Káhirské pětiúhelníkové obklady - Cairo pentagonal tiling

Káhirské pětiúhelníkové obklady
Typ	Duální semiregular obklady
Tváře	nepravidelné pětiúhelníky
Coxeterův diagram	;
Skupina symetrie	p4g, [4+,4], (4*2); p4, [4,4]+, (442)
Rotační skupina	p4, [4,4]+, (442)
Duální mnohostěn	Tlumené čtvercové obklady
Konfigurace obličeje	V3.3.4.3.4
Vlastnosti	tvář-tranzitivní

v geometrie, Káhirské pětiúhelníkové obklady je duální semiregulární obklad Euklidovské letadlo. Je pojmenován podle několika ulic v Káhira jsou v tomto designu vydlážděny.^[1]^[2] Je to jeden z 15 známých monohedrální pětiúhelníkové obklady.Je také nazýván MacMahonova síť^[3] po Percy Alexander MacMahon a jeho publikace z roku 1921 Nové matematické zábavy.^[4]Conway říká tomu a Čtyřnásobný pentille.^[5]

Jako dvourozměrná křišťálová síť sdílí speciální funkci s voštinovou sítí. Obě sítě jsou příklady standardní realizace, představy zavedené M. Kotanim a T. Sunada pro obecné křišťálové sítě.^[6]^[7]

Geometrie

Geometrie každého pětiúhelníku

Nejedná se o pravidelné pětiúhelníky: jejich strany nejsou stejné (mají čtyři dlouhé a jeden krátký v poměru 1: sqrt (3) -1^[8]) a jejich úhly v pořadí jsou 120 °, 120 °, 90 °, 120 °, 90 °. To je reprezentováno s konfigurace obličeje V3.3.4.3.4.

Je to podobné jako u hranolové pětiúhelníkové obklady s konfigurace obličeje V3.3.3.4.4, která má své pravé úhly vedle sebe.

Variace

Káhirský pětiúhelníkový obklad má dvě formy nižší symetrie dané jako monohedral pětiúhelníkové obklady typy 4 a 8:

p4 (442)	pgg (22 ×)

b = c, d = e B = D = 90 °	b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360 °

Duální obklady

To je dvojí z urážet čtvercové obklady, složený ze dvou čtverců a tří rovnostranných trojúhelníků kolem každého vrcholu.^[9]

Vztah k šestihranným obkladům

Spojení všech hran této dlaždice je stejné jako spojení všech hran dvou kolmých obklady pravidelnými šestiúhelníky, pokud je každý zploštělý poměrem ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ . Každý šestiúhelník je rozdělen na čtyři pětiúhelníky. Tyto dva šestiúhelníky mohou být také zkresleny, aby byly konkávní, což vede k konkávním pětiúhelníkům.^[10] Alternativně může jeden ze šestiúhelníkových sklonů zůstat pravidelný a druhý se protáhl a zploštil ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ v každém směru, protínající se do 2 forem pětiúhelníků.

Topologicky ekvivalentní obklady

Jako duální do urážet čtvercové obklady geometrické proporce jsou pro tento obklad pevné. Lze jej však upravit na jiné geometrické tvary se stejnou topologickou konektivitou a odlišnou symetrií. Například tento obdélníkový obklad je topologicky identický.

Basketweave obklady		Káhira překrytí

Zkrácený pětiúhelníkový obklad cairo

Zkrácením 4-valenčních uzlů se vytvoří forma související s Goldbergova mnohostěna, a může být označen symbolem {4 +, 4}_2,1. Pentagony jsou zkráceny do sedmiúhelníky. Duální {4,4+}_2,1 má všechny trojúhelníkové plochy související s geodetické mnohostěny. To může být viděno jako urážet čtvercové obklady s jeho čtverci nahrazenými 4 trojúhelníky.

Zkrácený pětiúhelníkový obklad cairo Šestiúhelníky a čtverce	Zkrácený pětiúhelníkový obklad cairo Heptagony a čtverce	Kis urážet čtvercové obklady

Související mnohostěny a obklady

The Káhirské pětiúhelníkové obklady je podobný hranolové pětiúhelníkové obklady s konfigurace obličeje V3.3.3.4.4 a dva 2-uniformní duální tilings a 2 3-uniformní duals, které míchají dva typy pětiúhelníků. Jsou zde nakresleny barevnými okraji nebo k-isohedrálními pětiúhelníky.^[11]

V3.3.3.4.4	V3.3.4.3.4

Související pětiúhelníkové obklady
Káhirské pětiúhelníkové obklady	2 uniformní duály
p4g (4 * 2)	p2, (2222)	pgg (22 ×)	cmm (2 * 22)

V3.3.4.3.4	(V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4)
Prizmatické pětiúhelníkové obklady	3 uniformní duály
cmm (2 * 22)	p2 (2222)	pgg (22 ×)	p2 (2222)	pgg (22 ×)

V3.3.3.4.4	(V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4)

The Káhirské pětiúhelníkové obklady je v sekvenci duálních tlumených mnohostěnů a obkladů s konfigurace obličeje V3.3.4.3.n.

