Jednotný mnohostěn - Uniform polyhedron

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Říjen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Platonická pevná látka: Čtyřstěn

Jednotný hvězdný mnohostěn: Utlumit dodecadodecahedron

A jednotný mnohostěn má pravidelné mnohoúhelníky tak jako tváře a je vrchol-tranzitivní (tj. existuje izometrie mapování libovolného vrcholu na jakýkoli jiný). Z toho vyplývá, že všechny vrcholy jsou shodný.

Jednotný polyhedra může být pravidelný (pokud je také přechodný obličej a okraj), kvazi pravidelný (je-li také přechodná hrana, ale nikoli přechodová), nebo polopravidelný (pokud není hrana ani obličej přechodný). Tváře a vrcholy nemusí být konvexní, tolik jednotných mnohostěnů je také hvězda mnohostěn.

Existují dvě nekonečné třídy uniformních mnohostěnů a dalších 75 mnohostěnů:

• Nekonečné třídy:
  • hranoly,
  • antiprismy.
• Konvexní výjimečné:
  • 5 Platonické pevné látky: pravidelné konvexní mnohostěny,
  • 13 Archimédovy pevné látky: 2 quasiregular a 11 semiregulární konvexní mnohostěn.
• Hvězda (nekonvexní) výjimečná:
  • 4 Kepler – Poinsotův mnohostěn: pravidelné nekonvexní mnohostěny,
  • 53 jednotná hvězdná mnohostěna: 5 quasiregular a 48 semiregulárních.

Proto 5 + 13 + 4 + 53 = 75.

Existuje také mnoho zdegenerovaných uniformních mnohostěnů s dvojicemi hran, které se shodují, včetně jednoho nalezeného Johnem Skillingem velký disnub dirhombidodecahedron (Skillingova postava).

Duální mnohostěn na jednotné mnohostěny jsou tvář-tranzitivní (isohedral) a mají pravidelné vrcholové postavy, a jsou obecně klasifikovány paralelně s jejich duálním (jednotným) mnohostěnem. Duál pravidelného mnohostěnu je pravidelný, zatímco duál archimédského tělesa je a Katalánština pevná.

Koncept jednotného mnohostěnu je zvláštním případem konceptu jednotný polytop, což platí také pro tvary ve vyšším (nebo nižším) prostoru.

Definice

Coxeter, Longuet-Higgins & Miller (1954) definovat jednotné mnohostěny jako mnohostěnné přechodové mnohostěny s pravidelnými plochami. Definují mnohostěn jako konečnou množinu polygonů tak, že každá strana polygonu je stranou pouze jednoho dalšího polygonu, takže žádná neprázdná vlastní podmnožina polygonů nemá stejnou vlastnost. Polygonem implicitně znamenají polygon v trojrozměrném euklidovském prostoru; tito mohou být non-konvexní a protínat se navzájem.

Existuje několik zevšeobecnění pojmu jednotný mnohostěn. Je-li předpoklad propojenosti zrušen, dostaneme jednotné sloučeniny, které lze rozdělit jako spojení mnohostěnů, jako je sloučenina 5 kostek. Pokud upustíme od podmínky, že realizace mnohostěnu je nedegenerovaná, dostaneme takzvanou degenerovanou uniformní mnohostenu. Vyžadují obecnější definici mnohostěnů. Grünbaum (1994) dal poměrně komplikovanou definici mnohostěnu McMullen & Schulte (2002) dal jednodušší a obecnější definici mnohostěnu: v jejich terminologii je mnohostěn dvourozměrný abstraktní mnohostěn s nedegenerovanou 3-dimenzionální realizací. Zde je abstraktní polytop posetem jeho „tváří“ vyhovujících různým podmínkám, realizace je funkcí od jeho vrcholů do určitého prostoru a realizace se nazývá nedegenerovaná, pokud mají dvě odlišné tváře abstraktního polytopu odlišné realizace. Některé ze způsobů, jak mohou degenerovat, jsou následující:

• Skryté tváře. Některé mnohostěny mají tváře, které jsou skryté, v tom smyslu, že zvenčí nejsou vidět žádné body jejich vnitřku. Obvykle se nepočítají jako uniformní mnohostěny.
• Degenerovat sloučeniny. Některé mnohostěny mají více hran a jejich tváře jsou plochami dvou nebo více mnohostěnů, i když to nejsou sloučeniny v předchozím smyslu, protože mnohostěny sdílejí hrany.
• Dvojité kryty. Existuje několik neorientovatelných mnohostěnů, které mají dvojité kryty splňující definici jednotného mnohostěnu. Tam dvojité kryty mají zdvojené plochy, hrany a vrcholy. Obvykle se nepočítají jako uniformní mnohostěny.
• Dvojité tváře. Existuje několik mnohostěnů se zdvojenými tvářemi produkovanými Wythoffovou konstrukcí. Většina autorů nepovoluje zdvojené tváře a odstraňuje je jako součást konstrukce.
• Dvojité hrany. Skillingova postava má tu vlastnost, že má dvojité hrany (jako u zvrhlé uniformní mnohostěny), ale její tváře nelze psát jako spojení dvou uniformních mnohostěnů.

