Pentagon - Pentagon - Wikipedia

Pentagon
Rovnostranný pětiúhelník, tj. Pětiúhelník, jehož pět stran má stejnou délku
Hrany a vrcholy	5
Vnitřní úhel (stupňů )	108 ° (je-li rovinný, včetně pravidelného)

v geometrie, a Pentagon (z řecký πέντε pente a γωνία gonia, význam Pět a úhel^[1]) je libovolný pětistranný polygon nebo 5-gon. Součet vnitřní úhly v jednoduchý pětiúhelník je 540 °.

Pětiúhelník může být jednoduchý nebo protínající se. Sebeprotínající se pravidelný pětiúhelník (nebo hvězda Pentagon) se nazývá a pentagram.

Pravidelné pětiúhelníky

Pravidelný pětiúhelník
Pravidelný pětiúhelník
Typ	Pravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy	5
Schläfliho symbol	{5}
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Vzepětí (D.5), objednat 2 × 5
Vnitřní úhel (stupňů )	108°
Duální mnohoúhelník	Já
Vlastnosti	Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální

Boční (${ displaystyle t}$), poloměr kruhu (${ displaystyle R}$), vepsaný poloměr kruhu (${ displaystyle r}$), výška (${ displaystyle R + r}$), šířka / úhlopříčka (${ displaystyle varphi}$)

A pravidelný Pentagon má Schläfliho symbol {5} a vnitřní úhly jsou 108 °.

A pravidelný Pentagon má pět řádků reflexní symetrie, a rotační symetrie řádu 5 (přes 72 °, 144 °, 216 ° a 288 °). The úhlopříčky a konvexní pravidelné pětiúhelníky jsou v Zlatý řez na jeho strany. Jeho výška (vzdálenost z jedné strany na opačný vrchol) a šířka (vzdálenost mezi dvěma nejvzdálenějšími oddělenými body, která se rovná délce úhlopříčky) jsou dány vztahem

${ displaystyle { text {Height}} = { frac { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} {2}} cdot { text {Side}} přibližně 1,539 cdot { text {Side}},}$

${ displaystyle { text {Width}} = { text {Diagonal}} = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} cdot { text {Side}} přibližně 1,618 cdot { text {Side}},}$

${ displaystyle { text {Width}} = { sqrt {2 - { frac {2} { sqrt {5}}}}} cdot { text {Height}} přibližně 1,051 cdot { text {Výška}},}$

${ displaystyle { text {Diagonal}} = R { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2}}} = 2R cos 18 ^ { circ} = 2R cos { frac { pi} {10}} přibližně 1,902 R,}$

kde R je poloměr obvod.

Plocha konvexního pravidelného pětiúhelníku s délkou strany t darováno

${ displaystyle A = { frac {t ^ {2} { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}}} {4}} = { frac {5t ^ {2} tan (54 ^ { circ})} {4}} = { frac {{ sqrt {5 (5 + 2 { sqrt {5}})}} t ^ {2}} {4}} přibližně 1 720 t ^ { 2}.}$

A pentagram nebo pentangle je a pravidelný hvězda Pentagon. Své Schläfliho symbol je {5/2}. Jeho strany tvoří úhlopříčky pravidelného konvexního pětiúhelníku - v tomto uspořádání strany dvou pětiúhelníků jsou v Zlatý řez.

Když je pravidelný pětiúhelník vymezený o kruh s poloměrem R, jeho délka hrany t je dán výrazem

${ displaystyle t = R { sqrt { frac {5 - { sqrt {5}}} {2}}} = 2R sin 36 ^ { circ} = 2R sin { frac { pi} {5}} přibližně 1,176 R,}$

a jeho plocha je

${ displaystyle A = { frac {5R ^ {2}} {4}} { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2}}};}$

protože plocha ohraničené kružnice je ${ displaystyle pi R ^ {2},}$ pravidelný pětiúhelník vyplňuje přibližně 0,7568 svého vymezeného kruhu.

