Pravidelný mnohostěn - Regular polyhedron

A pravidelný mnohostěn je mnohostěn jehož skupina symetrie na něj působí přechodně vlajky. Obyčejný mnohostěn je vysoce symetrický hrana tranzitivní, vrchol-tranzitivní a tvář-tranzitivní. V klasických kontextech se používá mnoho různých ekvivalentních definic; běžné je, že tváře jsou shodný pravidelné mnohoúhelníky které jsou sestaveny stejným způsobem kolem každého vrchol.

Pravidelný mnohostěn je identifikován podle jeho Schläfliho symbol formuláře {n, m}, kde n je počet stran každé tváře a m počet tváří, které se setkávají v každém vrcholu. Existuje 5 konečných konvexních pravidelných mnohostěnů Platonické pevné látky ) a čtyři pravidelné hvězda mnohostěn (dále jen Kepler – Poinsotův mnohostěn ), což je celkem devět pravidelných mnohostěnů. Kromě toho existuje pět pravidelných sloučenin pravidelného mnohostěnu.

Pravidelná mnohostěna

Je jich pět konvexní pravidelný mnohostěn, známý jako Platonické pevné látky, čtyři pravidelné hvězda mnohostěn, Kepler – Poinsotův mnohostěna pět pravidelných sloučenin pravidelných mnohostěnů:

Platonické pevné látky

Čtyřstěn {3, 3}	Krychle {4, 3}	Octahedron {3, 4}	Dodecahedron {5, 3}	Dvacetistěnu {3, 5}
χ = 2	χ = 2	χ = 2	χ = 2	χ = 2

Kepler – Poinsotův mnohostěn

Malý hvězdný dvanáctistěn {5/2, 5}	Velký dvanáctistěn {5, 5/2}	Velký hvězdný dvanáctistěn {5/2, 3}	Velký dvacetistěn {3, 5/2}
χ = −6	χ = −6	χ = 2	χ = 2

Pravidelné sloučeniny

Dva čtyřstěny 2 {3, 3}	Pět čtyřstěnů 5 {3, 3}	Deset čtyřstěnů 10 {3, 3}	Pět kostek 5 {4, 3}	Pět osmistěn 5 {3, 4}
χ = 4	χ = 10

Vlastnosti

Ekvivalentní vlastnosti

Vlastnost podobného uspořádání ploch kolem každého vrcholu lze v definici nahradit kteroukoli z následujících ekvivalentních podmínek:

• Všechny vrcholy mnohostěnů leží na a koule.
• Všechny vzepětí mnohostěnů jsou stejné
• Všechny vrcholové postavy mnohostěnů jsou pravidelné mnohoúhelníky.
• Všechny plné úhly mnohostěnů jsou shodné.^[1]

Soustředné koule

Pravidelný mnohostěn má všechny tři související sféry (jiným mnohostěnům chybí alespoň jeden druh), které sdílejí jeho střed:

• An insphere, tečná ke všem tvářím.
• Intersphere nebo midsphere, tečna ke všem hranám.
• A okolní, tečna ke všem vrcholům.

Symetrie

Pravidelné mnohostěny jsou nejvíce symetrický všech mnohostěnů. Leží jen ve třech skupiny symetrie, které jsou pojmenovány po platonických pevných látkách:

• Čtyřboká
• Octahedral (nebo kubický)
• Ikosahedrální (nebo dodekahedrální)

Libovolné tvary s ikosahedrickou nebo oktaedrickou symetrií budou také obsahovat čtyřbokou symetrii.

Eulerova charakteristika

Těchto pět platonických pevných látek má Eulerova charakteristika z 2. To jednoduše odráží, že povrch je topologická 2-koule, a tak to platí například i pro jakýkoli mnohostěn, který má vzhledem k nějakému vnitřnímu bodu tvar hvězdy.

Vnitřní body

Součet vzdáleností z kteréhokoli bodu v interiéru pravidelného mnohostěnu do stran je nezávislý na umístění bodu (jedná se o prodloužení Vivianiho věta.) Avšak konverzace neplatí, ani pro čtyřstěn.^[2]

Dualita pravidelné mnohostěny

V dvojí dvojice mnohostěnů, vrcholy jednoho mnohostěnu odpovídají plochám druhého a naopak.