Dějiny

Pravidelná konvexní mnohostěna

• The Platonické pevné látky pocházejí z doby klasických Řeků a byly studovány Pytagorejci, Platón (c. 424 - 348 př. n. l.), Theaetetus (c. 417 př. n. l. - 369 př. n. l.), Timaeus z Locri (asi 420–380 př. n. l.) a Euklid (fl. 300 př. n. l.). The Etruskové objevil pravidelný dvanáctistěn před 500 před naším letopočtem.^[1]

Neregulární uniformní konvexní mnohostěn

• The cuboctahedron byl znám Platón.
• Archimedes (287 př. N. L. - 212 př. N. L.) Objevil všech 13 Archimédovy pevné látky. Jeho původní kniha na toto téma byla ztracena, ale Pappus Alexandrijský (c. 290 - c. 350 nl) zmínil Archimedes uveden 13 mnohostěnů.
• Piero della Francesca (1415 - 1492) znovu objevil pět zkrácení platónských pevných látek: zkrácený čtyřstěn, zkrácený osmistěn, zkrácený krychle, zkrácený dodekahedron a zkrácený icosahedron a do své knihy zahrnul ilustrace a výpočty jejich metrických vlastností De quinque corporibus regularibus. Cuboctahedron také diskutoval v jiné knize.^[2]
• Luca Pacioli plagoval Francescovu práci v De divina proporcionality v roce 1509, přidání kosočtverec, nazývat to a icosihexahedron pro jeho 26 tváří, které nakreslil Leonardo da Vinci.
• Johannes Kepler (1571–1630) jako první zveřejnil kompletní seznam Archimédovy pevné látky, v roce 1619, stejně jako identifikoval nekonečné rodiny uniforem hranoly a antiprismy.

Pravidelná hvězdná mnohostěna

• Kepler (1619) objevil dva z pravidelných Kepler – Poinsotův mnohostěn a Louis Poinsot (1809) objevil další dva. Sada čtyř byla prokázána úplnou Augustin Cauchy (1789 - 1857) a pojmenovaný Arthur Cayley (1821 – 1895).

Dalších 53 nepravidelných hvězdných mnohostěnů

• Ze zbývajících 53 Edmund Hess (1878) objevil dva, Albert Badoureau (1881) objevil dalších 36 a Pitsch (1881) nezávisle objevil 18, z nichž 3 dosud nebyly objeveny. Dohromady to dalo 41 mnohostěnů.
• Geometr H.S.M. Coxeter objevil zbývajících dvanáct ve spolupráci s J. C. P. Miller (1930–1932), ale nepublikoval. SLEČNA. Longuet-Higgins a H.C. Longuet-Higgins nezávisle objevili jedenáct z nich. Lesavre a Mercier znovu objevili pět z nich v roce 1947.
• Coxeter, Longuet-Higgins & Miller (1954) zveřejnil seznam uniformních mnohostěnů.
• Sopov (1970) prokázali svou domněnku, že seznam je úplný.
• V roce 1974 Magnus Wenninger vydal jeho knihu Mnohostěnné modely, který uvádí všech 75 neprizmatických uniformních mnohostěnů s mnoha dříve nepublikovanými jmény, která jim dala Norman Johnson.
• Dovednost (1975) nezávisle prokázal úplnost a ukázal, že pokud se definice jednotného mnohostěnu uvolní, aby se hrany shodovaly, existuje pouze jedna možnost navíc.
• V roce 1987 Edmond Bonan nakreslil všechny jednotné mnohostěny a jejich duality ve 3D pomocí programu Turbo Pascal Polyca: téměř z nich bylo představeno během Mezinárodního kongresu stereoskopické unie, který se konal v Kongresovém divadle v Eastbourne ve Velké Británii.^{[Citace je zapotřebí ]}.^[3]
• V roce 1993 Zvi Har'El vyrobil kompletní kaleidoskopickou konstrukci uniformní mnohostěny a dualů s počítačovým programem s názvem Kaleidoa shrnuty v příspěvku Jednotné řešení pro jednotné mnohostěny, počítající čísla 1-80.^[4]
• Také v roce 1993 R. Mäder přenesl toto řešení Kaleido na Mathematica s mírně odlišným indexovacím systémem.^[5]
• V roce 2002 Peter W. Messer objevil minimální množinu uzavřených výrazů pro určování hlavních kombinatorických a metrických veličin jakéhokoli jednotného mnohostěnu (a jeho duálního), vzhledem Wythoffův symbol.^[6]

