Apeirogon - Apeirogon

Pravidelný apeirogon
Pravidelný apeirogon.png
Hrany a vrcholy∞
Schläfliho symbol{∞}
Coxeterův diagramCDel uzel 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
Vnitřní úhel (stupňů )180°
Duální mnohoúhelníkSelf-dual
Apeirogon lze definovat jako rozdělení euklidovské linie do nekonečně mnoha segmentů stejné délky.

v geometrie, an apeirogon (z řecký slova "ἄπειρος" apeiros: „nekonečný, neomezený“ a „γωνία“ gonia: "úhel") nebo nekonečný mnohoúhelník je zobecněný polygon s počítatelně nekonečný počet stran. Apeirogony jsou dvourozměrný případ nekonečné polytopy.

V některé literatuře se termín „apeirogon“ může vztahovat pouze na pravidelný apeirogon, s nekonečná dihedrální skupina z symetrie.[1]

Definice

Klasická konstruktivní definice

Daný bod A0 v Euklidovský prostor a a překlad S, definujte bod Ai být bod získaný z i aplikace překladu S na A0, tak Ai = Si(A0). Sada vrcholů Ai s i jakékoli celé číslo, společně s hranami spojujícími sousední vrcholy, je posloupností stejně dlouhých segmentů úsečky a nazývá se pravidelný apeirogon jak je definováno H. S. M. Coxeter.[1]

A pravidelný apeirogon lze definovat jako oddíl euklidovské linie E1 do nekonečně mnoha segmentů stejné délky, zobecňující regulární n-gon, které lze definovat jako oddíl kruhu S1 do konečně mnoha segmentů stejné délky.[2]

Moderní abstraktní definice

An abstraktní mnohostěn je částečně objednaná sada P (jehož prvky se nazývají tváře) s vlastnostmi modelovajícími inkluze ploch tváře konvexní polytopes. The hodnost (nebo rozměr) abstraktního polytopu je určen délkou maximálních uspořádaných řetězců jeho tváří a abstraktním polytopem hodnosti n se nazývá abstrakt n-polytop.[3]:22–25

Pro abstraktní polytopy 2. úrovně to znamená, že: A) prvky částečně uspořádané množiny jsou množiny vrcholů s nulovým vrcholem ( prázdná sada ), jeden vrchol, dva vrcholy (an okraj ), nebo celá množina vrcholů (dvourozměrná plocha), seřazená zahrnutím množin; B) každý vrchol patří přesně dvěma hranám; C) neorientovaný graf tvořené vrcholy a hranami je spojeno.[3]:22–25[4]:224

Abstraktní mnohostěn se nazývá abstraktní apeirotop pokud má nekonečně mnoho prvků; abstraktní 2-apeirotop se nazývá abstraktní apeirogon.[3]:25

V abstraktním mnohostoru, a vlajka je sbírka jedné tváře každé dimenze, všechny vzájemně dopadající (tj. srovnatelné v částečném pořadí); nazývá se abstraktní mnohostěn pravidelný pokud má symetrie (permutace svých prvků zachovávající strukturu), které přenášejí jakýkoli příznak na jakýkoli jiný. V případě dvourozměrného abstraktního polytopu je to automaticky pravda; symetrie apeirogonu tvoří nekonečná dihedrální skupina.[3]:31

Pseudogon

The běžný pseudogon je oddíl hyperbolická čára H1 (místo euklidovské linie} do segmentů o délce 2λ, jako analoga běžného apeirogonu.[2]

Realizace

Definice

A realizace abstraktního apeirogonu je definováno jako mapování z jeho vrcholů do konečně-dimenzionálního geometrického prostoru (obvykle Euklidovský prostor ) tak, že každá symetrie abstraktního apeirogonu odpovídá an izometrie obrazů mapování.[3]:121[4]:225 Dvě realizace se nazývají shodné, pokud je přirozená bijekce mezi jejich sadami vrcholů indukována izometrií jejich okolních euklidovských prostorů.[3]:126[4]:229 Klasická definice apeirogonu jako stejně rozděleného dělení euklidovské linie je v tomto smyslu realizací, stejně jako konvexní podmnožina v hyperbolická rovina vytvořený konvexní obal stejně rozmístěných bodů na a horocykl. Další realizace jsou možné ve prostorech vyšších dimenzí.

Symetrie realizace

Nekonečná dihedrální skupina G symetrií realizace PROTI abstraktního apeirogonu P je generován dvěma odrazy, jejichž produkt překládá každý vrchol P další.[3]:140–141[4]:231 Produkt dvou odrazů lze rozložit jako produkt nenulového překladu, konečně mnoho rotací a možná triviální odraz.[3]:141[4]:231

Modul prostor realizací

Obecně platí, že moduli prostor realizací abstraktního polytopu je a konvexní kužel nekonečné dimenze.[3]:127[4]:229–230 Realizační kužel abstraktního apeirogonu je nespočetně nekonečný algebraická dimenze a nemůže být Zavřeno v Euklidovská topologie.[3]:141[4]:232

Klasifikace euklidovských apeirogonů

Realizace dvourozměrných abstraktních polytopů (včetně polygonů a apeirogonů), in Euklidovské prostory maximálně tří dimenzí lze rozdělit do šesti typů:

Abstraktní apeirogony lze realizovat všemi těmito způsoby, v některých případech mapování nekonečně mnoha různých vrcholů abstraktního apeirogonu na konečně mnoho bodů realizace. Apeirogon také připouští realizace hvězdných polygonů a antiprismatické realizace s a nediskrétní množina nekonečně mnoha bodů.

Hyperbolický apeirogon

Příklad apeirogonal obklady hyperbolické roviny, vizualizované pomocí Poincaré model disku.

Zobecnění

Vyšší dimenze

Hlavní články: Apeirotop a Apeirohedron

Apeirohedra jsou trojrozměrné analogy apeirogonů a jsou nekonečnými analogy mnohostěn.[6] Obecněji, n-apeirotopy nebo nekonečné n-polytopy jsou n-dimenzionální analogy apeirogonů a jsou nekonečnými analogy n-polytopes.[3]:22–25

Viz také

Reference

  1. ^ A b Coxeter, H. S. M. (1948). Pravidelné polytopy. London: Methuen & Co. Ltd. s. 45.
  2. ^ A b Johnson, Norman W. (2018). „11: Skupiny konečné symetrie“. Geometrie a transformace. Cambridge University Press. p. 226.
  3. ^ A b C d E F G h i j k McMullen, Peter; Schulte, Egon (prosinec 2002). Abstraktní pravidelné Polytopes (1. vyd.). Cambridge University Press. ISBN  0-521-81496-0.
  4. ^ A b C d E F G McMullen, Peter (1994), „Realizace pravidelných apeirotopů“, Aequationes Mathematicae, 47 (2–3): 223–239, doi:10.1007 / BF01832961, PAN  1268033
  5. ^ Grünbaum, B. (1977). "Pravidelný mnohostěn - starý i nový". Aequationes Mathematicae. 16 (1–2): 119. doi:10.1007 / BF01836414.
  6. ^ Coxeter, H. S. M. (1937). "Pravidelný šikmý mnohostěn ve třech a čtyřech rozměrech". Proc. London Math. Soc. 43: 33–62.

externí odkazy