Hexadekagon - Hexadecagon
| Pravidelný šestiúhelník | |
|---|---|
 Pravidelný šestiúhelník | |
| Typ | Pravidelný mnohoúhelník |
| Hrany a vrcholy | 16 |
| Schläfliho symbol | {16}, t {8}, tt {4} |
| Coxeterův diagram |     |
| Skupina symetrie | Vzepětí (D.16), objednat 2 × 16 |
| Vnitřní úhel (stupňů ) | 157.5° |
| Duální mnohoúhelník | Já |
| Vlastnosti | Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální |
V matematice, a hexadekagon (někdy nazývané a hexakaidekagon nebo 16-gon) je šestnáctistranný polygon.[1]
Pravidelný šestiúhelník
A pravidelný hexadekagon je hexadekagon, ve kterém jsou všechny úhly stejné a všechny strany shodné. Své Schläfliho symbol je {16} a lze jej zkonstruovat jako a zkrácen osmiúhelník, t {8} a dvakrát zkrácen náměstí tt {4}. Zkrácený hexadekagon, t {16}, je a triacontadigon, {32}.
Konstrukce
Jako 16 = 24 (A síla dvou ), běžný hexadekagon je konstruovatelný použitím kompas a pravítko: toto už věděli starořečtí matematici.[2]
v daném obvodu
při dané délce strany, animace. (Konstrukce je velmi podobná konstrukci z osmiúhelník při dané délce strany.)
Měření
Každý úhel běžného hexadekagonu je 157,5 stupňů a celková míra úhlu libovolného hexadekagonu je 2520 stupňů.
The plocha pravidelného hexadekagonu s délkou hrany t je
Protože hexadekagon má několik stran, které jsou a síla dvou, jeho plochu lze vypočítat z hlediska circumradius R zkrácením Vièteův vzorec:
Vzhledem k tomu, oblast circumcircle je běžný hexadekagon vyplňuje přibližně 97,45% svého obvodu.
Symetrie
 | 14 symetrií pravidelného hexadekagonu. Řádky odrazů jsou modré přes vrcholy, fialové přes hrany a ve středu jsou uvedeny pořadí gyrace. Vrcholy jsou vybarveny polohou symetrie. |
The běžný hexadekagon má Dih16 symetrie, řád 32. Existují 4 dihedrální podskupiny: Dih8, Dih4, Dih2a Dih1a 5 cyklické podskupiny: Z16, Z8, Z4, Z2a Z1, z čehož poslední nevyplývá žádná symetrie.
Na běžném šestnáctiúhelníku je 14 odlišných symetrií. John Conway označuje plnou symetrii jako r32 a není označena žádná symetrie a1. Dihedrické symetrie se dělí podle toho, zda procházejí vrcholy (d pro úhlopříčku) nebo hrany (str pro svislice) Cyklické symetrie ve středním sloupci jsou označeny jako G pro jejich centrální gyrační příkazy.[3]
Nejběžnější hexadecagony s vysokou symetrií jsou d16, an isogonal hexadekagon konstruovaný osmi zrcadly může střídat dlouhé a krátké hrany a p16, an isotoxální hexadekagon konstruovaný se stejnými délkami hran, ale vrcholy střídající dva různé vnitřní úhly. Tyto dvě formy jsou duální navzájem a mají poloviční pořadí symetrie než běžný hexadekagon.
Každá podskupina symetrie umožňuje jeden nebo více stupňů volnosti pro nepravidelné formy. Pouze g16 podskupina nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany.
Pitva
| 16 krychlí projekce | 112 disekce kosočtverce | |
|---|---|---|
 |  Pravidelný |  Isotoxální |
Coxeter uvádí, že každý zonogon (a 2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky), do kterých lze členit m(m-1) / 2 rovnoběžníky.[4]To platí zejména pro pravidelné mnohoúhelníky s rovnoměrně mnoha stranami, v tom případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro běžný hexadekagon, m= 8 a lze jej rozdělit na čtverce 28: 4 a 3 sady 8 kosočtverců. Tento rozklad je založen na a Petrie polygon projekce a 8 kostek, s 28 z 1792 tváří. Seznam OEIS: A006245 vyjmenovává počet řešení jako 1232944, včetně až 16násobných rotací a chirálních forem v odrazu.
 8 kostek |  |  |  |  |
Šikmý hexadekagon
| {8}#{ } | {8⁄3}#{ } | {8⁄5}#{ } |
|---|---|---|
 |  |  |
| Pravidelný šikmý hexadekagon je považován za klikaté okraje osmiboký antiprism, an oktaagramický antiprism a oktagrammický zkřížený antiprism. | ||
A zkosit hexadekagon je zkosit mnohoúhelník s 24 vrcholy a hranami, ale neexistující ve stejné rovině. Vnitřek takového hexadekagonu není obecně definován. A zkosit cik-cak hexadekagon má vrcholy střídající se mezi dvěma rovnoběžnými rovinami.