Jednotná hvězdná mnohostěna

Velký dirhombicosidodecahedron, jediný non-Wythoffian jednotný mnohostěn

Těchto 57 neprismatických nekonvexních forem, s výjimkou velký dirhombicosidodecahedron, jsou kompilovány konstrukcemi Wythoff uvnitř Schwarzovy trojúhelníky.

Konvexní formy Wythoffovy konstrukce

Konvexní uniformní mnohostěn lze pojmenovat Wythoffova konstrukce operace v pravidelné formě.

Podrobněji jsou konvexní uniformní mnohostěn uvedeny níže podle jejich Wythoffovy konstrukce v rámci každé skupiny symetrie.

V konstrukci Wythoff existují opakování vytvořená formami nižší symetrie. Kostka je obyčejný mnohostěn a hranatý hranol. The osmistěn je pravidelný mnohostěn a trojúhelníkový antiprism. The osmistěn je také a usměrněný čtyřstěn. Mnoho mnohostěnů se opakuje z různých stavebních zdrojů a jsou barevně odlišeny.

Konstrukce Wythoff platí stejně pro uniformní mnohostěny a rovnoměrné naklonění na povrchu koule, takže jsou uvedeny obrázky obou. Sférické obklady včetně sady hosohedrony a dihedrony což jsou zdegenerované mnohostěny.

Tyto skupiny symetrie jsou vytvořeny z odrazu bodové skupiny ve třech rozměrech, z nichž každý představuje základní trojúhelník (p q r), kde p > 1, q > 1, r > 1 a 1/p + 1/q + 1/r < 1.

• Čtyřboká symetrie (3 3 2) - objednávka 24
• Oktaedrická symetrie (4 3 2) - objednávka 48
• Ikosahedrální symetrie (5 3 2) - objednávka 120
• Dihedrální symetrie (n 2 2), pro n = 3,4,5, ... - objednávka 4n

Zbývající nereflektivní formy jsou konstruovány pomocí střídání operace aplikované na mnohostěn se sudým počtem stran.

Spolu s hranoly a jejich dihedrální symetrie, sférický Wythoffův konstrukční proces přidává dva pravidelný třídy, které se degenerují jako mnohostěny: dihedra a hosohedra první má pouze dvě tváře a druhá má pouze dva vrcholy. Zkrácení pravidelného hosohedra vytváří hranoly.

Pod konvexními uniformními mnohostěnami jsou indexovány 1–18 pro neprismatické formy, protože jsou v tabulkách prezentovány formou symetrie.

U nekonečné množiny prizmatických forem jsou indexovány ve čtyřech rodinách:

1. Hosohedra H_2... (pouze jako sférické obklady)
2. Dihedra D_2... (pouze jako sférické obklady)
3. Hranoly P_3... (zkrácená hosohedra)
4. Antiprismy A_3... (urážkové hranoly)

Souhrnné tabulky

Johnson název	Rodič	Zkráceno	Opraveno	Bitruncated (tr. duální)	Usměrněný (dvojí)	Cantellated	Omnitruncated (cantitruncated)	Snub
Coxeterův diagram
Rozšířené Schläfliho symbol	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p, q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} q, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle r { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p q end {Bmatrix}}}$
	{p, q}	t {p, q}	r {p, q}	2t {p, q}	2r {p, q}	rr {p, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
	t0{p, q}	t0,1{p, q}	t1{p, q}	t1,2{p, q}	t2{p, q}	t0,2{p, q}	t0,1,2{p, q}	ht0,1,2{p, q}
Wythoffův symbol (p q 2)	q | p 2	2 q | p	2 | p q	2 p | q	p | q 2	p q | 2	p q 2 |	| p q 2
Vrcholová postava	pq	q.2p. 2p	(p.q)2	str. 2q. 2q	qp	p.4.q.4	4,2 s. 2q	3.3.p.3.q
Čtyřboká (3 3 2)	3.3.3	3.6.6	3.3.3.3	3.6.6	3.3.3	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3.3
Osmistěn (4 3 2)	4.4.4	3.8.8	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3	3.4.4.4	4.6.8	3.3.3.3.4
Icosahedral (5 3 2)	5.5.5	3.10.10	3.5.3.5	5.6.6	3.3.3.3.3	3.4.5.4	4.6.10	3.3.3.3.5

A vzorkování vzepětí symetrií:

(Koule není vyříznuta, je vyříznut pouze obklad.) (Na kouli je hrana obloukem velké kružnice, nejkratší cestou mezi jejími dvěma vrcholy. Proto je digon, jehož vrcholy nejsou polární, je plochý: vypadá to jako hrana.)

