Hranol (geometrie) - Prism (geometry)

Sada jednotných hranolů
(Je zobrazen šestihranný hranol)
Typ	jednotný mnohostěn
Conwayova mnohostěnová notace	Pn
Tváře	2+n celkový: 2 {n} n {4}
Hrany	3n
Vrcholy	2n
Schläfliho symbol	{n} × {}^[1] nebo t{2, n}
Coxeterův diagram
Konfigurace vrcholů	4.4.n
Skupina symetrie	D_nh, [n,2], (*n22), objednávka 4n
Rotační skupina	D_n, [n,2]⁺, (n22), objednávka 2n
Duální mnohostěn	n-gonal bipyramid
Vlastnosti	konvexní, polopravidelný, vrchol-tranzitivní
n-gonal hranolová síť (n = 9 zde)

v geometrie, a hranol je mnohostěn obsahující n-stranný polygonální základna, druhá základna, která je a přeloženo kopie (pevně posunutá bez rotace) první a n jiný tváře (nutně všichni rovnoběžníky ) připojení odpovídající strany ze dvou základen. Všechno průřezy rovnoběžně se základnami jsou překlady základen. Hranoly jsou pojmenovány pro své báze; příklad: hranol s a pětiúhelníkový základna se nazývá pětiúhelníkový hranol. Hranoly jsou podtřídou prizmatoidy.

Jako mnoho základních geometrických termínů, i slovo hranol (řecký: πρίσμα, romanized: hranol, lit. (něco řezaného)) bylo poprvé použito v Euklidovy prvky. Euclid definoval termín v knize XI jako „pevnou postavu obsaženou ve dvou protilehlých, stejných a rovnoběžných rovinách, zatímco zbytek jsou rovnoběžníky“. Nicméně, tato definice byla kritizována za to, že není dostatečně konkrétní ve vztahu k povaze základen, což způsobilo zmatek mezi pozdějšími spisovateli geometrie.^[2]^[3]

Obecné, správné a jednotné hranoly

A pravý hranol je hranol, ve kterém jsou spojovací hrany a plochy kolmý k základním plochám.^[4] To platí, pokud jsou spojovací plochy obdélníkový. Pokud spojovací hrany a plochy nejsou kolmé k základním plochám, nazývá se to šikmý hranol.

Například a rovnoběžnostěn je šikmý hranol jehož základem je a rovnoběžník, nebo ekvivalentně mnohostěn se šesti plochami, které jsou všechny rovnoběžníky.

Zkosený trojúhelníkový hranol s horní stranou zkosenou v šikmém úhlu

A zkrácený hranol je hranol s neparalelní horní a dolní stranou.^[5]

Některé texty mohou tento výraz použít obdélníkový hranol nebo hranatý hranol jak na pravoúhlý hranol, tak na pravoúhlý hranol. A pravý p-hranatý hranol s obdélníkovými stranami má Schläfliho symbol {} × {p}.

Pravý obdélníkový hranol se také nazývá a kvádr, nebo neformálně a obdélníková krabička. Pravoúhlý hranol je prostě a čtvercová krabice, a může být také nazýván a čtvercový kvádr. A pravý obdélníkový hranol má Schläfliho symbol { }×{ }×{ }.

An n- hranol, který má pravidelný mnohoúhelník končí a obdélníkový strany, přistupuje k válcovitý pevné jako n přístupy nekonečno.

Termín jednotný hranol nebo semiregular hranol lze použít pro a pravý hranol s náměstí strany, protože takové hranoly jsou v množině jednotná mnohostěna. A jednotný p-úhlový hranol má Schläfliho symbol t {2, s}. Pravé hranoly s pravidelnými základnami a stejnými délkami hran tvoří jednu ze dvou nekonečných řad semiregular polyhedra, další série je antiprismy.

The dvojí a pravý hranol je bipyramid.

Objem

The objem hranolu je produktem plocha základny a vzdálenost mezi dvěma plochami základny nebo výška (v případě nepravého hranolu si všimněte, že to znamená kolmou vzdálenost).

Objem je tedy:

{ displaystyle V = Bh}

kde B je základní plocha a h je výška. Objem hranolu, jehož základnou je n-stranný pravidelný mnohoúhelník s délkou strany s je tedy:

{ displaystyle V = { frac {n} {4}} hs ^ {2} cot left ({ frac { pi} {n}} right)}

Plocha povrchu

Povrch plocha pravého hranolu je:

{ displaystyle 2B + Ph}

kde B je plocha základny, h výška a P základna obvod.

Povrch pravoúhlého hranolu, jehož základna je pravidelná n-stranný polygon s délkou strany s a výška h je tedy:

{ displaystyle A = { frac {n} {2}} s ^ {2} cot { left ({ frac { pi} {n}} right)} + nsh}

Schlegel diagramy

P3	P4	P5	P6	P7	P8

Symetrie

The skupina symetrie práva n-stranný hranol s pravidelnou základnou je D_nh objednávky 4n, s výjimkou krychle, která má větší skupinu symetrie Ó_h objednávky 48, která má tři verze D_4h tak jako podskupiny. The rotační skupina je D._n objednávky 2n, s výjimkou případu krychle, která má větší skupinu symetrie O řádu 24, která má tři verze D₄ jako podskupiny.