Pravidelné mnohostěny ukazují tuto dualitu takto:

• The čtyřstěn je dvojitý, tj. spáruje se sám se sebou.
• The krychle a osmistěn jsou navzájem dvojí.
• The dvacetistěnu a dvanáctistěn jsou navzájem dvojí.
• The malý hvězdný dvanáctistěn a velký dvanáctistěn jsou navzájem dvojí.
• The velký hvězdný dvanáctistěn a velký dvacetistěn jsou navzájem dvojí.

Schläfliho symbol duálu je jen originál napsaný dozadu, například duál {5, 3} je {3, 5}.

Dějiny

Pravěk

Kameny vytesané do tvarů připomínajících shluky koulí nebo knoflíků byly nalezeny v Skotsko a může být až 4 000 let staré. Některé z těchto kamenů ukazují nejen symetrie pěti platonických těles, ale také některé vztahy duality mezi nimi (to znamená, že středy tváří krychle dávají vrcholy osmistěnu). Příklady těchto kamenů jsou vystaveny v místnosti Johna Evanse v Ashmolean Museum na Oxfordská univerzita. Proč byly tyto objekty vyrobeny nebo jak pro ně jejich tvůrci získali inspiraci, je záhadou. O matematické interpretaci těchto objektů existují pochybnosti, protože mnoho z nich má ne-platonické tvary a snad jen u jednoho bylo zjištěno, že jde o skutečný dvacetistěn, na rozdíl od reinterpretace dvacetistěnového duálního, dodekahedronu.^[3]

Je také možné, že Etruskové předcházeli Řekům v povědomí alespoň o některých pravidelných mnohostěnách, jak dokazuje blízký objev Padova (v severní Itálie ) na konci 19. století a dvanáctistěn vyroben z mastek a sahá více než 2 500 let zpět (Lindemann, 1987).

Řekové

Nejdříve známé psaný záznamy o pravidelných konvexních pevných látkách pocházejí z klasického Řecka. Když byly všechny tyto pevné látky objeveny a kým není známo, ale Theaetetus (an Aténský ) jako první podal matematický popis všech pěti (Van der Waerden, 1954), (Euclid, kniha XIII). H.S.M. Coxeter (Coxeter, 1948, oddíl 1.9) Platón (400 př. N. L.) S vytvořením jejich modelů a zmiňuje jeden z dřívějších Pytagorejci, Timaeus z Locri, použil všech pět v korespondenci mezi mnohostěnem a povahou vesmíru, jak byl tehdy vnímán - tato korespondence je zaznamenána v Platónově dialogu Timaeus. Euklidův odkaz na Platóna vedl k jejich společnému popisu jako Platonické pevné látky.

Řeckou definici lze charakterizovat takto:

• Pravidelný mnohoúhelník je (konvexní ) rovinná postava se všemi hranami stejnými a všemi rohy rovnými.
• Pravidelný mnohostěn je pevná (konvexní) figura se všemi plochami, které jsou shodné s pravidelnými polygony, stejný počet je uspořádán stejně kolem každého vrcholu.

Tato definice vylučuje například: čtvercová pyramida (protože i když jsou všechny tváře pravidelné, čtvercová základna není shodná s trojúhelníkovými stranami), nebo tvar vytvořený spojením dvou čtyřstěn dohromady (protože i když jsou všechny tváře toho trojúhelníkový bipyramid by byly rovnostranné trojúhelníky, tj. shodné a pravidelné, některé vrcholy mají 3 trojúhelníky a jiné mají 4).

Tento koncept pravidelného mnohostěnu by zůstal bez povšimnutí téměř 2000 let.

