Coxeter – Dynkinův diagram - Coxeter–Dynkin diagram

Coxeter – Dynkinovy diagramy základních konečných Coxeterových skupin

Coxeter – Dynkinovy diagramy pro základní afinní Coxeterovy skupiny

v geometrie, a Coxeter – Dynkinův diagram (nebo Coxeterův diagram, Coxeterův graf) je graf s číselně označenými hranami (tzv větve) představující prostorové vztahy mezi sbírkou zrcadla (nebo odrážející hyperplanes ). Popisuje a kaleidoskopický konstrukce: každý "uzel" grafu představuje zrcadlo (doména aspekt ) a štítek připojený k větvi kóduje vzepětí úhel pořadí mezi dvěma zrcadly (na doméně hřbet ), to znamená množství, o které lze úhel mezi reflexními rovinami vynásobit a získat 180 stupňů. Neznačená větev implicitně představuje řád 3 (60 stupňů).

Každý diagram představuje a Skupina coxeterů Skupiny Coxeter a jsou klasifikovány podle jejich přidružených diagramů.

Dynkinovy diagramy jsou blízce příbuzné objekty, které se liší od Coxeterových diagramů ve dvou ohledech: za prvé, větve označené „4“ nebo větší jsou režie, zatímco Coxeterovy diagramy jsou neorientovaný; zadruhé, Dynkinovy diagramy musí uspokojit další (krystalografické ) omezení, jmenovitě to, že jediné povolené popisky větví jsou 2, 3, 4 a 6. Dynkinovy diagramy odpovídají a používají se ke klasifikaci kořenové systémy a proto napůl jednoduché Lie algebry.^[1]

Popis

Větve Coxeter – Dynkinova diagramu jsou označeny a racionální číslo p, představující a vzepětí úhel 180 ° /p. Když $p = 2$ úhel je 90 ° a zrcadla nemají žádnou interakci, takže větev lze z diagramu vynechat. Pokud je pobočka neoznačená, předpokládá se, že má $p = 3$ , představující úhel 60 °. Dvě paralelní zrcadla mají větev označenou „∞“. V zásadě, n zrcadla mohou být reprezentována a kompletní graf ve kterém všichni n( $n - 1) / 2$ větve jsou nakresleny. V praxi téměř všechny zajímavé konfigurace zrcadel obsahují řadu pravých úhlů, takže odpovídající větve jsou vynechány.

Schémata lze označit strukturou grafu. První formy studoval Ludwig Schläfli jsou orthoschemes které mají lineární grafy, které generují běžné polytopy a pravidelné voštiny. Plagioschémata jsou jednoduchosti reprezentované větvícími se grafy a cykloschémata jsou jednoduchosti představované cyklickými grafy.

Schläfliho matice

Každý Coxeterův diagram má odpovídající Schläfliho matice (tak pojmenovaný po Ludwig Schläfli ), s maticovými prvky $A já, j = A j, i = -2cos (π / p)$ kde p je pořadí větví mezi dvojicemi zrcadel. Jako matice kosinů, také se tomu říká a Gramianova matice po Jørgen Pedersen Gram. Všechno Skupina coxeterů Schläfliho matice jsou symetrické, protože jejich kořenové vektory jsou normalizovány. Úzce souvisí s Kartanová matice, použitý v podobném, ale směrovaném grafu Dynkinovy diagramy v omezených případech p = 2,3,4 a 6, které NENÍ obecně symetrické.

Determinant Schläfliho matice, nazývaný Schläfliana její znaménko určuje, zda je skupina konečná (kladná), afinní (nula), neurčitá (záporná). Toto pravidlo se nazývá Schläfliho kritérium.^[2]

The vlastní čísla Schläfliho matice určuje, zda skupina Coxeter je konečný typ (všechny pozitivní), afinní typ (všechny nezáporné, alespoň jedna je nula), nebo neurčitý typ (v opačném případě). Neurčitý typ se někdy dále dělí, např. do hyperbolických a dalších Coxeterových skupin. Existuje však několik neekvivalentních definic pro hyperbolické Coxeterovy skupiny. Používáme následující definici: Coxeterova skupina s připojeným diagramem je hyperbolický pokud není ani konečného, ani afinního typu, ale každý správný připojený subdiagram je konečného nebo afinního typu. Hyperbolická skupina Coxeter je kompaktní pokud jsou všechny podskupiny konečné (tj. mají pozitivní determinanty) a paracompact pokud jsou všechny jeho podskupiny konečné nebo afinní (tj. mají nezáporné determinanty).

Jsou také nazývány konečné a afinní skupiny eliptický a parabolický resp. Hyperbolické skupiny se také nazývají Lannér, podle F. Lannera, který v roce 1950 vyjmenoval kompaktní hyperbolické skupiny,^[3] a Koszul (nebo kvazi-Lannér) pro paracompaktní skupiny.

2. skupina koxeterů

U úrovně 2 je typ skupiny Coxeter plně určen determinantem Schläfliho matice, protože je to jednoduše produkt vlastních čísel: konečný typ (pozitivní determinant), afinní typ (nulový determinant) nebo hyperbolický (negativní determinant) . Coxeter používá ekvivalent závorka notace který uvádí sekvence větvových objednávek jako náhradu za grafická schémata uzlů-větví. Racionální řešení [p / q], , také existují, s gcd (p, q) = 1, které definují překrývající se základní domény. Například 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. a 6/5.

Typ	Konečný					Afinní	Hyperbolický
Geometrie					...
Coxeter	[ ]	[2]	[3]	[4]	[p]	[∞]	[∞]	[iπ / λ]
Objednat	2	4	6	8	2p	∞
Zrcadlové čáry jsou vybarveny tak, aby odpovídaly uzlům Coxeterova diagramu. Základní domény jsou střídavě obarveny.

2. skupina Coxeter diagramy skupiny
Objednat p	Skupina	Coxeterův diagram		Schläfliho matice
Objednat p	Skupina	Coxeterův diagram		${displaystyle left [{egin {matrix} 2 & a_ {12} a_ {21} & 2end {matrix}} ight]}$	Rozhodující (4-a₂₁*A₁₂)
Konečný (Určující> 0)
2	Já₂(2) = A₁xA₁		[2]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & 0 0 & 2end {smallmatrix}} ight]}$	4
3	Já₂(3) = A₂		[3]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 -1 & 2end {smallmatrix}} ight]}$	3
3/2			[3/2]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & 1 1 & 2end {smallmatrix}} ight]}$	3
4	Já₂(4) = B₂		[4]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & - {sqrt {2}} - {sqrt {2}} & 2end {smallmatrix}} ight]}$	2
4/3			[4/3]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & {sqrt {2}} {sqrt {2}} & 2end {smallmatrix}} ight]}$	2
5	Já₂(5) = H₂		[5]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -phi -phi & 2end {smallmatrix}} ight]}$	${displaystyle (5- {sqrt {5}}) / 2}$ ~1.38196601125
5/4			[5/4]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & phi phi & 2end {smallmatrix}} ight]}$	${displaystyle (5- {sqrt {5}}) / 2}$ ~1.38196601125
5/2			[5/2]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & 1-phi 1-phi & 2end {smallmatrix}} ight]}$	${displaystyle (5+ {sqrt {5}}) / 2}$ ~3.61803398875
5/3			[5/3]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & phi -1 phi -1 & 2end {smallmatrix}} ight]}$	${displaystyle (5+ {sqrt {5}}) / 2}$ ~3.61803398875
6	Já₂(6) = G₂		[6]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & - {sqrt {3}} - {sqrt {3}} & 2end {smallmatrix}} ight]}$	1
6/5			[6/5]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & {sqrt {3}} {sqrt {3}} & 2end {smallmatrix}} ight]}$	1
8	Já₂(8)		[8]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & - {sqrt {2+ {sqrt {2}}}} - {sqrt {2+ {sqrt {2}}}} & 2end {smallmatrix}} ight]}$	${displaystyle 2- {sqrt {2}}}$ ~0.58578643763
10	Já₂(10)		[10]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & - {sqrt {(5+ {sqrt {5}}) / 2}} - {sqrt {(5+ {sqrt {5}}) / 2}} & 2end {smallmatrix }} v noci]}$	${displaystyle (3- {sqrt {5}}) / 2}$ ~0.38196601125
12	Já₂(12)		[12]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & - {sqrt {2+ {sqrt {3}}}} - {sqrt {2+ {sqrt {3}}}} & 2end {smallmatrix}} ight]}$	${displaystyle 2- {sqrt {3}}}$ ~0.26794919243
p	Já₂(p)		[p]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -2cos (pi / p) - 2cos (pi / p) & 2end {smallmatrix}} ight]}$	${displaystyle 4sin ^ {2} (pi / p)}$
Afinní (Determinant = 0)
∞	Já₂(∞) = ${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$ = ${displaystyle {ilde {A}} _ {1}}$		[∞]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -2 -2 & 2end {smallmatrix}} ight]}$	0
Hyperbolický (determinant ≤0)
∞			[∞]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -2 -2 & 2end {smallmatrix}} ight]}$	0
∞			[iπ / λ]	${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -2cosh (2lambda) - 2cosh (2lambda) & 2end {smallmatrix}} ight]}$	${displaystyle -4sinh ^ {2} (2lambda) leq 0}$

Geometrické vizualizace

Coxeter – Dynkinův diagram lze chápat jako grafický popis základní doména zrcadel. Zrcadlo představuje a nadrovina v daném dimenzionálním sférickém nebo euklidovském nebo hyperbolickém prostoru. (V 2D prostorech je zrcadlo čára a ve 3D zrcadlo rovina).

Tyto vizualizace ukazují základní domény pro 2D a 3D euklidovské skupiny a 2D sférické skupiny. Coxeterův diagram lze odvodit identifikací nadrovinných zrcadel a označením jejich konektivity, přičemž ignorujeme 90 ° vzepětí (řád 2).

Skupiny coxeterů v euklidovské rovině s ekvivalentními diagramy. Odrazy jsou označeny jako uzly grafu R1, R2 atd. A jsou vybarveny podle pořadí odrazů. Odrazy pod úhlem 90 stupňů jsou neaktivní, a proto jsou z diagramu potlačeny. Paralelní zrcadla jsou spojena větví označenou ∞. Hranolová skupina ${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$ X ${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$ je zobrazen jako zdvojnásobení ${displaystyle {ilde {C}} _ {2}}$ , ale lze je také vytvořit jako obdélníkové domény ze zdvojnásobení ${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$ trojúhelníky. The ${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$ je zdvojnásobení ${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$ trojúhelník.
Mnoho skupin Coxeter v hyperbolická rovina lze rozšířit z euklidovských případů jako řadu hyperbolických řešení.
Skupiny coxeterů ve 3prostoru s diagramy. Zrcadla (trojúhelníkové plochy) jsou označena protilehlým vrcholem 0..3. Větve jsou vybarveny podle pořadí jejich odrazu. ${displaystyle {ilde {C}} _ {3}}$ vyplní 1/48 kostky. ${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$ vyplní 1/24 kostky. ${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ vyplní 1/12 kostky.	Skupiny coxeterů ve sféře s ekvivalentními diagramy. Jedna základní doména je vyznačena žlutě. Vrcholy domén (a větve grafů) jsou vybarveny podle pořadí jejich odrazů.

