Hendecagon - Hendecagon

Pravidelný hendegon
Pravidelný polygon 11 anotovaný.svg
Pravidelný hendegon
TypPravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy11
Schläfliho symbol{11}
Coxeterův diagramCDel uzel 1.pngCDel 11.pngCDel node.png
Skupina symetrieVzepětí (D.11), objednat 2 × 11
Vnitřní úhel (stupňů )≈147.273°
Duální mnohoúhelníkJá
VlastnostiKonvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální

v geometrie, a hendecagon (taky undecagon[1][2] nebo endekagon[3]) nebo 11-gon je jednostranný polygon. (Název hendecagon, z řečtiny hendeka „jedenáct“ a –Gon "roh", je často upřednostňován před hybridem undecagon, jehož první část je tvořena z latiny undecim "jedenáct".[4])

Pravidelný hendegon

A pravidelný hendecagon je reprezentován Schläfliho symbol {11}.

Pravidelný hendecagon má vnitřní úhly ze 147.27 stupňů (=147 stupňů).[5] Plocha pravidelného hendecagonu s délkou strany A je dána[2]

Protože 11 není Fermat prime, běžný hendecagon není konstruovatelný s kompas a pravítko.[6] Protože 11 není Pierpont prime, konstrukce pravidelného hendecagonu je stále nemožná i při použití úhlového trisektoru.

Lze sestavit blízké aproximace pravidelného hendecagonu. Například starověcí řečtí matematici aproximovali délku strany hendecagonu vepsaného do a jednotkový kruh jako 14/25 jednotek dlouhý.[7]

Hendecagon lze sestavit přesně pomocí konstrukce neusis[8] a také prostřednictvím dvojího origami.[9]

Přibližná konstrukce

Hendecagon vepsaný do kruhu, pokračování základní konstrukce podle T. Drummonda jako animace.
Odpovídá rytí mědi od Antona Ernsta Burkharda z Birckensteinu.
Hendecagon, rytina mědi do roku 1698 Antonem Ernstem Burkhardem z Birckensteinu

Následující konstrukční popis uvádí T. Drummond z roku 1800:[10]

"Nakreslete poloměr A B, rozdělit to dovnitř C—S otevřením kompasů rovným polovině poloměru A a C jak centra popisují oblouky C D I a A D.- se vzdáleností Já D. na Já popište oblouk D O a nakreslete čáru C O, což bude pro praxi dostatečně přesný rozsah jedné strany hendecagonu."

V kruhu jednotky:

  • Konstruovaná délka strany hendecagonu
  • Teoretická délka strany hendecagonu
  • Absolutní chyba - pokud AB je 10 m, pak je tato chyba přibližně 2,3 mm.

Symetrie

Symetrie pravidelného hendecagonu. Vrcholy jsou zbarveny polohami symetrie. Modré zrcadlové čáry jsou nakresleny vrcholy a hranou. Gyroskopické příkazy jsou uvedeny ve středu.

The pravidelný hendegon má Dih11 symetrie, objednávka 22. Protože 11 je a prvočíslo existuje jedna podskupina s dihedrální symetrií: Dih1a 2 cyklická skupina symetrie: Z11a Z1.

Tyto 4 symetrie lze vidět ve 4 odlišných symetriích na hendecagonu. John Conway označí je dopisem a skupinovou objednávkou.[11] Plná symetrie regulárního tvaru je r22 a není označena žádná symetrie a1. Dihedrické symetrie se dělí podle toho, zda procházejí vrcholy (d pro úhlopříčku) nebo hrany (str pro svislice) a i když reflexní čáry procházejí hranami i vrcholy. Cyklické symetrie ve středním sloupci jsou označeny jako G pro jejich centrální gyrační příkazy.

Každá podskupina symetrie umožňuje jeden nebo více stupňů volnosti pro nepravidelné formy. Pouze g11 podskupina nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany.

Použití v ražení mincí

The Kanadský dolar mince, loonie, je podobný, ale ne přesně, běžný hendecagonal hranol,[12] stejně jako indické 2-rupie mince[13] a několik dalších méně používaných mincí jiných národů.[14] Průřez loonie je ve skutečnosti a Reuleaux hendecagon. Spojené státy Dolar Susan B. Anthonyové má hendecagonal obrys podél vnitřku jeho okrajů.[15]

Související obrázky

Hendecagon sdílí stejnou sadu 11 vrcholů se čtyřmi pravidelnými hendekamery:

Pravidelný hvězdný polygon 11-2.svg
{11/2}		Pravidelný mnohoúhelník hvězd 11-3. Svg
{11/3}		Pravidelný mnohoúhelník hvězd 11-4.svg
{11/4}		Pravidelný hvězdný polygon 11-5.svg
{11/5}

Viz také

  • 10-simplexní - může být viděn jako kompletní graf v pravidelné hendekgonální ortogonální projekci

Reference

  1. ^ Haldeman, Cyrus B. (1922), „Konstrukce pravidelného undecagonu sextickou křivkou“, Diskuze, Americký matematický měsíčník, 29 (10), doi:10.2307/2299029, JSTOR  2299029.
  2. ^ A b Loomis, Elias (1859), Prvky rovinné a sférické trigonometrie: s jejich aplikací na menuraci, geodetické práce a navigaci, Harper, str. 65.
  3. ^ Brewer, Ebenezer Cobham (1877), Chyby řeči a pravopisu, Londýn: W. Tegg a další, s. iv.
  4. ^ Hendecagon - od Wolframa MathWorld
  5. ^ McClain, Kay (1998), Glencoe matematika: aplikace a souvislosti, Glencoe / McGraw-Hill, s.357, ISBN  9780028330549.
  6. ^ Tak jako Gauss dokázal, mnohoúhelník s prvočíslem str stran lze zkonstruovat právě tehdy str - 1 je a síla dvou, což neplatí pro 11. Viz Kline, Morris (1990), Matematické myšlení od starověku po moderní dobu, 2, Oxford University Press, s. 753–754, ISBN  9780199840427.
  7. ^ Heath, pane Thomase Little (1921), Dějiny řecké matematiky, sv. II: Od Aristarcha k Diophantovi „The Clarendon Press, s. 2“ 329.
  8. ^ Benjamin, Elliot; Snyder, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society156.3 (květen 2014): 409-424 .; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
  9. ^ Lucero, J. C. (2018). "Konstrukce pravidelného hendecagonu dvojitým origami". Crux Mathematicorum. 44: 207–213.
  10. ^ T. Drummond, (1800) POMOCI Mladých dam a pánů, ve Výškách a vzdálenostech ..., Popis stavby str. 15–16 Obr. 40: přejděte ze strany 69 ... na stranu 76 Část I. Druhé vydání, vyvoláno 26. března 2016
  11. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Symetrie věcí, ISBN  978-1-56881-220-5 (Kapitola 20, Zobecněné Schaefliho symboly, Typy symetrie polygonu, str. 275-278)
  12. ^ Mossinghoff, Michael J. (2006), „Problém s $ 1“ (PDF), Americký matematický měsíčník, 113 (5): 385–402, doi:10.2307/27641947, JSTOR  27641947
  13. ^ Cuhaj, George S .; Michael, Thomas (2012), 2013 Standard Catalog of World Coins 2001 to Date, Krause Publications, s. 402, ISBN  9781440229657.
  14. ^ Cuhaj, George S .; Michael, Thomas (2011), Neobvyklé mince světa (6. vydání), Krause Publications, str. 23, 222, 233, 526, ISBN  9781440217128.
  15. ^ Sněmovna reprezentantů USA, 1978, str. 7.

externí odkazy