Krychlový plástev - Cubic honeycomb

Krychlový plástev

Typ	Běžný plástev
Rodina	Hypercube plástev
Indexování^[1]	J_11,15, A₁ Ž₁, G.₂₂
Schläfliho symbol	{4,3,4}
Coxeterův diagram
Typ buňky	{4,3}
Typ obličeje	náměstí {4}
Vrcholová postava	osmistěn
Vesmírná skupina Fibrifoldova notace	Odpoledne3m (221) 4⁻:2
Skupina coxeterů	${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ , [4,3,4]
Dvojí	self-dual Buňka:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, pravidelný

The kubický plástev nebo kubická buněčná filtrace je jediné správné pravidelné vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v Euklidovský 3prostor, tvořeny krychlový buňky. Má 4 kostky kolem každého okraje a 8 kostek kolem každého vrcholu. Své vrchol obrázek je pravidelný osmistěn. Je to self-dual mozaikování s Schläfliho symbol {4,3,4}. John Horton Conway nazývá tento plástev a krychle.

A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

Související voštiny

Je součástí vícerozměrné rodiny Hypercube voštiny, s Schläfliho symboly formuláře {4,3, ..., 3,4}, počínaje čtvercové obklady, {4,4} v letadle.

Je to jeden z 28 jednotné voštiny použitím konvexní uniformní mnohostěn buňky.

Izometrie jednoduchých kubických mřížek

Jednoduché kubické mřížky mohou být zkresleny na nižší symetrie, představované nižšími krystalovými systémy:

Krystalový systém	Monoklinický Triclinic	Ortorombický	Tetragonální	Kosodélník	Krychlový
Jednotková buňka	Rovnoběžnostěn	Obdélníkový kvádr	Náměstí kvádr	Trigonální lichoběžník	Krychle
Skupina bodů Objednat Rotační podskupina	[ ], (*) Objednávka 2 [ ]⁺, (1)	[2,2], (*222) Objednávka 8 [2,2]⁺, (222)	[4,2], (*422) Objednávka 16 [4,2]⁺, (422)	[3], (*33) Objednávka 6 [3]⁺, (33)	[4,3], (*432) Objednávka 48 [4,3]⁺, (432)
Diagram
Vesmírná skupina Rotační podskupina	Pm (6) P1 (1)	Pmmm (47) P222 (16)	P4 / mmm (123) P422 (89)	R3m (160) R3 (146)	Odpoledne3m (221) P432 (207)
Coxeterova notace	-	[∞]_A×[∞]_b×[∞]_C	[4,4]_A×[∞]_C	-	[4,3,4]_A
Coxeterův diagram	-			-

Jednotná barviva

Existuje velké množství jednotné barvy, odvozené z různých symetrií. Tyto zahrnují:

Coxeterova notace Vesmírná skupina	Coxeterův diagram	Schläfliho symbol	Barvy podle písmen
[4,3,4] Odpoledne3m (221)	=	{4,3,4}	1: aaaa / aaaa
[4,3^1,1] = [4,3,4,1⁺] Fm3m (225)	=	{4,3^1,1}	2: abba / baab
[4,3,4] Odpoledne3m (221)		t_0,3{4,3,4}	4: abbc / bccd
[[4,3,4]] Odpoledne3m (229)		t_0,3{4,3,4}	4: abbb / bbba
[4,3,4,2,∞]	nebo	{4,4} × t {∞}	2: aaaa / bbbb
[4,3,4,2,∞]		t₁{4,4}×{∞}	2: abba / abba
[∞,2,∞,2,∞]		t {∞} × t {∞} × {∞}	4: abcd / abcd
[∞,2,∞,2,∞] = [4,(3,4)^*]	=	t {∞} × t {∞} × t {∞}	8: abcd / efgh

Projekce

The kubický plástev mohou být ortogonálně promítnuty do euklidovské roviny s různým uspořádáním symetrie. Nejvyšší (hexagonální) symetrie se promítá do a trojúhelníkové obklady. Čtvercová symetrická projekce tvoří a čtvercové obklady.

Ortogonální projekce
Symetrie	p6m (* 632)	p4m (* 442)	pmm (* 2222)
Pevný
Rám

Související polytopy a voštiny

Souvisí to s běžným 4-mnohostěn tesseract, Schläfliho symbol {4,3,3}, který existuje ve 4-prostoru, a pouze má 3 kostky kolem každého okraje. Souvisí to také s objednávka-5 kubických voštin, Schläfliho symbol {4,3,5}, z hyperbolický prostor s 5 kostkami kolem každého okraje.

Je v posloupnosti polychora a plástev s osmistěn vrcholové postavy.

{p, 3,4} pravidelné voštiny
Prostor	S³	E³	H³
Formulář	Konečný	Afinní	Kompaktní	Paracompact	Nekompaktní
název	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
obraz
Buňky	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Je to v pořadí běžné polytopy a voštiny s krychlový buňky.

{4,3, p} pravidelné voštiny
Prostor	S³	E³	H³
Formulář	Konečný	Afinní	Kompaktní	Paracompact	Nekompaktní
název	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	... {4,3,∞}
obraz
Vrchol postava	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

{p, 3, p} běžné voštiny
Prostor	S³	Euklidovský E³	H³
Formulář	Konečný	Afinní	Kompaktní	Paracompact	Nekompaktní
název	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3,6}	{7,3,7}	{8,3,8}	...{∞,3,∞}
obraz
Buňky	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
Vrchol postava	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Související polytopy

Kubický plástev má nižší symetrii jako runcinovaný kubický plástev, se dvěma velikostmi kostky. Konstrukci dvojité symetrie lze zkonstruovat umístěním malé krychle do každé velké krychle, což má za následek nejednotnou voštinu s kostky, čtvercové hranoly a obdélníkové lichoběžníky (krychle s D_2d symetrie). Jeho vrcholná postava je trojúhelníková pyramida s postranními plochami rozšířenými o čtyřstěn.

