Seznam isotoxálních mnohostěnů a obkladů - List of isotoxal polyhedra and tilings - Wikipedia
v geometrie, isotoxální mnohostěn a obklady jsou definovány vlastností, že mají symetrie, které berou jakoukoli hranu na jakoukoli jinou hranu.[1] Mnohostěn s touto vlastností lze také nazvat „hranou přechodnou“, ale je třeba je odlišit hranové tranzitivní grafy, kde jsou symetrie spíše kombinatorické než geometrické.
Pravidelný mnohostěn jsou isohedral (face-transitive), isogonal (vertex-transitive) a isotoxal (edge-transitive).
Quasiregular mnohostěny jsou isogonální a isotoxální, ale ne isohedrální; jejich duály jsou izohedrální a isotoxální, ale ne izogonální.
Duál isotoxálního mnohostěnu je také isotoxálním mnohostěnem. (Viz Duální mnohostěn článek.)
Konvexní isotoxální mnohostěn
Duál konvexního mnohostěnu je také konvexní mnohostěn.[2]
Je jich devět konvexní isotoxální mnohostěn založený na Platonické pevné látky: pět (běžných) platonických pevných látek, dva (quasiregular ) společná jádra duálních platonických pevných látek a jejich dvě duální.
The vrcholové postavy z kvaziregulárních forem jsou (čtverce nebo) obdélníky; vrcholové obrazce duálů kvaziregulárních tvarů jsou (rovnostranné trojúhelníky a rovnostranné trojúhelníky, nebo) rovnostranné trojúhelníky a čtverce nebo rovnostranné trojúhelníky a pravidelné pětiúhelníky.
| Formulář | Pravidelný | Dvojitý pravidelný | Quasiregular | Quasiregular dual |
|---|---|---|---|---|
| Wythoffův symbol | q | 2 str | p | 2 q | 2 | p q | |
| Konfigurace vrcholů | pq | qp | p.q.p.q | |
| p = 3 q = 3 |  Čtyřstěn {3,3}    3 | 2 3 |  Čtyřstěn {3,3} 3 | 2 3 |  Tetratetrahedron (Octahedron ) 2 | 3 3 |  Krychle (Kosočtverečný šestistěn) |
| p = 4 q = 3 |  Krychle {4,3}  3 | 2 4 |  Octahedron {3,4} 4 | 2 3 |  Cuboctahedron 2 | 3 4 |  Kosočtverečný dvanáctistěn |
| p = 5 q = 3 |  Dodecahedron {5,3}  3 | 2 5 |  Dvacetistěnu {3,5} 5 | 2 3 |  Icosidodecahedron 2 | 3 5 |  Kosočtverečný triacontahedron |
Izotoxální hvězda-mnohostěn
Duál nekonvexního mnohostěnu je také nekonvexní mnohostěn.[2] (Kontrapozicí.)
Existuje deset nekonvexních isotoxálních mnohostěnů založených na quasiregular octahedron, cuboctahedron a icosidodecahedron: the five (quasiregular) hemipolyhedra na základě kvaziregulárního osmistěnu, cuboctahedronu a icosidodecahedron a jejich pěti (nekonečných) dualů:
| Formulář | Quasiregular | Quasiregular dual |
|---|---|---|
| p = q = |   Tetrahemihexahedron |  Tetrahemihexacron |
| p = q = |   Cubohemioctahedron |  Hexahemioctacron |
  Octahemioctahedron | Octahemioctacron (vizuálně nevýrazný od Hexahemioctacron) (*) | |
| p = q = |   Malý icosihemidodecahedron |  Malý icosihemidodecacron (vizuálně nezřetelný od Malé dodecahemidodecacron) (*) |
  Malý dodekahemidodekedr | Malý dodekahemidodekan |
(*) Tváře, hrany a průsečíky jsou stejné; pouze některé další z těchto průsečíků, ne v nekonečnu, jsou považovány za vrcholy.