(str. 2 2)	Rodič	Zkráceno	Opraveno	Bitruncated (tr. duální)	Usměrněný (dvojí)	Cantellated	Omnitruncated (cantitruncated)	Snub
Coxeterův diagram
Rozšířené Schläfliho symbol	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p, 2 end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p, 2 end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} p 2 end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} 2, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {Bmatrix} 2, p end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle r { begin {Bmatrix} p 2 end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle t { begin {Bmatrix} p 2 end {Bmatrix}}}$	${ displaystyle s { begin {Bmatrix} p 2 end {Bmatrix}}}$
	{p, 2}	t {p, 2}	r {p, 2}	2t {p, 2}	2r {p, 2}	rr {p, 2}	tr {p, 2}	sr {p, 2}
	t0{p, 2}	t0,1{p, 2}	t1{p, 2}	t1,2{p, 2}	t2{p, 2}	t0,2{p, 2}	t0,1,2{p, 2}	ht0,1,2{p, 2}
Wythoffův symbol	2 | p 2	2 2 | p	2 | p 2	2 p | 2	p | 2 2	p 2 | 2	p 2 2 |	| p 2 2
Vrcholová postava	p2	2,2 s. 2 p	p.2.p.2	4.4	2p	4.2.2	4,2 s. 4	3.3.3.p
Vzepětí (2 2 2)	{2,2}	2.4.4	2.2.2.2	4.4.2	2.2	2.4.2.4	4.4.4	3.3.3.2
Vzepětí (3 2 2)	3.3	2.6.6	2.3.2.3	4.4.3	2.2.2	2.4.3.4	4.4.6	3.3.3.3
Vzepětí (4 2 2)	4.4	2.8.8	2.4.2.4	4.4.4	2.2.2.2	2.4.4.4	4.4.8	3.3.3.4
Vzepětí (5 2 2)	5.5	2.10.10	2.5.2.5	4.4.5	2.2.2.2.2	2.4.5.4	4.4.10	3.3.3.5
Vzepětí (6 2 2)	6.6	2.12.12	2.6.2.6	4.4.6	2.2.2.2.2.2	2.4.6.4	4.4.12	3.3.3.6

(3 3 2) T_d čtyřboká symetrie

The čtyřboká symetrie koule generuje 5 uniformních mnohostěnů a šestou formu operací útlumu.

Čtyřboká symetrie je reprezentována základním trojúhelníkem s jedním vrcholem se dvěma zrcadly a dvěma vrcholy se třemi zrcadly, představovanými symbolem (3 3 2). Může to být také reprezentováno Skupina coxeterů A₂ nebo [3,3], stejně jako a Coxeterův diagram: .

Ve tvářích je 24 trojúhelníků tetrakis hexahedron a ve střídavě zbarvených trojúhelnících na kouli:

#	název	Graf A3	Graf A2	Obrázek	Obklady	Vrchol postava	Coxeter a Schläfli symboly	Tvář se počítá podle pozice			Počty prvků
								Poz. 2 [3] (4)	Poz. 1 [2] (6)	Poz. 0 [3] (4)	Tváře	Hrany	Vrcholy
1	Čtyřstěn						{3,3}	{3}			4	6	4
[1]	Usměrněný čtyřstěn (stejný jako čtyřstěn )						t2{3,3}={3,3}			{3}	4	6	4
2	Rektifikovaný čtyřstěn Tetratetrahedron (stejný jako osmistěn )						t1{3,3} = r {3,3}	{3}		{3}	8	12	6
3	Zkrácený čtyřstěn						t0,1{3,3} = t {3,3}	{6}		{3}	8	18	12
[3]	Bitrunkový čtyřstěn (stejný jako zkrácený čtyřstěn )						t1,2{3,3} = t {3,3}	{3}		{6}	8	18	12
4	Kanálovaný čtyřstěn Rhombitetratetrahedron (stejný jako cuboctahedron )						t0,2{3,3} = rr {3,3}	{3}	{4}	{3}	14	24	12
5	Všesměrový čtyřstěn Zkrácený tetratetrahedron (stejný jako zkrácený osmistěn )						t0,1,2{3,3} = tr {3,3}	{6}	{4}	{6}	14	36	24
6	Tlumit tetratetrahedron (stejný jako dvacetistěnu )						sr {3,3}	{3}	2 {3}	{3}	20	30	12

(4 3 2) O._h oktaedrická symetrie

The oktaedrická symetrie koule generuje 7 uniformních mnohostěnů a dalších 7 střídáním. Šest z těchto forem se opakuje z tabulky čtyřboké symetrie výše.

