Seznam skupin planární symetrie - List of planar symmetry groups - Wikipedia

Tento článek shrnuje třídy oddělený skupiny symetrie z Euklidovské letadlo. Skupiny symetrie jsou zde pojmenovány třemi schématy pojmenování: Mezinárodní notace, orbifold notace, a Coxeterova notace Existují tři druhy skupin symetrie roviny:

2 rodiny rozetové skupiny - 2D bodové skupiny
7 vlysové skupiny - 2D skupiny linek
17 skupiny tapet - 2D vesmírné skupiny.

Skupiny rozet

Existují dvě rodiny diskrétních dvojrozměrných skupin bodů a jsou specifikovány parametrem n, což je pořadí skupiny rotací ve skupině.

Rodina	Mezinárodní (orbifold )	Schön.	Geo ^[1] Coxeter	Objednat	Příklady
Cyklická symetrie	n (n •)	C_n	n [n]⁺	n	C₁, [ ]⁺ (•)	C₂, [2]⁺ (2•)	C₃, [3]⁺ (3•)	C₄, [4]⁺ (4•)	C₅, [5]⁺ (5•)	C₆, [6]⁺ (6•)
Dihedrální symetrie	nm (* n •)	D_n	n [n]	2n	D₁, [ ] (*•)	D₂, [2] (*2•)	D₃, [3] (*3•)	D₄, [4] (*4•)	D₅, [5] (*5•)	D₆, [6] (*6•)

Vlysové skupiny

7 vlysové skupiny, dvourozměrný skupiny linek, se směrem periodicity jsou uvedeny s pěti názvy jmen. The Schönfliesova notace je uveden jako nekonečný limit 7 dvojstěnných skupin. Žluté oblasti představují nekonečnou základní doménu v každé z nich.

[1,∞],
IUC (orbifold )	Geo	Schönflies	Coxeter	Základní doména	Příklad
p1 (∞•)	p1	C_∞	[1,∞]⁺		poskok
p1m1 (*∞•)	p1	C_.V	[1,∞]		blížit se bokem

[2,∞⁺],
IUC (orbifold)	Geo	Schönflies	Coxeter	Základní doména	Příklad
p11g (∞×)	str._G1	S_2∞	[2⁺,∞⁺]		krok
p11m (∞*)	str. 1	C_.H	[2,∞⁺]		skok

[2,∞],
IUC (orbifold)	Geo	Schönflies	Coxeter	Příklad
p2 (22∞)	p2	D_∞	[2,∞]⁺	předení hop
p2mg (2*∞)	p2_G	D_.D	[2⁺,∞]	točící se
p2mm (*22∞)	p2	D_.H	[2,∞]	rotující skok

Skupiny tapet

17 skupiny tapet, s konečnými základními doménami, jsou dány Mezinárodní notace, orbifold notace, a Coxeterova notace, klasifikováno podle 5 Bravais svazy v letadle: náměstí, šikmé (rovnoběžníkové), šestihranné (rovnostranné trojúhelníkové), obdélníkové (se středem kosočtverce) a kosočtverečné (se středem obdélníkového tvaru).

The p1 a p2 skupiny bez reflexní symetrie se opakují ve všech třídách. Související čistá reflexe Skupina coxeterů jsou uvedeny u všech tříd kromě šikmých.

Náměstí
[4,4],
IUC (Koule. ) Geo	Coxeter	Základní doména
p1 (°) p1
p2 (2222) p2	[4,1⁺,4]⁺ [1⁺,4,4,1⁺]⁺
pgg (22×) p_G2_G	[4⁺,4⁺]
pmm (*2222) p2	[4,1⁺,4] [1⁺,4,4,1⁺]
cmm (2*22) c2	[(4,4,2⁺)]
p4 (442) p4	[4,4]⁺
p4g (4*2) p_G4	[4⁺,4]
p4m (*442) p4	[4,4]