Skupiny konečných coxeterů

Viz také rodiny polytopů pro tabulku jednotných polytopů koncových uzlů spojených s těmito skupinami.

Pro stejné skupiny jsou uvedeny tři různé symboly - jako písmeno / číslo, jako sada čísel v závorkách a jako Coxeterův diagram.
Rozvětvený D_n skupiny je polovina nebo střídal verze běžného C_n skupiny.
Rozvětvený D_n a E._n skupiny jsou také označeny horním indexem [3^A,b,C] kde A,b,C jsou počty segmentů v každé ze tří větví.

Propojené konečné Coxeter-Dynkinovy diagramy (pozice 1 až 9)
Hodnost	Jednoduché Lie skupiny			Výjimečné lži
Hodnost	${displaystyle {A} _ {1+}}$	${displaystyle {B} _ {2+}}$	${displaystyle {D} _ {2+}}$	${displaystyle {E} _ {3-8}}$	${displaystyle {F} _ {3-4}}$	${displaystyle {G} _ {2}}$	${displaystyle {H} _ {2-4}}$	${displaystyle {I} _ {2} (p)}$
1	A₁=[ ]
2	A₂=[3]	B₂=[4]	D₂= A₁A₁			G₂=[6]	H₂=[5]	Já₂[p]
3	A₃=[3²]	B₃=[3,4]	D₃= A₃	E₃= A₂A₁	F₃= B₃		H₃
4	A₄=[3³]	B₄=[3²,4]	D₄=[3^1,1,1]	E₄= A₄	F₄		H₄
5	A₅=[3⁴]	B₅=[3³,4]	D₅=[3^2,1,1]	E₅= D₅
6	A₆=[3⁵]	B₆=[3⁴,4]	D₆=[3^3,1,1]	E₆=[3^2,2,1]
7	A₇=[3⁶]	B₇=[3⁵,4]	D₇=[3^4,1,1]	E₇=[3^3,2,1]
8	A₈=[3⁷]	B₈=[3⁶,4]	D₈=[3^5,1,1]	E₈=[3^4,2,1]
9	A₉=[3⁸]	B₉=[3⁷,4]	D₉=[3^6,1,1]
10+	..	..	..	..

Aplikace s jednotnými polytopy

Při konstrukci jednotných polytopů jsou uzly označeny jako aktivní prstencem, pokud je bod generátoru mimo zrcadlo, čímž se vytvoří nová hrana mezi bodem generátoru a jeho zrcadlovým obrazem. Unringed uzel představuje neaktivní zrcadlo, které generuje žádné nové body. Prsten bez uzlu se nazývá a otvor.	K vytvoření čtverce lze použít dvě ortogonální zrcadla, , viděný zde s červeným bodem generátoru a 3 virtuálními kopiemi přes zrcadla. Generátor musí být v tomto ortogonálním případě vypnut z obou zrcadel, aby se vytvořil interiér. Značka prstenu předpokládá, že aktivní prstence mají generátory ve stejné vzdálenosti od všech zrcadel, zatímco a obdélník může také představovat nejednotné řešení.

Coxeter – Dynkinovy diagramy mohou explicitně vyjmenovat téměř všechny třídy jednotný polytop a jednotné mozaikování. Každý jednotný polytop s čistou reflexní symetrií (až na několik zvláštních případů má čistou reflexní symetrii) může být reprezentován Coxeter-Dynkinovým diagramem s permutacemi značky. Každý jednotný mnohostěn lze generovat pomocí takových zrcadel a jediného bodu generátoru: zrcadlové obrazy vytvářejí nové body jako odrazy, pak mnohostěn hrany lze definovat mezi body a zrcadlovým obrazem. Tváře jsou generovány opakovaným odrazem hrany, která se nakonec omotá kolem původního generátoru; konečný tvar, stejně jako jakékoli dimenze vyšší dimenze, jsou rovněž vytvořeny odrazem plochy, která obklopuje oblast.

Chcete-li určit generující vrchol, jeden nebo více uzlů je označeno kroužky, což znamená, že vrchol je ne na zrcadlech představovaných prstencovým uzlem (uzly). (Pokud jsou označena dvě nebo více zrcadel, vrchol je od nich ve stejné vzdálenosti.) Zrcadlo je aktivní (vytváří odrazy) pouze s ohledem na body, které na něm nejsou. Diagram potřebuje alespoň jeden aktivní uzel, aby představoval mnohostěn. Nepropojený diagram (podskupiny oddělené větvemi řádu 2 nebo ortogonální zrcadla) vyžaduje v každém podgrafu alespoň jeden aktivní uzel.

Všechno běžné polytopy, reprezentováno Schläfliho symbol { $p, q, r, ...$ }, mohou mít své základní domény představovaný souborem n zrcadla se souvisejícím Coxeter – Dynkinovým diagramem řady uzlů a větví označených $p, q, r, ...,$ s prvním uzlem zazvoněným.

Jednotné polytopy s jedním prstencem odpovídají bodům generátoru v rozích simplexu základní domény. Dva kroužky odpovídají hranám simplexu a mají určitý stupeň volnosti, přičemž pouze střed je jednotným řešením pro stejné délky hran. Obecně k-kruhové body generátoru jsou zapnuté (k-1)-tvory simplexu, a pokud jsou všechny uzly zazvoněny, generátorový bod je uvnitř simplexu.

Zvláštní případ jednotných polytopů s nereflexní symetrií je představován sekundárním značením, kde je odstraněna střední tečka prstencového uzlu (tzv. otvor). Tyto tvary jsou střídání^{[je zapotřebí objasnění ]} polytopů s reflexní symetrií, což znamená, že alternativní uzly jsou odstraněny^{[je zapotřebí objasnění ]}. Výsledný mnohostěn bude mít subsymmetrii originálu Skupina coxeterů. Zkrácená alternace se nazývá a urážet.

Jeden uzel představuje jedno zrcadlo. Tomu se říká skupina A.₁. Pokud zazvoní, vytvoří se úsečka kolmo na zrcadlo, znázorněné jako {}.
Dva nepřipojené uzly představují dva kolmý zrcadla. Pokud jsou oba uzly vyzváněny, a obdélník lze vytvořit, nebo a náměstí pokud je bod ve stejné vzdálenosti od obou zrcadel.
Dva uzly připojené objednávkou -n větev může vytvořit n-gon pokud je bod na jednom zrcadle, a 2n-gon, pokud je bod mimo obě zrcadla. Toto tvoří I.₁n) skupina.
Dvě paralelní zrcadla mohou představovat nekonečný mnohoúhelník I.₁(∞) skupina, nazývaná také Ĩ₁.
Tři zrcadla v trojúhelníku tvoří obrazy viděné v tradiční podobě kaleidoskop a mohou být reprezentovány třemi uzly spojenými v trojúhelníku. Opakující se příklady budou mít větve označené jako (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), i když poslední dvě lze nakreslit jako čáru (pomocí 2 větve ignorovány). Budou generovat jednotné obklady.
Mohou generovat tři zrcadla jednotná mnohostěna; včetně racionálních čísel dává množinu Schwarzovy trojúhelníky.
Tři zrcadla, z nichž jedno je kolmé na další dvě, mohou tvořit jednotné hranoly.

V obecném trojúhelníku je 7 reflexních uniformních konstrukcí založených na 7 pozicích topologického generátoru v základní doméně. Každé aktivní zrcadlo generuje hranu, přičemž dvě aktivní zrcadla mají na stranách domény generátory a tři aktivní zrcadla mají generátor v interiéru. Jeden nebo dva stupně volnosti lze vyřešit pro jedinečnou polohu pro stejné délky hran výsledného mnohostěnu nebo obkladů.	Generátory příkladu 7 zapnuty oktaedrická symetrie, trojúhelník základní domény (4 3 2), s 8. generací útlumu jako střídání

Duály jednotných polytopů jsou někdy označeny kolmým lomítkem nahrazujícím prstencovité uzly a lomítkem pro uzly otvorů unášečů. Například, představuje a obdélník (jako dvě aktivní ortogonální zrcadla) a představuje jeho duální polygon, kosočtverec.

Příklad mnohostěnů a obkladů

Například B₃ Skupina coxeterů má diagram: . Tomu se také říká oktaedrická symetrie.

Existuje 7 konvexních jednotná mnohostěna které lze sestrojit z této skupiny symetrie a 3 z její střídání subsymmetrie, každá s jedinečně označeným Coxeter – Dynkinovým diagramem. The Wythoffův symbol představuje speciální případ Coxeterova diagramu pro grafy 3. úrovně, přičemž jsou pojmenovány všechny 3 řádové větve, místo aby byly potlačeny 2 větve řádu. Symbol Wythoff je schopen zpracovat urážet forma, ale ne obecné alternace bez zazvonění všech uzlů.

Jednotná oktaedrická mnohostěna
Symetrie: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3^1,1}	t {3,4} t {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr {4,3} s₂{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h₂{4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3^1,1}

		=	=	=				= nebo	= nebo	=

Duals na uniformní mnohostěn
V4³	V3.8²	V (3,4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Stejné konstrukce lze vytvořit na nesouvislých (ortogonálních) Coxeterových skupinách, jako je uniforma hranoly, a může být viděn jasněji jako obklady dihedrony a hosohedrony v kouli, například tato rodina [6] × [] nebo [6,2]:

Jednotná šestihranná dihedrální sférická mnohostěna
Symetrie: [6,2], (*622)							[6,2]⁺, (622)	[6,2⁺], (2*3)


{6,2}	t {6,2}	r {6,2}	t {2,6}	{2,6}	rr {6,2}	tr {6,2}	sr {6,2}	s {2,6}
Duály na uniformy

V6²	V12²	V6²	V4.4.6	V2⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Ve srovnání s tím [6,3], rodina produkuje paralelní sadu 7 uniformních naklonění euklidovské roviny a jejich dvojité naklonění. K dispozici jsou opět 3 alternace a nějaká poloviční symetrická verze.

