Trojúhelníkový obklad - Triangular tiling - Wikipedia

Trojúhelníkový obklad
Typ	Pravidelné obklady
Konfigurace vrcholů	3.3.3.3.3.3 (nebo 36)
Konfigurace obličeje	V6.6.6 (nebo V63)
Schläfli symbol (y)	{3,6} {3[3]}
Symbol (y) Wythoff	6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
Coxeterův diagram	=
Symetrie	p6m, [6,3], (*632)
Rotační symetrie	p6, [6,3]+, (632) p3, [3[3]]+, (333)
Dvojí	Šestihranný obklad
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, hrana tranzitivní, tvář-tranzitivní

v geometrie, trojúhelníkové obklady nebo trojúhelníková mozaikování je jedním ze tří pravidelných obklady z Euklidovské letadlo, a je jediný takový obklad, kde základní tvary nejsou rovnoběžníky. Protože vnitřní úhel rovnostranného trojúhelník je 60 stupňů, šest trojúhelníků v bodě zabírá celých 360 stupňů. Trojúhelníkový obklad má Schläfliho symbol z {3,6}.

Conway říká tomu a deltille, pojmenovaný podle trojúhelníkového tvaru řeckého písmene delta (Δ). Trojúhelníkový obklad lze také nazvat a kishextille podle a kis operace, která přidá středový bod a trojúhelníky k nahrazení ploch a Hextille.

Je to jeden z tři pravidelné náklony letadla. Další dva jsou čtvercové obklady a šestihranný obklad.

Jednotná barviva

2 uniformní trojúhelníkový obklad, 4 barevné trojúhelníky, vztahující se k geodetický mnohostěn jako {3,6+}_2,0.

Existuje 9 odlišných jednotné barvy trojúhelníkového obkladu. (Pojmenování barev podle indexů na 6 trojúhelnících kolem vrcholu: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Tři z nich lze odvodit od ostatních opakováním barev: 111212 a 111112 od 121213 podle kombinace 1 a 3, zatímco 111213 je snížena z 121314.^[1]

Existuje jedna třída Archimédova barviva, 111112, (označeno *), které není jednotné, obsahuje alternativní řady trojúhelníků, kde je každá třetina barevná. Zobrazený příklad je 2 uniformní, ale existuje nekonečně mnoho takových archimédských barev, které lze vytvořit libovolnými vodorovnými posuny řádků.

111111	121212	111222	112122	111112(*)
p6m (* 632)	p3m1 (* 333)	cmm (2 * 22)	p2 (2222)	p2 (2222)

121213	111212	111112	121314	111213
p31m (3 * 3)			p3 (333)

Mřížkové a kruhové ucpávky A2

A^*
₂ mříž jako tři trojúhelníkové obklady: + +

The uspořádání vrcholů trojúhelníkového obkladu se nazývá A₂ mříž.^[2] Jedná se o dvourozměrný případ a simplectic voštinový.

A^*
₂ mříž (také nazývaná A³
₂) lze sestrojit spojením všech tří A₂ mřížky a ekvivalent k A₂ mříž.

+ + = duální =

Vrcholy trojúhelníkového obkladu jsou středy nejhustších možných kruhové balení.^[3] Každý kruh je v kontaktu s 6 dalšími kruhy v balení (líbání číslo ). Hustota balení je^π⁄_√12 nebo 90,69%. The voronoi buňka trojúhelníkového obkladu je a šestiúhelník, a tak voronoi mozaikování, šestihranný obklad, má přímou korespondenci s kruhovými ucpávkami.

Geometrické variace

Triangular tilings can be made with the equivalent {3,6} topology as the regular tiling (6 triangles around every vertex). Se stejnými tvářemi (tranzitivita obličeje ) a vrchol-tranzitivita, existuje 5 variant. Uvedená symetrie předpokládá, že všechny tváře mají stejnou barvu.^[4]

• 

  Scalene trojúhelník
  symetrie p2

• 

  Scalene trojúhelník
  PMG symetrie

• 

  Rovnoramenný trojúhelník
  cmm symetrie

• 

  Pravoúhlý trojuhelník
  cmm symetrie

• 

  Rovnostranný trojúhelník
  symetrie p6m

Související mnohostěny a obklady

Rovinné obklady souvisejí s mnohostěn. Vložení menšího počtu trojúhelníků na vrchol ponechává mezeru a umožňuje její složení do a pyramida. Lze je rozšířit na Platonické pevné látky: pět, čtyři a tři trojúhelníky na vrcholu definují dvacetistěnu, osmistěn, a čtyřstěn resp.

Tento obklad je topologicky příbuzný jako součást posloupnosti pravidelných mnohostěnů s Schläfliho symboly {3, n}, pokračování do hyperbolická rovina.