Obdélníkový
[∞_h,2,∞_proti],
IUC (Koule.) Geo	Coxeter	Základní doména
p1 (°) p1	[∞⁺,2,∞⁺]
p2 (2222) p2	[∞,2,∞]⁺
str (h) (××) p_G1	h: [∞⁺,(2,∞)⁺]
str (v) (××) p_G1	v: [(∞, 2)⁺,∞⁺]
pgm (22*) p_G2	h: [(∞, 2)⁺,∞]
pmg (22*) p_G2	v: [∞, (2, ∞)⁺]
pm (h) (**) p1	h: [∞⁺,2,∞]
pm (v) (**) p1	v: [∞, 2, ∞⁺]
pmm (*2222) p2	[∞,2,∞]

Kosočtverečný
[∞_h,2⁺,∞_proti],
IUC (Koule.) Geo	Coxeter	Základní doména
p1 (°) p1	[∞⁺,2⁺,∞⁺]
p2 (2222) p2	[∞,2⁺,∞]⁺
cm (h) (*×) c1	h: [∞⁺,2⁺,∞]
cm (v) (*×) c1	v: [∞, 2⁺,∞⁺]
pgg (22×) p_G2_G	[((∞,2)⁺)^[2]]
cmm (2*22) c2	[∞,2⁺,∞]

Rovnoběžníkové (šikmý )
p1 (°) p1
p2 (2222) p2

Šestihranný /Trojúhelníkový
[6,3], / [3^[3]],
p1 (°) p1
p2 (2222) p2	[6,3]^Δ
cmm (2*22) c2	[6,3]^⅄
p3 (333) p3	[1⁺,6,3⁺] [3^[3]]⁺
p3m1 (*333) p3	[1⁺,6,3] [3^[3]]
31 m (3*3) h3	[6,3⁺]
p6 (632) p6	[6,3]⁺
p6m (*632) p6	[6,3]

Vztahy podskupin tapet

Vztahy podskupin mezi 17 skupinami tapet^[2]
		Ó	2222	××	**	*×	22×	22*	*2222	2*22	442	4*2	*442	333	*333	3*3	632	*632
		p1	p2	str	odpoledne	cm	pgg	pmg	pmm	cmm	p4	p4g	p4m	p3	p3m1	31 m	p6	p6m
Ó	p1	2
2222	p2	2	2	2
××	str	2		2
**	odpoledne	2		2	2	2
*×	cm	2		2	2	3
22×	pgg	4	2	2			3
22*	pmg	4	2	2	2	4	2	3
*2222	pmm	4	2	4	2	4	4	2	2	2
2*22	cmm	4	2	4	4	2	2	2	2	4
442	p4	4	2								2
4*2	p4g	8	4	4	8	4	2	4	4	2	2	9
*442	p4m	8	4	8	4	4	4	4	2	2	2	2	2
333	p3	3												3
*333	p3m1	6		6	6	3								2	4	3
3*3	31 m	6		6	6	3								2	3	4
632	p6	6	3											2			4
*632	p6m	12	6	12	12	6	6	6	6	3				4	2	2	2	3

Viz také

Seznam skupin sférické symetrie
Orbifold notace # Hyperbolická rovina - Skupiny hyperbolické symetrie

Poznámky

^ Skupiny krystalografického prostoru v geometrické algebře, D. Hestenes a J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 stránek) PDF [1]
^ Coxeter, (1980), 17 rovinných skupin, tabulka 4

Reference

Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Orbifoldova notace pro mnohostěny, euklidovské a hyperbolické obklady)
Na čtveřicích a oktonionech, 2003, John Horton Conway a Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. (1980). Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitola 12: Skupiny euklidovské symetrie

externí odkazy

„Conwayův rukopis“ o Orbifoldově zápisu (Zápis se změnil z tohoto originálu, X se nyní používá místo otevřené tečky a o se používá místo uzavřené tečky)
17 skupin tapet

[1] Skupiny krystalografického prostoru v geometrické algebře, D. Hestenes a J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 stránek) PDF [1]

[2] Coxeter, (1980), 17 rovinných skupin, tabulka 4

[1]

[2]