Objednávka-6 kubických voštin - Order-6 cubic honeycomb - Wikipedia

Objednávka-6 kubických voštin
Perspektivní projekce Pohled v rámci Poincaré model disku
Typ	Hyperbolický pravidelný plástev Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	{4,3,6} {4,3^[3]}
Coxeterův diagram	↔ ↔
Buňky	{4,3}
Tváře	náměstí {4}
Postava hrany	šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	trojúhelníkové obklady
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6] ${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$ , [4,3^[3]]
Dvojí	Order-4 šestihranný obkladový plástev
Vlastnosti	Pravidelný, quasiregular

The objednávka-6 kubických voštin je paracompact pravidelný vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v hyperbolický 3-prostor. to je paracompact protože má vrcholové postavy složený z nekonečného počtu fazet se všemi vrcholy jako ideální body v nekonečnu. S Schläfliho symbol {4,3,6}, plástev má šest ideál kostky setkávající se podél každého okraje. Své vrchol obrázek je nekonečný trojúhelníkové obklady. Své dvojí je objednávka 4 šestihranný obkladový plástev.

A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

snímky

Jedna buňka viděná mimo model sféry Poincaré	Kubický plástev řádu 6 je analogický s 2D hyperbolikem čtvercový obklad nekonečného řádu, {4, ∞} se čtvercovými tvářemi. Všechny vrcholy jsou na ideálním povrchu.

Symetrie

Polosymetrická konstrukce kubického plástu řádu 6 existuje jako {4,3^[3]}, se dvěma střídajícími se typy (barvami) kubických buněk. Tato konstrukce má Coxeter-Dynkinův diagram ↔ .

Další konstrukce nižší symetrie, [4,3^*, 6], indexu 6, existuje s jednoduchou základní doménou, s Coxeter-Dynkinův diagram .

Tento plástev obsahuje ta taška 2-hypercyklus povrchy podobné paracompactu objednávka 3 apeirogonal obklady, :

Související polytopy a voštiny

Objednávkový 6 kubický plástev je a pravidelný hyperbolický plástev ve 3-prostoru a jeden z 11, které jsou paracompact.

11 paracompact pravidelných voštin
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Má to související střídání plástev, zastoupený ↔ . Tato alternativní forma má šestihranný obklad a čtyřstěn buňky.

Existují patnáct uniformních voštin v [6,3,4] Skupina coxeterů rodina, včetně samotného kubického plástu řádu 6.

[6,3,4] rodinné voštiny
{6,3,4}	r {6,3,4}	t {6,3,4}	rr {6,3,4}	t_0,3{6,3,4}	tr {6,3,4}	t_0,1,3{6,3,4}	t_0,1,2,3{6,3,4}


{4,3,6}	r {4,3,6}	t {4,3,6}	rr {4,3,6}	2t {4,3,6}	tr {4,3,6}	t_0,1,3{4,3,6}	t_0,1,2,3{4,3,6}

Kubický plástev řádu 6 je součástí posloupnosti běžná polychora a voštiny s krychlový buňky.

{4,3, p} pravidelné voštiny
Prostor	S³	E³	H³
Formulář	Konečný	Afinní	Kompaktní	Paracompact	Nekompaktní
název	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	... {4,3,∞}
obraz
Vrchol postava	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Je také součástí řady voštin s trojúhelníkové obklady vrcholové postavy.

Hyperbolické jednotné voštiny: {p, 3,6}
Formulář	Paracompact				Nekompaktní
název	{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{6,3,6}	{7,3,6}	{8,3,6}	... {∞,3,6}
obraz
Buňky	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Opravená objednávka - 6 kubických voštin

Opravená objednávka - 6 kubických voštin
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	r {4,3,6} nebo t₁{4,3,6}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔
Buňky	r {3,4} {3,6}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	šestihranný hranol
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6] ${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$ , [6,3^1,1] ${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$ , [4,3^[3]] ${ displaystyle { overline {DP}} _ {3}}$ , [3^[]×[]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The opravená objednávka - 6 kubických voštin, r {4,3,6}, má cuboctahedral a trojúhelníkové obklady fazety, s a šestihranný hranol vrchol obrázek.