Duální buňka

Výsledný plástev lze střídat, aby vznikl jiný nejednotný plást s pravidelným čtyřstěn, dva druhy tetragonálních disphenoidů, trojúhelníkové pyramidy a sfénoidy. Jeho vrcholná postava má C_3v symetrie a má 26 trojúhelníkových ploch, 39 hran a 15 vrcholů.

Související euklidovské mozaiky

[4,3,4], , Skupina coxeterů generuje 15 permutací rovnoměrných mozaikování, 9 s odlišnou geometrií včetně střídaného kubického plástu. The rozšířený kubický plástev (také známý jako runcinovaný kubický plástev) je geometricky identický s kubickým plástem.

C3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	[4,3,4]		×1	₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆
Fm3m (225)	2⁻:2	[1⁺,4,3,4] ↔ [4,3^1,1]	↔	Polovina	₇, ₁₁, ₁₂, ₁₃
Já43 m (217)	4^Ó:2	[[(4,3,4,2⁺)]]		Polovina × 2	₍₇₎,
Fd3m (227)	2⁺:2	[[1⁺,4,3,4,1⁺]] ↔ [[3^[4]]]	↔	Čtvrtletí × 2	₁₀,
Im3m (229)	8^Ó:2	[[4,3,4]]		×2	₍₁₎, ₈, ₉

[4,3^1,1], , Skupina coxeterů generuje 9 permutací rovnoměrných mozaikování, 4 s odlišnou geometrií včetně střídaného kubického plástu.

B3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
Fm3m (225)	2⁻:2	[4,3^1,1] ↔ [4,3,4,1⁺]	↔	×1	₁, ₂, ₃, ₄
Fm3m (225)	2⁻:2	<[1⁺,4,3^1,1]> ↔ <[3^[4]]>	↔	×2	₍₁₎, ₍₃₎
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	<[4,3^1,1]>		×2	₅, ₆, ₇, ₍₆₎, ₉, ₁₀, ₁₁

Tento plástev je jedním z pět odlišných jednotných voštin^[2] postavena ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ Skupina coxeterů. Symetrii lze vynásobit symetrií prstenů v Coxeter – Dynkinovy diagramy:

A3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Náměstí symetrie	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Rozšířené skupina	Voštinové diagramy
F43 m (216)	1^Ó:2	a1	[3^[4]]		${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$	(Žádný)
Fm3m (225)	2⁻:2	d2	<[3^[4]]> ↔ [4,3^1,1]	↔	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×2₁ ↔ ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$	₁, ₂
Fd3m (227)	2⁺:2	g2	[[3^[4]]] nebo [2⁺[3^[4]]]	↔	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×2₂	₃
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	d4	<2[3^[4]]> ↔ [4,3,4]	↔	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×4₁ ↔ ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$	₄
Já3 (204)	8^-O	r8	[4[3^[4]]]⁺ ↔ [[4,3⁺,4]]	↔	½ ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×8 ↔ ½ ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ ×2	_(*)
Im3m (229)	8^Ó:2	r8	[4[3^[4]]] ↔ [[4,3,4]]	↔	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×8 ↔ ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ ×2	₅

Rektifikovaný kubický plástev

Rektifikovaný kubický plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	r {4,3,4} nebo t₁{4,3,4} r {4,3^1,1} 2r {4,3^1,1} r {3^[4]}
Coxeterovy diagramy	= = = = =
Buňky	r {4,3} {3,4}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	hranatý hranol
Vesmírná skupina Fibrifoldova notace	Odpoledne3m (221) 4⁻:2
Skupina coxeterů	${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ , [4,3,4]
Dvojí	zploštělý osmistěn Buňka:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, hrana tranzitivní

The rektifikovaný kubický plástev nebo rektifikovaná kubická buněčná filtrace je jednotné vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v euklidovském 3-prostoru. Skládá se z oktaedra a cuboctahedra v poměru 1: 1, s a hranatý hranol vrchol obrázek.

John Horton Conway nazývá tento plástev a cuboctahedrillea jeho dvojí zploštělý osmistěn.

Projekce

The rektifikovaný kubický plástev mohou být ortogonálně promítnuty do euklidovské roviny s různým uspořádáním symetrie.

Ortogonální projekce
Symetrie	p6m (* 632)	p4m (* 442)	pmm (* 2222)
Pevný
Rám

Symetrie

Jsou čtyři jednotné barvy pro buňky této plástve s reflexní symetrií, uvedené podle jejich Skupina coxeterů, a Wythoffova konstrukce jméno a Coxeterův diagram níže.

