Hypercyklus (geometrie) - Hypercycle (geometry)

A Poincaré disk ukazující hypercyklus HC to je určeno přímkou L (nazývané rovně, protože prořezává horizont v pravých úhlech) a bod P

v hyperbolická geometrie, a hypercyklus, hyperkruh nebo ekvidistantní křivka je křivka jejichž body mají stejnou ortogonální vzdálenost od dané přímky (její osy).

Vzhledem k přímce L a bodu P, který není na L, lze vytvořit hypercyklus tak, že vezmeme všechny body Q na stejné straně L jako P, přičemž kolmá vzdálenost k L se bude rovnat vzdálenosti P.

Linka L se nazývá osa, centrumnebo základní linie hypercyklu.

Čáry kolmé k osa, který je také kolmý na hypercyklus, se nazývá normály hypercyklu.

Segmenty normálu mezi osaa hypercyklus se nazývá poloměry.

Jejich běžná délka se nazývá vzdálenost nebo poloměr hypercyklu.[1]

Hypercykly v daném bodě, které sdílejí tečnu v tomto bodě, se sbíhají k a horocykl jak jejich vzdálenosti jdou do nekonečna.

Vlastnosti podobné těm z euklidovských linií

Hypercykly v hyperbolické geometrii mají některé vlastnosti podobné těm z řádky v Euklidovská geometrie:

  • V rovině, která má přímku a bod, který na ní není, existuje pouze jeden hypercyklus dané čáry (v porovnání s Playfairův axiom pro euklidovskou geometrii).
  • Na kruhu nejsou žádné tři body hypercyklu.
  • Hypercyklus je symetrický ke každé linii kolmé na ni. (Odrážení hypercyklu v linii kolmé na hypercykl má za následek stejný hypercyklus.)

Vlastnosti podobné těm z euklidovských kruhů

Hypercykly v hyperbolické geometrii mají některé vlastnosti podobné těm z kruhy v Euklidovská geometrie:

  • Přímka kolmá na akord hypercyklu v jeho středu je poloměr a prolomí oblouk podřízený akordem.
    Nechť AB je akord a M jeho střední bod.
    Symetrií musí být přímka R až M kolmá na AB kolmá k ose L.
    Proto R je poloměr.
    Rovněž symetrií R rozdělí oblouk AB.
  • Osa a vzdálenost hypercyklu jsou jednoznačně určeny.
    Předpokládejme, že hypercyklus C má dvě různé osy L1 a L.2.
    Použitím předchozí vlastnosti dvakrát s různými akordy můžeme určit dva odlišné poloměry R1 a R.2. R1 a R.2 pak bude muset být kolmý na obě L1 a L.2, což nám dává obdélník. To je rozpor, protože obdélník je nemožný údaj hyperbolická geometrie.
  • Dva hypercykly mají stejné vzdálenosti kdyby a jen kdyby jsou shodní.
    Pokud mají stejnou vzdálenost, stačí, aby se osy shodovaly tuhým pohybem a shodovaly se také všechny poloměry; protože vzdálenost je stejná, shodují se také body obou hypercyklů.
    Naopak, pokud jsou shodné, musí být vzdálenost stejná u předchozí vlastnosti.
  • Přímka prořízne hypercyklus maximálně ve dvou bodech.
    Nechte přímku K proříznout hypercyklus C ve dvou bodech A a B. Stejně jako dříve můžeme poloměr R C vytvořit středním bodem M AB. Všimněte si, že K je ultraparalelní k ose L, protože mají společnou kolmici R. Také dvě ultraparalelní čáry mají minimální vzdálenost ve společné kolmici a monotónně zvětšování vzdáleností, jak odcházíme od kolmice.
    To znamená, že body K uvnitř AB budou mít vzdálenost od L menší než společnou vzdálenost A a B od L, zatímco body K vně AB budou mít větší vzdálenost. Závěrem lze říci, že žádný jiný bod K nemůže být na C.
  • Dva hypercykly se protínají maximálně ve dvou bodech.
    Ať C.1 a C.2 být hypercykly protínající se ve třech bodech A, B a C.
    Pokud R1 je přímka kolmá k AB jejím středním bodem, víme, že je to poloměr obou C1 a C.2.
    Podobně konstruujeme R.2, poloměr procházející středním bodem BC.
    R1 a R.2 jsou současně kolmé k osám L1 a L.2 C.1 a C.2, resp.
    Už jsme dokázali, že tehdy L1 a L.2 se musí shodovat (jinak máme obdélník).
    Pak C.1 a C.2 mají stejnou osu a alespoň jeden společný bod, proto mají stejnou vzdálenost a shodují se.
  • Žádné tři body hypercyklu nejsou kolineární.
    Pokud jsou body A, B a C hypercyklu kolineární, pak akordy AB a BC jsou na stejné linii K. Nechť R1 a R.2 být poloměry středními body AB a BC. Víme, že osa L hypercyklu je společnou kolmou R1 a R.2.
    Ale K je to běžné kolmý. Pak musí být vzdálenost 0 a hypercyklus se zvrhne v linii.

Další vlastnosti

  • Délka oblouku hypercyklu mezi dvěma body je
    • delší než délka úsečky mezi těmito dvěma body,
    • kratší než délka oblouku jednoho z nich horocykly mezi těmito dvěma body a
    • kratší než jakýkoli kruhový oblouk mezi těmito dvěma body.
  • Hypercyklus a horocykl se protínají maximálně ve dvou bodech.

Délka oblouku

V hyperbolické rovině konstanty zakřivení −1, délku oblouku hypercyklu lze vypočítat z poloměru r a vzdálenost mezi body, kde se normály protínají s osou d pomocí vzorce l = d hovadina r.[2]

Konstrukce

V Poincaré model disku hyperbolické roviny jsou hypercykly reprezentovány úsečkami a kruhovými oblouky, které protínají hraniční kruh v nepravých úhlech. Reprezentace osy protíná hraniční kruh ve stejných bodech, ale v pravých úhlech.

V Poincarého polorovinový model hyperbolické roviny jsou hypercykly reprezentovány úsečkami a kruhovými oblouky, které protínají hraniční čáru v nepravých úhlech. Reprezentace osy protíná hraniční čáru ve stejných bodech, ale v pravých úhlech.

Reference

The střídavé osmiboké obklady, v Poincaré model disku, lze vidět s hranovými sekvencemi, které sledují hypercykly.
  1. ^ Martin, George E. (1986). Základy geometrie a neeuklidovské roviny (1., kor. Springer ed.). New York: Springer-Verlag. str. 371. ISBN  3-540-90694-0.
  2. ^ Smogorzhevsky, A.S. (1982). Lobachevskian geometrie. Moskva: Mir. str.68.
  • Martin Gardner, Neeuklidovská geometrie, Kapitola 4 z Kolosální kniha matematikyW. W. Norton & Company, 2001, ISBN  978-0-393-02023-6
  • M. J. Greenberg, Euklidovské a neeuklidovské geometrie: vývoj a historie, 3. vydání, W. H. Freeman, 1994.
  • George E. Martin, Základy geometrie a neeuklidovské rovinySpringer-Verlag, 1975.
  • David C. Royster, Neutrální a neeuklidovské geometrie.