Je to podobné jako u 2D hyperboliku tetraapeirogonal obklady, r {4, ∞}, střídání apeirogonálních a čtvercových ploch:

r {p, 3,6}
proti
t
E
Prostor	H³
Formulář	Paracompact				Nekompaktní
název	r {3,3,6}	r {4,3,6}	r {5,3,6}	r {6,3,6}	r {7,3,6}	... r {∞, 3,6}
obraz
Buňky {3,6}	r {3,3}	r {4,3}	r {5,3}	r {6,3}	r {7,3}	r {∞, 3}

Zkrácená objednávka - 6 kubických voštin

Zkrácená objednávka - 6 kubických voštin
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	t {4,3,6} nebo t_0,1{4,3,6}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	t {4,3} {3,6}
Tváře	trojúhelník {3} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	šestihranná pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6] ${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$ , [4,3^[3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The zkrácená objednávka - 6 kubických voštin, t {4,3,6}, má zkrácená kostka a trojúhelníkové obklady fazety, s a šestihranná pyramida vrchol obrázek.

Je to podobné jako u 2D hyperboliku zkrácený čtvercový obklad nekonečného řádu, t {4, ∞}, s apeirogonálními a osmihrannými (zkrácenými čtverci) plochami:

Bitrunkovaný objednávkový 6 kubický plástev

The bitruncated order-6 cubic honeycomb je stejný jako bitruncated order-4 hexagonal tiling honeycomb.

Kanylovaný objednávkový 6 kubický plástev

Kanylovaný objednávkový 6 kubický plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	rr {4,3,6} nebo t_0,2{4,3,6}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	rr {4,3} r {3,6} {} x {6}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	klín
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6] ${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$ , [4,3^[3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantellated order-6 cubic honeycomb, rr {4,3,6}, má kosočtverec, trihexagonal obklady, a šestihranný hranol fazety, s a klín vrchol obrázek.

Cantitruncated objednávka-6 kubický plástev

Cantitruncated objednávka-6 kubický plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	tr {4,3,6} nebo t_0,1,2{4,3,6}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	tr {4,3} t {3,6} {} x {6}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	zrcadlový sfénoid
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6] ${ displaystyle { overline {BP}} _ {3}}$ , [4,3^[3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantitruncated order-6 cubic honeycomb, tr {4,3,6}, má zkrácený cuboctahedron, šestihranný obklad, a šestihranný hranol fazety, s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.

Runcinated order-6 cubic honeycomb

The runcinated order-6 cubic honeycomb je stejný jako runcinated order-4 hexagonal tiling honeycomb.

Runcitruncated objednávka-6 kubický plástev

Kanylovaný objednávkový 6 kubický plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	t_0,1,3{4,3,6}
Coxeterovy diagramy
Buňky	t {4,3} rr {3,6} {} x {6} {} x {8}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcitruncated objednávka-6 kubických voštin, rr {4,3,6}, má zkrácená kostka, rhombitrihexagonal obklady, šestihranný hranol, a osmiboký hranol fazety, s rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida vrchol obrázek.

Runcicantellated order-6 kubický plástev

The runcicantellated order-6 kubický plástev je stejný jako runcitruncated objednávka-4 hexagonální obkladový plástev.

Omnitruncated objednávka - 6 kubických voštin

The omnitruncated order-6 cubic honeycomb je stejný jako omnitruncated order-4 hexagonal tiling honeycomb.

Střídavý objednávkový 6 kubický plástev

Střídavý objednávkový 6 kubický plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev Semiregular plástev
Schläfliho symbol	h {4,3,6}
Coxeterův diagram	↔ ↔ ↔ ↔
Buňky	{3,3} {3,6}
Tváře	trojúhelník {3}
Vrcholová postava	trihexagonal obklady
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$ , [6,3^1,1] ${ displaystyle { overline {DP}} _ {3}}$ , [3^[]X[]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive, quasiregular

V trojrozměrné hyperbolické geometrii je střídaný šestihranný obkladový plást řádu 6 je jednotná kompaktní výplň prostoru mozaikování (nebo plástev ). Jako střídání, s Schläfliho symbol h {4,3,6} a Coxeter-Dynkinův diagram nebo , lze jej považovat za quasiregular plástev, střídavě trojúhelníkové obklady a čtyřstěn kolem každého vrcholu v a trihexagonal obklady vrchol obrázek.