Symetrie	[4,3,4] ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$	[1⁺,4,3,4] [4,3^1,1], ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$	[4,3,4,1⁺] [4,3^1,1], ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$	[1⁺,4,3,4,1⁺] [3^[4]], ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$
Vesmírná skupina	Odpoledne3m (221)	Fm3m (225)	Fm3m (225)	F43 m (216)
Zbarvení
Coxeter diagram
Coxeter diagram
Vrcholová postava
Vrchol postava symetrie	D_4h [4,2] (*224) objednávka 16	D_2h [2,2] (*222) objednávka 8	C_4v [4] (*44) objednávka 8	C_2v [2] (*22) objednávka 4

Tuto voštinu lze rozdělit trihexagonal obklady letadla pomocí šestiúhelník centra cuboctahedra, vytvoření dvou trojúhelníkové kopule. Tento včelí plástev je reprezentován Coxeterovým diagramem a symbol s₃{2,6,3}, s coxeterová notace symetrie [2⁺,6,3].

.

Související polytopy

Konstrukci dvojité symetrie lze vytvořit umístěním oktaédru na cuboctahedru, což má za následek nejednotnou voštinu se dvěma druhy oktaedra (pravidelné oktaedry a trojúhelníkové antiprismy). Vrcholová figura je a čtvercové bifrustum. Duál se skládá z podlouhlé čtvercové bipyramidy.

Duální buňka

Zkrácený kubický plástev

Zkrácený kubický plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	t {4,3,4} nebo t_0,1{4,3,4} t {4,3^1,1}
Coxeterovy diagramy	=
Typ buňky	t {4,3} {3,4}
Typ obličeje	trojúhelník {3} náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	rovnoramenný čtvercová pyramida
Vesmírná skupina Fibrifoldova notace	Odpoledne3m (221) 4⁻:2
Skupina coxeterů	${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ , [4,3,4]
Dvojí	Pyramidille Buňka:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The zkrácený kubický plástev nebo zkrácená kubická buněčnost je jednotné vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v euklidovském 3-prostoru. Skládá se z zkrácené kostky a oktaedra v poměru 1: 1, s rovnoramennými čtvercová pyramida vrchol obrázek.

John Horton Conway nazývá tento plástev a zkrácený kubila jeho dvojí pyramidille.

Projekce

The zkrácený kubický plástev mohou být ortogonálně promítnuty do euklidovské roviny s různým uspořádáním symetrie.

Ortogonální projekce
Symetrie	p6m (* 632)	p4m (* 442)	pmm (* 2222)
Pevný
Rám

Symetrie

Je tu druhá jednotné zbarvení reflexní symetrií Skupiny coxeterů, druhý viděn se střídavě zbarvenými zkrácenými kubickými buňkami.

Konstrukce	Bicantellated alternativní kubický	Zkrácený kubický plástev
Skupina coxeterů	[4,3^1,1], ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$	[4,3,4], ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ =<[4,3^1,1]>
Vesmírná skupina	Fm3m	Odpoledne3m
Zbarvení
Coxeterův diagram	=
Vrcholová postava

Související polytopy

Konstrukci dvojité symetrie lze vytvořit umístěním osmistěn na zkrácené kostky, což vede k nejednotné voštině se dvěma druhy oktaedra (pravidelné oktaedry a trojúhelníkové antiprismy) a dva druhy čtyřstěn (tetragonální disfenoidy a digonální disfenoidy). Vrcholová figura je kopule octakis square.

Vrcholová postava

Duální buňka

Bitrunkovaný krychlový plástev

Bitrunkovaný krychlový plástev

Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	2t {4,3,4} t_1,2{4,3,4}
Coxeter-Dynkinův diagram
Buňky	t {3,4}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6}
Postava hrany	rovnoramenný trojúhelník {3}
Vrcholová postava	tetragonální disphenoid
Skupina symetrie Fibrifoldova notace Coxeterova notace	Im3m (229) 8^Ó:2 [[4,3,4]]
Skupina coxeterů	${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ , [4,3,4]
Dvojí	Oblátový čtyřstěn Disphenoid čtyřboký plástev Buňka:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, hrana tranzitivní, buněčně tranzitivní

Zde zobrazený bitunový kubický plástev ve vztahu k kubickému plástve

The bitunovaný kubický plástev je vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v Euklidovský 3prostor tvořeny zkrácená oktaédra (nebo ekvivalentně bitruncated kostky). Má čtyři zkrácená oktaédra kolem každého vrcholu, v a tetragonální disphenoid vrchol obrázek. Skládá se úplně z zkrácená oktaédra, to je buněčně tranzitivní. Je to také hrana tranzitivní, se 2 šestiúhelníky a jedním čtvercem na každém okraji, a vrchol-tranzitivní. Je to jeden z 28 jednotné voštiny.

John Horton Conway nazývá tento plástev a zkrácený osmistěn v jeho Architektonická a catoptrická mozaikování seznam s duálním názvem s názvem zploštělý čtyřstěn, také nazývaný a disphenoid čtyřboký plástev. Ačkoli pravidelný čtyřstěn sám nemůže mozaikovat prostor, má tento dual stejný disphenoid tetrahedron buňky s rovnoramenný trojúhelník tváře.

Projekce

The bitunovaný kubický plástev mohou být ortogonálně promítnuty do euklidovské roviny s různým uspořádáním symetrie. Nejvyšší (hexagonální) symetrie se promítá do nerovnoměrného tvaru rhombitrihexagonal obklady. Čtvercová symetrická projekce tvoří dvě překrývající se zkrácený čtvercový obklad, které se spojují dohromady jako zkosený čtvercový obklad.

Ortogonální projekce
Symetrie	p6m (* 632)	p4m (* 442)	pmm (* 2222)
Pevný
Rám

Symetrie

Vrcholový údaj pro tuto voštinu je a disphenoid tetrahedron, a je to také Goursat čtyřstěn (základní doména ) pro ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ Skupina coxeterů. Tento plást má čtyři jednotné konstrukce, přičemž zkrácené oktaedrické buňky mají různé Skupiny coxeterů a Wythoffovy konstrukce. Tyto jednotné symetrie mohou být reprezentovány různým zbarvením buněk v každé konstrukci.

