Objednávka-4 čtvercový obkladový plástev - Order-4 square tiling honeycomb

Objednávka-4 čtvercový obkladový plástev

Typ	Hyperbolický pravidelný plástev Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	{4,4,4} h {4,4,4} ↔ {4,4^1,1} {4^[4]}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔
Buňky	{4,4}
Tváře	náměstí {4}
Postava hrany	náměstí {4}
Vrcholová postava	čtvercové obklady, {4,4}
Dvojí	Self-dual
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {N}} _ {3}}$ , [4,4,4] ${ displaystyle { overline {M}} _ {3}}$ , [4^1,1,1] ${ displaystyle { widehat {RR}} _ {3}}$ , [4^[4]]
Vlastnosti	Pravidelný, quasiregular

V geometrie z hyperbolický 3-prostor, objednávka-4 čtvercový obkladový plástev je jedním z 11 normálních paracompaktních voštin. to je paracompact protože to má nekonečno buňky a vrcholové postavy, se všemi vrcholy jako ideální body v nekonečnu. Dána Schläfliho symbol {4,4,4}, má čtyři čtvercové obklady kolem každého okraje a nekonečné čtvercové obklady kolem každého vrcholu v a čtvercové obklady vrchol obrázek.^[1]

A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

Symetrie

Voštinový čtverec s obkladem řádu 4 má mnoho konstrukcí reflexní symetrie: jako běžný plástev, ↔ se střídavými typy (barev) čtvercových obkladů a se 3 typy (barvami) čtvercových obkladů v poměru 2: 1: 1.

Dvě další konstrukce poloviční symetrie s pyramidovými doménami mají [4,4,1⁺, 4] symetrie: ↔ , a ↔ .

Existují dvě podskupiny s vysokým indexem, obě s indexem 8: [4,4,4^*] ↔ [(4,4,4,4,1⁺)], s pyramidovou základní doménou: [((4, ∞, 4)), ((4, ∞, 4))] nebo ; a [4,4^*, 4], se 4 ortogonálními sadami ultra-paralelních zrcadel v oktaedrické základní doméně: .

snímky

Plástev s pláštěm čtverce řádu 4 je analogický s 2D hyperbolikem apeirogonální obklady nekonečného řádu, {∞, ∞}, s nekonečnými apeirogonálními plochami a se všemi vrcholy na ideální ploše.

Obsahuje a ta taška 2-hypercyklus povrchy, které jsou podobné těmto paracompactům objednávka 4 apeirogonální obklady :

Související polytopy a voštiny

Voštinový čtverec s obkladem řádu 4 je a pravidelný hyperbolický plástev ve 3-prostoru. Je to jeden z jedenácti běžných paracompaktních voštin.

11 paracompact pravidelných voštin
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Existují devět jednotných voštin v [4,4,4] Skupina coxeterů rodina, včetně této pravidelné formy.

[4,4,4] rodinné voštiny
{4,4,4}	r {4,4,4}	t {4,4,4}	rr {4,4,4}	t_0,3{4,4,4}	2t {4,4,4}	tr {4,4,4}	t_0,1,3{4,4,4}	t_0,1,2,3{4,4,4}

Je součástí řady voštin s a čtvercové obklady vrchol obrázek:

{p, 4,4} voštiny [ proti t E ]
Prostor	E³	H³
Formulář	Afinní	Paracompact		Nekompaktní
název	{2,4,4}	{3,4,4}	{4,4,4}	{5,4,4}	{6,4,4}	..{∞,4,4}
Coxeter
obraz
Buňky	{2,4}	{3,4}	{4,4}	{5,4}	{6,4}	{∞,4}

Je součástí řady voštin s čtvercové obklady buňky:

{4,4, p} voštiny [ proti t E ]
Prostor	E³	H³
Formulář	Afinní	Paracompact		Nekompaktní
název	{4,4,2}	{4,4,3}	{4,4,4}	{4,4,5}	{4,4,6}	...{4,4,∞}
Coxeter
obraz
Vrchol postava	{4,2}	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,∞}

Je součástí řady kvaziregulárních polychor a voštin:

Kvaziregulární polychora a voštiny: h {4, p, q}
Prostor	Konečný	Afinní	Kompaktní	Paracompact
Schläfli symbol	h {4,3,3}	h {4,3,4}	h {4,3,5}	h {4,3,6}	h {4,4,3}	h {4,4,4}
Schläfli symbol	${ displaystyle left {3, {3 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {3, {4 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {3, {5 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {3, {6 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {4, {4 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {4, {4 na vrcholu 4} right }}$
Coxeter diagram	↔	↔	↔	↔	↔	↔
Coxeter diagram	↔					↔
obraz
Vrchol postava r {p, 3}

Opravená objednávka - plástev se čtvercovými obklady

Opravená objednávka - plástev se čtvercovými obklady
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	r {4,4,4} nebo t₁{4,4,4}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	{4,4} r {4,4}
Tváře	náměstí {4}
Vrcholová postava	krychle
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {N}} _ {3}}$ , [4,4,4] ${ displaystyle { overline {M}} _ {3}}$ , [4^1,1,1]
Vlastnosti	Quasiregular nebo pravidelné, v závislosti na symetrii

The opravená objednávka-4 šestihranný obkladový plástev, t₁{4,4,4}, má čtvercové obklady fazety, s a krychlový vrchol obrázek. Je to stejné jako běžné čtvercový obklad voštinový, {4,4,3}, .

Zkrácená voštinová deska se 4 čtvercovými obklady

Zkrácená voštinová deska se 4 čtvercovými obklady
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	t {4,4,4} nebo t_0,1{4,4,4}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔
Buňky	{4,4} t {4,4}
Tváře	náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	čtvercová pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {N}} _ {3}}$ , [4,4,4] ${ displaystyle { overline {M}} _ {3}}$ , [4^1,1,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The zkrácená objednávka - plástev se čtvercovým obkladem, t_0,1{4,4,4}, má čtvercové obklady a zkrácený čtvercový obklad fazety, s a čtvercová pyramida vrchol obrázek.

Bitruncated order-4 square tiling honeycomb

Bitruncated order-4 square tiling honeycomb
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	2t {4,4,4} nebo t_1,2{4,4,4}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔
Buňky	t {4,4}
Tváře	náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	tetragonální disphenoid
Skupiny coxeterů	${ displaystyle 2 times { overline {N}} _ {3}}$ , [[4,4,4]] ${ displaystyle { overline {M}} _ {3}}$ , [4^1,1,1] ${ displaystyle { widehat {RR}} _ {3}}$ , [4^[4]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, hranový-tranzitivní, buněčný-tranzitivní

The bitruncated order-4 square tiling honeycomb, t_1,2{4,4,4}, má zkrácený čtvercový obklad fazety, s a tetragonální disphenoid vrchol obrázek.

Kanylovaný voštinový čtvercový obklad se čtvercovými obklady

Kanylovaný voštinový čtvercový obklad se čtvercovými obklady
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	rr {4,4,4} nebo t_0,2{4,4,4}
Coxeterovy diagramy
Buňky	{} x {4} r {4,4} rr {4,4}
Tváře	náměstí {4}
Vrcholová postava	trojúhelníkový hranol
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {N}} _ {3}}$ , [4,4,4] ${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [3,4,4]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The cantellated order-4 square tiling honeycomb, je totéž jako usměrněný čtvercový obklad voštin, . Má to krychle a čtvercové obklady fazety, s a trojúhelníkový hranol vrchol obrázek.

Cantitruncated objednávka-4 čtvercový obkladový plástev

Cantitruncated objednávka-4 čtvercový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	tr {4,4,4} nebo t_0,1,2{4,4,4}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	{} x {4} tr {4,4} t {4,4}
Tváře	náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	zrcadlový sfénoid
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {N}} _ {3}}$ , [4,4,4] ${ displaystyle { overline {R}} _ {3}}$ , [3,4,4] ${ displaystyle { overline {M}} _ {3}}$ , [4^1,1,1]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantitruncated order-4 square tiling honeycomb, je stejný jako zkrácený voštinový čtvercový obklad, . Obsahuje krychle a zkrácený čtvercový obklad fazety, s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.

