Pravidelný zkosený apeirohedron - Regular skew apeirohedron - Wikipedia
v geometrie, a pravidelný zkosený apeirohedron je nekonečný pravidelný zkosený mnohostěn, buď se zkosenými pravidelnými tvářemi, nebo se zkosenými pravidelnými vrcholové postavy.
Dějiny
Podle Coxeter, v roce 1926 John Flinders Petrie zobecnil pojem pravidelné šikmé polygony (neplanární polygony) na konečné pravidelný zkosený mnohostěn ve 4-dimenzích a nekonečný pravidelný šikmý apeirohedra ve 3-dimenzích (popsáno zde).
Coxeter identifikoval 3 formy s rovinnými plochami a zkosením vrcholové postavy, dva jsou navzájem doplňkem. Všichni jsou pojmenováni s upraveným Schläfliho symbol {l,m|n}, kde jsou l-gonal tváře, m tváře kolem každého vrcholu, s díry identifikován jako n-gonal chybějící tváře.
Coxeter nabídl upravený Schläfliho symbol {l,m|n} pro tyto údaje, s {l,m} z čehož vyplývá vrchol obrázek, m l-gons kolem vrcholu a n-gonal otvory. Jejich vrcholné postavy jsou šikmé polygony cik-cak mezi dvěma rovinami.
Pravidelný šikmý mnohostěn, zastoupený {l,m|n}, postupujte podle této rovnice:
- 2 hříchy (π/l) · Hřích (π/m) = cos (π/n)
Pravidelný šikmý apeirohedra euklidovského 3-prostoru
Tři euklidovská řešení ve 3 prostoru jsou {4,6 | 4}, {6,4 | 4} a {6,6 | 3}. John Conway pojmenovali je mucube, muoctahedron a mutetrahedron pro více krychlí, osmistěn a čtyřstěn.[1]
- Mucube: {4,6|4}: 6 čtverce na vrcholu (související s kubický plástev, postavený z kubických buněk, odstraněním dvou protilehlých ploch z každého a spojením sad šesti dohromady kolem anonymního krychle.)
- Muoctahedron: {6,4|4}: 4 šestiúhelníky na vrcholu (související s bitunovaný kubický plástev, zkonstruovaný zkrácený osmistěn s jejich hranatými plochami odstraněnými a spojujícími páry otvorů dohromady.)
- Mutetrahedron: {6,6 | 3}: 6 šestiúhelníků na vrcholu (souvisí s čtvrt kubický plástev, zkonstruovaný zkrácený čtyřstěn buňky, odstraňování trojúhelníkových ploch a spojování sad čtyř kolem anonymní čtyřstěn.)
Coxeter dává těmto pravidelným zkosením apeirohedra {2q, 2r | p} s rozšířená chirální symetrie [[(p,q,p,r)]+] o kterém říká, že je pro něj izomorfní abstraktní skupina (2q,2r|2,p). Související plástev má rozšířenou symetrii [[(p,q,p,r)]].[2]
Skupina coxeterů symetrie | Apeirohedron {p, q | l} | obraz | Tvář {p} | Otvor {l} | Vrchol postava | Příbuzný plástev | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
[[4,3,4]] [[4,3,4]+] | {4,6|4} Mucube | animace | t0,3{4,3,4} | ||||
{6,4|4} Muoctahedron | animace | 2t {4,3,4} | |||||
[[3[4]]] [[3[4]]+] | {6,6|3} Mutetrahedron | animace | q {4,3,4} |
Pravidelný šikmý apeirohedra v hyperbolickém 3 prostoru
V roce 1967 identifikoval C. W. L. Garner 31 hyperbolických zkosených apeirohedrů pravidelný zkosený mnohoúhelník vrcholové postavy, nalezený v podobném vyhledávání jako 3 výše z euklidovského prostoru.[3]
Představují 14 kompaktních a 17 paracompaktních pravidelných zkosených mnohostěnů v hyperbolickém prostoru, vytvořených ze symetrie podmnožiny lineárních a cyklických Skupiny coxeterů grafy formuláře [[(p,q,p,r)]], Tyto definují pravidelný zkosený mnohostěn {2q,2r|p} a duální {2r,2q|p}. Pro speciální případ skupin lineárních grafů r = 2, to představuje skupinu Coxeter [p,q,p]. Generuje pravidelné zkosení {2q,4|p} a {4,2q|p}. Všechny tyto existují jako podmnožina tváří konvexní jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru.