Oktaedrická symetrie je reprezentována základním trojúhelníkem (4 3 2) počítajícím zrcadla v každém vrcholu. Může to být také reprezentováno Skupina coxeterů B₂ nebo [4,3], stejně jako a Coxeterův diagram: .

Ve tvářích je 48 trojúhelníků disdyakis dodecahedron a ve střídavě zbarvených trojúhelnících na kouli:

#	název	Graf B3	Graf B2	Obrázek	Obklady	Vrchol postava	Coxeter a Schläfli symboly	Tvář se počítá podle pozice			Počty prvků
								Poz. 2 [4] (6)	Poz. 1 [2] (12)	Poz. 0 [3] (8)	Tváře	Hrany	Vrcholy
7	Krychle						{4,3}	{4}			6	12	8
[2]	Octahedron						{3,4}			{3}	8	12	6
[4]	Rektifikovaná kostka Usměrněný osmistěn (Cuboctahedron )						{4,3}	{4}		{3}	14	24	12
8	Zkrácená kostka						t0,1{4,3} = t {4,3}	{8}		{3}	14	36	24
[5]	Zkrácený osmistěn						t0,1{3,4} = t {3,4}	{4}		{6}	14	36	24
9	Kanálová kostka Kanylovaný osmistěn Rhombicuboctahedron						t0,2{4,3} = rr {4,3}	{4}	{4}	{3}	26	48	24
10	Omnitruncated krychle Omnitruncated octahedron Zkrácený cuboctahedron						t0,1,2{4,3} = tr {4,3}	{8}	{4}	{6}	26	72	48
[6]	Utlumit osmistěn (stejný jako Dvacetistěnu )						= s {3,4} = sr {3,3}		{3}	{3}	20	30	12
[1]	Polovina kostky (stejný jako Čtyřstěn )						= h {4,3} = {3,3}	1/2 {3}			4	6	4
[2]	Kantická kostka (stejný jako Zkrácený čtyřstěn )						= h2{4,3} = t {3,3}	1/2 {6}		1/2 {3}	8	18	12
[4]	(stejný jako Cuboctahedron )						= rr {3,3}				14	24	12
[5]	(stejný jako Zkrácený osmistěn )						= tr {3,3}				14	36	24
[9]	Kantický tupý osmistěn (stejný jako Rhombicuboctahedron )						s2{3,4} = rr {3,4}				26	48	24
11	Utlumit cuboctahedron						sr {4,3}	{4}	2 {3}	{3}	38	60	24

(5 3 2) I_h ikosahedrální symetrie

The ikosahedrální symetrie koule generuje 7 uniformních mnohostěnů a 1 další střídáním. Pouze jeden se opakuje z tabulky čtyřboké a oktaedrické symetrie výše.

Ikosahedrickou symetrii představuje základní trojúhelník (5 3 2) počítající zrcadla v každém vrcholu. Může to být také reprezentováno Skupina coxeterů G₂ nebo [5,3], stejně jako a Coxeterův diagram: .

Ve tvářích je 120 trojúhelníků disdyakis triacontahedron a ve střídavě zbarvených trojúhelnících na kouli:

#	název	Graf (A2) [6]	Graf (H3) [10]	Obrázek	Obklady	Vrchol postava	Coxeter a Schläfli symboly	Tvář se počítá podle pozice			Počty prvků
								Poz. 2 [5] (12)	Poz. 1 [2] (30)	Poz. 0 [3] (20)	Tváře	Hrany	Vrcholy
12	Dodecahedron						{5,3}	{5}			12	30	20
[6]	Dvacetistěnu						{3,5}			{3}	20	30	12
13	Rektifikovaný dvanáctistěn Rektifikovaný dvacetistěn Icosidodecahedron						t1{5,3} = r {5,3}	{5}		{3}	32	60	30
14	Zkrácený dvanáctistěn						t0,1{5,3} = t {5,3}	{10}		{3}	32	90	60
15	Zkrácený dvacetistěn						t0,1{3,5} = t {3,5}	{5}		{6}	32	90	60
16	Kanylovaný dvanáctistěn Kanylovaný dvacetistěn Rhombicosidodecahedron						t0,2{5,3} = rr {5,3}	{5}	{4}	{3}	62	120	60
17	Omnitruncated dodecahedron Omnitruncated icosahedron Zkrácený icosidodecahedron						t0,1,2{5,3} = tr {5,3}	{10}	{4}	{6}	62	180	120
18	Utlumit icosidodecahedron						sr {5,3}	{5}	2 {3}	{3}	92	150	60

(str. 2) Prismatic [str. 2], I₂(p) rodina (D_ph dvojitá symetrie)

The dihedrální symetrie koule generuje dvě nekonečné sady jednotných mnohostěnů, hranolů a antiprismů a další dvě nekonečné sady degenerovaných mnohostěnů, hosohedra a dihedra, které existují jako naklánění na kouli.