Odvození plošného vzorce

Plocha libovolného pravidelného mnohoúhelníku je:

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} Pr}$

kde P je obvod mnohoúhelníku a r je inradius (ekvivalentně apothem ). Nahrazení hodnot pravidelného pětiúhelníku pro P a r dává vzorec

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} cdot 5t cdot { frac {t tan (54 ^ { circ})} {2}} = { frac {5t ^ {2} tan (54 ^ { circ})} {4}}}$

s délkou strany t.

Inradius

Jako každý pravidelný konvexní mnohoúhelník má pravidelný konvexní pětiúhelník vepsaný kruh. The apothem, což je poloměr r vepsaného kruhu, pravidelného pětiúhelníku souvisí s délkou strany t podle

${ displaystyle r = { frac {t} {2 tan ( pi / 5)}} = { frac {t} {2 { sqrt {5 - { sqrt {20}}}}}}} přibližně 0,6882 cdot t.}$

Akordy od ohraničené kružnice k vrcholům

Jako každý pravidelný konvexní mnohoúhelník má i pravidelný konvexní pětiúhelník opsaná kružnice. Pro pravidelný pětiúhelník s po sobě následujícími vrcholy A, B, C, D, E, je-li P libovolný bod v kružnici mezi body B a C, pak PA + PD = PB + PC + PE.

Bod v rovině

Pro libovolný bod v rovině pravidelného pětiúhelníku s obvodem ${ displaystyle R}$, jehož vzdálenosti k těžišti pravidelného pětiúhelníku a jeho pěti vrcholů jsou ${ displaystyle L}$ a ${ displaystyle d_ {i}}$ respektive máme ^[2]

${ displaystyle textstyle sum _ {i = 1} ^ {5} d_ {i} ^ {2} = 5 (R ^ {2} + L ^ {2}),}$

${ displaystyle textstyle sum _ {i = 1} ^ {5} d_ {i} ^ {4} = 5 ((R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {2} + 2R ^ {2 } L ^ {2}),}$

${ displaystyle textstyle sum _ {i = 1} ^ {5} d_ {i} ^ {6} = 5 ((R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {3} + 6R ^ {2 } L ^ {2} (R ^ {2} + L ^ {2})),}$

${ displaystyle textstyle sum _ {i = 1} ^ {5} d_ {i} ^ {8} = 5 ((R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {4} + 12R ^ {2 } L ^ {2} (R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {2} + 6R ^ {4} L ^ {4}).}$

Li ${ displaystyle d_ {i}}$ jsou vzdálenosti od vrcholů pravidelného pětiúhelníku k jakémukoli bodu na jeho obvodu ^[2]

${ displaystyle 3 ( textstyle sum _ {i = 1} ^ {5} d_ {i} ^ {2}) ^ {2} = 10 textstyle sum _ {i = 1} ^ {5} d_ { i} ^ {4}.}$

Stavba pravidelného pětiúhelníku

Pravidelný pětiúhelník je konstruovatelný s kompas a pravítko, protože 5 je a Fermat prime. Pro konstrukci pravidelného pětiúhelníku je známa celá řada metod. Některé jsou diskutovány níže.

Richmondova metoda

Jednou z metod konstrukce pravidelného pětiúhelníku v daném kruhu popisuje Richmond^[3] a dále diskutováno v Cromwellově Mnohostěn.^[4]

Horní panel zobrazuje konstrukci použitou v Richmondově metodě k vytvoření strany vepsaného pětiúhelníku. Kružnice definující pětiúhelník má poloměr jednotky. Jeho střed se nachází v bodě C a střed M je označen v polovině jeho poloměru. Tento bod je spojen s obvodem svisle nad středem v bodě D. Úhel CMD je půlený a přímka protíná svislou osu v bodě Q. Prochází vodorovná čára Q protíná kruh v bodě Pa akord PD je požadovaná strana vepsaného pětiúhelníku.

