,3,6}	r {4,3,6}	t {4,3,6}	rr {4,3,6}	2t {4,3,6}	tr {4,3,6}	t0,1,3{4,3,6}	t0,1,2,3{4,3,6}

Šestihranný obkladový plást řádu 4 má související střídal plástev, ↔ , s trojúhelníkové obklady a osmistěn buňky.

Je součástí posloupnosti pravidelných voštin ve tvaru {6,3, p}, z nichž všechny jsou složeny šestihranný obklad buňky:

{6,3, p} voštiny [ proti t E ]
Prostor	H3
Formulář	Paracompact				Nekompaktní
název	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Coxeter
obraz
Vrchol postava {3, str}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Tato plástev také souvisí s 16 buněk, kubický plástev a řád-4 dodekahedrální plástev, z nichž všechny mají osmiboká čísla vrcholů.

{p, 3,4} pravidelné voštiny
Prostor	S3	E3	H3
Formulář	Konečný	Afinní	Kompaktní	Paracompact	Nekompaktní
název	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
obraz
Buňky	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Výše uvedené voštiny jsou také quasiregular:

Pravidelné a kvaziregulární voštiny: {p, 3,4} a {p, 31,1}
Prostor	Euklidovský 4prostor	Euklidovský 3prostor	Hyperbolický 3prostor
název	{3,3,4} {3,31,1} = ${ displaystyle left {3, {3 na vrcholu 3} right }}$	{4,3,4} {4,31,1} = ${ displaystyle left {4, {3 na vrcholu 3} right }}$	{5,3,4} {5,31,1} = ${ displaystyle left {5, {3 na vrcholu 3} right }}$	{6,3,4} {6,31,1} = ${ displaystyle left {6, {3 na vrcholu 3} right }}$
Coxeter diagram	=	=	=	=
obraz
Buňky {p, 3}

Opravený šestihranný obkladový plást s objednávkou 4

Rektifikovaná objednávka - šestihranný obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	r {6,3,4} nebo t1{6,3,4}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔
Buňky	{3,4} r {6,3}
Tváře	trojúhelník {3} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	hranatý hranol
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6] ${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$, [4,3[3]] ${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$, [6,31,1] ${ displaystyle { overline {DP}} _ {3}}$, [3[]×[]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The opravená objednávka-4 šestihranný obkladový plástev, t₁{6,3,4}, má osmistěn a trihexagonal obklady fazety, s a hranatý hranol vrchol obrázek.

Je to podobné jako u 2D hyperboliku tetraapeirogonal obklady, r {∞, 4}, který střídá apeirogonal a čtvercové tváře:

Zkrácený voštinový šestihranný obklad řádu 4

Zkrácený voštinový šestihranný obklad řádu 4
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t {6,3,4} nebo t0,1{6,3,4}
Coxeterův diagram	↔
Buňky	{3,4} t {6,3}
Tváře	trojúhelník {3} dodekagon {12}
Vrcholová postava	čtvercová pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6] ${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$, [6,31,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The zkrácený voštinový šestihranný obklad řádu 4, t_0,1{6,3,4}, má osmistěn a komolý šestihranný obklad fazety, s a čtvercová pyramida vrchol obrázek.

Je to podobné jako u 2D hyperboliku zkrácený apeirogonální obklad řádu 4, t {∞, 4}, s apeirogonal a čtvercové tváře:

Bitrunkovaný šestihranný obkladový plást s objednávkou 4

Bitruncated objednávka-4 hexagonální obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	2t {6,3,4} nebo t1,2{6,3,4}
Coxeterův diagram	↔ ↔ ↔
Buňky	t {4,3} t {3,6}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	digonal disphenoid
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6] ${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$, [4,3[3]] ${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$, [6,31,1] ${ displaystyle { overline {DP}} _ {3}}$, [3[]×[]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The bitruncated order-4 hexagonal tiling honeycomb, t_1,2{6,3,4}, má zkrácený osmistěn a šestihranný obklad buňky s a digonal disphenoid vrchol obrázek.

Cantellated order-4 hexagonal tiling honeycomb

Cantellated order-4 hexagonal tiling honeycomb
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	rr {6,3,4} nebo t0,2{6,3,4}
Coxeterův diagram	↔
Buňky	r {3,4} {} x {4} rr {6,3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	klín
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6] ${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$, [6,31,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantellated order-4 hexagonal tiling honeycomb, t_0,2{6,3,4}, má cuboctahedron, krychle, a rhombitrihexagonal obklady buňky s a klín vrchol obrázek.

Cantitruncated objednávka-4 šestihranný obkladový plástev

Cantitruncated objednávka-4 šestihranný obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	tr {6,3,4} nebo t0,1,2{6,3,4}
Coxeterův diagram	↔
Buňky	t {3,4} {} x {4} tr {6,3}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} dodekagon {12}
Vrcholová postava	zrcadlový sfénoid
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6] ${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$, [6,31,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantitruncated order-4 hexagonal tiling honeycomb, t_0,1,2{6,3,4}, má zkrácený osmistěn, krychle, a zkrácené trihexagonální obklady buňky, s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.