Jednotné šestihranné / trojúhelníkové obklady [ proti t E ]
Symetrie: [6,3], (*632)							[6,3]⁺ (632)	[6,3⁺] (3*3)
{6,3}	t {6,3}	r {6,3}	t {3,6}	{3,6}	rr {6,3}	tr {6,3}	sr {6,3}	s {3,6}


6³	3.12²	(3.6)²	6.6.6	3⁶	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Jednotné duály

V6³	V3.12²	V (3.6)²	V6³	V3⁶	V3.4.6.4	V.4.6.12	V3⁴.6	V3⁶

V hyperbolické rovině [7,3], rodina produkuje paralelní sadu stejnoměrných obkladů a jejich dvojitých obkladů. Existuje pouze 1 střídání (urážet ), protože všechny objednávky poboček jsou liché. Mnoho dalších hyperbolických rodin uniformních obkladů lze vidět na rovnoměrné naklánění v hyperbolické rovině.

Rovnoměrné heptagonální / trojúhelníkové obklady [ proti t E ]
Symetrie: [7,3], (*732)							[7,3]⁺, (732)


{7,3}	t {7,3}	r {7,3}	t {3,7}	{3,7}	rr {7,3}	tr {7,3}	sr {7,3}
Jednotné duály


V7³	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3⁷	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Skupiny afinních coxeterů

Rodiny konvexních uniformních euklidovských mozaikování jsou definovány pomocí afinní skupiny Coxeter. Tyto skupiny jsou identické s konečnými skupinami se zahrnutím jednoho přidaného uzlu. V názvech písmen mají stejné písmeno se znakem „~“ nad písmenem. Index odkazuje na konečnou skupinu, takže pořadí je index plus 1. (Ernst Witt symboly pro afinní skupiny jsou uvedeny jako taky)

${displaystyle {ilde {A}} _ {n-1}}$ : diagramy tohoto typu jsou cykly. (Také P_n)
${displaystyle {ilde {C}} _ {n-1}}$ je spojen s hyperkrychle pravidelné mozaikování { $4, 3, ...., 4$ } rodina. (Také R._n)
${displaystyle {ilde {B}} _ {n-1}}$ související s C jedním odstraněným zrcadlem. (Také S._n)
${displaystyle {ilde {D}} _ {n-1}}$ vztahující se k C dvěma odstraněnými zrcátky. (Také Q_n)
${displaystyle {ilde {E}} _ {6}}$ , ${displaystyle {ilde {E}} _ {7}}$ , ${displaystyle {ilde {E}} _ {8}}$ . (Také T₇, T₈, T₉)
${displaystyle {ilde {F}} _ {4}}$ tvoří {3,4,3,3} pravidelné mozaikování. (Také U₅)
${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$ tvoří základní domény trojúhelníku 30-60-90. (Také V₃)
${displaystyle {ilde {I}} _ {1}}$ jsou dvě paralelní zrcadla. (= ${displaystyle {ilde {A}} _ {1}}$ = ${displaystyle {ilde {C}} _ {1}}$ ) (Také W₂)

Složené skupiny lze také definovat jako ortogonální projekty. Nejběžnější použití ${displaystyle {ilde {A}} _ {1}}$ , jako ${displaystyle {ilde {A}} _ {1} ^ {2}}$ , představuje čtvercový nebo obdélníkový šachovnice domény v euklidovské rovině. A ${displaystyle {ilde {A}} _ {1} {ilde {G}} _ {2}}$ představuje trojúhelníkový hranol základní domény v euklidovském 3-prostoru.

Affine Coxeter grafy až (2 až 10 uzlů)
Hodnost	${displaystyle {ilde {A}} _ {1+}}$ (Str₂₊)	${displaystyle {ilde {B}} _ {3+}}$ (S.₄₊)	${displaystyle {ilde {C}} _ {1+}}$ (R.₂₊)	${displaystyle {ilde {D}} _ {4+}}$ (Otázka₅₊)	${displaystyle {ilde {E}} _ {n}}$ (T._{n + 1}) / ${displaystyle {ilde {F}} _ {4}}$ (U₅) / ${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$ (PROTI₃)
2	${displaystyle {ilde {A}} _ {1}}$ =[∞]		${displaystyle {ilde {C}} _ {1}}$ =[∞]
3	${displaystyle {ilde {A}} _ {2}}$ =[3^[3]] *		${displaystyle {ilde {C}} _ {2}}$ =[4,4] *		${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$ =[6,3] *
4	${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$ =[3^[4]] *	${displaystyle {ilde {B}} _ {3}}$ =[4,3^1,1] *	${displaystyle {ilde {C}} _ {3}}$ =[4,3,4] *	${displaystyle {ilde {D}} _ {3}}$ =[3^1,1,3⁻¹,3^1,1] = ${displaystyle {ilde {A}} _ {3}}$
5	${displaystyle {ilde {A}} _ {4}}$ =[3^[5]] *	${displaystyle {ilde {B}} _ {4}}$ =[4,3,3^1,1] *	${displaystyle {ilde {C}} _ {4}}$ =[4,3²,4] *	${displaystyle {ilde {D}} _ {4}}$ =[3^1,1,1,1] *	${displaystyle {ilde {F}} _ {4}}$ =[3,4,3,3] *
6	${displaystyle {ilde {A}} _ {5}}$ =[3^[6]] *	${displaystyle {ilde {B}} _ {5}}$ =[4,3²,3^1,1] *	${displaystyle {ilde {C}} _ {5}}$ =[4,3³,4] *	${displaystyle {ilde {D}} _ {5}}$ =[3^1,1,3,3^1,1] *
7	${displaystyle {ilde {A}} _ {6}}$ =[3^[7]] *	${displaystyle {ilde {B}} _ {6}}$ =[4,3³,3^1,1]	${displaystyle {ilde {C}} _ {6}}$ =[4,3⁴,4]	${displaystyle {ilde {D}} _ {6}}$ =[3^1,1,3²,3^1,1]	${displaystyle {ilde {E}} _ {6}}$ =[3^2,2,2]
8	${displaystyle {ilde {A}} _ {7}}$ =[3^[8]] *	${displaystyle {ilde {B}} _ {7}}$ =[4,3⁴,3^1,1] *	${displaystyle {ilde {C}} _ {7}}$ =[4,3⁵,4]	${displaystyle {ilde {D}} _ {7}}$ =[3^1,1,3³,3^1,1] *	${displaystyle {ilde {E}} _ {7}}$ =[3^3,3,1] *
9	${displaystyle {ilde {A}} _ {8}}$ =[3^[9]] *	${displaystyle {ilde {B}} _ {8}}$ =[4,3⁵,3^1,1]	${displaystyle {ilde {C}} _ {8}}$ =[4,3⁶,4]	${displaystyle {ilde {D}} _ {8}}$ =[3^1,1,3⁴,3^1,1]	${displaystyle {ilde {E}} _ {8}}$ =[3^5,2,1] *
10	${displaystyle {ilde {A}} _ {9}}$ =[3^[10]] *	${displaystyle {ilde {B}} _ {9}}$ =[4,3⁶,3^1,1]	${displaystyle {ilde {C}} _ {9}}$ =[4,3⁷,4]	${displaystyle {ilde {D}} _ {9}}$ =[3^1,1,3⁵,3^1,1]
11	...	...	...	...

Skupiny hyperbolických coxeterů

Existuje mnoho nekonečných hyperbolik Skupiny coxeterů. Hyperbolické skupiny jsou kategorizovány jako kompaktní nebo ne, přičemž kompaktní skupiny mají ohraničené základní domény. Kompaktní simplexní hyperbolické skupiny (Lannér zjednodušuje) existují jako pozice 3 až 5. Paracompact simplex groups (Koszulské jednoduchosti) existují až do 10. úrovně. Hyperkompaktní (Vinbergovy polytopy) skupiny byly prozkoumány, ale nebyly zcela určeny. V roce 2006 Allcock dokázal, že existuje nekonečně mnoho kompaktních Vinbergových polytopů pro dimenzi až 6 a nekonečně mnoho konečných objemů Vinbergových polytopů pro dimenzi až 19,^[4] takže úplný výčet není možný. Všechny tyto základní reflexní domény, jak jednoduché, tak jednoduché, se často nazývají Coxeter polytopes nebo někdy méně přesně Coxeter mnohostěn.

Hyperbolické skupiny v H.²

Poincaré model disku základní domény trojúhelníky
Příklad pravoúhlých trojúhelníků [p, q]
[3,7]	[3,8]	[3,9]	[3,∞]
[4,5]	[4,6]	[4,7]	[4,8]	[∞,4]
[5,5]	[5,6]	[5,7]	[6,6]	[∞,∞]
Příklad obecných trojúhelníků [(p, q, r)]
[(3,3,4)]	[(3,3,5)]	[(3,3,6)]	[(3,3,7)]	[(3,3,∞)]
[(3,4,4)]	[(3,6,6)]	[(3,∞,∞)]	[(6,6,6)]	[(∞,∞,∞)]

Dvourozměrný hyperbolický trojúhelníkové skupiny existují jako Coxeterovy diagramy 3. úrovně, definované trojúhelníkem (p q r) pro:

{displaystyle {frac {1} {p}} + {frac {1} {q}} + {frac {1} {r}} <1.}

Existuje nekonečně mnoho kompaktních trojúhelníkových hyperbolických Coxeterových skupin, včetně lineárních a trojúhelníkových grafů. Lineární grafy existují pro pravé trojúhelníky (s r = 2).^[5]

Kompaktní hyperbolické skupiny Coxeter

Lineární

Cyklický

∞ [p, q],

:
2 (p + q)

...

...

...

∞ [(p, q, r)],

: p + q + r> 9

			...

Skupiny Paracompact Coxeter 3. úrovně existují jako limity pro ty kompaktní.

Lineární grafy	Cyklické grafy
[p, ∞] [∞,∞]	[(p, q, ∞)] [(p, ∞, ∞)] [(∞,∞,∞)]

Aritmetická skupina trojúhelníků

Hyperbolický trojúhelníkové skupiny to jsou také aritmetické skupiny tvoří konečnou podmnožinu. Pomocí počítačového vyhledávání byl úplný seznam určen Kisao Takeuchi ve svém příspěvku z roku 1977 Aritmetické skupiny trojúhelníků.^[6] Existuje celkem 85, 76 kompaktních a 9 paracompaktních.