Chcete-li určit délku této strany, dva pravé trojúhelníky DCM a QCM jsou zobrazeny pod kruhem. Použitím Pythagorova věta a dvě strany je přepona většího trojúhelníku nalezena jako ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {5}} / 2}$. Boční h menšího trojúhelníku se pak najde pomocí vzorec polovičního úhlu:

${ displaystyle tan ( phi / 2) = { frac {1- cos ( phi)} { sin ( phi)}} ,}$

kde kosinus a sinus ϕ jsou známy z většího trojúhelníku. Výsledek je:

${ displaystyle h = { frac {{ sqrt {5}} - 1} {4}} .}$

Když je tato strana známá, pozornost se obrátí ke spodnímu diagramu a najde stranu s pravidelného pětiúhelníku. Za prvé, boční A pravoúhlého trojúhelníku se opět nachází pomocí Pythagorovy věty:

${ displaystyle a ^ {2} = 1-h ^ {2} ; a = { frac {1} {2}} { sqrt { frac {5 + { sqrt {5}}} {2 }}} .}$

Pak s se nachází pomocí Pythagorovy věty a levého trojúhelníku jako:

${ displaystyle s ^ {2} = (1-h) ^ {2} + a ^ {2} = (1-h) ^ {2} + 1-h ^ {2} = 1-2h + h ^ { 2} + 1-h ^ {2} = 2-2h = 2-2 vlevo ({ frac {{ sqrt {5}} - 1} {4}} vpravo) }$

${ displaystyle = { frac {5 - { sqrt {5}}} {2}} .}$

Strana s je tedy:

${ displaystyle s = { sqrt { frac {5 - { sqrt {5}}} {2}}} ,}$

dobře zavedený výsledek.^[5] V důsledku toho je tato konstrukce pětiúhelníku platná.

Carlyle kruhy

Metoda využívající kruhy Carlyle

Carlyle kruh byl vynalezen jako geometrická metoda k nalezení kořenů a kvadratická rovnice.^[6] Tato metodika vede k postupu pro konstrukci pravidelného pětiúhelníku. Kroky jsou následující:^[7]

1. Nakresli kruh do kterého vepsat pětiúhelník a označit středový bod Ó.
2. Nakreslete vodorovnou čáru středem kruhu. Označte levou křižovatku s kruhem jako bod B.
3. Postavte svislou čáru středem. Označte jeden průsečík s kružnicí jako bod A.
4. Postavte bod M jako střed Ó a B.
5. Nakreslete kruh se středem na M skrz bod A. Označte jeho průsečík s vodorovnou čarou (uvnitř původní kružnice) jako bod Ž a jeho průsečík mimo kruh jako bod PROTI.
6. Nakreslete kruh o poloměru OA a střed Ž. Protíná původní kruh ve dvou vrcholech pětiúhelníku.
7. Nakreslete kruh o poloměru OA a střed PROTI. Protíná původní kruh ve dvou vrcholech pětiúhelníku.
8. Pátý vrchol je pravý průsečík vodorovné čáry s původní kružnicí.

Kroky 6–8 jsou ekvivalentní následující verzi zobrazené v animaci:

6a. Vytvořte bod F jako střed O a W.

7a. Postavte svislou čáru procházející F. F. Protíná původní kruh ve dvou z vrcholů pětiúhelníku. Třetí vrchol je pravý průsečík vodorovné čáry s původní kružnicí.

8a. Postavte další dva vrcholy pomocí kompasu a délky vrcholu nalezeného v kroku 7a.

Pomocí trigonometrie a Pythagorovy věty

Pomocí trigonometrie a Pythagorovy věty postavit pravidelný pětiúhelník.