Pět jednotných barev podle buněk
Vesmírná skupina	Im3m (229)	Odpoledne3m (221)	Fm3m (225)	F43 m (216)	Fd3m (227)
Fibrifold	8^Ó:2	4⁻:2	2⁻:2	1^Ó:2	2⁺:2
Skupina coxeterů	${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ ×2 [[4,3,4]] =[4[3^[4]]] =	${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ [4,3,4] =[2[3^[4]]] =	${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ [4,3^1,1] =<[3^[4]]> =	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ [3^[4]]	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×2 [[3^[4]]] =[[3^[4]]]
Coxeterův diagram
zkrácená oktaédra	1	1:1 :	2:1:1 ::	1:1:1:1 :::	1:1 :
Vrcholová postava
Vrchol postava symetrie	[2⁺,4] (objednávka 8)	[2] (objednávka 4)	[ ] (objednávka 2)	[ ]⁺ (objednávka 1)	[2]⁺ (objednávka 2)
obraz Vybarveno buňka

Související polytopy

Neuniformní varianty se symetrií [4,3,4] a dvěma typy zkráceného oktaedru lze zdvojnásobit umístěním dvou typů zkráceného oktaedru, aby se vytvořil nejednotný plást s zkrácená oktaédra a šestihranné hranoly (jako ditrigonální lichoběžníky). Jeho vrcholná postava je a C_2v-symetrický trojúhelníkový bipyramid.

Tuto voštinu lze potom střídat, aby vznikl další nejednotný plást s pyritohedral icosahedra, oktaedra (jako trojúhelníkové antiprismy) a čtyřstěn (jako sfenoidy). Jeho vrcholná postava má C_2v symetrie a skládá se ze 2 pětiúhelníky, 4 obdélníky, 4 rovnoramenné trojúhelníky (rozdělené do dvou sad po 2) a 4 scalene trojúhelníky.

Alternativní bitrunkovaný kubický plástev

Alternativní bitrunkovaný kubický plástev
Typ	Konvexní plástev
Schläfliho symbol	2 s {4,3,4} 2 s {4,3^1,1} sr {3^[4]}
Coxeterovy diagramy	= = =
Buňky	{3,3} s {3,3}
Tváře	trojúhelník {3}
Vrcholová postava
Skupina coxeterů	[[4,3⁺,4]], ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$
Dvojí	Deset z diamantů plástev Buňka:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, nejednotný

The střídaný bitrunkovaný kubický plástev nebo bisnub kubický plástev je nejednotný, s nejvyšší konstrukcí symetrie odrážející střídání jednotného bitrunkovaného kubického plástve. Konstrukce s nižší symetrií zahrnuje pravidelnou icosahedru spárovanou se zlatou icosahedrou (s 8 rovnostrannými trojúhelníky spárovanými s 12 zlatými trojúhelníky). Existují tři konstrukce ze tří souvisejících Coxeterovy diagramy: , , a . Ty mají symetrii [4,3⁺,4], [4,(3^1,1)⁺] a [3^[4]]⁺ resp. První a poslední symetrii lze zdvojnásobit jako [[4,3⁺, 4]] a [[3^[4]]]⁺.

Tento plást je zastoupen v atomech boru α-kosočtverečný krystal. Středy ikosahedry jsou umístěny v polohách fcc mřížky.^[3]

Pět jednotných barev
Vesmírná skupina	Já3 (204)	Odpoledne3 (200)	Fm3 (202)	Fd3 (203)	F23 (196)
Fibrifold	8^-O	4⁻	2⁻	2^{o +}	1^Ó
Skupina coxeterů	[[4,3⁺,4]]	[4,3⁺,4]	[4,(3^1,1)⁺]	[[3^[4]]]⁺	[3^[4]]⁺
Coxeterův diagram
Objednat	dvojnásobek	plný	polovina	čtvrťák dvojnásobek	čtvrťák

Kanylovaný kubický plástev

Kanylovaný kubický plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	rr {4,3,4} nebo t_0,2{4,3,4} rr {4,3^1,1}
Coxeterův diagram	=
Buňky	rr {4,3} r {4,3} {} x {4}
Vrcholová postava	klín
Vesmírná skupina Fibrifoldova notace	Odpoledne3m (221) 4⁻:2
Skupina coxeterů	[4,3,4], ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$
Dvojí	čtvrtý zploštělý osmistěn Buňka:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantellated kubický plástev nebo kanylovaná kubická buněčná filtrace je jednotné vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v euklidovském 3-prostoru. Skládá se z rhombicuboctahedra, cuboctahedra, a kostky v poměru 1: 1: 3, s a klín vrchol obrázek.

John Horton Conway nazývá tento plástev a 2-RCO-trillea jeho dvojí čtvrtý zploštělý osmistěn.

snímky

	Úzce souvisí s perovskitová struktura, zobrazeno zde s kubickou symetrií, s atomy umístěnými ve středu buněk tohoto plástve.

Projekce

The cantellated kubický plástev mohou být ortogonálně promítnuty do euklidovské roviny s různým uspořádáním symetrie.

Ortogonální projekce
Symetrie	p6m (* 632)	p4m (* 442)	pmm (* 2222)
Pevný
Rám

Symetrie

Je tu druhá jednotné barvy reflexní symetrií Skupiny coxeterů, druhý viděný se střídavě zbarvenými kosočtverečnými buňkami.