Pravé trojúhelníky (p q 2)	Obecné trojúhelníky (p q r)
Kompaktní skupiny: (76) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Paracompact pravé trojúhelníky: (4) , , ,	Obecné trojúhelníky: (39) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Paracompact obecné trojúhelníky: (5) , , , ,
(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30) (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18), (2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30) (2 6 6), (2 6 8), (2 6 12) (2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18) (2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18) (2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞)	(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15) (3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12) (4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16) (5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10) (6 6 6), (6 12 12), (6 24 24) (7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15) (3,3 ∞) (3 ∞ ∞) (4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)

Hyperbolické coxeterové polygony nad trojúhelníky

Základní domény čtyřstranných skupin
Domény s ideálními vrcholy
nebo [∞,3,∞] [iπ / λ₁, 3, iπ / λ₂] (*3222)	nebo [((3,∞,3)),∞] [(((3, iπ / λ₁, 3)), iπ / λ₂] (*3322)	nebo [(3,∞)^[2]] [(3, iπ / λ₁, 3, iπ / λ₂)] (*3232)	nebo [(4,∞)^[2]] [(4, iπ / λ₁, 4, iπ / λ₂)] (*4242)	(*3333)
[iπ / λ₁, ∞, iπ / λ₂] (*∞222)	(*∞∞22)	[(iπ / λ₁, ∞, iπ / λ₂,∞)] (*2∞2∞)	(*∞∞∞∞)	(*4444)

Ostatní H² hyperbolické kaleidoskopy mohou být konstruovány z polygonů vyššího řádu. Jako trojúhelníkové skupiny tyto kaleidoskopy lze identifikovat cyklickou posloupností zrcadlových průnikových řádů kolem základní domény jako (a b c d ...) nebo ekvivalentně v orbifold notace tak jako *abeceda.... Coxeter – Dynkinovy diagramy pro tyto polygonální kaleidoskopy lze považovat za degenerované (n-1) -simplexní základní domény s cyklickým uspořádáním větví a, b, c ... a zbývající větve n * (n-3) / 2 jsou označeny jako nekonečné (∞) představující neprotínající se zrcadla. Jediným nehyperbolickým příkladem je euklidovská symetrie čtyř zrcadel v a náměstí nebo obdélník jako , [∞, 2, ∞] (orbifold * 2222). Další zastoupení větve pro neprotínající se zrcadla podle Vinberg dává nekonečné větve jako tečkované nebo přerušované čáry, takže tento diagram může být zobrazen jako , se čtyřmi větvemi řádu 2 potlačenými po obvodu.

Například čtyřstranná doména (a b c d) bude mít dvě větve nekonečného řádu spojující ultraparalelní zrcadla. Nejmenší hyperbolický příklad je , [∞, 3, ∞] nebo [iπ / λ₁, 3, iπ / λ₂] (orbifold * 3222), kde (λ₁, λ₂) jsou vzdálenost mezi ultraparalelními zrcadly. Alternativní výraz je , se třemi větvemi řádu 2 potlačenými po obvodu. Podobně (2 3 2 3) (orbifold * 3232) lze reprezentovat jako a (3 3 3 3), (orbifold * 3333) lze reprezentovat jako kompletní graf .

Nejvyšší čtyřúhelníková doména (∞ ∞ ∞ ∞) je nekonečný čtverec, představovaný úplným čtyřboká graf se 4 obvodovými větvemi jako ideálními vrcholy a dvěma diagonálními větvemi jako nekonečno (zobrazené jako tečkované čáry) pro ultraparalelní zrcadla: .

Compact (Lannér simplex groups)

Kompaktní hyperbolické skupiny se nazývají Lannérovy skupiny Folke Lannér kdo je poprvé studoval v roce 1950.^[7] Existují pouze jako grafy 4. a 5. úrovně. Coxeter studoval skupiny lineárních hyperbolických coxeterů ve svém článku z roku 1954 Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru,^[8] který zahrnoval dvě racionální řešení v hyperbolickém 4-prostoru: [5/2,5,3,3] = a [5,5 / 2,5,3] = .

Patří mezi 4. – 5

Základní doména jedné ze dvou rozdvojujících se skupin [5,3^1,1] a [5,3,3^1,1], je dvojnásobek odpovídající lineární skupiny, [5,3,4] a [5,3,3,4]. Jména písmen jsou dána Johnson jako prodloužený Wittovy symboly.^[9]

Kompaktní hyperbolické skupiny Coxeter
Dimenze H^d	Hodnost	Celkový součet	Lineární	Bifurcating	Cyklický
H³	4	9	3: ${displaystyle {overline {BH}} _ {3}}$ = [4,3,5]: ${displaystyle {overline {K}} _ {3}}$ = [5,3,5]: ${displaystyle {overline {J}} _ {3}}$ = [3,5,3]:	${displaystyle {overline {DH}} _ {3}}$ = [5,3^1,1]:	${displaystyle {widehat {AB}} _ {3}}$ = [(3³,4)]: ${displaystyle {widehat {AH}} _ {3}}$ = [(3³,5)]: ${displaystyle {widehat {BB}} _ {3}}$ = [(3,4)^[2]]: ${displaystyle {widehat {BH}} _ {3}}$ = [(3,4,3,5)]: ${displaystyle {widehat {HH}} _ {3}}$ = [(3,5)^[2]]:
H⁴	5	5	3: ${displaystyle {overline {H}} _ {4}}$ = [3³,5]: ${displaystyle {overline {BH}} _ {4}}$ = [4,3,3,5]: ${displaystyle {overline {K}} _ {4}}$ = [5,3,3,5]:	${displaystyle {overline {DH}} _ {4}}$ = [5,3,3^1,1]:	${displaystyle {widehat {AF}} _ {4}}$ = [(3⁴,4)]:

Paracompact (skupiny Koszul simplex)

Příklad objednávka 3 apeirogonal obklady, {∞, 3} s jednou zelenou apeirogon a jeho vymezení horocykl

Parakompaktní (také nazývané nekompaktní) hyperbolické Coxeterovy skupiny obsahují afinní podskupiny a mají asymptotické simplexní základní domény. Nejvyšší parabolická hyperbolická Coxeterova skupina je na 10. pozici. Tyto skupiny jsou pojmenovány podle francouzského matematika Jean-Louis Koszul.^[10] Nazývají se také kvazi Lannerovy skupiny rozšiřující kompaktní Lannerovy skupiny. Seznam byl určen jako úplný pomocí počítačového vyhledávání M. Cheinem a zveřejněn v roce 1969.^[11]

Podle Vinberga je všech kromě těchto osmi 72 kompaktních a paracompaktních jednoduchých funkcí aritmetický. Dvě z nearitmetických skupin jsou kompaktní: a . Dalších šest nearitmetických skupin je paracompact s pěti trojrozměrnými skupinami , , , , a a jedna 5-dimenzionální skupina .

Ideální jednoduchosti

Ideální základní domény

, [(∞, ∞, ∞)] vidět v Model disku Poincare

Exprimuje 5 hyperbolických Coxeterových skupin ideální jednoduchosti, grafy, kde odstranění libovolného uzlu vede k afinní skupině Coxeter. Všechny vrcholy tohoto ideálního simplexu jsou tedy v nekonečnu.^[12]

Hodnost	Ideální skupina	Afinní podskupiny
3	[(∞,∞,∞)]	[∞]
4	[4^[4]]	[4,4]
4	[3^[3,3]]	[3^[3]]
4	[(3,6)^[2]]	[3,6]
6	[(3,3,4)^[2]]	[4,3,3,4], [3,4,3,3]	,

4. - 10. místo

Nekonečné euklidovské buňky jako a šestihranný obklad, správně zmenšené, konvergují do jediného ideálního bodu v nekonečnu, jako je šestihranný obkladový plástev, {6,3,3}, jak je zobrazeno s touto jedinou buňkou v a Poincaré model disku projekce.

Existuje celkem 58 paracompaktních hyperbolických Coxeterových skupin od 4. do 10. pozice. Všech 58 je seskupeno níže v pěti kategoriích. Symboly písmen jsou dány symbolem Johnson tak jako Rozšířené Wittovy symboly, pomocí PQRSTWUV z afinních Wittových symbolů a přidáním LMNOXYZ. Tyto hyperbolické skupiny dostávají nadsázku nebo klobouk pro cykloschémata. The závorka notace od společnosti Coxeter je linearizované zastoupení skupiny Coxeter.

Hyperbolické paracompaktní skupiny
Hodnost	Celkový součet	Skupiny
4	23	${displaystyle {widehat {BR}} _ {3}}$ = [(3,3,4,4)]: ${displaystyle {widehat {CR}} _ {3}}$ = [(3,4³)]: ${displaystyle {widehat {RR}} _ {3}}$ = [4^[4]]: ${displaystyle {widehat {AV}} _ {3}}$ = [(3³,6)]: ${displaystyle {widehat {BV}} _ {3}}$ = [(3,4,3,6)]: ${displaystyle {widehat {HV}} _ {3}}$ = [(3,5,3,6)]: ${displaystyle {widehat {VV}} _ {3}}$ = [(3,6)^[2]]:	${displaystyle {overline {P}} _ {3}}$ = [3,3^[3]]: ${displaystyle {overline {BP}} _ {3}}$ = [4,3^[3]]: ${displaystyle {overline {HP}} _ {3}}$ = [5,3^[3]]: ${displaystyle {overline {VP}} _ {3}}$ = [6,3^[3]]: ${displaystyle {overline {DV}} _ {3}}$ = [6,3^1,1]: ${displaystyle {overline {O}} _ {3}}$ = [3,4^1,1]: ${displaystyle {overline {M}} _ {3}}$ = [4^1,1,1]:	${displaystyle {overline {R}} _ {3}}$ = [3,4,4]: ${displaystyle {overline {N}} _ {3}}$ = [4³]: ${displaystyle {overline {V}} _ {3}}$ = [3,3,6]: ${displaystyle {overline {BV}} _ {3}}$ = [4,3,6]: ${displaystyle {overline {HV}} _ {3}}$ = [5,3,6]: ${displaystyle {overline {Y}} _ {3}}$ = [3,6,3]: ${displaystyle {overline {Z}} _ {3}}$ = [6,3,6]:	${displaystyle {overline {DP}} _ {3}}$ = [3^[]X[]]: ${displaystyle {overline {PP}} _ {3}}$ = [3^[3,3]]:
5	9	${displaystyle {overline {P}} _ {4}}$ = [3,3^[4]]: ${displaystyle {overline {BP}} _ {4}}$ = [4,3^[4]]: ${displaystyle {widehat {FR}} _ {4}}$ = [(3²,4,3,4)]: ${displaystyle {overline {DP}} _ {4}}$ = [3^{[3] x []}]:	${displaystyle {overline {N}} _ {4}}$ = [4,3,((4,2,3))]: ${displaystyle {overline {O}} _ {4}}$ = [3,4,3^1,1]: ${displaystyle {overline {S}} _ {4}}$ = [4,3^2,1]:	${displaystyle {overline {R}} _ {4}}$ = [(3,4)²]:	${displaystyle {overline {M}} _ {4}}$ = [4,3^1,1,1]:
6	12	${displaystyle {overline {P}} _ {5}}$ = [3,3^[5]]: ${displaystyle {widehat {AU}} _ {5}}$ = [(3⁵,4)]: ${displaystyle {widehat {AR}} _ {5}}$ = [(3,3,4)^[2]]:	${displaystyle {overline {S}} _ {5}}$ = [4,3,3^2,1]: ${displaystyle {overline {O}} _ {5}}$ = [3,4,3^1,1]: ${displaystyle {overline {N}} _ {5}}$ = [3,(3,4)^1,1]:	${displaystyle {overline {U}} _ {5}}$ = [3³,4,3]: ${displaystyle {overline {X}} _ {5}}$ = [3,3,4,3,3]: ${displaystyle {overline {R}} _ {5}}$ = [3,4,3,3,4]:	${displaystyle {overline {Q}} _ {5}}$ = [3^2,1,1,1]: ${displaystyle {overline {M}} _ {5}}$ = [4,3,3^1,1,1]: ${displaystyle {overline {L}} _ {5}}$ = [3^1,1,1,1,1]:
7	3	${displaystyle {overline {P}} _ {6}}$ = [3,3^[6]]:	${displaystyle {overline {Q}} _ {6}}$ = [3^1,1,3,3^2,1]:	${displaystyle {overline {S}} _ {6}}$ = [4,3²,3^2,1]:
8	4	${displaystyle {overline {P}} _ {7}}$ = [3,3^[7]]:	${displaystyle {overline {Q}} _ {7}}$ = [3^1,1,3²,3^2,1]:	${displaystyle {overline {S}} _ {7}}$ = [4,3³,3^2,1]:	${displaystyle {overline {T}} _ {7}}$ = [3^3,2,2]:
9	4	${displaystyle {overline {P}} _ {8}}$ = [3,3^[8]]:	${displaystyle {overline {Q}} _ {8}}$ = [3^1,1,3³,3^2,1]:	${displaystyle {overline {S}} _ {8}}$ = [4,3⁴,3^2,1]:	${displaystyle {overline {T}} _ {8}}$ = [3^4,3,1]:
10	4	${displaystyle {overline {P}} _ {9}}$ = [3,3^[9]]:	${displaystyle {overline {Q}} _ {9}}$ = [3^1,1,3⁴,3^2,1]:	${displaystyle {overline {S}} _ {9}}$ = [4,3⁵,3^2,1]:	${displaystyle {overline {T}} _ {9}}$ = [3^6,2,1]:

Vztahy podskupin hyperbolických skupin paracompact

Tyto stromy představují vztahy podskupin hyperbolických skupin paracompact. Indexy podskupin pro každé připojení jsou uvedeny červeně.^[13] Podskupiny indexu 2 představují odstranění zrcadla a zdvojnásobení základní domény. Ostatní lze odvodit podle srovnatelnost (celočíselný poměr objemů) pro čtyřboké domény.

Podskupinové stromy
H³
H⁴
H⁵

Hypercompact Coxeter groups (Vinberg polytopes)

Stejně jako hyperbolická rovina H² má netriangulární polygonální domény, existují také trojrozměrné reflexní hyperbolické domény. Tyto nesimplexní domény lze považovat za degenerované jednoduchosti s neprotínajícími se zrcadly danými v nekonečném pořadí, nebo v Coxeterově diagramu jsou těmto větvám dány tečkované nebo přerušované čáry. Tyto nesmyslný domény se nazývají Vinbergovy polytopy, po Ernest Vinberg pro něj Vinbergův algoritmus pro nalezení nesmyslné základní domény hyperbolické reflexní skupiny. Geometricky lze tyto základní domény klasifikovat jako čtyřúhelník pyramidy nebo hranoly nebo jiný polytopes s hranami jako průsečík dvou zrcadel vzepětí jako π / n pro n = 2,3,4 ...

V doméně založené na simplexu existují n+1 zrcátka pro n-dimenzionální prostor. V doménách, které nejsou jednoduché, je jich více než n+1 zrcátka. Seznam je konečný, ale není zcela znám. Místo toho byly dílčí seznamy vyjmenovány jako n+k zrcadla pro k jako 2,3 a 4.

Skupiny Hypercompact Coxeter ve trojrozměrném prostoru nebo vyšším se od dvou dimenzionálních skupin liší v jednom zásadním ohledu. Dva hyperbolické n-gony, které mají stejné úhly ve stejném cyklickém pořadí, mohou mít různé délky hran a nejsou obecně shodný. V porovnání Vinbergovy polytopy ve 3 nebo vyšších rozměrech jsou zcela určeny vzepětí. Tato skutečnost je založena na Věta věty o rigiditě, že dvě izomorfní skupiny generované odrazy v Hⁿ pro n> = 3 definujte shodné základní domény (Vinbergovy polytopy).

Vinbergovy polytopy s hodnocením n + 2 pro n dimenzionální prostor

Kompletní seznam kompaktních hyperbolických polypů Vinberg s hodnocením n + 2 zrcátka pro rozměry n vyčetl F. Esselmann v roce 1996.^[14] Částečný seznam zveřejnil v roce 1974 I. M. Kaplinskaya.^[15]

Kompletní seznam paracompaktních řešení publikoval P. Tumarkin v roce 2003 s rozměry od 3 do 17.^[16]

Nejmenší paracompact forma v H³ může být reprezentován , nebo [∞, 3,3, ∞], které lze zkonstruovat zrcadlovým odstraněním parakompaktní hyperbolické skupiny [3,4,4] jako [3,4,1⁺, 4]. Zdvojnásobené základní změny domény od a čtyřstěn do čtyřstranné pyramidy. Mezi další pyramidy patří [4,4,1⁺,4] = [∞,4,4,∞], = . Odstranění zrcadla z některých cyklických hyperbolických Coxeterových grafů se stane motýlkovými grafy: [(3,3,4,1⁺, 4)] = [(((3, ∞, 3)), ((3, ∞, 3))] nebo , [(3,4,4,1⁺, 4)] = [(((4, ∞, 3)), ((3, ∞, 4))] nebo , [(4,4,4,1⁺, 4)] = [(((4, ∞, 4)), ((4, ∞, 4))] nebo .

Mezi další platné paracompaktní grafy se základními doménami čtyřúhelníkové pyramidy patří:

Dimenze	Hodnost	Grafy
H³	5	, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

Další podskupina [1⁺,4^1,1,1] = [∞,4,1⁺,4,∞] = [∞^[6]]. = = .^[17]

Vinbergovy polytopy s hodnocením n + 3 pro n dimenzionální prostor

Existuje konečné množství zdegenerovaných základních jednoduchostí až do 8 rozměrů. Kompletní seznam kompaktních Vinbergových polytopů s hodnocením n + 3 zrcadla pro n-dimenze vyjmenoval P. Tumarkin v roce 2004. Tyto skupiny jsou označeny tečkovanými / přerušovanými čarami pro ultraparalelní větve. Kompletní seznam nekompaktních Vinbergových polytopů s hodnocením n + 3 zrcadla as jedním nejjednodušším vrcholem pro n-dimenze vyjmenoval Mike Roberts.^[18]

U 4 až 8 dimenzí se skupiny 7 až 11 Coxeterů počítají jako 44, 16, 3, 1 a 1 v tomto pořadí.^[19] Nejvyšší objevil Bugaenko v roce 1984 v dimenzi 8, pořadí 11:^[20]

Rozměry	Hodnost	Případy	Grafy
H⁴	7	44	...
H⁵	8	16	..
H⁶	9	3
H⁷	10	1
H⁸	11	1

Vinbergovy polytopy s hodnocením n + 4 pro n dimenzionální prostor

Existuje konečné množství zdegenerovaných základních jednoduchostí až do 8 rozměrů. Kompaktní Vinberg polytopes s hodností n + 4 zrcadla pro rozměry n byla zkoumána A. Feliksonem a P. Tumarkinem v roce 2005.^[21]

Lorentzian skupiny

Pravidelné voštiny s lorenzianskými skupinami
{3,3,7} při pohledu mimo model koule Poincare	{7,3,3} při pohledu mimo model koule Poincare

Toto ukazuje lotorziánské skupiny 5. stupně uspořádané jako podskupiny z [6,3,3,3] a [6,3,6,3]. Vysoce symetrická skupina

, [3^[3,3,3]] je podskupina indexu 120 [6,3,3,3].

Lorentzianovy skupiny pro simplexní domény lze definovat jako grafy nad hyperbolické formy paracompactu. Tito se někdy nazývají superideálními jednoduchostmi a také souvisí s a Lorentzian geometrie, pojmenoval podle Hendrik Lorentz v oblasti speciální a obecná relativita časoprostor, obsahující jeden (nebo více) časově podobné dimenzionální komponenty, jejichž samočinné produkty jsou negativní.^[9] Danny Calegari volá tyto konvexní cocompact Skupiny coxeterů v n-dimenzionálním hyperbolickém prostoru.^[22]^[23]

Papír z roku 1982 od George Maxwella, Balení koulí a hyperbolické reflexní skupiny, vyjmenuje konečný seznam Lorentziana z 5. až 11. pozice. Říká jim úroveň 2, což znamená odstranění jakékoli permutace 2 uzlů zanechává konečný nebo euklidovský graf. Jeho výčet je úplný, ale neuváděl grafy, které jsou podskupinou jiného. Všechny skupiny Coxeter větví vyššího řádu 4. úrovně jsou Lorentzian, končící v limitu jako a kompletní graf 3-simplexní Coxeter-Dynkinův diagram se 6 větvemi nekonečného řádu, které lze vyjádřit jako [∞^[3,3]]. 5. až 11. místo má konečný počet skupin 186, 66, 36, 13, 10, 8 a 4 Lorentzianské skupiny.^[24] Papír z roku 2013 od H. Chena a J.-P. Labbé, Skupiny Lorentzian Coxeter a Boyd - Maxwell kuličkové obaly, přepočítal a zveřejnil kompletní seznam.^[25]

Pro nejvyšší hodnosti 8-11 jsou kompletní seznamy:

Skupiny Lorentzian Coxeter
Hodnost	Celkový počet	Skupiny
4	∞	[3,3,7] ... [∞,∞,∞]: ... [4,3^[3]] ... [∞,∞^[3]]: ... [5,4^1,1] ... [∞^1,1,1]: ... ... [(5,4,3,3)] ... [∞^[4]]: ... ... ... [4^[]×[]] ... [∞^[]×[]]: ... ... [4^[3,3]] ... [∞^[3,3]]
5	186	...[3^[3,3,3]]:...
6	66
7	36	[3^1,1,1,1,1,1]: ...
8	13	[3,3,3^[6]]: [3,3^[6],3]: [3,3^[2+4],3]: [3,3^[1+5],3]: [3^{[] e × [3]}]:	[4,3,3,3^3,1]: [3^1,1,3,3^3,1]: [3,(3,3,4)^1,1]: [3^2,1,3,3^2,1]:		[4,3,3,3^2,2]: [3^1,1,3,3^2,2]:
9	10	[3,3^[3+4],3]: [3,3^[9]]: [3,3^[2+5],3]:	[3^2,1,3²,3^2,1]:	[3^3,1,3³,4]: [3^3,1,3,3,3^1,1]:	[3^3,3,2]: [3^2,2,4]: [3^2,2,3³,4]: [3^2,2,3,3,3^1,1]:
10	8	[3,3^[8],3]: [3,3^[3+5],3]: [3,3^[9]]:	[3^2,1,3³,3^2,1]:	[3^5,3,1]: [3^3,1,3⁴,4]: [3^3,1,3³,3^1,1]:	[3^4,4,1]:
11	4		[3^2,1,3⁴,3^2,1]:	[3^2,1,3⁶,4]: [3^2,1,3⁵,3^1,1]:	[3^7,2,1]:

Velmi rozšířené Coxeterovy diagramy

Jedno použití zahrnuje a velmi rozšířené definice z přímého Dynkinův diagram použití, které považuje afinní skupiny za prodlouženahyperbolické skupiny příliš rozšířenýa třetí uzel jako velmi rozšířené jednoduché skupiny. Tyto přípony jsou obvykle označeny exponentem 1,2 nebo 3 + symboly pro počet rozšířených uzlů. Tuto rozšiřující řadu lze rozšířit dozadu postupným odstraňováním uzlů ze stejné pozice v grafu, i když se proces po odstranění větvícího uzlu zastaví. The E₈ extended family is the most commonly shown example extending backwards from E₃ and forwards to E₁₁.