Konstrukce

1. Nejprve si všimneme, že pravidelný pětiúhelník lze rozdělit na 10 shodných trojúhelníků, jak je znázorněno na obrázku Pozorování. Také cos 36 ° = ${ displaystyle { tfrac {1 + { sqrt {5}}} {4}}}$.†
2. v Krok 1, použijeme čtyři jednotky (zobrazené modře) a pravý úhel k vytvoření segmentu délky 1+√5, konkrétně vytvořením√5 pravý trojúhelník a poté prodloužením přepony √5 o délku 1. Tento segment potom rozdělíme - a poté opět rozdělíme - abychom vytvořili segment délky ${ displaystyle { tfrac {1 + { sqrt {5}}} {4}}}$ (zobrazeno červeně.)
3. v Krok 2, postavíme dva soustředné kruhy se středem na Ó s poloměry délky 1 a délky ${ displaystyle { tfrac {1 + { sqrt {5}}} {4}}}$. Poté umístíme P libovolně na menší kruh, jak je znázorněno. Vytváření přímky kolmé na OP procházející P, zkonstruujeme první stranu pětiúhelníku pomocí bodů vytvořených v průsečíku tečny a jednotkové kružnice. Kopírování této délky čtyřikrát po vnějším okraji jednotkových kruhů nám dává náš pravidelný pětiúhelník.

† Důkaz, že cos 36 ° = ${ displaystyle { tfrac {1 + { sqrt {5}}} {4}}}$

${ displaystyle 0 = cos 90 ^ { circ}}$

${ displaystyle = cos (72 ^ { circ} +18 ^ { circ})}$

${ displaystyle = cos 72 ^ { circ} cos 18 ^ { circ} - sin 72 ^ { circ} sin 18 ^ { circ}}$ (za použití vzorec pro přidání úhlu pro kosinus )

${ displaystyle = (2 cos ^ {2} 36 ^ { circ} -1) { sqrt { tfrac {1+ cos 36 ^ { circ}} {2}}} - 2 sin 36 ^ { circ} cos 36 ^ { circ} { sqrt { tfrac {1- cos 36 ^ { circ}} {2}}}}$ (použitím vzorce pro dvojité a poloviční úhly )

Nechat u = cos 36 °. Nejprve si povšimněte, že 0 < u <1 (což nám při práci pomůže zjednodušit). Nyní,

${ displaystyle { begin {aligned} 0 & {} = (2u ^ {2} -1) { sqrt { tfrac {1 + u} {2}}} - 2 { sqrt {1-u ^ {2 }}} cdot u { sqrt { tfrac {1-u} {2}}} 2 { sqrt {1-u ^ {2}}} cdot u { sqrt { tfrac {1- u} {2}}} & {} = (2u ^ {2} -1) { sqrt { tfrac {1 + u} {2}}} 2 { sqrt {1 + u}} { sqrt {1-u}} cdot u { sqrt {1-u}} & {} = (2u ^ {2} -1) { sqrt {1 + u}} 2u (1-u) & {} = 2u ^ {2} -1 2u-2u ^ {2} & {} = 2u ^ {2} -1 0 & {} = 4u ^ {2} -2u-1 u & {} = { frac {2 + { sqrt {(-2) ^ {2} -4 (4) (- 1)}}} {2 (4)}} u & {} = { frac {1+ { sqrt {5}}} {4}} end {zarovnáno}}}$

Toto rychle vyplývá z poznání, že dvojnásobek sinusu 18 stupňů je reciproční zlatý řez, který známe geometricky z trojúhelníku s úhly 72,72,36 stupňů. Z trigonometrie víme, že kosinus dvakrát 18 stupňů je 1 minus dvakrát čtverec sinusu 18 stupňů, a to se redukuje na požadovaný výsledek jednoduchou kvadratickou aritmetikou.