Symetrie

Polosymetrická konstrukce z formy {4,3^[3]} existuje se dvěma střídajícími se typy (barvami) trojúhelníkových obkladových buněk. Tento formulář má Coxeter-Dynkinův diagram ↔ . Další forma s nižší symetrií indexu 6, [4,3^*, 6], existuje s jednoduchou základní doménou, s Coxeter-Dynkinův diagram .

Související voštiny

Střídavý kubický plástev řádu 6 je součástí řady quasiregular polychora a voštiny.

Kvaziregulární polychora a voštiny: h {4, p, q}
Prostor	Konečný	Afinní	Kompaktní	Paracompact
Schläfli symbol	h {4,3,3}	h {4,3,4}	h {4,3,5}	h {4,3,6}	h {4,4,3}	h {4,4,4}
Schläfli symbol	${ displaystyle left {3, {3 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {3, {4 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {3, {5 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {3, {6 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {4, {4 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {4, {4 na vrcholu 4} right }}$
Coxeter diagram	↔	↔	↔	↔	↔	↔
Coxeter diagram	↔					↔
obraz
Vrchol postava r {p, 3}

Má také 3 související formy: cantic order-6 cubic honeycomb, h₂{4,3,6}, ; the runcic order-6 kubický plástev, h₃{4,3,6}, ; a runcicantic order - 6 kubických plástů, h_2,3{4,3,6}, .

Kantický řád - 6 kubických voštin

Kantický řád - 6 kubických voštin
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	h₂{4,3,6}
Coxeterův diagram	↔ ↔ ↔
Buňky	t {3,3} r {6,3} t {3,6}
Tváře	trojúhelník {3} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	obdélníkový pyramida
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$ , [6,3^1,1] ${ displaystyle { overline {DP}} _ {3}}$ , [3^[]X[]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantic order-6 cubic honeycomb je jednotná kompaktní výplň prostoru mozaikování (nebo plástev ) s Schläfliho symbol h₂{4,3,6}. Skládá se z zkrácený čtyřstěn, trihexagonal obklady, a šestihranný obklad fazety, s a obdélníkový pyramida vrchol obrázek.

Runcic order - 6 kubických voštin

Runcic order - 6 kubických voštin
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	h₃{4,3,6}
Coxeterův diagram	↔
Buňky	{3,3} {6,3} rr {6,3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	trojúhelníková kopule
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$ , [6,3^1,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcic order-6 kubický plástev je jednotná kompaktní výplň prostoru mozaikování (nebo plástev ) s Schläfliho symbol h₃{4,3,6}. Skládá se z čtyřstěn, šestihranný obklad, a rhombitrihexagonal obklady fazety, s a trojúhelníková kopule vrchol obrázek.

Runcicantic order - 6 kubických plástů

Runcicantic order - 6 kubických plástů
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	h_2,3{4,3,6}
Coxeterův diagram	↔
Buňky	t {6,3} tr {6,3} t {3,3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} dodekagon {12}
Vrcholová postava	zrcadlový sfénoid
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {DV}} _ {3}}$ , [6,3^1,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcicantic order - 6 kubických plástů je jednotná kompaktní výplň prostoru mozaikování (nebo plástev ), s Schläfliho symbol h_2,3{4,3,6}. Skládá se z komolý šestihranný obklad, zkrácené trihexagonální obklady, a zkrácený čtyřstěn fazety, s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.

Viz také

Reference

Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
Krása geometrie: Dvanáct esejů (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Kapitola 10, Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru ) Tabulka III
Jeffrey R. Weeks Tvar vesmíru, 2. vydání ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitola 16-17: Geometrie na trojnásobném potrubí I, II)
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
- N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) Kapitola 13: Skupiny hyperbolických coxeterů