The extending process can define a limited series of Coxeter graphs that progress from finite to affine to hyperbolic to Lorentzian. The determinant of the Cartan matrices determine where the series changes from finite (positive) to affine (zero) to hyperbolic (negative), and ending as a Lorentzian group, containing at least one hyperbolic subgroup.^[26] The noncrystalographic H_n groups forms an extended series where H₄ is extended as a compact hyperbolic and over-extended into a lorentzian group.

The determinant of the Schläfli matrix by rank are:^[27]

det(A₁ⁿ=[2^n-1]) = 2ⁿ (Finite for all n)
det(A_n=[3^n-1]) = n+1 (Finite for all n)
det(B_n=[4,3^n-2]) = 2 (Finite for all n)
det(D_n=[3^n-3,1,1]) = 4 (Finite for all n)

Determinants of the Schläfli matrix in exceptional series are:

det (E_n =[3^n-3,2,1]) = 9-n (Finite for E₃(=A₂A₁), E₄(=A₄), E₅(=D₅), E₆, E₇ a E₈, affine at E₉ ( ${displaystyle {ilde {E}} _ {8}}$ ), hyperbolic at E₁₀)
det([3^n-4,3,1]) = 2(8-n) (Finite for n=4 to 7, affine ( ${displaystyle { ilde {E}}_{7}}$ ), and hyperbolic at n=8.)
det([3^n-4,2,2]) = 3(7-n) (Finite for n=4 to 6, affine ( ${displaystyle { ilde {E}}_{6}}$ ), and hyperbolic at n=7.)
det(F_n=[3,4,3^n-3]) = 5-n (Finite for F₃(=B₃) až F₄, affine at F₅ ( ${displaystyle { ilde {F}}_{4}}$ ), hyperbolic at F₆)
det(G_n=[6,3^n-2]) = 3-n (Finite for G₂, affine at G₃ ( ${displaystyle { ilde {G}}_{2}}$ ), hyperbolic at G₄)

Smaller extended series
Konečný	${displaystyle A_{2}}$	${displaystyle C_ {2}}$	${displaystyle G_ {2}}$	${displaystyle A_{3}}$	${displaystyle B_{3}}$	${displaystyle C_ {3}}$	${displaystyle H_{4}}$
Rank n	[3^[3],3^n-3]	[4,4,3^n-3]	G_n=[6,3^n-2]	[3^[4],3^n-4]	[4,3^1,n-3]	[4,3,4,3^n-4]	H_n=[5,3^n-2]
2	[3] A₂	[4] C₂	[6] G₂		[2] A₁²	[4] C₂	[5] H₂
3	[3^[3]] A₂⁺= ${displaystyle { ilde {A}}_{2}}$	[4,4] C₂⁺= ${displaystyle { ilde {C}}_{2}}$	[6,3] G₂⁺= ${displaystyle { ilde {G}}_{2}}$	[3,3]=A₃	[4,3] B₃	[4,3] C₃	[5,3] H₃
4	[3^[3],3] A₂⁺⁺= ${displaystyle {overline {P}}_{3}}$	[4,4,3] C₂⁺⁺= ${displaystyle {overline {R}}_{3}}$	[6,3,3] G₂⁺⁺= ${displaystyle {overline {V}}_{3}}$	[3^[4]] A₃⁺= ${displaystyle { ilde {A}}_{3}}$	[4,3^1,1] B₃⁺= ${displaystyle { ilde {B}}_{3}}$	[4,3,4] C₃⁺= ${displaystyle { ilde {C}}_{3}}$	[5,3,3] H₄
5	[3^[3],3,3] A₂⁺⁺⁺	[4,4,3,3] C₂⁺⁺⁺	[6,3,3,3] G₂⁺⁺⁺	[3^[4],3] A₃⁺⁺= ${displaystyle {overline {P}}_{4}}$	[4,3^2,1] B₃⁺⁺= ${displaystyle {overline {S}}_{4}}$	[4,3,4,3] C₃⁺⁺= ${displaystyle {overline {R}}_{4}}$	[5,3³] H₅= ${displaystyle {overline {H}}_{4}}$
6				[3^[4],3,3] A₃⁺⁺⁺	[4,3^3,1] B₃⁺⁺⁺	[4,3,4,3,3] C₃⁺⁺⁺	[5,3⁴] H₆
Det(M_n)	3(3-n)	2(3-n)	3-n	4(4-n)	2(4-n)

Middle extended series
Konečný	${displaystyle A_ {4}}$	${displaystyle B_{4}}$	${displaystyle C_ {4}}$	${displaystyle D_ {4}}$	${displaystyle F_{4}}$	${displaystyle A_{5}}$	${displaystyle B_{5}}$	${displaystyle D_ {5}}$
Rank n	[3^[5],3^n-5]	[4,3,3^n-4,1]	[4,3,3,4,3^n-5]	[3^n-4,1,1,1]	[3,4,3^n-3]	[3^[6],3^n-6]	[4,3,3,3^n-5,1]	[3^1,1,3,3^n-5,1]
3		[4,3^−1,1] B₂A₁	[4,3] B₃	[3^−1,1,1,1] A₁³	[3,4] B₃		[4,3,3] C₃
4	[3³] A₄	[4,3,3] B₄	[4,3,3] C₄	[3^0,1,1,1] D₄	[3,4,3] F₄		[4,3,3,3^−1,1] B₃A₁	[3^1,1,3,3^−1,1] A₃A₁
5	[3^[5]] A₄⁺= ${displaystyle { ilde {A}}_{4}}$	[4,3,3^1,1] B₄⁺= ${displaystyle { ilde {B}}_{4}}$	[4,3,3,4] C₄⁺= ${displaystyle { ilde {C}}_{4}}$	[3^1,1,1,1] D₄⁺= ${displaystyle { ilde {D}}_{4}}$	[3,4,3,3] F₄⁺= ${displaystyle { ilde {F}}_{4}}$	[3⁴] A₅	[4,3,3,3,3] B₅	[3^1,1,3,3] D₅
6	[3^[5],3] A₄⁺⁺= ${displaystyle {overline {P}}_{5}}$	[4,3,3^2,1] B₄⁺⁺= ${displaystyle {overline {S}}_{5}}$	[4,3,3,4,3] C₄⁺⁺= ${displaystyle {overline {R}}_{5}}$	[3^2,1,1,1] D₄⁺⁺= ${displaystyle {overline {Q}}_{5}}$	[3,4,3³] F₄⁺⁺= ${displaystyle {overline {U}}_{5}}$	[3^[6]] A₅⁺= ${displaystyle { ilde {A}}_{5}}$	[4,3,3,3^1,1] B₅⁺= ${displaystyle { ilde {B}}_{5}}$	[3^1,1,3,3^1,1] D₅⁺= ${displaystyle { ilde {D}}_{5}}$
7	[3^[5],3,3] A₄⁺⁺⁺	[4,3,3^3,1] B₄⁺⁺⁺	[4,3,3,4,3,3] C₄⁺⁺⁺	[3^3,1,1,1] D₄⁺⁺⁺	[3,4,3⁴] F₄⁺⁺⁺	[3^[6],3] A₅⁺⁺= ${displaystyle {overline {P}}_{6}}$	[4,3,3,3^2,1] B₅⁺⁺= ${displaystyle {overline {S}}_{6}}$	[3^1,1,3,3^2,1] D₅⁺⁺= ${displaystyle {overline {Q}}_{6}}$
8						[3^[6],3,3] A₅⁺⁺⁺	[4,3,3,3^3,1] B₅⁺⁺⁺	[3^1,1,3,3^3,1] D₅⁺⁺⁺
Det(M_n)	5(5-n)	2(5-n)		4(5-n)	5-n	6(6-n)	4(6-n)