Dihedrická symetrie je reprezentována základním trojúhelníkem (p 2 2) počítajícím zrcadla v každém vrcholu. Může to být také reprezentováno Skupina coxeterů Já₂(p) nebo [n, 2], stejně jako hranolové Coxeterův diagram: .

Níže je uvedeno prvních pět dihedrálních symetrií: D₂ ... D.₆. Dihedrická symetrie D_p má pořádek 4n, představovaly tváře a bipyramid, a na kouli jako rovníková čára na zeměpisné délce a n rovnoměrně rozmístěných čar zeměpisné délky.

(2 2 2) Dihedrální symetrie

Na tvářích je 8 základních trojúhelníků čtvercový bipyramid (Octahedron) a střídavě zbarvené trojúhelníky na kouli:

#	název	Obrázek	Obklady	Vrchol postava	Coxeter a Schläfli symboly	Tvář se počítá podle pozice			Počty prvků
						Poz. 2 [2] (2)	Poz. 1 [2] (2)	Poz. 0 [2] (2)	Tváře	Hrany	Vrcholy
D2 H2	Digonal dihedron, digonal hosohedron				{2,2}	{2}			2	2	2
D4	Zkrácený digonal dihedron (stejný jako čtvercový dihedron )				t {2,2} = {4,2}	{4}			2	4	4
P4 [7]	Omnitruncated digonal dihedron (stejný jako krychle )				t0,1,2{2,2} = tr {2,2}	{4}	{4}	{4}	6	12	8
A2 [1]	Potlačit digonal dihedron (stejný jako čtyřstěn )				sr {2,2}		2 {3}		4	6	4

(3 2 2) D._3h dihedrální symetrie

Na tvářích je 12 základních trojúhelníků šestihranný bipyramid a střídavě zbarvené trojúhelníky na kouli:

#	název	Obrázek	Obklady	Vrchol postava	Coxeter a Schläfli symboly	Tvář se počítá podle pozice			Počty prvků
						Poz. 2 [3] (2)	Poz. 1 [2] (3)	Poz. 0 [2] (3)	Tváře	Hrany	Vrcholy
D3	Trigonální dihedron				{3,2}	{3}			2	3	3
H3	Trigonální hosohedron				{2,3}			{2}	3	3	2
D6	Zkrácený trigonální dihedron (stejný jako šestihranný dihedron )				t {3,2}	{6}			2	6	6
P3	Zkrácený trigonální hosohedron (Trojhranný hranol )				t {2,3}	{3}	{4}		5	9	6
P6	Omnitruncated trigonal dihedron (Šestihranný hranol )				t0,1,2{2,3} = tr {2,3}	{6}	{4}	{4}	8	18	12
A3 [2]	Tlumit trigonální dihedron (stejný jako Trojúhelníkový antiprism ) (stejný jako osmistěn )				sr {2,3}	{3}	2 {3}		8	12	6
P3	Kantický útlum trigonální dihedron (Trojhranný hranol )				s2{2,3} = t {2,3}				5	9	6

(4 2 2) D._4h dihedrální symetrie

Na tvářích je 16 základních trojúhelníků osmihranný bipyramid a střídavě zbarvené trojúhelníky na kouli:

#	název	Obrázek	Obklady	Vrchol postava	Coxeter a Schläfli symboly	Tvář se počítá podle pozice			Počty prvků
						Poz. 2 [4] (2)	Poz. 1 [2] (4)	Poz. 0 [2] (4)	Tváře	Hrany	Vrcholy
D4	čtvercový dihedron				{4,2}	{4}			2	4	4
H4	čtvercový hosohedron				{2,4}			{2}	4	4	2
D8	Zkrácený čtvercový dihedron (stejný jako osmihranný dihedron )				t {4,2}	{8}			2	8	8
P4 [7]	Zkrácený čtvercový hosohedron (Krychle )				t {2,4}	{4}	{4}		6	12	8
D8	Omnitruncated square dihedron (Osmiboký hranol )				t0,1,2{2,4} = tr {2,4}	{8}	{4}	{4}	10	24	16
A4	Utlumit čtvercový dvojstěn (Čtvercový antiprism )				sr {2,4}	{4}	2 {3}		10	16	8
P4 [7]	Kantický tupý čtvercový dihedron (Krychle )				s2{4,2} = t {2,4}				6	12	8
A2 [1]	Tlumený čtvercový hosohedron (Digonal antiprism ) (Čtyřstěn )				s {2,4} = sr {2,2}				4	6	4