Je to stejné jako zkrácený voštinový čtvercový obklad, .

Runcinated order-4 square tiling honeycomb

Runcinated order-4 square tiling honeycomb
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	t_0,3{4,4,4}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔
Buňky	{4,4} {} x {4}
Tváře	náměstí {4}
Vrcholová postava	čtvercový antiprism
Skupiny coxeterů	${ displaystyle 2 times { overline {N}} _ {3}}$ , [[4,4,4]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The runcinated order-4 square tiling honeycomb, t_0,3{4,4,4}, má čtvercové obklady a krychle fazety, s a čtvercový antiprism vrchol obrázek.

Runcitruncated objednávka-4 čtvercový obkladový plástev

Runcitruncated objednávka-4 čtvercový obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	t_0,1,3{4,4,4}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	t {4,4} rr {4,4} {} x {4} {8} x {}
Tváře	náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	čtvercová pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {N}} _ {3}}$ , [4,4,4]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcitruncated objednávka-4 čtvercový obkladový plástev, t_0,1,3{4,4,4}, má čtvercové obklady, zkrácený čtvercový obklad, krychle, a osmiboký hranol fazety, s a čtvercová pyramida vrchol obrázek.

The runcicantellated order-4 square tiling honeycomb je ekvivalentní včelím plástem se čtvercovým obkladem se čtvercovým obkladem řádu 4.

Omnitruncated order-4 square tiling honeycomb

Omnitruncated order-4 square tiling honeycomb
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	t_0,1,2,3{4,4,4}
Coxeterovy diagramy
Buňky	tr {4,4} {8} x {}
Tváře	náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	digonal disphenoid
Skupiny coxeterů	${ displaystyle 2 times { overline {N}} _ {3}}$ , [[4,4,4]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The omnitruncated order-4 square tiling honeycomb, t_0,1,2,3{4,4,4}, má zkrácený čtvercový obklad a osmiboký hranol fazety, s a digonal disphenoid vrchol obrázek.

Střídavě voštinový čtvercový obklad se čtvercovými obklady

The střídaný voštinový plátek se čtvercovým obkladem ve tvaru čtverce je konstrukce s nižší symetrií objednávka-4 čtvercový obkladový plástev sám.

Cantic order-4 čtvercový obkladový plástev

The cantic order-4 square obklady plástev je konstrukce s nižší symetrií zkrácená objednávka - plástev se čtvercovým obkladem.

Runcic order-4 čtvercový obkladový plástev

The runcic order-4 čtvercový obkladový plástev je konstrukce s nižší symetrií objednávka-3 čtvercový obkladový plástev.

Runcicantická objednávka - plástev se čtvercovými obklady

The runcicantická objednávka - plástev se čtvercovými obklady je konstrukce s nižší symetrií bitruncated order-4 square tiling honeycomb.

Čtvrtletní objednávka - plástev se čtvercovými obklady

Čtvrtletní objednávka - plástev se čtvercovými obklady
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	q {4,4,4}
Coxeterovy diagramy
Buňky	t {4,4} {4,4}
Tváře	náměstí {4} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	čtvercový antiprism
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { widehat {RR}} _ {3}}$ , [4^[4]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The čtvrtina objednávky - 4 čtvercové obkladové plástve, q {4,4,4}, nebo , má zkrácený čtvercový obklad a čtvercové obklady fazety, s a čtvercový antiprism vrchol obrázek.

Viz také

Reference

^ Coxeter Krása geometrie, 1999, kapitola 10, tabulka III

Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
Krása geometrie: Dvanáct esejů (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Kapitola 10, Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru ) Tabulka III
Jeffrey R. Weeks Tvar vesmíru, 2. vydání ISBN 0-8247-0709-5 (Kapitola 16-17: Geometrie na trojnásobném potrubí I, II)
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
- N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) Kapitola 13: Skupiny hyperbolických coxeterů
- Norman W. Johnson a Asia Ivic Weiss Kvadratická celá čísla a skupiny coxeterů PDF Umět. J. Math. Sv. 51 (6), 1999, s. 1307–1336

[1] Coxeter Krása geometrie, 1999, kapitola 10, tabulka III

[1]