Zkosený apeirohedron sdílí totéž antiprism vrcholová figura s voštinou, ale realizovány jsou pouze cikcakové okrajové plochy vrcholové figury, zatímco ostatní plochy vytvářejí „díry“.
Coxeter skupina | Apeirohedron {p, q | l} | Tvář {p} | Otvor {l} | Plástev | Vrchol postava | Apeirohedron {p, q | l} | Tvář {p} | Otvor {l} | Plástev | Vrchol postava | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[3,5,3] | {10,4|3} | 2t {3,5,3} | {4,10|3} | t0,3{3,5,3} | |||||||
[5,3,5] | {6,4|5} | 2t {5,3,5} | {4,6|5} | t0,3{5,3,5} | |||||||
[(4,3,3,3)] | {8,6|3} | ct {(4,3,3,3)} | {6,8|3} | ct {(3,3,4,3)} | |||||||
[(5,3,3,3)] | {10,6|3} | ct {(5,3,3,3)} | {6,10|3} | ct {(3,3,5,3)} | |||||||
[(4,3,4,3)] | {8,8|3} | ct {(4,3,4,3)} | {6,6|4} | ct {(3,4,3,4)} | |||||||
[(5,3,4,3)] | {8,10|3} | ct {(4,3,5,3)} | {10,8|3} | ct {(5,3,4,3)} | |||||||
[(5,3,5,3)] | {10,10|3} | ct {(5,3,5,3)} | {6,6|5} | ct {(3,5,3,5)} |
Coxeter skupina | Apeirohedron {p, q | l} | Tvář {p} | Otvor {l} | Plástev | Vrchol postava | Apeirohedron {p, q | l} | Tvář {p} | Otvor {l} | Plástev | Vrchol postava | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[4,4,4] | {8,4|4} | 2t {4,4,4} | {4,8|4} | t0,3{4,4,4} | |||||||
[3,6,3] | {12,4|3} | 2t {3,6,3} | {4,12|3} | t0,3{3,6,3} | |||||||
[6,3,6] | {6,4|6} | 2t {6,3,6} | {4,6|6} | t0,3{6,3,6} | |||||||
[(4,4,4,3)] | {8,6|4} | ct {(4,4,3,4)} | {6,8|4} | ct {(3,4,4,4)} | |||||||
[(4,4,4,4)] | {8,8|4} | q {4,4,4} | |||||||||
[(6,3,3,3)] | {12,6|3} | ct {(6,3,3,3)} | {6,12|3} | ct {(3,3,6,3)} | |||||||
[(6,3,4,3)] | {12,8|3} | ct {(6,3,4,3)} | {8,12|3} | ct {(4,3,6,3)} | |||||||
[(6,3,5,3)] | {12,10|3} | ct {(6,3,5,3)} | {10,12|3} | ct {(5,3,6,3)} | |||||||
[(6,3,6,3)] | {12,12|3} | ct {(6,3,6,3)} | {6,6|6} | ct {(3,6,3,6)} |
Viz také
Reference
- ^ Symetrie věcí, 2008, kapitola 23 Objekty s primární symetrií, Nekonečná platónská mnohostěna, str. 333–335
- ^ Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II 2.34)
- ^ Garner, C. W. L. Pravidelná šikmá mnohostěna v hyperbolickém trojprostoru. Umět. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] Poznámka: Jeho práce uvádí, že jich je 32, ale jeden je dvojí, takže 31.
- Petrie – Coxeterovy mapy byly znovu navštíveny PDF, Isabel Hubard, Egon Schulte, Asia Ivic Weiss, 2005
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5,
- Peter McMullen, Čtyřrozměrný pravidelný mnohostěn „Diskrétní a výpočetní geometrie září 2007, svazek 38, vydání 2, str. 355–387
- Coxeter, Pravidelné Polytopes, Třetí vydání, (1973), Doverské vydání, ISBN 0-486-61480-8
- Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Papír 2) H.S.M. Coxeter, „Pravidelné houby nebo Šikmý mnohostěn“, Scripta Mathematica 6 (1939) 240–244.
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejůPublikace Dover, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Kapitola 5: Pravidelná šikmá mnohostěna ve třech a čtyřech rozměrech a jejich topologické analogy, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, sv. 43, 1937.)
- Coxeter, H. S. M. Pravidelná šikmá mnohostěna ve třech a čtyřech rozměrech. Proc. London Math. Soc. 43, 33–62, 1937.