Some higher extended series
Konečný	${displaystyle A_{6}}$	${displaystyle B_{6}}$	${displaystyle D_{6}}$	${displaystyle E_{6}}$	${displaystyle A_{7}}$	${displaystyle B_{7}}$	${displaystyle D_{7}}$	${displaystyle E_{7}}$	${displaystyle E_{8}}$
Rank n	[3^[7],3^n-7]	[4,3³,3^n-6,1]	[3^1,1,3,3,3^n-6,1]	[3^n-5,2,2]	[3^[8],3^n-8]	[4,3⁴,3^n-7,1]	[3^1,1,3,3,3,3^n-7,1]	[3^n-5,3,1]	E_n=[3^n-4,2,1]
3									[3^−1,2,1] E₃=A₂A₁
4				[3^−1,2,2] A₂²				[3^−1,3,1] A₃A₁	[3^0,2,1] E₄=A₄
5		[4,3,3,3,3^−1,1] B₄A₁	[3^1,1,3,3,3^−1,1] D₄A₁	[3^0,2,2] A₅				[3^0,3,1] A₅	[3^1,2,1] E₅= D₅
6	[3⁵] A₆	[4,3⁴] B₆	[3^1,1,3,3,3] D₆	[3^1,2,2] E₆		[4,3,3,3,3,3^−1,1] B₅A₁	[3^1,1,3,3,3,3^−1,1] D₅A₁	[3^1,3,1] D₆	[3^2,2,1] E₆ *
7	[3^[7]] A₆⁺= ${displaystyle { ilde {A}}_{6}}$	[4,3³,3^1,1] B₆⁺= ${displaystyle { ilde {B}}_{6}}$	[3^1,1,3,3,3^1,1] D₆⁺= ${displaystyle { ilde {D}}_{6}}$	[3^2,2,2] E₆⁺= ${displaystyle { ilde {E}}_{6}}$	[3⁶] A₇	[4,3⁵] B₇	[3^1,1,3,3,3,3^0,1] D₇	[3^2,3,1] E₇ *	[3^3,2,1] E₇ *
8	[3^[7],3] A₆⁺⁺= ${displaystyle {overline {P}}_{7}}$	[4,3³,3^2,1] B₆⁺⁺= ${displaystyle {overline {S}}_{7}}$	[3^1,1,3,3,3^2,1] D₆⁺⁺= ${displaystyle {overline {Q}}_{7}}$	[3^3,2,2] E₆⁺⁺= ${displaystyle {overline {T}}_{7}}$	[3^[8]] A₇⁺= ${displaystyle { ilde {A}}_{7}}$ *	[4,3⁴,3^1,1] B₇⁺= ${displaystyle { ilde {B}}_{7}}$ *	[3^1,1,3,3,3,3^1,1] D₇⁺= ${displaystyle { ilde {D}}_{7}}$ *	[3^3,3,1] E₇⁺= ${displaystyle { ilde {E}}_{7}}$ *	[3^4,2,1] E₈ *
9	[3^[7],3,3] A₆⁺⁺⁺	[4,3³,3^3,1] B₆⁺⁺⁺	[3^1,1,3,3,3^3,1] D₆⁺⁺⁺	[3^4,2,2] E₆⁺⁺⁺	[3^[8],3] A₇⁺⁺= ${displaystyle {overline {P}}_{8}}$ *	[4,3⁴,3^2,1] B₇⁺⁺= ${displaystyle {overline {S}}_{8}}$ *	[3^1,1,3,3,3,3^2,1] D₇⁺⁺= ${displaystyle {overline {Q}}_{8}}$ *	[3^4,3,1] E₇⁺⁺= ${displaystyle {overline {T}}_{8}}$ *	[3^5,2,1] E₉= E₈⁺= ${displaystyle {ilde {E}} _ {8}}$ *
10					[3^[8],3,3] A₇⁺⁺⁺ *	[4,3⁴,3^3,1] B₇⁺⁺⁺ *	[3^1,1,3,3,3,3^3,1] D₇⁺⁺⁺ *	[3^5,3,1] E₇⁺⁺⁺ *	[3^6,2,1] E₁₀= E₈⁺⁺= ${displaystyle {overline {T}}_{9}}$ *
11									[3^7,2,1] E₁₁= E₈⁺⁺⁺ *
Det(M_n)	7(7-n)	2(7-n)	4(7-n)	3(7-n)	8(8-n)	2(8-n)	4(8-n)	2(8-n)	9-n

Geometric folding

Finite and affine foldings^[28]
φ_A : A_Γ --> A_Γ' for finite types
Γ	Γ'	Folding description	Coxeter – Dynkinovy diagramy
Já₂(h )	Γ(h)	Dihedral folding
B_n	A_2n	(I,s_n)
B_n	D_{n + 1}, A_2n-1	(A₃,+/-ε)
F₄	E₆	(A₃,±ε)
H₄	E₈	(A₄,±ε)
H₃	D₆
H₂	A₄
G₂	A₅	(A₅,±ε)
G₂	D₄	(D.₄,±ε)
φ: A_Γ⁺ --> A_Γ'⁺ for affine types
${displaystyle { ilde {A}}_{n-1}}$	${displaystyle { ilde {A}}_{kn-1}}$	Locally trivial
${displaystyle { ilde {B}}_{n}}$	${displaystyle { ilde {D}}_{2n+1}}$	(I,s_n)
${displaystyle { ilde {B}}_{n}}$	${displaystyle { ilde {D}}_{n+1}}$ , ${displaystyle { ilde {D}}_{2n}}$	(A₃,±ε)
${displaystyle { ilde {C}}_{n}}$	${displaystyle { ilde {B}}_{n+1}}$ , ${displaystyle { ilde {C}}_{2n}}$	(A₃,±ε)
${displaystyle { ilde {C}}_{n}}$	${displaystyle { ilde {C}}_{2n+1}}$	(I,s_n)
${displaystyle { ilde {C}}_{n}}$	${displaystyle { ilde {A}}_{2n+1}}$	(I,s_n) & (I,s₀)
	${displaystyle { ilde {A}}_{2n}}$	(A₃,ε) & (I,s₀)
	${displaystyle { ilde {A}}_{2n-1}}$	(A₃,ε) & (A₃,ε')
${displaystyle { ilde {C}}_{n}}$	${displaystyle { ilde {D}}_{n+2}}$	(A₃,-ε) & (A₃,-ε')
${displaystyle { ilde {C}}_{2}}$	${displaystyle { ilde {D}}_{5}}$	(I,s₁)
${displaystyle { ilde {F}}_{4}}$	${displaystyle { ilde {E}}_{6}}$ , ${displaystyle { ilde {E}}_{7}}$	(A₃,±ε)
${displaystyle { ilde {G}}_{2}}$	${displaystyle { ilde {D}}_{6}}$ , ${displaystyle { ilde {E}}_{7}}$	(A₅,±ε)
	${displaystyle { ilde {B}}_{3}}$ , ${displaystyle { ilde {F}}_{4}}$	(B₃,±ε)
	${displaystyle { ilde {D}}_{4}}$ , ${displaystyle { ilde {E}}_{6}}$	(D.₄,±ε)

A (simply-laced) Coxeter–Dynkin diagram (finite, afinní, or hyperbolic) that has a symmetry (satisfying one condition, below) can be quotiented by the symmetry, yielding a new, generally multiply laced diagram, with the process called "folding".^[29]^[30]

Například v D₄ skládací na G.₂, hrana v G₂ body z třídy 3 vnějších uzlů (valence 1), do třídy centrálního uzlu (valence 3). And E₈ folds into 2 copies of H₄, the second copy scaled by τ.^[31]

Geometrically this corresponds to ortogonální projekce z jednotné polytopy and tessellations. Notably, any finite simply-laced Coxeter–Dynkin diagram can be folded to I₂(h), kde h je Číslo coxeteru, which corresponds geometrically to a projection to the Coxeterovo letadlo.

A few hyperbolic foldings

Složité odrazy

Coxeter–Dynkin diagrams have been extended to složitý prostor, C.ⁿ where nodes are jednotné odrazy of period greater than 2. Nodes are labeled by an index, assumed to be 2 for ordinary real reflection if suppressed. Coxeter writes the complex group, p[q]r, as diagram .^[32]

A 1-dimensional pravidelný složitý mnohostěn v ${displaystyle mathbb {C} ^{1}}$ je reprezentován jako , které mají p vrcholy. Its real representation is a pravidelný mnohoúhelník, {p}. Jeho symetrie je _p[] or , objednat p. A nečleněný operátor generator for is seen as a rotation in ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ by 2π/p radiány proti směru hodinových ručiček a edge is created by sequential applications of a single unitary reflection. A unitary reflection generator for a 1-polytope with p vrcholy je $E 2π i / p = cos(2π/ p) + i sin(2π/ p)$ . Když p = 2, the generator is E^πi = –1, the same as a bodový odraz in the real plane.

In a higher polytope, _p{} nebo představuje a p-edge element, with a 2-edge, {} or , representing an ordinary real edge between two vertices.

Regular complex 1-polytopes
Complex 1-polytopes, , zastoupená v Argandovo letadlo jako pravidelné polygony pro p = 2, 3, 4, 5 a 6, s černými vrcholy. Těžiště p vrcholy jsou zobrazeny červeně. Boky polygonů představují jednu aplikaci generátoru symetrie, mapující každý vrchol na další kopii proti směru hodinových ručiček. Tyto polygonální strany nejsou hranovými prvky polytopu, protože složitý 1-polytop nemůže mít žádné hrany (často je komplexní hrana) a obsahuje pouze vrcholové prvky.

12 neredukovatelných Shephardových skupin s jejich indexovými vztahy podskupin.^[33] Subgroups index 2 relate by removing a real reflection: _p[2q]₂ --> _p[q]_p, index 2. _p[4]_q --> _p[q]_p, index q.	_p[4]₂ podskupiny: p = 2,3,4 ... _p[4]₂ --> [p], index p _p[4]₂ --> _p[]×_p[], index 2

Aa regular complex polygons v ${displaystyle mathbb {C} ^{2}}$ , má formu _p{q}_r or Coxeter diagram . The symmetry group of a regular complex polygon is not called a Skupina coxeterů, but instead a Shephardova skupina, typ Komplexní reflexní skupina. The order of _p[q]_r je ${displaystyle 8/qcdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$ .^[34]

The rank 2 Shephard groups are: ₂[q]₂, _p[4]₂, ₃[3]₃, ₃[6]₂, ₃[4]₃, ₄[3]₄, ₃[8]₂, ₄[6]₂, ₄[4]₃, ₃[5]₃, ₅[3]₅, ₃[10]₂, ₅[6]₂, a ₅[4]₃ nebo , , , , , , , , , , , , , objednávky 2q, 2p², 24, 48, 72, 96, 144, 192, 288, 360, 600, 1200, and 1800 respectively.

Skupina symetrie _p₁[q]_p₂ je reprezentován 2 generátory R₁, R.₂, kde: R₁^p₁ = R.₂^p₂ = I. Pokud q je sudé, (R.₂R₁)^q/2 = (R.₁R₂)^q/2. Li q je liché, (R.₂R₁)^(q-1)/2R₂ = (R.₁R₂)^(q-1)/2R₁. Když q je zvláštní, p₁=p₂.

The ${displaystyle mathbb {C} ^{3}}$ skupina or [1 1 1]^p is defined by 3 period 2 unitary reflections {R₁, R.₂, R.₃}: R₁² = R.₁² = R.₃² = (R.₁R₂)³ = (R₂R₃)³ = (R.₃R₁)³ = (R.₁R₂R₃R₁)^p = 1. The period p může být viděn jako dvojitá rotace in real ${displaystyle mathbb {R} ^{4}}$ .

Podobnost ${displaystyle mathbb {C} ^{3}}$ skupina or [1 1 1]^(p) is defined by 3 period 2 unitary reflections {R₁, R.₂, R.₃}: R₁² = R.₁² = R.₃² = (R.₁R₂)³ = (R₂R₃)³ = (R.₃R₁)³ = (R.₁R₂R₃R₂)^p = 1.