Jednotné zbarvení vrcholů podle buňky
Konstrukce	Zkrácený kubický plástev	Bicantellated alternativní kubický
Skupina coxeterů	[4,3,4], ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ =<[4,3^1,1]>	[4,3^1,1], ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$
Vesmírná skupina	Odpoledne3m	Fm3m
Coxeterův diagram
Zbarvení
Vrcholová postava
Vrchol postava symetrie	[ ] objednávka 2	[ ]⁺ objednávka 1

Související polytopy

Konstrukci dvojité symetrie lze vytvořit umístěním cuboctahedra na rhombicuboctahedra, což má za následek rektifikovaný kubický plástev tím, že vezme trojúhelníkové antiprismové mezery jako pravidelné oktaedra, čtvercové antiprismové páry a tetragonální disfenoidy nulové výšky jako součásti cuboctahedron. Výsledkem dalších variant je cuboctahedra, čtvercové antiprismy, oktaedra (jako trojúhelníková antipodia) a čtyřstěn (jako tetragonální disphenoids), s vrcholem postava topologicky ekvivalentní k krychle s trojúhelníkový hranol připojený k jedné ze svých čtvercových ploch.

Čtvrtletní zploštělý osmistěn

Dvojí z cantellated kubický plástev se nazývá a čtvrtý zploštělý osmistěn, a catoptric mozaikování s Coxeterův diagram , obsahující tváře ze dvou ze čtyř hyperplánů kubické [4,3,4] základní domény.

Má nepravidelné trojúhelníkové bipyramidové buňky, které lze vidět jako 1/12 krychle, vyrobené ze středu krychle, 2 středy obličeje a 2 vrcholy.

Cantitruncated kubický plástev

Cantitruncated kubický plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	tr {4,3,4} nebo t_0,1,2{4,3,4} tr {4,3^1,1}
Coxeterův diagram	=
Buňky	tr {4,3} t {3,4} {} x {4}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	zrcadlový sfénoid
Skupina coxeterů	[4,3,4], ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$
Skupina symetrie Fibrifoldova notace	Odpoledne3m (221) 4⁻:2
Dvojí	trojúhelníková pyramidille Buňky:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The kubický voštinový plátek nebo cantitruncated cubic cellulation je jednotné vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v euklidovském 3-prostoru, tvořeném zkrácený cuboctahedra, zkrácená oktaédra, a kostky v poměru 1: 1: 3, s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.

John Horton Conway nazývá tento plástev a n-tCO-trillea jeho dvojí trojúhelníková pyramidille.

snímky

Kolem každého vrcholu existují čtyři buňky:

Projekce

The kubický voštinový plátek mohou být ortogonálně promítnuty do euklidovské roviny s různým uspořádáním symetrie.

Ortogonální projekce
Symetrie	p6m (* 632)	p4m (* 442)	pmm (* 2222)
Pevný
Rám

Symetrie

Buňky lze zobrazit ve dvou různých symetriích. Lineární Coxeterův diagram formulář lze nakreslit jednou barvou pro každý typ buňky. Formulář rozdvojeného diagramu lze nakreslit dvěma typy (barvami) zkrácený cuboctahedron buňky se střídají.

Konstrukce	Cantitruncated kubický	Omnitruncated alternativní kubický
Skupina coxeterů	[4,3,4], ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ =<[4,3^1,1]>	[4,3^1,1], ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$
Vesmírná skupina	Odpoledne3m (221)	Fm3m (225)
Fibrifold	4⁻:2	2⁻:2
Zbarvení
Coxeterův diagram
Vrcholová postava
Vrchol postava symetrie	[ ] objednávka 2	[ ]⁺ objednávka 1

Trojúhelníkový pyramidille

Dvojí z kubický voštinový plátek se nazývá a trojúhelníková pyramidille, s Coxeterův diagram, . Tyto voštinové buňky představují základní domény ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ symetrie.

Buňka může být 1/24 translační krychle s umístěnými vrcholy: přičemž vezme dva rohy, střed ne a střed krychle. Barvy okraje a štítky určují, kolik buněk kolem okraje existuje.

Související mnohostěny a voštiny

Souvisí to s a zkosit apeirohedron s konfigurace vrcholů 4.4.6.6, s odstraněnými osmiúhelníky a některými čtverci. To může být viděno jako konstruováno zvětšením komolých kombokatedrálních buněk nebo rozšířením střídaných komolých osmistěn a kostek.

Dva pohledy

Související polytopy

Konstrukci dvojité symetrie lze vytvořit umístěním zkráceného oktaedru na zkrácenou cuboctahedru, což má za následek nejednotnou voštinu s zkrácená oktaédra, šestihranné hranoly (jako ditrigonální lichoběžníky), kostky (jako čtvercové hranoly), trojúhelníkové hranoly (tak jako C_2v- symetrické klíny) a čtyřstěn (jako tetragonální disfenoidy). Jeho vrchol je topologicky ekvivalentní osmistěn.