4n2 mutace symetrie útlumu: 3.3.4.3.n [ proti t E ]
Symetrie 4n2	Sférické		Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracomp.
Symetrie 4n2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Snub čísla
Konfigurace	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Gyro čísla
Konfigurace	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Je to v sekvenci duálního tlumení mnohostěnů a obkladů s konfigurace obličeje V3.3.n.3.n.

4n2 mutace symetrie útlumu: 3.3.n.3.n
Symetrie 4n2	Sférické		Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracompact
Symetrie 4n2	222	322	442	552	662	772	882	∞∞2
Snub čísla
Konfigurace	3.3.2.3.2	3.3.3.3.3	3.3.4.3.4	3.3.5.3.5	3.3.6.3.6	3.3.7.3.7	3.3.8.3.8	3.3.∞.3.∞
Gyro čísla
Konfigurace	V3.3.2.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.5.3.5	V3.3.6.3.6	V3.3.7.3.7	V3.3.8.3.8	V3.3.∞.3.∞

Viz také

Poznámky

^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), Okouzlující důkazy: cesta k elegantní matematice, Dolciani matematické expozice, 42, Mathematical Association of America, str. 164, ISBN 978-0-88385-348-1.
^ Martin, George Edward (1982), Transformační geometrie: Úvod do symetrie, Pregraduální texty z matematiky, Springer, str. 119, ISBN 978-0-387-90636-2.
^ O'Keeffe, M .; Hyde, B. G. (1980), „Plane nets in crystal chemistry“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A, Matematické a fyzikální vědy, 295 (1417): 553–618, doi:10.1098 / rsta.1980,0150, JSTOR 36648.
^ Macmahon, major P. A. (1921), Nové matematické zábavy, University Press. PDF [1] s. 101
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [2] Archivováno 19. 9. 2010 na Wayback Machine (Kapitola 21, Pojmenování archimedovských a katalánských mnohostěnů a obkladů, tabulka p288)
^ Kotani, M .; Sunada, T. (2000), „Standardní realizace krystalových mřížek pomocí harmonických map“, Transakce Americké matematické společnosti, 353: 1–20, doi:10.1090 / S0002-9947-00-02632-5
^ T. Sunada, Topologická krystalografie --- s výhledem na diskrétní geometrickou analýzu ---, Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences, sv. 6, Springer
^ http://catnaps.org/islamic/geometry2.html
^ Weisstein, Eric W. „Dual tessellation“. MathWorld.
^ Definování obkladu typu cairo
^ Chavey, D. (1989). „Tilings by Regular Polygons — II: A Catalog of Tilings“. Počítače a matematika s aplikacemi. 17: 147–165. doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Další čtení

Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Obklady a vzory. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (Kapitola 2.1: Pravidelné a rovnoměrné obklady, str. 58-65) (strana 480, Tilings by polygons, # 24 of 24 polygonal isohedrální typy podle pětiúhelníků)
Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. str. 38. ISBN 0-486-23729-X.
Wells, David, Slovník tučňáků zvědavé a zajímavé geometrie. London: Penguin, str. 23, 1991.
Keith Critchlow, Order in Space: Design source book, 1970, s. 77-76, vzor 3

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Káhirská mozaika“. MathWorld.

[1] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), Okouzlující důkazy: cesta k elegantní matematice, Dolciani matematické expozice, 42, Mathematical Association of America, str. 164, ISBN 978-0-88385-348-1.

[2] Martin, George Edward (1982), Transformační geometrie: Úvod do symetrie, Pregraduální texty z matematiky, Springer, str. 119, ISBN 978-0-387-90636-2.

[3] O'Keeffe, M .; Hyde, B. G. (1980), „Plane nets in crystal chemistry“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A, Matematické a fyzikální vědy, 295 (1417): 553–618, doi:10.1098 / rsta.1980,0150, JSTOR 36648.

[4] Macmahon, major P. A. (1921), Nové matematické zábavy, University Press. PDF [1] s. 101

[5] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie věcí 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [2] Archivováno 19. 9. 2010 na Wayback Machine (Kapitola 21, Pojmenování archimedovských a katalánských mnohostěnů a obkladů, tabulka p288)

[6] Kotani, M .; Sunada, T. (2000), „Standardní realizace krystalových mřížek pomocí harmonických map“, Transakce Americké matematické společnosti, 353: 1–20, doi:10.1090 / S0002-9947-00-02632-5

[7] T. Sunada, Topologická krystalografie --- s výhledem na diskrétní geometrickou analýzu ---, Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences, sv. 6, Springer

[8] ttp://catnaps.org/islamic/geometry2.html

[9] Weisstein, Eric W. „Dual tessellation“. MathWorld.

[10] Definování obkladu typu cairo

[11] Chavey, D. (1989). „Tilings by Regular Polygons — II: A Catalog of Tilings“. Počítače a matematika s aplikacemi. 17: 147–165. doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]