Skupina symetrie D_nh obsahuje inverze iff n je sudý.

The hosohedra a dihedra také mají dihedrální symetrii a n-úhlový hranol může být sestaven pomocí geometrické zkrácení n-gonal hosohedron, stejně jako přes cantellation nebo expanze n-úhlového dihedronu.

Hranolový mnohostěn

A hranolové polytop je vícerozměrné zobecnění hranolu. An n-dimenzionální hranolový mnohostěn je sestaven ze dvou (n − 1) -dimenzionální polytopy, přeložené do další dimenze.

Hranolový n-polytopové prvky jsou zdvojnásobeny z (n − 1) -polytope prvky a poté vytvoření nových prvků z dalšího spodního prvku.

Vezměte si n-polytop s F_i i-tvář elementy (i = 0, ..., n). Své (n + 1) -polytop hranol bude mít 2F_i + F_i−1 i- povrchové prvky. (S F₋₁ = 0, F_n = 1.)

Podle dimenze:

Vezměte si polygon s n vrcholy, n hrany. Jeho hranol má 2n vrcholy, 3n hrany a 2 + n tváře.
Vezměte si mnohostěn s proti vrcholy, E hrany a F tváře. Jeho hranol má 2proti vrcholy, 2E + proti hrany, 2F + E tváře a 2 + F buňky.
Vezměte si polychoron s proti vrcholy, E hrany, F tváře a C buňky. Jeho hranol má 2proti vrcholy, 2E + proti hrany, 2F + E tváře a 2C + F buňky a 2 + C hypercell.

Jednotný hranolový mnohostěn

Pravidelný n-polytop představovaný Schläfliho symbol {p, q, ..., t} může tvořit jednotný hranolový (n + 1) -polytop představovaný a kartézský součin z dva symboly Schläfli: {p, q, ..., t}×{}.

Podle dimenze:

0-polytopický hranol je a úsečka, představovaný prázdnou Schläfliho symbol {}.
1-polytopický hranol je a obdélník, vyrobený ze 2 přeložených úseček. Představuje se jako symbol produktu Schläfli {} × {}. Pokud to je náměstí, symetrii lze snížit: {}×{} = {4}.
- Příklad: Čtverec, {} × {}, dva paralelní úsečky, spojené dvěma úsečkami strany.
A polygonální hranol je trojrozměrný hranol vyrobený ze dvou přeložených polygonů spojených obdélníky. Pravidelný mnohoúhelník {p} může postavit uniformu n-gonal hranol představovaný produktem {p} × {}. Li p = 4, se čtvercovými stranami symetrie se stává krychle: {4}×{} = {4, 3}.
- Příklad: Pětiúhelníkový hranol, {5} × {}, dva paralelně pětiúhelníky spojeno 5 obdélníkovými strany.
A mnohostěnný hranol je čtyřrozměrný hranol vyrobený ze dvou přeložených mnohostěn spojených 3rozměrnými hranolovými buňkami. Běžný mnohostěn {p, q} umí zkonstruovat jednotný polychorický hranol představovaný produktem {p, q} × {}. Pokud je mnohostěn krychlí a strany jsou kostky, stává se a tesseract: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Příklad: Dodecahedral hranol, {5, 3} × {}, dva paralelně dodekahedra spojeno 12 pětiúhelníkovým hranolem strany.
...

Hranolové polytopy vyššího řádu také existují jako kartézské výrobky ze dvou polytopů. Rozměr mnohostěnu je součinem rozměrů prvků. První příklad z nich existuje ve 4-dimenzionálním prostoru duoprismy jako produkt dvou polygonů. Pravidelné duoprismy jsou reprezentovány jako {p}×{q}.

Rodina uniformy hranoly [ proti t E ]
Mnohostěn
Coxeter
Obklady
Konfigurace	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4

Kroucený hranol

A zkroucený hranol je nekonvexní hranolový mnohostěn konstruovaný uniformou q- hranol s bočními plochami rozdělenými na čtvercovou úhlopříčku a otočením horní části, obvykle o $π$ /q radiány (180/q stupňů) ve stejném směru, což způsobí, že boční trojúhelníky budou konkávní.^[6]^[7]

Zkroucený hranol nemůže být členitý do čtyřstěnů bez přidání nových vrcholů. Nejmenší případ, trojúhelníkový tvar, se nazývá a Schönhardtův mnohostěn.

A zkroucený hranol je topologicky totožný s antiprism, ale má polovinu symetrie: D_n, [n,2]⁺, objednávka 2n. To může být viděno jako konvexní antiprism, s čtyřstěnem odstraněným mezi dvojicemi trojúhelníků.