Je uvedena délka strany

Pravidelný pětiúhelník podle Zlatý řez, dělení úsečky vnějším dělením

Pentagon v dané délce strany

1. Nakreslete segment AB jehož délka je daná strana pětiúhelníku.
2. Rozšířit segment BA z bodu A asi tři čtvrtiny segmentu BA.
3. Nakreslete oblouk kruhu, středový bod Bs poloměrem AB.
4. Nakreslete oblouk kruhu, středový bod As poloměrem AB; tam vznikne křižovatka F.
5. Vytvořte kolmo na segment AB skrz bod F; tam vznikne křižovatka G.
6. Nakreslete čáru rovnoběžně se segmentem FG od bodu A do kruhového oblouku kolem bodu A; tam vznikne křižovatka H.
7. Nakreslete oblouk kruhu, středový bod G s poloměrem GH k rozšíření segmentu AB; tam vznikne křižovatka J.
8. Nakreslete oblouk kruhu, středový bod B s poloměrem BJ na kolmici v bodě G; tam vznikne křižovatka D na kolmici a křižovatce E s kruhovým obloukem, který byl vytvořen kolem bodu A.
9. Nakreslete oblouk kruhu, středový bod Ds poloměrem BA dokud tento kruhový oblouk nepřeruší druhý kruhový oblouk kolem bodu B; tam vznikne křižovatka C.
10. Propojte body BCDEA. To má za následek pětiúhelník.

Zlatý řez

${ displaystyle { frac { overline {BJ}} { overline {AB}}} = { frac { overline {AB}} { overline {AJ}}} = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} = varphi přibližně 1 618}$

Euklidova metoda

Euklidova metoda pro pětiúhelník v daném kruhu s využitím zlatý trojúhelník, animace 1 min 39 s

Pravidelný pětiúhelník je konstruktivní používat kompas a pravítko, buď vepsáním jednoho do daného kruhu nebo vytvořením jednoho na dané hraně. Tento proces popsal Euklid v jeho Elementy asi 300 před naším letopočtem.^[8][9]

Jednoduše pomocí úhloměru (ne klasická konstrukce)

Následuje přímá metoda využívající stupňů:

1. Nakreslete kruh a vyberte bod, který má být pětiúhelník (např. Horní střed)
2. Vyberte bod A na kruhu, který bude sloužit jako jeden vrchol pětiúhelníku. Nakreslete čáru Ó a A.
3. Nakreslete vodítko skrz něj a střed kruhu
4. Nakreslete čáry pod úhlem 54 ° (od vodicí čáry) protínající bod pětiúhelníku
5. Tam, kde protínají kruh, nakreslete čáry pod úhlem 18 ° (od rovnoběžek po vodicí linii)
6. Připojte se tam, kde protínají kruh

Po vytvoření pravidelného konvexního pětiúhelníku, pokud se spojíme s nesousedícími rohy (nakreslíme úhlopříčky pětiúhelníku), získáme pentagram, s menším pravidelným pětiúhelníkem uprostřed. Nebo pokud jeden rozšiřuje strany, dokud se nesousedící strany nesetkají, získá větší pentagram. Přesnost této metody závisí na přesnosti úhloměru použitého k měření úhlů.

Fyzikální metody

Overhand uzel papírového proužku

• Pravidelný pětiúhelník může být vytvořen z pouhého proužku papíru vázáním uzel nad hlavou do proužku a opatrně zploštěte uzel zatažením za konce papírového proužku. Přeložením jednoho z konců zpět přes pětiúhelník se zobrazí a pentagram při podsvícení.
• Postavte pravidelný šestiúhelník na tuhý papír nebo kartu. Přehněte podél tří průměrů mezi protilehlými vrcholy. Řez z jednoho vrcholu do středu, aby se rovnostranný trojúhelníkový klapka. Opravte tuto klapku pod sousedem a vytvořte pětiboká pyramida. Základna pyramidy je pravidelný pětiúhelník.

Symetrie

Symetrie pravidelného pětiúhelníku. Vrcholy jsou zbarveny polohami symetrie. Modré zrcadlové čáry jsou nakresleny vrcholy a hranami. Gyroskopické příkazy jsou uvedeny ve středu.

The pravidelný pětiúhelník má Dih₅ symetrie, objednávka 10. Protože 5 je a prvočíslo existuje jedna podskupina s dihedrální symetrií: Dih₁a 2 cyklická skupina symetrie: Z₅a Z₁.