A pravidelný zkosený hexadekagon je vrchol-tranzitivní se stejnými délkami hran. Ve 3-dimenzích to bude cik-cak šikmý hexadekagon a je vidět na vrcholech a bočních hranách osmiboký antiprism se stejným D8d, [2+, 16] symetrie, řád 32. The oktaagramický antiprism, s {2,16 / 3} a oktaagramový zkřížený antiprism, s {2,16 / 5} mají také pravidelné šikmé osmiúhelníky.
Petrie polygony
Pravidelný hexadekagon je Petrie polygon pro mnoho výškových polytopů, zobrazených v tomto zkosení ortogonální projekce, počítaje v to:
| A15 | B8 | D9 | 2B2 (4D) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
 15-simplexní |  8-orthoplex |  8 kostek |  611 |  161 |  8-8 duopyramid |  8-8 duoprism |
Související obrázky
A hexadecagram je 16stranný hvězdný polygon, představovaný symbolem {16 / n}. Jsou tři normální hvězdné polygony, {16/3}, {16/5}, {16/7}, používající stejné vrcholy, ale spojující každý třetí, pátý nebo sedmý bod. Existují také tři sloučeniny: {16/2} se sníží na 2 {8} jako dvě osmiúhelníky, {16/4} se sníží na 4 {4} jako čtyři čtverce a {16/6} se sníží na 2 {8/3} jako dva oktagramy a nakonec se hodnota {16/8} sníží na 8 {2} jako osm digony.
| Složené a hvězdné hexadecagony | ||||
|---|---|---|---|---|
| Formulář | Konvexní mnohoúhelník | Sloučenina | Hvězda mnohoúhelník | Sloučenina |
| obraz |  {16/1} nebo {16} |  {16/2} nebo 2 {8} |  {16/3} |  {16/4} nebo 4 {4} |
| Vnitřní úhel | 157.5° | 135° | 112.5° | 90° |
| Formulář | Hvězda mnohoúhelník | Sloučenina | Hvězda mnohoúhelník | Sloučenina |
| obraz |  {16/5} |  {16/6} nebo 2 {8/3} |  {16/7} |  {16/8} nebo 8 {2} |
| Vnitřní úhel | 67.5° | 45° | 22.5° | 0° |
Hlubší zkrácení pravidelného osmiúhelníku a oktagramu může způsobit izogonální (vrchol-tranzitivní ) mezilehlé formy hexadecagramu se stejně rozmístěnými vrcholy a dvěma délkami hran.[5]
Zkrácený osmiúhelník je hexadekagon, t {8} = {16}. Quasitruncated octagon, obrácený jako {8/7}, je hexadecagram: t {8/7} = {16/7}. Zkrácený oktagram {8/3} je hexadecagram: t {8/3} = {16/3} a quasitruncated octagram, obrácený jako {8/5}, je hexadecagram: t {8/5} = {16 / 5}.
| Isogonal truncations of octagon and octagram | ||||
|---|---|---|---|---|
| Quasiregular | Isogonal | Quasiregular | ||
 t {8} = {16} |  |  |  |  t {8/7} = {16/7} |
 t {8/3} = {16/3} |  |  |  |  t {8/5} = {16/5} |
V umění
Na počátku 16. století Raphael byl první, kdo postavil a perspektivní obrázek pravidelného hexadekagonu: věž v jeho obraze Manželství Panny Marie má 16 stran, vycházející z osmiboké věže v předchozím obrazu od Pietro Perugino.[6]
Hexadecagrams (16-sided hvězdné polygony ) jsou zahrnuty v Girih vzory v Alhambra.[7]
Ostatní
V Filipíny, na místních karnevalech (peryahan), Ferris Wheels s maximálně 16 místy nebo gondoly
v Mexico City „Parque del ejecutivo“ je malý hexadecagonal park, obklopený hexadecagonal ring road, stejně jako 16 silnic, které běží radiálně směrem ven, čímž se v procesu vytvářejí větší hexadecagony. Zobrazení Map Google
Nepravidelné šestiúhelníky
An osmiboká hvězda lze považovat za konkávní hexadekagon:
Viz také
Reference
- ^ Weisstein, Eric W. (2002). CRC Stručná encyklopedie matematiky, druhé vydání. CRC Press. str. 1365. ISBN 9781420035223.
- ^ Koshy, Thomas (2007), Základní teorie čísel s aplikacemi (2. vyd.), Academic Press, str. 142, ISBN 9780080547091.
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Symetrie věcí, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 20, Zobecněné Schaefliho symboly, Typy symetrie polygonu, str. 275-278)
- ^ Coxeter Matematické rekreace a eseje, třinácté vydání, s. 141
- ^ The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Proměny polygonů, Branko Grünbaum
- ^ Speiser, David (2011), „Architektura, matematika a teologie v Raphaelových obrazech“, v Williams, Kim (vyd.), Křižovatka: Dějiny vědy, Dějiny umění. Eseje Davida Speisera, sv. II, Springer, str. 29–39, doi:10.1007/978-3-0348-0139-3_3. Původně publikováno v Nexus III: Architektura a matematika, Kim Williams, vyd. (Ospedaletto, Pisa: Pacini Editore, 2000), s. 147–156.
- ^ Hankin, E. Hanbury (květen 1925), „Příklady metod kreslení geometrických arabeskových vzorů“, Matematický věstník, 12 (176): 370–373, doi:10.2307/3604213.