*n32 mutací symetrie pravidelných naklonění: {3,n} proti t E
Sférické				Euklid.	Kompaktní hyper.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
3.3	33	34	35	36	37	38	3∞	312i	39i	36i	33i

Je také topologicky příbuzný jako součást posloupnosti Katalánština pevné látky s konfigurace obličeje Vn.6.6 a také pokračování do hyperbolické roviny.

V3.6.6

V4.6.6

V5.6.6

V6.6.6

V7.6.6

Wythoffovy konstrukce z hexagonálních a trojúhelníkových obkladů

Jako jednotná mnohostěna je jich osm jednotné obklady které mohou být založeny na pravidelném šestihranném obkladu (nebo dvojitém trojúhelníkovém obkladu).

Kreslení dlaždic zbarvených červeně na původních plochách, žlutě na původních vrcholech a modře podél původních okrajů, je 8 forem, 7 které jsou topologicky odlišné. (The komolý trojúhelníkový obklad je topologicky totožný s hexagonálním obkladem.)

Jednotné šestihranné / trojúhelníkové obklady
Základní domén	Symetrie: [6,3], (*632)							[6,3]+, (632)
	{6,3}	t {6,3}	r {6,3}	t {3,6}	{3,6}	rr {6,3}	tr {6,3}	sr {6,3}
Konfigurace	63	3.12.12	(6.3)2	6.6.6	36	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Obklady trojúhelníkové symetrie proti t E
Wythoff	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 3 3 |	| 3 3 3
Coxeter
obraz Vrcholová postava	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Související pravidelné komplexní apeirogony

K dispozici jsou 4 pravidelné komplexní apeirogony, sdílení vrcholů trojúhelníkového obkladu. Pravidelné komplexní apeirogony mají vrcholy a hrany, kde hrany mohou obsahovat 2 nebo více vrcholů. Pravidelné apeirogony p{q}r jsou omezeny: 1 /p + 2/q + 1/r = 1. Hrany mají p vrcholy a vrcholové postavy jsou r-gonal.^[5]

První je tvořen 2 hranami a další dva jsou hranaté hrany a poslední má překrývající se šestihranné hrany.

2 {6} 6 nebo	3 {4} 6 nebo	3 {6} 3 nebo	6 {3} 6 nebo

Ostatní trojúhelníkové obklady

Jsou také tři Laves tilings z jednoho typu trojúhelníků:

Kisrhombille 30 ° -60 ° -90 ° pravé trojúhelníky

Kisquadrille 45 ° -45 ° -90 ° pravé trojúhelníky

Kisdeltile 30 ° -30 ° -120 ° rovnoramenné trojúhelníky

Viz také

• Trojúhelníkový obkladový plástev
• Simplectic plástev
• Obklady pravidelných polygonů
• Seznam uniformních obkladů
• Isogrid (konstrukční návrh pomocí trojúhelníkového obkladu)

Reference

• Coxeter, H.S.M. Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN  0-486-61480-8 str. 296, tabulka II: Pravidelné voštiny
• Grünbaum, Branko & Shephard, G. C. (1987). Obklady a vzory. New York: W. H. Freeman. ISBN  0-7167-1193-1. (Kapitola 2.1: Pravidelné a rovnoměrné obklady, str. 58–65, kapitola 2.9 Archimédova a jednotná barviva, str. 102–107)
• Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. str
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie věcí 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 [1]

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Triangular Grid“. MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. „Pravidelná mozaikování“. MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. „Uniform tessellation“. MathWorld.
• Klitzing, Richarde. „2D euklidovské obklady x3o6o - trat - O2“.

proti t E Zásadní konvexní pravidelný a jednotné voštiny v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${ displaystyle { tilde {A}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ / ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ / ${ displaystyle { tilde {E}} _ {n-1}}$
E2	Jednotné obklady	{3[3]}	δ3	hδ3	qδ3	Šestihranný
E3	Jednotný konvexní plástev	{3[4]}	δ4	hδ4	qδ4
E4	Jednotný 4-plástev	{3[5]}	δ5	hδ5	qδ5	24článkový plástev
E5	Jednotný 5 voštin	{3[6]}	δ6	hδ6	qδ6
E6	Jednotný 6 voštin	{3[7]}	δ7	hδ7	qδ7	222
E7	Jednotný 7 voštin	{3[8]}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
E8	Jednotný 8 voštin	{3[9]}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
E9	Jednotný 9-plástev	{3[10]}	δ10	hδ10	qδ10
En-1	Jednotný (n-1)-plástev	{3[n]}	δn	hδn	qδn	1k2 • 2k1 • k21