(5 2 2) D._5h dihedrální symetrie

Ve tvářích je 20 základních trojúhelníků desetiboký bipyramid a střídavě zbarvené trojúhelníky na kouli:

#	název	Obrázek	Obklady	Vrchol postava	Coxeter a Schläfli symboly	Tvář se počítá podle pozice			Počty prvků
						Poz. 2 [5] (2)	Poz. 1 [2] (5)	Poz. 0 [2] (5)	Tváře	Hrany	Vrcholy
D5	Pětiúhelníkový dvojstěn				{5,2}	{5}			2	5	5
H5	Pětiúhelníkový hosohedron				{2,5}			{2}	5	5	2
D10	Zkrácený pětiúhelníkový dvojstěn (stejný jako dekagonální dihedron )				t {5,2}	{10}			2	10	10
P5	Zkrácený pětiúhelníkový hosohedron (stejný jako pětiúhelníkový hranol )				t {2,5}	{5}	{4}		7	15	10
P10	Všesměrový pětiúhelníkový dvojstěn (Decagonal hranol )				t0,1,2{2,5} = tr {2,5}	{10}	{4}	{4}	12	30	20
A5	Odmítnout pětiúhelníkový dihedron (Pětiúhelníkový antiprism )				sr {2,5}	{5}	2 {3}		12	20	10
P5	Kantický urážka pětiúhelníkový dihedron (Pětiúhelníkový hranol )				s2{5,2} = t {2,5}				7	15	10

(6 2 2) D._6h dihedrální symetrie

Na tvářích je vidět 24 základních trojúhelníků dodecagonal bipyramid a střídavě zbarvené trojúhelníky na kouli.

#	název	Obrázek	Obklady	Vrchol postava	Coxeter a Schläfli symboly	Tvář se počítá podle pozice			Počty prvků
						Poz. 2 [6] (2)	Poz. 1 [2] (6)	Poz. 0 [2] (6)	Tváře	Hrany	Vrcholy
D6	Šestihranný dihedron				{6,2}	{6}			2	6	6
H6	Šestihranný hosohedron				{2,6}			{2}	6	6	2
D12	Zkrácený šestihranný dihedron (stejný jako dodecagonal dihedron )				t {6,2}	{12}			2	12	12
H6	Zkrácený šestihranný hosohedron (stejný jako šestihranný hranol )				t {2,6}	{6}	{4}		8	18	12
P12	Omnitruncated hexagonal dihedron (Dodekagonální hranol )				t0,1,2{2,6} = tr {2,6}	{12}	{4}	{4}	14	36	24
A6	Tlumit šestihranný dihedron (Šestihranný antiprism )				sr {2,6}	{6}	2 {3}		14	24	12
P3	Kantický šestihranný dihedron (Trojhranný hranol )				= h2{6,2} = t {2,3}				5	9	6
P6	Cantic tupý šestihranný dihedron (Šestihranný hranol )				s2{6,2} = t {2,6}				8	18	12
A3 [2]	Tlumit šestihranný hosohedron (stejný jako Trojúhelníkový antiprism ) (stejný jako osmistěn )				s {2,6} = sr {2,3}				8	12	6