3-gonal	4-gonal		12-gonal
Schönhardtův mnohostěn	Kroucený hranatý hranol	Čtvercový antiprism	Zkroucený dodecagonal antiprism

Frustum

Pentagonal frustum

A frustum je topologicky totožný s hranolem, s lichoběžník boční plochy a různě velké horní a dolní mnohoúhelníky.

Hvězdný hranol

A hvězdný hranol je nekonvexní mnohostěn konstruovaný dvěma identickými hvězdný polygon plochy nahoře a dole, jsou rovnoběžné a odsazené o vzdálenost a spojeny obdélníkovými plochami. A jednotný hvězdný hranol budu mít Schläfliho symbol {p/q} × {}, s p obdélník a 2 {p/q} tváře. Je topologicky totožný s a p-gonal hranol.

Příklady
{ }×{ }₁₈₀×{ }	t_A {3}×{ }		{5/2}×{ }	{7/2}×{ }	{7/3}×{ }	{8/3}×{ }
D_2h, objednávka 8	D_3h, objednávka 12		D_5h, objednávka 20	D_7h, objednávka 28		D_8h, objednávka 32

Překřížený hranol

A křížený hranol je nekonvexní mnohostěn postavený z hranolu, kde jsou vrcholy základny obráceně kolem středu (nebo otočeno o 180 °). To transformuje boční obdélníkové plochy na překřížené obdélníky. Pro běžný polygonový základ je vzhled p-gonal přesýpací hodiny, se všemi svislými hranami procházejícími jedním středem, ale není tam žádný vrchol. Je topologicky totožný s a p-gonal hranol.

Příklady
{ }×{ }₁₈₀×{ }₁₈₀	t_A{3}×{ }₁₈₀		{3}×{ }₁₈₀	{4}×{ }₁₈₀	{5}×{ }₁₈₀	{5/2}×{ }₁₈₀	{6}×{ }₁₈₀
D_2h, objednávka 8	D_3d, objednávka 12			D_4h, objednávka 16	D_{5 d}, objednávka 20		D_6d, objednávka 24

Toroidní hranoly

A toroidní hranol je nekonvexní mnohostěn je jako a křížený hranol kromě toho, že místo mnohoúhelníků na základně a nahoře jsou přidány jednoduché obdélníkové boční plochy k uzavření mnohostěnu. To lze provést pouze u rovnoměrných polygonů se základnou. Jedná se o topologické tori, s Eulerova charakteristika nula. Topologická polyedrická síť lze řezat ze dvou řad a čtvercové obklady, s vrchol obrázek 4.4.4.4. A n-gonální toroidní hranol má 2n vrcholy a tváře a 4n hran a je topologicky self-dual.

Příklady
D_4h, objednávka 16	D_6h, objednávka 24
v = 8, e = 16, f = 8	v = 12, e = 24, f = 12

Viz také

Reference

^ N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie, 11.3 Pyramidy, hranoly a antiprismy, obrázek 11.3b
^ Thomas Malton (1774). Královská cesta k geometrii: Nebo snadný a známý úvod do matematiky. ... od Thomase Maltona. ... autor a prodal. str. 360–.
^ James Elliot (1845). Klíč k úplnému pojednání o praktické geometrii a menuraci: obsahující úplné ukázky pravidel ... Longman, Brown, Green a Longmans. str. 3–.
^ William F. Kern, James R Bland,Solidní menurace s důkazy, 1938, s. 28
^ William F. Kern, James R Bland,Solidní menurace s důkazy, 1938, s. 81
^ Fakta ve spisu: Příručka o geometrii, Catherine A. Gorini, 2003, ISBN 0-8160-4875-4, str. 172
^ [1]

Anthony Pugh (1976). Mnohostěn: Vizuální přístup. Kalifornie: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Kapitola 2: Archimédův mnohostěn, hranol a antiprizmy

externí odkazy

Weisstein, Eric W. "Hranol". MathWorld.
Papírové modely hranolů a antiprismů Zdarma sítě hranolů a antiprismů
Papírové modely hranolů a antiprismů Používání sítí generovaných Stella

[1] N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrie, 11.3 Pyramidy, hranoly a antiprismy, obrázek 11.3b

[Malton1774-2] Thomas Malton (1774). Královská cesta k geometrii: Nebo snadný a známý úvod do matematiky. ... od Thomase Maltona. ... autor a prodal. str. 360–.

[Elliot1845-3] James Elliot (1845). Klíč k úplnému pojednání o praktické geometrii a menuraci: obsahující úplné ukázky pravidel ... Longman, Brown, Green a Longmans. str. 3–.

[4] William F. Kern, James R Bland,Solidní menurace s důkazy, 1938, s. 28

[5] William F. Kern, James R Bland,Solidní menurace s důkazy, 1938, s. 81

[6] Fakta ve spisu: Příručka o geometrii, Catherine A. Gorini, 2003, ISBN 0-8160-4875-4, str. 172

[7] [1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]