Platonická pevná látka - Platonic solid

v trojrozměrný prostor, a Platonická pevná látka je pravidelný, konvexní mnohostěn. Konstruuje ji shodný (shodný tvar a velikost), pravidelný (všechny úhly stejné a všechny strany stejné), polygonální tváře se stejným počtem tváří na každém setkání vrchol. Pět pevných látek splňuje tato kritéria:

Čtyřstěn	Krychle	Octahedron	Dodecahedron	Dvacetistěnu
Čtyři tváře	Šest tváří	Osm tváří	Dvanáct tváří	Dvacet tváří
(Animace ) (3D model )	(Animace ) (3D model )	(Animace ) (3D model )	(Animace ) (3D model )	(Animace ) (3D model )

Geometry studovali platonické pevné látky po tisíce let.^[1] Jsou pojmenovány pro starogrécký filozof Platón který v jednom ze svých dialogů vyslovil hypotézu, Timaeus, že klasické prvky byly vyrobeny z těchto běžných pevných látek.^[2]

Dějiny

Kepler Platonický solidní model Sluneční Soustava z Mysterium Cosmographicum (1596)

Přiřazení k prvkům v Kepleru Mysterium Cosmographicum

Platonické pevné látky jsou známy již od starověku a bylo navrženo, že jistévyřezávané kamenné koule vytvořil pozdně neolitický lidé z Skotsko představují tyto tvary; avšak tyto kuličky mají spíše zaoblené knoflíky než polyhedrální, počty knoflíků se často lišily od počtu vrcholů platonických pevných látek, neexistuje koule, jejíž knoflíky odpovídají 20 vrcholům dodekaedru, a uspořádání knoflíků nebylo vždy symetrické.^[3]

The starověcí Řekové intenzivně studoval platonické pevné látky. Některé zdroje (např Proclus ) kredit Pythagoras s jejich objevem. Další důkazy naznačují, že mohl být obeznámen pouze se čtyřstěnem, krychlí a dvanáctistěnem a že objev oktaedronu a dvacetistěnu patří Theaetetus, současník Platóna. V každém případě Theaetetus poskytl matematický popis všech pěti a mohl být zodpovědný za první známý důkaz, že neexistují žádné jiné konvexní pravidelné mnohostěny.

Platonické pevné látky jsou prominentní ve filozofii Platón, jejich jmenovec. Platón o nich psal v dialogu Timaeus C.360 př. N. L. ve kterém spojil každého ze čtyř klasické prvky (Země, vzduch, voda, a oheň ) s pravidelným tělesem. Země byla spojena s krychlí, vzduch s oktaedronem, voda s icosahedronem a oheň s čtyřstěnem. Existovala intuitivní ospravedlnění těchto asociací: oheň ohně je ostrý a bodavý (jako malý čtyřstěn). Vzduch je vyroben z osmistěnu; jeho nepatrné komponenty jsou tak hladké, že to člověk stěží cítí. Voda, dvacetistěn, vyteče z ruky, když je zvedne, jako by byla vyrobena z malých kuliček. Naproti tomu hexahedron (krychle), vysoce nesférická pevná látka, představuje „Zemi“. Tyto neohrabané malé pevné látky způsobují, že se špína rozpadá a láme se, když je zachycena v ostrém rozdílu k hladkému toku vody.^{[Citace je zapotřebí ]} Navíc je kostka jedinou pravidelnou pevnou látkou mozaikové desky Euklidovský prostor se věřilo, že způsobuje pevnost Země.

Platón z pátého platónského tělesa, dvanáctistěn, nejasně poznamenal: „... bůh jej použil k uspořádání souhvězdí na celém nebi“. Aristoteles přidal pátý prvek, aithēr (éter v latině, „ether“ v angličtině) a postuloval, že nebesa byla vytvořena z tohoto prvku, ale neměl zájem jej srovnávat s Platónovým pátým tělesem.^[4]

Euklid zcela matematicky popsal platonické pevné látky v Elementy, jejichž poslední kniha (kniha XIII) je věnována jejich vlastnostem. Propozice 13–17 v knize XIII popisují konstrukci čtyřstěnu, osmistěnu, krychle, dvacetistěnu a dvanáctistěnu v uvedeném pořadí. Pro každou pevnou látku Euclid najde poměr průměru opsané koule k délce hrany. V Proposition 18 tvrdí, že neexistují žádné další konvexní pravidelné mnohostěny.Andreas Speiser obhajuje názor, že konstrukce 5 regulárních těles je hlavním cílem deduktivního systému kanonizovaného v Elementy.^[5] Velká část informací v knize XIII je pravděpodobně odvozena z Theaetetova díla.

V 16. století Němec astronom Johannes Kepler se pokusil spojit pět mimozemšťanů planety v té době známé pěti platonickým pevným látkám. v Mysterium Cosmographicum, publikovaný v roce 1596, Kepler navrhl model Sluneční Soustava ve kterém bylo pět pevných látek uloženo do sebe a odděleno řadou vepsaných a ohraničených koulí. Kepler navrhl, aby vztahy vzdálenosti mezi šesti planetami známými v té době bylo možné chápat ve smyslu pěti platonických pevných látek uzavřených ve sféře, která představovala oběžnou dráhu Saturn. Těchto šest koulí odpovídalo jedné z planet (Rtuť, Venuše, Země, Mars, Jupiter a Saturn). Pevné látky byly uspořádány tak, že nejvnitřnějším bytím byl osmistěn, následovaný dvacetistěnem, dvanáctistěnem, čtyřstěnem a nakonec krychlí, čímž platonické pevné látky diktovaly strukturu sluneční soustavy a vztahy mezi planetami. Nakonec musel být od Keplerova původního nápadu upuštěno, ale z jeho výzkumu vyšla jeho tři zákony orbitální dynamiky z nichž první bylo to oběžné dráhy planet jsou elipsy spíše než kruhy, které mění směr fyziky a astronomie. Objevil také Keplerovy pevné látky.