Provozovatelé staveb Wythoff

Úkon	Symbol	Coxeter diagram	Popis
Rodič	{p, q} t0{p, q}		Jakýkoli pravidelný mnohostěn nebo obklady
Opraveno (r)	r {p, q} t1{p, q}		Okraje jsou plně zkráceny na jednotlivé body. Mnohostěn má nyní kombinované plochy mateřské a duální. Mnohostěny jsou pojmenovány podle počtu stran dvou pravidelných tvarů: {p, q} a {q, p}, jako cuboctahedron pro r {4,3} mezi krychlí a osmistěnem.
Usměrněný (2r) (taky dvojí )	2r {p, q} t2{p, q}		Birectified (dual) je další zkrácení, takže původní plochy jsou redukovány na body. Pod každým nadřazeným vrcholem se tvoří nové plochy. Počet hran se nemění a jsou otočeny o 90 stupňů. Birectifikaci lze považovat za dvojí.
Zkráceno (t)	t {p, q} t0,1{p, q}		Každý původní vrchol je odříznut a mezera vyplňuje nový obličej. Zkrácení má stupeň volnosti, který má jedno řešení, které vytváří jednotný zkrácený mnohostěn. Mnohostěn má své původní tváře zdvojnásobené po stranách a obsahuje tváře duálního.
Bitruncated (2 t) (také zkrácený duální)	2t {p, q} t1,2{p, q}		Bitruncation lze považovat za zkrácení duálu. Bitrunkovaná krychle je zkrácený osmistěn.
Cantellated (rr) (Taky rozšířený )	rr {p, q}		Kromě zkrácení vrcholů je každá původní hrana zkosený na jejich místě se objeví nové obdélníkové tváře. Jednotná cantellace je na půli cesty mezi mateřskou a duální formou. Kanylovaný mnohostěn je pojmenován jako rhombi-r {p, q}, jako rhombicuboctahedron pro rr {4,3}.
Cantitruncated (tr) (Taky všudypřítomný )	tr {p, q} t0,1,2{p, q}		Zkrácené a cantelační operace jsou použity společně k vytvoření omnitrunované formy, která má tváře rodiče zdvojnásobené po stranách, tváře dvojníka po stranách a čtverce, kde existovaly původní hrany.

Střídavé operace

Úkon	Symbol	Coxeter diagram	Popis
Opravený útlum (sr)	sr {p, q}		Střídaný cantitruncated. Všechny původní tváře končí s polovičním počtem stran a čtverce se degenerují do hran. Protože všudypřítomné formy mají 3 tváře / vrchol, vytvářejí se nové trojúhelníky. Obvykle se tyto alternativní fazetovací formy poté mírně deformují, aby znovu skončily jako uniformní mnohostěny. Možnost druhé varianty závisí na stupni volnosti.
Snub (s)	s {p, 2q}		Střídavé zkrácení
Cantic urážka (s.)2)	s2{p, 2q}
Střídaná kanalizace (hrr)	hrr {2p, 2q}		Možné pouze v jednotných obkladech (nekonečný mnohostěn), střídání Například,
Polovina (h)	h {2p, q}		Střídání z , stejný jako
Kantický (h2)	h2{2p, q}		Stejný jako
Poloviční oprava (hod)	hr {2p, 2q}		Možné pouze v jednotných obkladech (nekonečný mnohostěn), střídání , stejný jako nebo Například, = nebo
Čtvrtletí (q)	q {2p, 2q}		Možné pouze v jednotných obkladech (nekonečný mnohostěn), stejně jako Například, = nebo

Viz také

• Mnohostěn
  • Pravidelný mnohostěn
  • Kvaziregulární mnohostěn
  • Semiregular polyhedron
• Seznam jednotných mnohostěnů
  • Seznam uniformních mnohostěnů podle vrcholného čísla
  • Seznam jednotných mnohostěnů podle symbolu Wythoffa
  • Seznam uniformních mnohostěnů Schwarzovým trojúhelníkem
• Seznam Johnson pevných látek
• Seznam Wenningerových mnohostěnných modelů
• Mnohostěnný model
• Jednotné obklady
• Rovnoměrné sklony v hyperbolické rovině
• Pseudo-uniformní mnohostěn
• Seznam tvarů

Poznámky

Reference

• Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Lipsko, Německo: Teubner, 1900. [2]
• Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). „Uniform polyhedra“ (PDF). Filozofické transakce královské společnosti A. 246 (916): 401–450. doi:10.1098 / rsta.1954.0003. ISSN  0080-4614. JSTOR  91532. PAN  0062446.
• Grünbaum, B. (1994), „Polyhedra with Hollow Faces“, Tibor Bisztriczky; Peter McMullen; Rolf Schneider; et al. (eds.), Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational, Springer, str. 43–70, doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3, ISBN  978-94-010-4398-4
• McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002), Abstraktní pravidelné Polytopes, Cambride University Press
• Skilling, J. (1975). "Kompletní sada uniformních mnohostěnů". Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A. Matematické a fyzikální vědy. 278 (1278): 111–135. doi:10.1098 / rsta.1975.0022. ISSN  0080-4614. JSTOR  74475. PAN  0365333.
• Sopov, S. P. (1970). "Důkaz úplnosti na seznamu elementárních homogenních mnohostěnů". Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139–156. PAN  0326550.
• Wenninger, Magnus (1974). Mnohostěnné modely. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-09859-5.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Uniform Polyhedron“. MathWorld.
• Jednotné řešení pro jednotné mnohostěny
• Jednotná mnohostěna
• Virtuální mnohostěn Jednotná mnohostěna
• Jednotná galerie mnohostěnů
• Uniform Polyhedron - od Wolfram MathWorld Má vizuální graf všech 75