Viz také

Reference

^ Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary IntroductionSpringer, ISBN 978-0-387-40122-5
^ Coxeter, Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8, Sec 7.7. strana 133, Schläfli's Criterion
^ Lannér F., On complexes with transitive groups of automorphisms, Medd. Lunds Univ. Rohož. Sem. [Comm. Sem. Matematika. Univ. Lund], 11 (1950), 1–71
^ Allcock, Daniel (11 July 2006). "Infinitely many hyperbolic Coxeter groups through dimension 19". Geometrie a topologie. 10 (2): 737–758. arXiv:0903.0138. doi:10.2140/gt.2006.10.737.
^ Geometrie a topologie coxeterových skupin, Michael W. Davis, 2008 str. 105 Table 6.2. Hyperbolic diagrams
^ Takeuchi, Kisao (January 1977). "TAKEUCHI : Arithmetic triangle groups". Journal of the Mathematical Society of Japan. Projecteuclid.org. 29 (1): 91–106. doi:10.2969/jmsj/02910091. Citováno 2013-07-05.
^ Folke Lannér, On complexes with transitive groups of automorphisms, Comm. Sém., Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Rohož. Sem.] 11 (1950) [1]
^ Regular Honeycombs in hyperbolic space, Coxeter, 1954
^ ^A ^b Norman Johnson, Geometrie a transformace (2018), Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups, 13.6 Lorentzian lattices
^ J. L. Koszul, Lectures on hyperbolic Coxeter groups, University of Notre Dame (1967)
^ M. Chein, Recherche des graphes des matrices de Coxeter hyperboliques d’ordre ≤10, Rev. Française Informat. Recherche Opérationnelle 3 (1969), no. Ser. R-3, 3–16 (French). [2]
^ Subalgebras of hyperbolic Kay-Moody algebras, Figure 5.1, p.13
^ Johnson, N.W.; Kellerhals, R.; Ratcliffe, J.G.; Tschantz, S.T. (2002). "Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups". Lineární algebra a její aplikace. 345 (1–3): 119–147. doi:10.1016/S0024-3795(01)00477-3.
^ F. Esselmann, The classification of compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+2 facets. Komentář. Matematika. Helvetici 71 (1996), 229–242. [3]
^ I. M. Kaplinskaya, Discrete groups generated by reflections in the faces of simplicial prisms in Lobachevskian spaces. Matematika. Notes,15 (1974), 88–91. [4]
^ P. Tumarkin, Hyperbolic Coxeter n-polytopes with n+2 facets (2003)
^ Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss, Quadratic Integers and Coxeter Groups, Umět. J. Math. Sv. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336 [5]
^ [6] A Classification of Non-Compact Coxeter Polytopes with n + 3 Facets and One Non-Simple Vertex
^ P. Tumarkin, Compact hyperbolic Coxeter (2004)
^ V. O. Bugaenko, Groups of automorphisms of unimodular hyperbolic quadratic forms over the ring Zh√5+12 i. Moscow Univ. Matematika. Býk. 39 (1984), 6-14.
^ Anna Felikson, Pavel Tumarkin, On compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+4 facets, 2005 [7]
^ Random groups, diamonds and glass, Danny Calegari of the University of Chicago, June 25, 2014 at the Bill Thurston Legacy Conference
^ Coxeter groups and random groups, Danny Calegari, last revised 4 Apr 2015
^ Maxwell, George (1982). "Sphere packings and hyperbolic reflection groups". Journal of Algebra. 79: 78–97. doi:10.1016/0021-8693(82)90318-0.
^ Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Skupiny Lorentzian Coxeter a balení kuliček Boyd-Maxwell, https://arxiv.org/abs/1310.8608
^ Kac-Moody Algebras in M-theory
^ Cartan–Gram determinants for the simple Lie groups, Wu, Alfred C. T, The American Institute of Physics, Nov 1982
^ John Crisp, 'Injective maps mezi Artin groups ', in Down under group theory, Proceedings of the Special Year on Geometric Group Theory, (Australian National University, Canberra, Australia, 1996), Postscript Archivováno 16. 10. 2005 v Wayback Machine, pp 13-14, and googlebook, Geometric group theory down under, p 131
^ Zuber, Jean-Bernard (1998). "Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding". Topological Field Theory: 28–30. arXiv:hep-th/9707046. Bibcode:1998tftp.conf..453Z. CiteSeerX 10.1.1.54.3122.
^ Dechant, Pierre-Philippe; Boehm, Celine; Twarock, Reidun (2013). "Afinní rozšíření nekrystalografických Coxeterových skupin vyvolaná projekcí". Journal of Mathematical Physics. 54 (9): 093508. arXiv:1110.5228. Bibcode:2013JMP....54i3508D. doi:10.1063/1.4820441.
^ The E8 Geometry from a Clifford Perspective Pokroky v aplikované Cliffordské algebře, March 2017, Volume 27, Issue 1, pp 397–421 Pierre-Philippe Dechant
^ Coxeter, Complex Regular Polytopes, second edition, (1991)
^ Coxeter, Complex Regular Polytopes, str. 177, tabulka III
^ Jednotné reflexní skupiny, str.87

Další čtení

James E. Humphreys, Reflexní skupiny a skupiny coxeterů, Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990)
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [8], Googlebooks [9]
- (Paper 17) Coxeter, The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejů, Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Kapitola 3: Wythoffova konstrukce pro jednotné polytopy)
Coxeter, Pravidelné Polytopes (1963), Macmillan Company
- Pravidelné Polytopes, Třetí vydání, (1973), Doverské vydání, ISBN 0-486-61480-8 (Chapter 5: The Kaleidoscope, and Section 11.3 Representation by graphs)
H.S.M. Coxeter and W. O. J. Moser. Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny 4. vydání, Springer-Verlag. New York. 1980
Norman Johnson, Geometrie a transformace, Chapters 11,12,13, preprint 2011
N. W. Johnson, R. Kellerhals J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, Velikost hyperbolického Coxeterova simplexu, Transformation Groups 1999, Volume 4, Issue 4, pp 329–353 [10] [11]
Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss Quadratic Integers and Coxeter Groups PDF Umět. J. Math. Sv. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Coxeter–Dynkin diagram". MathWorld.
October 1978 discussion on the history of the Coxeter diagrams by Coxeter and Dynkin in Toronto, Kanada; Eugene Dynkin Collection of Mathematics Interviews, Cornell University Library.

[1] Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary IntroductionSpringer, ISBN 978-0-387-40122-5

[2] Coxeter, Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8, Sec 7.7. strana 133, Schläfli's Criterion

[3] Lannér F., On complexes with transitive groups of automorphisms, Medd. Lunds Univ. Rohož. Sem. [Comm. Sem. Matematika. Univ. Lund], 11 (1950), 1–71

[4] Allcock, Daniel (11 July 2006). "Infinitely many hyperbolic Coxeter groups through dimension 19". Geometrie a topologie. 10 (2): 737–758. arXiv:0903.0138. doi:10.2140/gt.2006.10.737.

[5] Geometrie a topologie coxeterových skupin, Michael W. Davis, 2008 str. 105 Table 6.2. Hyperbolic diagrams

[6] Takeuchi, Kisao (January 1977). "TAKEUCHI : Arithmetic triangle groups". Journal of the Mathematical Society of Japan. Projecteuclid.org. 29 (1): 91–106. doi:10.2969/jmsj/02910091. Citováno 2013-07-05.

[7] Folke Lannér, On complexes with transitive groups of automorphisms, Comm. Sém., Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Rohož. Sem.] 11 (1950) [1]

[8] Regular Honeycombs in hyperbolic space, Coxeter, 1954

[johnson2018-9] A ^b Norman Johnson, Geometrie a transformace (2018), Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups, 13.6 Lorentzian lattices

[10] J. L. Koszul, Lectures on hyperbolic Coxeter groups, University of Notre Dame (1967)

[11] M. Chein, Recherche des graphes des matrices de Coxeter hyperboliques d’ordre ≤10, Rev. Française Informat. Recherche Opérationnelle 3 (1969), no. Ser. R-3, 3–16 (French). [2]

[12] Subalgebras of hyperbolic Kay-Moody algebras, Figure 5.1, p.13

[13] Johnson, N.W.; Kellerhals, R.; Ratcliffe, J.G.; Tschantz, S.T. (2002). "Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups". Lineární algebra a její aplikace. 345 (1–3): 119–147. doi:10.1016/S0024-3795(01)00477-3.

[14] F. Esselmann, The classification of compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+2 facets. Komentář. Matematika. Helvetici 71 (1996), 229–242. [3]

[15] I. M. Kaplinskaya, Discrete groups generated by reflections in the faces of simplicial prisms in Lobachevskian spaces. Matematika. Notes,15 (1974), 88–91. [4]

[16] P. Tumarkin, Hyperbolic Coxeter n-polytopes with n+2 facets (2003)

[17] Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss, Quadratic Integers and Coxeter Groups, Umět. J. Math. Sv. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336 [5]

[18] [6] A Classification of Non-Compact Coxeter Polytopes with n + 3 Facets and One Non-Simple Vertex

[19] P. Tumarkin, Compact hyperbolic Coxeter (2004)

[20] V. O. Bugaenko, Groups of automorphisms of unimodular hyperbolic quadratic forms over the ring Zh√5+12 i. Moscow Univ. Matematika. Býk. 39 (1984), 6-14.

[21] Anna Felikson, Pavel Tumarkin, On compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+4 facets, 2005 [7]

[22] Random groups, diamonds and glass, Danny Calegari of the University of Chicago, June 25, 2014 at the Bill Thurston Legacy Conference

[23] Coxeter groups and random groups, Danny Calegari, last revised 4 Apr 2015

[24] Maxwell, George (1982). "Sphere packings and hyperbolic reflection groups". Journal of Algebra. 79: 78–97. doi:10.1016/0021-8693(82)90318-0.

[25] Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Skupiny Lorentzian Coxeter a balení kuliček Boyd-Maxwell, https://arxiv.org/abs/1310.8608

[26] Kac-Moody Algebras in M-theory

[27] Cartan–Gram determinants for the simple Lie groups, Wu, Alfred C. T, The American Institute of Physics, Nov 1982

[28] John Crisp, 'Injective maps mezi Artin groups ', in Down under group theory, Proceedings of the Special Year on Geometric Group Theory, (Australian National University, Canberra, Australia, 1996), Postscript Archivováno 16. 10. 2005 v Wayback Machine, pp 13-14, and googlebook, Geometric group theory down under, p 131

[29] Zuber, Jean-Bernard (1998). "Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding". Topological Field Theory: 28–30. arXiv:hep-th/9707046. Bibcode:1998tftp.conf..453Z. CiteSeerX 10.1.1.54.3122.

[30] Dechant, Pierre-Philippe; Boehm, Celine; Twarock, Reidun (2013). "Afinní rozšíření nekrystalografických Coxeterových skupin vyvolaná projekcí". Journal of Mathematical Physics. 54 (9): 093508. arXiv:1110.5228. Bibcode:2013JMP....54i3508D. doi:10.1063/1.4820441.

[31] The E8 Geometry from a Clifford Perspective Pokroky v aplikované Cliffordské algebře, March 2017, Volume 27, Issue 1, pp 397–421 Pierre-Philippe Dechant

[32] Coxeter, Complex Regular Polytopes, second edition, (1991)

[33] Coxeter, Complex Regular Polytopes, str. 177, tabulka III

[34] Jednotné reflexní skupiny, str.87

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]