Malý hvězdný dvanáctistěn - Small stellated dodecahedron

Malý hvězdný dvanáctistěn
Typ	Kepler – Poinsotův mnohostěn
Stelace jádro	pravidelný dvanáctistěn
Elementy	F = 12, E = 30 PROTI = 12 (χ = -6)
Tváře po stranách	12 5
Schläfliho symbol	{​5⁄2,5}
Konfigurace obličeje	V (55)/2
Wythoffův symbol	5 | 2 ​5⁄2
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Jáh, H3, [5,3], (*532)
Reference	U34, C43, Ž20
Vlastnosti	Pravidelný nekonvexní
(​5⁄2)5 (Vrcholová postava )	Velký dvanáctistěn (duální mnohostěn )

3D model malého hvězdicového dvanáctistěnu

v geometrie, malý hvězdný dvanáctistěn je Kepler-Poinsotův mnohostěn, pojmenovaný Arthur Cayley, a s Schläfliho symbol {​⁵⁄₂, 5}. Je to jeden ze čtyř nekonvexní pravidelný mnohostěn. Skládá se z 12 pentagrammic tváří, přičemž u každého vrcholu se setkává pět pentagramů.

Sdílí to stejné uspořádání vrcholů jako konvexní pravidelný dvacetistěnu. Sdílí také to samé uspořádání hran s velký dvacetistěn, s nimiž se tvoří zdegenerovaná jednotná složená postava.

To je druhá ze čtyř hvězd dodekaedru (včetně samotného původního dvanáctistěnu).

Malý stellated dodecahedron může být sestrojen analogicky k pentagramu, jeho dvourozměrnému analogu, prostřednictvím prodloužení okrajů (1-tváře) jádrového polytopu, dokud není dosaženo bodu, kde se protínají.

Topologie

Pokud pentagrammic plochy jsou považovány za 5 trojúhelníkových ploch, sdílí stejnou povrchovou topologii jako pentakis dodecahedron, ale s mnohem vyššími rovnoramenný trojúhelníkové plochy s výškou pětiúhelníkových pyramid upravených tak, aby se pět trojúhelníků v pentagramu stalo koplanárním. Kritický úhel je atan (2) nad tváří dodekaedru.

Pokud to považujeme za 12 pentagramů jako tváře, přičemž tyto pentagramy se setkávají na 30 okrajích a 12 vrcholech, můžeme vypočítat jeho rod použitím Eulerův vzorec

${ displaystyle V-E + F = 2-2g}$

a dospějte k závěru, že malý hvězdný dodekaedr má rod 4. Toto pozorování provedl Louis Poinsot, byl zpočátku matoucí, ale Felix Klein v roce 1877 ukázal, že malý hvězdný dodekaedron lze považovat za rozvětvená krytina z Riemannova koule podle a Riemannův povrch rodu 4, s odbočné body ve středu každého pentagramu. Ve skutečnosti tento Riemannův povrch, tzv Přineste křivku, má největší počet symetrií ze všech Riemannův povrch rodu 4: symetrická skupina ${ displaystyle S_ {5}}$ působí jako automorfismy^[1]

snímky

Transparentní model	Ručně vyráběné modely
(Viz také: animovaný )
Sférické obklady	Stelace	Síť
Tento mnohostěn také představuje sférický obklad s hustotou 3. (Jeden sférický pentagramový povrch, modrý obrys, vyplněný žlutě)	Může být také vytvořen jako první ze tří stellations z dvanáctistěn, a uváděno jako Wenningerův model [W20].	× 12 Malý hvězdný dodekahedra může být sestaven z papíru nebo kartonu spojením dohromady 12 pětistranných rovnoramenných pyramid stejným způsobem jako pětiúhelníky v pravidelném dodekaedru. S neprůhledným materiálem to vizuálně představuje vnější část každé pentagrammické tváře.

V umění

Podlahová mozaika od Paola Uccella, 1430

V podlaze je vidět malý hvězdný dvanáctistěn mozaika v Bazilika svatého Marka, Benátky podle Paolo Uccello kolem 1430.^[2] Stejný tvar je středem dvou litografie podle M. C. Escher: Kontrast (řád a chaos) (1950) a Gravitace (1952).^[3]

Související mnohostěn

Animovaná zkrácená sekvence z {⁵⁄₂, 5} až {5,⁵⁄₂}

Jeho konvexní trup je pravidelný konvexní dvacetistěnu. Sdílí také své hrany s velký dvacetistěn; sloučenina s oběma je velký složitý icosidodecahedron.

Existují čtyři související uniformní mnohostěny, konstruované jako stupně zkrácení. Duální je a velký dvanáctistěn. The dodecadodecahedron je oprava, kde jsou hrany zkráceny dolů na body.

The zkrácen malý hvězdný dvanáctistěn lze považovat za zdegenerovaný uniformní mnohostěn protože hrany a vrcholy se shodují, ale je to zahrnuto pro úplnost. Vizuálně to vypadá jako pravidelný dvanáctistěn na povrchu, ale má 24 tváří v překrývajících se párech. Hroty jsou zkráceny, dokud nedosáhnou roviny pentagramu pod nimi. Těch 24 tváří je 12 pětiúhelníky ze zkrácených vrcholů a 12 dekagonů ve formě dvojitě navinutých pětiúhelníků překrývajících prvních 12 pětiúhelníků. Druhé tváře jsou tvořeny zkrácením původních pentagramů. Když {ⁿ⁄_d} -gon je zkrácen, stane se {²ⁿ⁄_d} -gon. Například zkrácený pětiúhelník {⁵⁄₁} stává se desetiúhelníkem {¹⁰⁄₁}, takže zkrácení pentagramu {⁵⁄₂} stává se dvakrát zraněným pětiúhelníkem {¹⁰⁄₂} (společný faktor mezi 10 a 2 znamená, že navštěvujeme každý vrchol dvakrát, abychom dokončili mnohoúhelník).

Stellations of the dodecahedron
Platonická pevná látka	Kepler – Poinsotovy pevné látky
Dodecahedron	Malý hvězdný dvanáctistěn	Velký dvanáctistěn	Velký hvězdný dvanáctistěn

název	Malý hvězdný dvanáctistěn	Zkrácený malý hvězdný dodekahedron	Dodecadodecahedron	Zkráceno skvělý dvanáctistěn	Skvělý dvanáctistěn
Coxeter-Dynkin diagram
Obrázek

Viz také

• Sloučenina malého hvězdicového dodecahedronu a velkého dodecahedronu

Reference

Další čtení

• Wenninger, Magnus (1974). Mnohostěnné modely. Cambridge University Press. ISBN  0-521-09859-9.
• Weber, Matthias (2005), „Keplerův malý hvězdný dodekaedr jako Riemannova plocha“, Pacific J. Math., 220: 167–182, doi:10.2140 / pjm.2005.220.167

externí odkazy

• Eric W. Weisstein, Malý hvězdný dvanáctistěn (Jednotný mnohostěn ) na MathWorld.