Pravidelná hvězdná mnohostěna

Pravidelné hvězdné polygony, jako je pentagram (hvězdný pětiúhelník) poznali také staří Řekové - pentagram byl používán Pytagorejci jako jejich tajné znamení, ale nepoužili je ke konstrukci mnohostěnů. To nebylo až do počátku 17. století Johannes Kepler si uvědomil, že pentagramy mohou být použity jako tváře pravidelných hvězda mnohostěn. Některé z těchto hvězdných mnohostěnů mohly být objeveny jinými ještě před Keplerovou dobou, ale Kepler jako první rozpoznal, že je lze považovat za „pravidelné“, pokud by někdo odstranil omezení, že pravidelné mnohostěny mohou být konvexní. O dvě stě let později Louis Poinsot také povolena hvězda vrcholové postavy (obvody za každým rohem), což mu umožnilo objevit dvě nové pravidelné mnohostěny hvězd spolu s znovuobjevením Keplera. Tito čtyři jsou jedinými pravidelnými hvězdami mnohostěnů a jsou známí jako Kepler – Poinsotův mnohostěn. Teprve v polovině 19. století, několik desítek let poté, co Poinsot zveřejnil, jim Cayley dal jejich moderní anglická jména: (Kepler) malý hvězdný dvanáctistěn a velký hvězdný dvanáctistěn a (Poinsot) velký dvacetistěn a velký dvanáctistěn.

Kepler – Poinsotův mnohostěn může být sestaven z platonických pevných látek tzv. Procesem stellation. Nazývá se reciproční proces k hvězdicování fazetování (nebo fasetování). Každá hvězdice jednoho mnohostěnu je dvojí, nebo reciproční, k nějakému fazetování dvojitého mnohostěnu. Pravidelný hvězdný mnohostěn lze získat také fasetováním platonických pevných látek. To poprvé provedl Bertrand přibližně ve stejnou dobu, kdy je pojmenoval Cayley.

Na konci 19. století zde tedy bylo devět pravidelných mnohostěnů - pět konvexních a čtyři hvězdy.

Pravidelná mnohostěna v přírodě

Každá z platonických pevných látek se přirozeně vyskytuje v té či oné formě.

Čtyřstěn, krychle a osmistěn se vyskytují jako krystaly. Ty v žádném případě nevyčerpávají počet možných forem krystalů (Smith, 1982, str. 212), kterých je 48. Ani pravidelný dvacetistěn ani pravidelný dvanáctistěn jsou mezi nimi, ale krystaly mohou mít tvar a pyritohedron, který je vizuálně téměř k nerozeznání od běžného dvanáctistěnu. Skutečně ikosaedrální krystaly mohou být tvořeny kvazikrystalické materiály které jsou v přírodě velmi vzácné, ale lze je vyrobit v laboratoři ..

Novějším objevem je řada nových typů uhlík molekula, známá jako fullereny (viz Curl, 1991). Ačkoli C₆₀, nejsnadněji vyráběný fulleren, vypadá víceméně sféricky, některé z větších odrůd (například C.₂₄₀, C.₄₈₀ a C.₉₆₀) předpokládá se, že budou mít podobu mírně zaoblené ikosahedry o průměru několika nanometrů.

Circogonia icosahedra, druh Radiolaria.

Mnohostěny se objevují také v biologii. Na počátku 20. století Ernst Haeckel popsal řadu druhů Radiolaria, z nichž některé kostry mají tvar různých pravidelných mnohostěnů (Haeckel, 1904). Mezi příklady patří Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometus a Circorrhegma dodecahedra; tvary těchto tvorů jsou označeny jejich jmény. Vnější proteinové skořápky mnoha viry tvoří pravidelný mnohostěn. Například, HIV je uzavřen v běžném dvacetistěnu.

Ve starověku Pytagorejci věřil, že mezi pravidelným mnohostěnem a oběžnými drahami existuje harmonie planety. V 17. století Johannes Kepler studovaná data o planetárním pohybu sestavená Tycho Brahe a po desetiletí se snažil ustanovit Pytagorovu ideál nalezením shody mezi velikostmi mnohostěnů a velikostmi oběžných drah planet. Jeho hledání selhalo v původním cíli, ale z tohoto výzkumu vyplynuly Keplerovy objevy Keplerových těles jako pravidelných polytopů, zjištění, že oběžné dráhy planet nejsou kruhy, a zákony planetárního pohybu pro které je nyní slavný. V Keplerově době bylo známo pouze pět planet (kromě Země), které se pěkně shodovaly s počtem platonických pevných látek. Keplerova práce a objev od té doby Uran a Neptune, zneplatnili Pythagorovu myšlenku.