Runcinated order-4 hexagonal tiling honeycomb

Runcinated order-4 hexagonal tiling honeycomb
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t0,3{6,3,4}
Coxeterův diagram	↔
Buňky	{4,3} {} x {4} {6,3} {} x {6}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	nepravidelný trojúhelníkový antiprism
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcinated order-4 hexagonal tiling honeycomb, t_0,3{6,3,4}, má krychle, šestihranný obklad a šestihranný hranol buňky, s nepravidelným trojúhelníkový antiprism vrchol obrázek.

Obsahuje hyperbolický 2D rhombitetrahexagonal obklady, rr {4,6}, se čtvercovými a šestihrannými plochami. Obklad má také poloviční symetrickou konstrukci .

	=

Runcitruncated objednávka-4 šestihranný obkladový plástev

Runcitruncated objednávka-4 šestihranný obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t0,1,3{6,3,4}
Coxeterův diagram
Buňky	rr {3,4} {} x {4} {} x {12} t {6,3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} dodekagon {12}
Vrcholová postava	rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcitruncated objednávka-4 hexagonální obkladový plástev, t_0,1,3{6,3,4}, má kosočtverec, krychle, dodecagonal hranol, a komolý šestihranný obklad buňky, s rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida vrchol obrázek.

Runcicantellated order-4 hexagonální obkladový plástev

The runcicantellated order-4 hexagonal tiling honeycomb je stejný jako runcitruncated objednávka-6 kubických voštin.

Omnitruncated order-4 hexagonal tiling honeycomb

Omnitruncated order-4 hexagonal tiling honeycomb
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t0,1,2,3{6,3,4}
Coxeterův diagram
Buňky	tr {4,3} tr {6,3} {} x {12} {} x {8}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} osmiúhelník {8} dodekagon {12}
Vrcholová postava	nepravidelný čtyřstěn
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$, [4,3,6]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The omnitruncated order-4 hexagonal tiling honeycomb, t_0,1,2,3{6,3,4}, má zkrácený cuboctahedron, zkrácené trihexagonální obklady, dodecagonal hranol, a osmiboký hranol buňky, s nepravidelným čtyřstěn vrchol obrázek.

Střídavý šestihranný obkladový plást řádu 4

Střídavý šestihranný obkladový plást řádu 4
Typ	Paracompact jednotný plástev Semiregular plástev
Schläfliho symboly	h {6,3,4}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	{3[3]} {3,4}
Tváře	trojúhelník {3}
Vrcholová postava	zkrácený osmistěn
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$, [4,3[3]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive, quasiregular

The střídaný šestihranný obkladový plást řádu 4, ↔ , se skládá z trojúhelníkové obklady a osmistěn buňky, v zkrácený osmistěn vrchol obrázek.

Cantic order-4 hexagonální obkladový plástev

Cantic order-4 hexagonální obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	h2{6,3,4}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	h2{6,3} t {3,4} r {3,4}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	klín
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$, [4,3[3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantic order-4 hexagonální obkladový plástev, ↔ , se skládá z trihexagonal obklady, zkrácený osmistěn, a cuboctahedron buňky s a klín vrchol obrázek.

Runcic order-4 šestihranný obkladový plástev

Runcic order-4 šestihranný obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	h3{6,3,4}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	{3[3]} rr {3,4} {4,3} {} x {3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	trojúhelníková kopule
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$, [4,3[3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcic order-4 šestihranný obkladový plástev, ↔ , se skládá z trojúhelníkové obklady, kosočtverec, krychle, a trojúhelníkový hranol buňky, s a trojúhelníková kopule vrchol obrázek.

Runcicantic order-4 hexagonální obkladový plástev

Runcicantic order-4 hexagonální obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	h2,3{6,3,4}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	h2{6,3} tr {3,4} t {4,3} {} x {3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	obdélníkový pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$, [4,3[3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcicantic order-4 hexagonální obkladový plástev, ↔ , se skládá z trihexagonal obklady, zkrácený cuboctahedron, zkrácená kostka, a trojúhelníkový hranol buňky, s a obdélníkový pyramida vrchol obrázek.

Čtvrtletní šestihranný obklad s voštinami

Čtvrtletní šestihranný obklad s voštinami
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	q {6,3,4}
Coxeterův diagram	↔
Buňky	{3[3]} {3,3} t {3,3} h2{6,3}
Tváře	trojúhelník {3} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	trojúhelníková kopule
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {DP}} _ {3}}$, [3[]X[]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The čtvrtina objednávky-4 šestihranný obkladový plástev, q {6,3,4}, nebo , se skládá z trojúhelníkové obklady, trihexagonal obklady, čtyřstěn, a zkrácený čtyřstěn buňky s a trojúhelníková kopule vrchol obrázek.

Viz také

• Konvexní jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
• Pravidelné mozaikování hyperbolického 3-prostoru
• Paracompact jednotné voštiny

Reference

• Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
• Krása geometrie: Dvanáct esejů (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN  0-486-40919-8 (Kapitola 10, Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru ) Tabulka III
• Jeffrey R. Weeks Tvar vesmíru, 2. vydání ISBN  0-8247-0709-5 (Kapitola 16-17: Geometrie na trojnásobném potrubí I, II)
• Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis
  • N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
  • N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) Kapitola 13: Skupiny hyperbolických coxeterů