Tyto 4 symetrie lze vidět ve 4 odlišných symetriích na pětiúhelníku. John Conway označí je dopisem a skupinovou objednávkou.^[10] Plná symetrie regulárního tvaru je r10 a není označena žádná symetrie a1. Dihedrické symetrie se dělí podle toho, zda procházejí vrcholy (d pro úhlopříčku) nebo hrany (p pro svislice) a i když reflexní čáry procházejí hranami i vrcholy. Cyklické symetrie ve středním sloupci jsou označeny jako G pro jejich centrální gyrační příkazy.

Každá symetrie podskupiny umožňuje jeden nebo více stupňů volnosti pro nepravidelné tvary. Pouze g5 podskupina nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji považovat za směrované hrany.

Rovnostranné pětiúhelníky

Rovnostranný pětiúhelník postavený se čtyřmi stejnými kruhy umístěnými v řetězu.

Rovnostranný pětiúhelník je mnohoúhelník s pěti stranami stejné délky. Jeho pět vnitřních úhlů však může mít celou řadu hodnotových hodnot, což jí umožňuje vytvořit rodinu pětiúhelníků. Naproti tomu pravidelný pětiúhelník je jedinečný až do podobnost, protože je rovnostranný a je rovnostranný (jeho pět úhlů je stejných).

Cyklické pětiúhelníky

A cyklický pětiúhelník je ten, pro který kruh zvaný circumcircle prochází všemi pěti vrcholy. Pravidelný pětiúhelník je příkladem cyklického pětiúhelníku. Plochu cyklického pětiúhelníku, ať už pravidelného nebo ne, lze vyjádřit jako čtvrtinu druhé odmocniny jednoho z kořenů septická rovnice jejichž koeficienty jsou funkcemi stran pětiúhelníku.^[11][12][13]

Existují cyklické pětiúhelníky s racionálními stranami a racionální oblastí; tito se nazývají Robbins pětiúhelníky. V Robbinsově pětiúhelníku jsou buď všechny úhlopříčky racionální, nebo všechny jsou iracionální, a předpokládá se, že všechny úhlopříčky musí být racionální.^[14]

Obecné konvexní pětiúhelníky

U všech konvexních pětiúhelníků je součet čtverců úhlopříček menší než trojnásobek součtu čtverců stran.^{[15]:75, # 1854}

Grafy

K₅ kompletní graf je často kreslen jako pravidelný pětiúhelník se všemi 10 připojenými hranami. Tento graf také představuje pravopisná projekce z 5 vrcholů a 10 okrajů 5článková. The rektifikovaný 5článkový, s vrcholy na středních okrajích 5článku se promítá do pětiúhelníku.

5článková (4D)

Rektifikovaná 5článková (4D)

Příklady pětiúhelníků

Rostliny

• 

  Pětiúhelníkový průřez okra.

• 

  Ranní sláva, stejně jako mnoho jiných květin, má pětiúhelníkový tvar.

• 

  The gynoecium z jablko obsahuje pět carpels, uspořádaných v a pěticípá hvězda

• 

  Hvězdné ovoce je další ovoce s pětinásobnou symetrií.

Zvířata

• 

  A mořská hvězda. Mnoho ostnokožci mít pětinásobnou radiální symetrii.

• 

  Dalším příkladem ostnokožce, a mořský ježek endoskelet.

• 

  Ilustrace křehké hvězdy, také ostnokožci s pětiúhelníkovým tvarem.

Minerály

• 

  Ikosahedrál Ho-Mg-Zn kvazikrystal vytvořen jako pětiúhelník dvanáctistěn. Tváře jsou skutečné pravidelné pětiúhelníky.

• 

  A pyritohedrální krystal z pyrit. Pyritohedron má 12 identických pětiúhelníkových ploch, které nejsou omezeny na pravidelnost.

Umělý

• 

  Pentagon, ředitelství Ministerstvo obrany Spojených států.

• 

  Domácí talíř a basebalové hřiště

Pětiúhelníky v obkladech

The nejznámější balení stejně velkých pravidelných pětiúhelníků v letadle je a dvojitá mříž konstrukce, která pokrývá 92,131% roviny.