Přibližně ve stejné době jako Pythagorejci popsal Platón teorii hmoty, ve které všech pět prvků (země, vzduch, oheň, voda a duch) obsahovalo malé kopie jedné z pěti běžných pevných látek. Hmota byla vytvořena ze směsi těchto mnohostěnů, přičemž každá látka měla ve směsi různé podíly. O dva tisíce let později Daltonova atomová teorie by ukázalo, že tato myšlenka je ve správném směru, i když nesouvisí přímo s běžnými tělesy.

Další zobecnění

Ve 20. století došlo k postupnému zevšeobecňování myšlenky pravidelného mnohostěnu, což vedlo k několika novým třídám.

Pravidelný šikmý apeirohedra

V prvních desetiletích Coxeter a Petrie povolili „sedlové“ vrcholy se střídavými hřebeny a údolími, což jim umožnilo postavit tři nekonečné skládané plochy, které nazývali pravidelný zkosený mnohostěn.^[4] Coxeter nabídl upravený Schläfliho symbol {l, m | n} pro tato čísla, přičemž {l, m} znamená vrchol obrázek, s m pravidelný l-gons kolem vrcholu. The n definuje n-gonal díry. Jejich vrcholné postavy jsou pravidelné šikmé polygony, vrcholy cik-cak mezi dvěma rovinami.

Nekonečný pravidelný zkosený mnohostěn ve 3prostoru (částečně nakreslený)
{4,6|4}	{6,4|4}	{6,6|3}

Pravidelný šikmý mnohostěn

Konečný pravidelný zkosený mnohostěn existuje ve 4 prostoru. Tyto konečné pravidelné mnohostěny ve čtyřprostoru lze považovat za podmnožinu tváří jednotné 4-polytopes. Mají rovinné pravidelný mnohoúhelník tváře, ale pravidelný zkosený mnohoúhelník vrcholové postavy.

Dvě duální řešení souvisí s 5článková, dvě duální řešení souvisí s 24článková a nekonečná sada sebe-duální duoprismy vygenerovat pravidelný zkosený mnohostěn jako {4, 4 | n}. V nekonečném limitu tyto přístupy a duocylinder a vypadat jako torus v jejich stereografické projekce do 3-prostoru.

Konečný pravidelný zkosený mnohostěn ve 4-prostoru

Ortogonální Coxeterovo letadlo projekce				Stereografická projekce
A4		F4
{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}	{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}	{4, 4 | n}
30 {4} tváře Hrana 60 20 vrcholů	20 {6} tváře 60 hran 30 vrcholů	288 {4} tváří 576 hran 144 vrcholů	144 {8} tváře 576 hran 288 vrcholů	n2 {4} tváře 2n2 hrany n2 vrcholy

Pravidelná mnohostěna v neeuklidovských a jiných prostorech

Studie z neeuklidovský (hyperbolický a eliptický ) a další prostory jako složité prostory, objevené v předchozím století, vedly k objevení dalších nových mnohostěnů, jako je komplexní mnohostěn který mohl mít v těchto prostorech pouze pravidelný geometrický tvar.

Pravidelná mnohostěna v hyperbolickém prostoru

The šestihranný obkladový plástev, {6,3,3}, má šestihranný obklad, {6,3}, fazety s vrcholy na a horosféra. Jeden takový aspekt je zobrazen, jak je vidět v tomto Poincaré model disku.

V H.³ hyperbolický prostor, paracompact pravidelné voštiny mít euklidovské obklady fazety a vrcholové postavy které fungují jako konečná mnohostěna. Takové obklady mají defekt úhlu které lze uzavřít ohnutím tak či onak. Pokud je obklad správně zmenšen, bude zavřít jako asymptopický limit najednou ideální bod. Tyto euklidovské obklady jsou vepsány do a horosféra stejně jako mnohostěny jsou zapsány do koule (která obsahuje nulové ideální body). Sekvence se rozšíří, když se hyperbolické obklady používají samy o sobě jako aspekty nekompaktních hyperbolických mozaikování, jako v heptagonal obklady plástev {7,3,3}; jsou vepsány do ekvidistantního povrchu (2-hypercyklus ), který má dva ideální body.