Existuje šestnáct nekonvexních isotoxálních mnohostěnů založených na Kepler – Poinsotův mnohostěn: čtyři (pravidelné) mnohostěny Kepler – Poinsot, šest (quasiregular ) běžná jádra duálních Kepler – Poinsotových mnohostěnů (včetně čtyř hemipolyedrů) a jejich šesti duálních systémů (včetně čtyř (nekonečných) hemipolyhedronových duálních):
| Formulář | Pravidelný | Dvojitý pravidelný | Quasiregular | Quasiregular dual |
|---|---|---|---|---|
| Wythoffův symbol | q | 2 str | p | 2 q | 2 | p q | |
| Konfigurace vrcholů | pq | qp | p.q.p.q | |
| p = 5/2 q = 3 |   Velký hvězdný dvanáctistěn {5/2,3}
|   Velký dvacetistěn {3,5/2}
|   Velký icosidodecahedron   2 | 3 5/2 |  Velký kosočtverečný triacontahedron |
  Velký icosihemidodecahedron |  Skvělý icosihemidodecacron | |||
  Velký dodekahemidodekedr | Velký dodecahemidodecacron | |||
| p = 5/2 q = 5 |   Malý hvězdný dvanáctistěn {5/2,5}
|   Velký dvanáctistěn {5,5/2}
|   Dodecadodecahedron 2 | 5 5/2 |  Mediální kosočtverečný triacontahedron |
  Malý icosihemidodecahedron |  Malý dodekahemikosakron | |||
  Velký dodekahemidodekedr | Velký dodecahemicosacron |
Nakonec existuje šest dalších nekonvexních isotoxálních mnohostěnů: tři kvaziregulární ditrigonální (3 | p q) hvězdné mnohostěny a jejich tři duální:
| Quasiregular | Quasiregular dual |
|---|---|
| 3 | p q | |
  Velký ditrigonal icosidodecahedron 3/2 | 3 5  |  Velký triambický dvacetistěn |
  Ditrigonal dodecadodecahedron 3 | 5/3 5 |  Mediální triambický dvacetistěn |
  Malý ditrigonal icosidodecahedron 3 | 5/2 3 |  Malý triambický dvacetistěn |
Isotoxal tiling euklidovské roviny
Existuje nejméně 5 polygonálních obkladů euklidovské roviny, které jsou izotoxické. (Self-dual čtvercové obklady obnovuje se ve všech čtyřech formách.)
| Pravidelný | Dvojitý pravidelný | Quasiregular | Quasiregular dual |
|---|---|---|---|
 Šestihranný obklad {6,3}  6 | 2 3 |  Trojúhelníkový obklad {3,6} 3 | 2 3 |  Trihexagonální obklady 2 | 3 6 |  Obklady kosočtverce |
 Čtvercové obklady {4,4} 4 | 2 4 |  Čtvercové obklady {4,4} 2 | 4 4 |  Čtvercové obklady {4,4} 4 | 2 4 | Čtvercové obklady {4,4} |
Isotoxální sklony hyperbolické roviny
Existuje nekonečně mnoho izotoxálních polygonálních sklonů hyperbolické roviny, včetně Wythoffových konstrukcí z pravidelné hyperbolické obklady {p, q} a nepravé (p q r) skupiny.
Zde je šest (p q 2) rodin, každá se dvěma regulárními formami a jednou kvaziregulárním tvarem. Všechny mají kosočtverečné duální tvary kvaziregulárního tvaru, ale zobrazuje se pouze jeden:
| [p, q] | {p, q} | {q, p} | r {p, q} | Duální r {p, q} |
|---|---|---|---|---|
| Coxeter-Dynkin |   | | |  |
| [7,3] |  {7,3} |  {3,7} |  r {7,3} |  |
| [8,3] |  {8,3} |  {3,8} |  r {8,3} |  |
| [5,4] |  {5,4} |  {4,5} |  r {5,4} |  |
| [6,4] |  {6,4} |  {4,6} |  r {6,4} |  |
| [8,4] |  {8,4} |  {4,8} |  r {8,3} |  |
| [5,5] |  {5,5} |  {5,5} |  r {5,5} | |
Tady jsou 3 příklady (p q r) rodin, každá se 3 kvaziregulárními formami. Duály nejsou zobrazeny, ale mají izotoxální šestihranné a osmihranné tváře.
| Coxeter-Dynkin |  | | |
|---|---|---|---|
| (4 3 3) |  3 | 4 3 |  3 | 4 3 |  4 | 3 3 |
| (4 4 3) |  4 | 4 3 |  3 | 4 4 |  4 | 4 3 |
| (4 4 4) |  4 | 4 4 |  4 | 4 4 |  4 | 4 4 |
Isotoxální obklady koule
Všechny výše uvedené isotoxální mnohostěny lze vyrobit jako isotoxální obklady koule.
Kromě sférických obkladů existují další dvě rodiny, které se zdegenerují jako mnohostěn. I objednaný hosohedron může být semiregulární, střídající se dva měsíce, a tedy isotoxální:
- hosohedron {2, q}
- dihedron {p, 2}
Reference
- Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Obklady a vzory. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (6,4 Isotoxal tilings, 309–321)
- Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S .; Miller, J. C. P. (1954), „Uniform polyhedra“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A. Matematické a fyzikální vědy, 246 (916): 401–450, doi:10.1098 / rsta.1954.0003, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, PAN 0062446, S2CID 202575183