Vrcholová postava

Duální buňka

Střídaný kubický voštinový plátek

Střídaný kubický voštinový plátek
Typ	Konvexní plástev
Schläfliho symbol	sr {4,3,4} sr {4,3^1,1}
Coxeterovy diagramy	=
Buňky	s {4,3} s {3,3} {3,3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava
Skupina coxeterů	[(4,3)⁺,4]
Dvojí	Buňka:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, nejednotný

The střídaný kubický voštinový plátek nebo usměrnit kubický plástev obsahuje tři typy buněk: urážet kostky, icosahedra (s T_h symetrie), čtyřstěn (jako tetragonální disfenoidy) a nové čtyřboké buňky vytvořené v mezerách.
Ačkoli to není jednotné, konstrukčně to může být uvedeno jako Coxeterovy diagramy nebo .

Přestože je nejednotná, existuje téměř nepřehlédnutelná verze se dvěma délkami hran zobrazenými níže, z nichž jedna je přibližně o 4,3% větší než druhá. Kostky urážky jsou v tomto případě jednotné, ale ostatní buňky nejsou.

Orthosnub kubický plástev

Orthosnub kubický plástev
Typ	Konvexní plástev
Schläfliho symbol	2 s₀{4,3,4}
Coxeterovy diagramy
Buňky	s₂{3,4} s {3,3} {} x {3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava
Skupina coxeterů	[4⁺,3,4]
Dvojí	Buňka:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, nejednotný

The orthosnub kubický plástev je konstruován potlačením zkrácená oktaédra způsobem, který ponechává pouze obdélníky z kostky (hranaté hranoly). Není jednotný, ale lze jej vyjádřit jako Coxeterův diagram . Má to rhombicuboctahedra (s T_h symetrie), icosahedra (s T_h symetrie) a trojúhelníkové hranoly (tak jako C_2v-symetrické klíny) vyplňující mezery.

Související polytopy

Konstrukci dvojité symetrie lze vytvořit umístěním icosahedry na rhombicuboctahedru, což má za následek nejednotnou voštinu s icosahedra, oktaedra (jako trojúhelníkové antiprismy), trojúhelníkové hranoly (tak jako C_2v- symetrické klíny) a čtvercové pyramidy.

Vrcholová postava

Duální buňka

Runcitruncated kubický plástev

Runcitruncated kubický plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	t_0,1,3{4,3,4}
Coxeterovy diagramy
Buňky	rr {4,3} t {4,3} {} x {8} {} x {4}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida
Skupina coxeterů	[4,3,4], ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$
Vesmírná skupina Fibrifoldova notace	Odpoledne3m (221) 4⁻:2
Dvojí	čtvercová čtvrtletí pyramidille Buňka
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcitruncated kubický plástev nebo runcitrunková kubická buněčnost je uniforma prostorová mozaikování (nebo plástev ) v euklidovském 3-prostoru. Skládá se z rhombicuboctahedra, zkrácené kostky, osmiboké hranoly, a kostky v poměru 1: 1: 3: 3, s rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida vrchol obrázek.

Jeho název je odvozen od jeho Coxeterův diagram, se třemi prstencovými uzly představujícími 3 aktivní zrcadla v Wythoffova konstrukce z jeho vztahu k pravidelný kubický plástev.

John Horton Conway nazývá tento plástev a 1-RCO-trillea jeho dvojí čtvercová čtvrtletí pyramidille.

Projekce

The runcitruncated kubický plástev mohou být ortogonálně promítnuty do euklidovské roviny s různým uspořádáním symetrie.

Ortogonální projekce
Symetrie	p6m (* 632)	p4m (* 442)	pmm (* 2222)
Pevný
Rám

Související šikmý apeirohedron

Dvě související uniformy zkosit apeirohedrony existuje se stejným uspořádání vrcholů, viděný jako hraniční buňky z podmnožiny buněk. Jeden má trojúhelníky a čtverce a druhý trojúhelníky, čtverce a osmiúhelníky.

Čtverec čtvercový pyramidille

Duální na runcitruncated kubický plástev se nazývá a čtvercová čtvrtletí pyramidille, s Coxeterův diagram . Tváře existují ve 3 ze 4 hyperplánů [4,3,4], ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ Skupina coxeterů.

Buňky jsou nepravidelné pyramidy a lze je považovat za 1/24 krychle s použitím jednoho rohu, jednoho bodu na středním okraji, dvou středů obličeje a středu krychle.

Související polytopy

Konstrukci dvojité symetrie lze vytvořit umístěním kosočtverce na zkrácené kostky, což má za následek nejednotnou voštinu s rhombicuboctahedra, oktaedra (jako trojúhelníkové antiprismy), kostky (jako hranolové hranoly), dva druhy trojúhelníkové hranoly (oba C_2v- symetrické klíny) a čtyřstěn (jako digonal disphenoids). Jeho vrchol je topologicky ekvivalentní rozšířený trojúhelníkový hranol.

Vrcholová postava

Duální buňka

Omnitruncated kubický plástev

Omnitruncated kubický plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	t_0,1,2,3{4,3,4}
Coxeterův diagram
Buňky	tr {4,3} {} x {8}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	fylický disfenoid
Skupina symetrie Fibrifoldova notace Coxeterova notace	Im3m (229) 8^Ó:2 [[4,3,4]]
Skupina coxeterů	[4,3,4], ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$
Dvojí	osmý pyramidille Buňka
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The omnitruncated kubický plástev nebo omnitrunková kubická buněčnost je jednotné vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v euklidovském 3-prostoru. Skládá se z zkrácený cuboctahedra a osmiboké hranoly v poměru 1: 3, s a fylický disfenoid vrchol obrázek.

John Horton Conway nazývá tento plástev a b-tCO-trillea jeho dvojí osmý pyramidille.

Projekce

The omnitruncated kubický plástev mohou být ortogonálně promítnuty do euklidovské roviny s různým uspořádáním symetrie.