Pravidelné náklony skutečné projektivní roviny

Další skupinu pravidelných mnohostěn tvoří obklady skutečná projektivní rovina. Mezi ně patří hemi-kostka, hemi-oktaedron, hemi-dodecahedron, a hemi-icosahedron. Jsou (globálně) projektivní mnohostěn, a jsou projektivní protějšky Platonické pevné látky. Čtyřstěn nemá projektivní protějšek, protože nemá dvojice rovnoběžných ploch, které lze identifikovat, stejně jako ostatní čtyři platonické pevné látky.

Hemi-kostka {4,3}

Hemi-oktaedron {3,4}

Hemi-dodecahedron {3,5}

Hemi-icosahedron {5,3}

Ty se vyskytují jako dvojice stejně jako původní platonické pevné látky. Jejich Eulerovy vlastnosti jsou všechny 1.

Abstraktní pravidelné mnohostěn

Od této chvíle byly mnohostěny pevně chápány jako trojrozměrné příklady obecnějších polytopes v libovolném počtu rozměrů. Ve druhé polovině století došlo k rozvoji abstraktních algebraických myšlenek, jako např Polyedrická kombinatorika, které vyvrcholily myšlenkou abstraktní mnohostěn jako částečně objednaná sada (poset) prvků. Prvky abstraktního mnohostěnu jsou jeho tělo (maximální prvek), jeho plochy, hrany, vrcholy a nulový mnohostěn nebo prázdná sada. Tyto abstraktní prvky lze mapovat do běžného prostoru nebo uvědomil jako geometrické obrazce. Některé abstraktní mnohostěny mají dobře tvarované nebo věřící realizace, jiní ne. A vlajka je spojená sada prvků každé dimenze - pro mnohostěn, kterým je tělo, plocha, hrana plochy, vrchol hrany a nulový mnohostěn. Říká se, že je to abstraktní mnohost pravidelný pokud jsou jeho kombinatorické symetrie přechodné na jeho vlajkách - to znamená, že jakýkoli příznak lze mapovat na jakýkoli jiný pod symetrií mnohostěnu. Aktivní oblastí výzkumu zůstávají abstraktní pravidelné polytopy.

Pět takových pravidelných abstraktních mnohostěnů, které nelze věrně realizovat, bylo identifikováno H. S. M. Coxeter ve své knize Pravidelné Polytopes (1977) a znovu J. M. Wills ve své práci „Kombinatoricky pravidelná mnohostěna indexu 2“ (1987). Všech pět má C₂× S.₅ symetrie, ale lze ji realizovat pouze s polovinou symetrie, tj. C₂× A₅ nebo ikosahedrální symetrie.^[5][6][7] Všechny jsou topologicky ekvivalentní toroidy. Jejich konstrukce, aranžováním n tváře kolem každého vrcholu, lze opakovat na neurčito jako náklony hyperbolická rovina. V níže uvedených diagramech mají hyperbolické obrázky obkladů barvy odpovídající barvám obrazů mnohostěnů.

Mnohostěn	Mediální kosočtverečný triacontahedron	Dodecadodecahedron	Mediální triambický dvacetistěn	Ditrigonal dodecadodecahedron	Vykopaný dodecahedron
Typ	Duální {5,4}6	{5,4}6	Duální z {5,6}4	{5,6}4	{6,6}6
(proti,E,F)	(24,60,30)	(30,60,24)	(24,60,20)	(20,60,24)	(20,60,20)
Vrcholová postava	{5}, {5/2}	(5.5/2)2	{5}, {5/2}	(5.5/3)3
Tváře	30 kosočtverců	12 pětiúhelníků 12 pentagramů	20 šestiúhelníků	12 pětiúhelníků 12 pentagramů	20 hexagramů
Obklady	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

Petrie dual

The Petrie dual pravidelného mnohostěnu je a běžná mapa jehož vrcholy a hrany odpovídají vrcholům a hranám původního mnohostěnu a jejichž plochy jsou množinou překroutit Petrie polygony.^[8]

Pravidelní mazlíčci

název	Petriální čtyřstěn	Petriální kostka	Petrial octahedron	Petriální dvanáctistěn	Petrial icosahedron
Symbol	{3,3}π	{4,3}π	{3,4}π	{5,3}π	{3,5}π
(proti,E,F), χ	(4,6,3), χ = 1	(8,12,4), χ = 0	(6,12,4), χ = −2	(20,30,6), χ = −4	(12,30,6), χ = −12
Tváře	3 šikmé čtverce	4 zkosené šestiúhelníky		6 zkosených desítek
obraz
Animace
Příbuzný čísla	{4,3}3 = {4,3}/2 = {4,3}(2,0)	{6,3}3 = {6,3}(2,0)	{6,4}3 = {6,4}(4,0)	{10,3}5	{10,5}3