Pravidelný pětiúhelník se nemůže objevit v žádném obložení pravidelných polygonů. Za prvé, dokázat, že pětiúhelník nemůže tvořit a pravidelné obklady (ten, ve kterém jsou všechny tváře shodné, což vyžaduje, aby všechny polygony byly pětiúhelníky), pozorujte, že 360° / 108° = 3​¹⁄₃ (kde 108 ° je vnitřní úhel), což není celé číslo; tudíž neexistuje žádný celočíselný počet pětiúhelníků, které by sdílely jediný vrchol a nezanechávaly mezi nimi žádné mezery. Složitější je dokázat, že pětiúhelník nemůže být v žádném obkladu od okraje k okraji vytvořenému běžnými polygony:

Maximum známé hustota balení pravidelného pětiúhelníku je přibližně 0,921, čehož dosáhl dvojitá mříž zobrazené balení. V předtisku vydané v roce 2016 Thomas Hales a Wöden Kusner ohlásili důkaz, že dvojité mřížkové balení pravidelného pětiúhelníku (kterému říkají balení „pětiúhelníkového ledového paprsku“ a které sledují k práci čínských řemeslníků v roce 1900) má optimální hustotu mezi všemi baleními pětiúhelníky v letadle.^[16] Od roku 2020^{[Aktualizace]}, jejich důkaz dosud nebyl posouzen a zveřejněn.

Neexistují žádné kombinace pravidelných polygonů se čtyřmi nebo více setkáními na vrcholu, které obsahují pětiúhelník. U kombinací se 3, pokud se 3 polygony setkají na vrcholu a jedna má lichý počet stran, musí být další 2 shodné. Důvodem je to, že polygony, které se dotýkají okrajů pětiúhelníku, se musí střídat kolem pětiúhelníku, což je nemožné kvůli lichému počtu pětiúhelníků. U pětiúhelníku to vede k mnohoúhelníku, jehož úhly jsou všechny (360 − 108) / 2 = 126°. Výsledkem je zjištění počtu stran, které má tento mnohoúhelník 360 / (180 − 126) = 6​²⁄₃, což není celé číslo. Proto se pětiúhelník nemůže objevit v žádném obkladu vytvořeném běžnými polygony.

Existuje 15 tříd pětiúhelníků, které mohou monohedrally dlaždice letadlo. Žádný z pětiúhelníků nemá žádnou symetrii obecně, i když některé mají speciální případy se zrcadlovou symetrií.

15 monohedrálních pětiúhelníkových dlaždic

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15

Pětiúhelníky v mnohostěnách

Jáh	Th	Td	Ó	Já	D5 d
Dodecahedron	Pyritohedron	Tetartoid	Pětiúhelníkový icositetrahedron	Pětiúhelníkový hexecontahedron	Zkrácený lichoběžník

Viz také

• Associahedron; Pětiúhelník je společník řádu 4
• Dodecahedron, mnohostěn, jehož pravidelná forma se skládá z 12 pětiúhelníkových ploch
• Zlatý řez
• Seznam geometrických tvarů
• Pětiúhelníková čísla
• Pentagram
• Mapa Pentagramu
• Pentastar, logo Chrysler
• Pythagorova věta # Podobné údaje na třech stranách
• Trigonometrické konstanty pro pětiúhelník

Řádkové poznámky a reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Pentagon". MathWorld.
• Animovaná ukázka konstrukce vepsaného pětiúhelníku s kompasem a pravítkem.
• Jak postavit pravidelný pětiúhelník pouze s kompasem a pravítkem.
• Jak složit běžný pětiúhelník pouze s proužkem papíru
• Definice a vlastnosti pětiúhelníku, s interaktivní animací
• Přibližné konstrukce renesančních umělců pravidelných pětiúhelníků
• Pentagon. Jak vypočítat různé rozměry pravidelných pětiúhelníků.