Ortogonální projekce
Symetrie	p6m (* 632)	p4m (* 442)	pmm (* 2222)
Pevný
Rám

Symetrie

Buňky lze zobrazit ve dvou různých symetriích. The Coxeterův diagram forma má dvě barvy zkrácený cuboctahedra a osmiboké hranoly. Symetrii lze zdvojnásobit vztahem první a poslední větve Coxeterova diagramu, který lze zobrazit jednou barvou pro všechny zkrácené kuboctahedrální a osmiboké hranolové buňky.

Dvě jednotná barviva
Symetrie	${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ , [4,3,4]	${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ ×2, [[4,3,4]]
Vesmírná skupina	Odpoledne3m (221)	Im3m (229)
Fibrifold	4⁻:2	8^Ó:2
Zbarvení
Coxeterův diagram
Vrcholová postava

Související mnohostěn

Dvě související uniformy zkosit apeirohedron existují se stejným uspořádání vrcholů. První má odstraněné osmiúhelníky a konfiguraci vrcholů 4.4.4.6. To může být viděno jako zkrácené cuboctahedra a osmihranné hranoly rozšířené dohromady. Druhý může být viděn jako rozšířené osmiboké hranoly, konfigurace vrcholů 4.8.4.8.

4.4.4.6	4.8.4.8

Související polytopy

Neuniformní varianty se symetrií [4,3,4] a dvěma typy zkráceného cuboctahedra lze zdvojnásobit umístěním dvou typů zkráceného cuboctahedra na sebe, aby se vytvořil nejednotný plást s zkrácený cuboctahedra, osmiboké hranoly, šestihranné hranoly (jako ditrigonální lichoběžníky) a dva druhy kostky (jako obdélníkové lichoběžníky a jejich C_2v- symetrické varianty). Jeho vrchol je nepravidelný trojúhelníkový bipyramid.

Vrcholová postava

Duální buňka

Tuto voštinu lze potom střídat, aby vznikl další nejednotný plást s urážet kostky, čtvercové antiprismy, oktaedra (jako trojúhelníkové antiprismy) a tři druhy čtyřstěn (jako tetragonální disfenoidy, fylické disfenoidy a nepravidelný čtyřstěn).

Vrcholová postava

Střídavý kubický plástev s omítkou

Střídavý kubický plástev s omítkou
Typ	Konvexní plástev
Schläfliho symbol	ht_0,1,2,3{4,3,4}
Coxeterův diagram
Buňky	s {4,3} s {2,4} {3,3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava
Symetrie	[[4,3,4]]⁺
Dvojí	Duální střídavý všesměrový kubický plástev
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, nejednotný

An střídaný všesměrový kubický plástev nebo omnisnub kubický plástev může být vytvořen pomocí střídání z všudypřítomné kubické voštiny, i když ji nelze sjednotit, ale lze ji dát Coxeterův diagram: a má symetrii [[4,3,4]]⁺. Dělá urážet kostky z zkrácený cuboctahedra, čtvercové antiprismy z osmiboké hranoly a vytváří nové čtyřboká buňky z mezer.

Duální střídavý všesměrový kubický plástev

Duální střídavý všesměrový kubický plástev
Typ	Duální střídavý jednotný plástev
Schläfliho symbol	dht_0,1,2,3{4,3,4}
Coxeterův diagram
Buňka
Čísla vrcholů	pětiúhelníkový icositetrahedron čtyřúhelníkový lichoběžník čtyřstěn
Symetrie	[[4,3,4]]⁺
Dvojí	Střídavý kubický plástev s omítkou
Vlastnosti	Buňka-tranzitivní

A duální střídavý omnitrunovaný kubický plástev je plást vyplňující prostor vytvořený jako duální střídaný všesměrový kubický plástev.

24 buněk se vejde kolem vrcholu a tvoří chirál oktaedrická symetrie které lze skládat do všech 3-dimenzí:

Jednotlivé buňky mají dvojnásobnou rotační symetrii. Ve 2D ortogonální projekci to vypadá jako zrcadlová symetrie.

Zobrazení buněk
Síť

Bialternatosnub kubický plástev

Bialternatosnub kubický plástev
Typ	Konvexní plástev
Schläfliho symbol	sr₃{4,3,4}
Coxeterovy diagramy
Buňky	s₂{3,4} s {4,3} {} x {4} {} x {3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava
Skupina coxeterů	[4,3⁺,4]
Dvojí	Buňka:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, nejednotný

The bialternatosnub kubický plástev nebo runcic cantitruncated cubic honeycomb nebo runová kubická buněčná generace je konstruováno odstraněním střídavých dlouhých obdélníků z osmiúhelníků a není jednotné, ale lze jej vyjádřit jako Coxeterův diagram . Má to rhombicuboctahedra (s T_h symetrie), urážet kostky, dva druhy kostky: čtvercové hranoly a obdélníkové lichoběžníky (topologicky ekvivalentní a krychle ale s D_2d symetrie) a trojúhelníkové hranoly (tak jako C_2v-symetrické klíny) vyplňující mezery.