Sférický mnohostěn

Obvyklých devět pravidelných mnohostěnů lze také představit jako sférické obklady (obklady koule ):

Čtyřstěn {3,3}

Krychle {4,3}

Octahedron {3,4}

Dodecahedron {5,3}

Dvacetistěnu {3,5}

Malý hvězdný dvanáctistěn {5/2,5}

Velký dvanáctistěn {5,5/2}

Velký hvězdný dvanáctistěn {5/2,3}

Velký dvacetistěn {3,5/2}

Pravidelná mnohostěna, která může existovat pouze jako sférická mnohostěna

Pro běžný mnohostěn, jehož Schläfliho symbol je {m, n}, počet polygonálních ploch lze zjistit podle:

${ displaystyle N_ {2} = { frac {4n} {2m + 2n-mn}}}$

The Platonické pevné látky je známo již ve starověku, jsou jediným celočíselným řešením pro m ≥ 3 a n ≥ 3. Omezení m ≥ 3 vynucuje, aby polygonální plochy měly mít alespoň tři strany.

Když uvažujeme mnohostěn jako a sférické obklady, toto omezení může být uvolněno, protože digony (2-gons) mohou být reprezentovány jako sférické luny, které mají nenulovou hodnotu plocha. Povolující m = 2 připouští novou nekonečnou třídu pravidelných mnohostěnů, kterými jsou hosohedra. Na sférickém povrchu je pravidelný mnohostěn {2,n} je reprezentován jako n přiléhající luny, s vnitřními úhly 2π/n. Všechny tyto luny sdílejí dva společné vrcholy.^[9]

Pravidelný dihedron, {n, 2}^[9] (2-hedron) v trojrozměrném Euklidovský prostor lze považovat za degenerovat hranol skládající se ze dvou (rovinných) n-stranný mnohoúhelníky připojeno „zády k sobě“, takže výsledný objekt nemá žádnou hloubku, analogicky k tomu, jak lze sestrojit digon se dvěma úsečky. Jako však sférické obklady, dihedron může existovat jako nedgenerovaná forma, se dvěma n- oboustranné obličeje pokrývající kouli, přičemž každý obličej je a polokoule a vrcholy kolem a velký kruh. to je pravidelný pokud jsou vrcholy rovnoměrně rozmístěny.

Digonal dihedron {2,2}	Trigonální dihedron {3,2}	Náměstí dihedron {4,2}	Pětiúhelníkový dihedron {5,2}	Šestihranný dihedron {6,2}	...	{n,2}
Digonal hosohedron {2,2}	Trigonální hosohedron {2,3}	Čtvercový hosohedron {2,4}	Pětiúhelníkový hosohedron {2,5}	Šestihranný hosohedron {2,6}	...	{2,n}

Hosohedron {2,n} je dvojí vůči dvojstěnu {n, 2}. Všimněte si, že když n = 2, získáme mnohostěn {2,2}, což je jak hosohedron, tak dihedron. Všechny mají Eulerovu charakteristiku 2.

Viz také

• Kvaziregulární mnohostěn
• Semiregular polyhedron
• Jednotný mnohostěn
• Pravidelný mnohostěn

Reference

• Bertrand, J. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46, str. 79–82.
• Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. K dispozici jako Haeckel, E. Umělecké formy v příroděPrestel USA (1998), ISBN  3-7913-1990-6nebo online na http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
• Smith, J. V. (1982). Geometrická a strukturní krystalografie. John Wiley and Sons.
• Sommerville, D. M. Y. (1930). Úvod do geometrie n dimenzí. E. P. Dutton, New York. (Vydání publikace Dover, 1958). Kapitola X: Pravidelné Polytopy.
• Coxeter, H.S.M.; Pravidelné Polytopes (třetí vydání). Dover Publications Inc. ISBN  0-486-61480-8

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Pravidelný mnohostěn". MathWorld.