Biorthosnub kubický plástev

Biorthosnub kubický plástev
Typ	Konvexní plástev
Schläfliho symbol	2 s_0,3{4,3,4}
Coxeterovy diagramy
Buňky	s₂{3,4} {} x {4}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	(Tetragonální antiwedge )
Skupina coxeterů	[[4,3⁺,4]]
Dvojí	Buňka:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, nejednotný

The biorthosnub kubický plástev je konstruováno odstraněním střídavých dlouhých obdélníků z osmiúhelníků kolmo a není jednotné, ale může být reprezentováno jako Coxeterův diagram . Má to rhombicuboctahedra (s T_h symetrie) a dva druhy kostky: čtvercové hranoly a obdélníkové lichoběžníky (topologicky ekvivalentní a krychle ale s D_2d symetrie).

Zkosený hranatý hranolový plástev

Zkosený hranatý hranolový plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	t {4,4} × {∞} nebo t_0,1,3{4,4,2,∞} tr {4,4} × {∞} nebo t_0,1,2,3{4,4,∞}
Coxeter-Dynkinův diagram
Buňky	{} x {8} {} x {4}
Tváře	náměstí {4} osmiúhelník {8}
Skupina coxeterů	[4,4,2,∞]
Dvojí	Čtvercový hranolový obklad Tetrakis Buňka:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The zkrácený hranatý hranolový plástev nebo tomo-kvadratická hranolová buněčnost je vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v Euklidovský 3prostor. Skládá se z osmiboké hranoly a kostky v poměru 1: 1.

Je vyrobena z a zkrácený čtvercový obklad vytlačovány do hranolů.

Je to jeden z 28 konvexní jednotné voštiny.

Ucpat hranatý hranolový plástev

Ucpat hranatý hranolový plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	s {4,4} × {∞} sr {4,4} × {∞}
Coxeter-Dynkinův diagram
Buňky	{} x {4} {} x {3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Skupina coxeterů	[4⁺,4,2,∞] [(4,4)⁺,2,∞]
Dvojí	Káhirský pětiúhelníkový hranolový plástev Buňka:
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The ucpaný hranatý hranolový plástev nebo simo-kvadratická hranolová buněčnost je vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v Euklidovský 3prostor. Skládá se z kostky a trojúhelníkové hranoly v poměru 1: 2.

Je vyrobena z a urážet čtvercové obklady vytlačovány do hranolů.

Je to jeden z 28 konvexní jednotné voštiny.

Snub square antiprismatic honeycomb

Snub square antiprismatic honeycomb
Typ	Konvexní plástev
Schläfliho symbol	ht_0,1,3{4,4,2,∞} ht_0,1,2,3{4,4,∞}
Coxeter-Dynkinův diagram
Buňky	s {2,4} {3,3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava
Symetrie	[4,4,2,∞]⁺
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, nejednotný

A ucpaný čtvercový antiprismatický plástev může být vytvořen pomocí střídání ze zkráceného hranatého hranolového plástve, i když jej nelze vytvořit jednotným, ale lze jej dát Coxeterův diagram: a má symetrii [4,4,2, ∞]⁺. Dělá čtvercové antiprismy z osmiboké hranoly, čtyřstěn (jako tetragonální disfenoidy) z kostky a dva čtyřstěny z trojúhelníkové bipyramidy.

Viz také

Architektonická a catoptrická mozaikování
Střídavý kubický plástev
Seznam běžných polytopů
Objednávka-5 kubických voštin Hyperbolický kubický plástev s 5 kostkami na hranu
voxel

Reference

^ Pro křížové odkazy jsou uvedeny seznamové indexy od Andreiniho (1-22), Williamse (1-2,9-19), Johnsona (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51- 52, 61-65) a Grünbaum (1-28).
^ [1], A000029 6-1 případů, přeskočení jednoho s nulovými známkami
^ Williams, 1979, s. 199, obrázek 5-38.

John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Symetrie věcí, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, Architectonic and Catoptric tessellations, s. 292-298, zahrnuje všechny neprismatické formy)
Coxeter, H.S.M. Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, tabulka II: Pravidelné voštiny
George Olshevsky, Jednotné panoploidní tetrakomby, Rukopis (2006) (Kompletní seznam 11 konvexních uniformních obkladů, 28 konvexních uniformních voštin a 143 konvexních uniformních tetrakomb)
Branko Grünbaum, Rovnoměrné obklady 3prostoru. Geombinatorika 4(1994), 49 - 56.
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1,9 Jednotné prostorové výplně)
A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Na regulárních a semiregulárních sítích mnohostěnů a na odpovídajících korelačních sítích) Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
Klitzing, Richarde. „3D euklidovské voštiny x4o3o4o - chon - O1“.
Jednotné voštiny ve 3 mezerách: 01 chon

proti t E Zásadní konvexní pravidelný a jednotné voštiny v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${ displaystyle { tilde {A}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ / ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ / ${ displaystyle { tilde {E}} _ {n-1}}$
E²	Jednotné obklady	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Šestihranný
E³	Jednotný konvexní plástev	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	Jednotný 4-plástev	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	24článkový plástev
E⁵	Jednotný 5 voštin	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	Jednotný 6 voštin	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	Jednotný 7 voštin	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	Jednotný 8 voštin	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	Jednotný 9-plástev	{3^[10]}	δ₁₀	hδ₁₀	qδ₁₀
E^n-1	Jednotný (n-1)-plástev	{3^[n]}	δ_n	hδ_n	qδ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[1] Pro křížové odkazy jsou uvedeny seznamové indexy od Andreiniho (1-22), Williamse (1-2,9-19), Johnsona (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51- 52, 61-65) a Grünbaum (1-28).

[2] [1], A000029 6-1 případů, přeskočení jednoho s nulovými známkami

[3] Williams, 1979, s. 199, obrázek 5-38.

[1]

[2]

[3]