Kartézské souřadnice

Pro platonické pevné látky se středem v počátku, jednoduché Kartézské souřadnice níže jsou uvedeny vrcholy. Řecký dopis φ se používá k reprezentaci Zlatý řez 1 + √5/2 ≈ 1.6180.

Parametry

Postava	Čtyřstěn		Octahedron	Krychle	Dvacetistěnu		Dodecahedron
Tváře	4		8	6	20		12
Vrcholy	4		6 (2 × 3)	8	12 (4 × 3)		20 (8 + 4 × 3)
Orientace soubor	1	2			1	2	1	2
Vrchol Souřadnice	(1, 1, 1) (1, −1, −1) (−1, 1, −1) (−1, −1, 1)	(−1, −1, −1) (−1, 1, 1) (1, −1, 1) (1, 1, −1)	(±1, 0, 0) (0, ±1, 0) (0, 0, ±1)	(±1, ±1, ±1)	(0, ±1, ±φ) (±1, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1)	(0, ±φ, ±1) (±φ, ±1, 0) (±1, 0, ±φ)	(±1, ±1, ±1) (0, ±1/φ, ±φ) (±1/φ, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1/φ)	(±1, ±1, ±1) (0, ±φ, ±1/φ) (±φ, ±1/φ, 0) (±1/φ, 0, ±φ)
obraz

Souřadnice čtyřstěnu, dvanáctistěnu a dvacetistěnu jsou uvedeny ve dvou sadách orientace, z nichž každá obsahuje polovina znaménka a poziční permutace souřadnic.

Tyto souřadnice odhalují určité vztahy mezi platonickými pevnými látkami: vrcholy čtyřstěnu představují polovinu vrcholů krychle, například {4,3} nebo , jedna ze dvou sad 4 vrcholů v duálních pozicích, jako h {4,3} nebo . Sloučeniny tvoří obě čtyřboké polohy hvězdný osmistěn.

Souřadnice icosahedronu se vztahují ke dvěma střídaným sadám souřadnic nejednotné zkrácený osmistěn, t {3,4} nebo , také nazývaný a potlačit osmistěn, jako s {3,4} nebo , a vidět v sloučenina dvou icosahedra.

Osm z vrcholů dvanáctistěny je sdíleno s krychlí. Dokončení všech orientací vede k směs pěti kostek.

Kombinatorické vlastnosti

Konvexní mnohostěn je platonická pevná látka právě tehdy

1. všechny jeho tváře jsou shodný konvexní pravidelné mnohoúhelníky,
2. žádná z jeho ploch se neprotíná, kromě jejich okrajů, a
3. u každé se setkává stejný počet tváří vrcholy.

Každé platonické těleso lze proto označit symbolem {p, q} kde

p je počet hran (nebo ekvivalentně vrcholů) každé plochy a

q je počet ploch (nebo ekvivalentně hran), které se setkávají v každém vrcholu.

Symbol {p, q}, nazvaný Schläfliho symbol, dává kombinační popis mnohostěnu. Schläfliho symboly pěti platónských pevných látek jsou uvedeny v tabulce níže.

Mnohostěn		Vrcholy	Hrany	Tváře	Schläfliho symbol	Konfigurace vrcholů
čtyřstěn		4	6	4	{3, 3}	3.3.3
krychle		8	12	6	{4, 3}	4.4.4
osmistěn		6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
dvanáctistěn		20	30	12	{5, 3}	5.5.5
dvacetistěnu		12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Jeden možný Hamiltonovský cyklus skrz každý vrchol a dvanáctistěn je zobrazen červeně - jako všechny platonické pevné látky, dodecahedron je Hamiltonian

Výše uvedené jako dvourozměrný rovinný graf

Všechny ostatní kombinatorické informace o těchto tělesech, například celkový počet vrcholů (PROTI), hrany (E) a tváře (F), lze určit z p a q. Protože libovolná hrana spojuje dva vrcholy a má dvě sousední plochy, musíme mít:

${displaystyle pF = 2E = qV.,}$

Další vztah mezi těmito hodnotami je dán vztahem Eulerův vzorec:

${displaystyle V-E + F = 2.,}$

To lze dokázat mnoha způsoby. Společně tyto tři vztahy zcela určují PROTI, E, a F:

${displaystyle V = {frac {4p} {4- (p-2) (q-2)}}, čtyřkolka E = {frac {2pq} {4- (p-2) (q-2)}}, čtyřkolka F = {frac {4q} {4- (p-2) (q-2)}}.}$

Výměna p a q výměny F a PROTI při odchodu E beze změny. Geometrický výklad této vlastnosti viz § Duální mnohostěn níže.

Jako konfigurace

Prvky mnohostěnů lze vyjádřit v a konfigurační matice. Řádky a sloupce odpovídají vrcholům, hranám a plochám. Diagonální čísla udávají, kolik z každého prvku se vyskytuje v celém mnohostěnu. Nediagonální čísla udávají, kolik prvků sloupce se vyskytuje v prvku řádku nebo na něm. Duální páry mnohostěnů mají své konfigurační matice otočené o 180 stupňů od sebe.^[6]

Klasifikace

Klasickým výsledkem je, že existuje pouze pět konvexních pravidelných mnohostěnů. Dva běžné argumenty níže ukazují, že nemůže existovat více než pět platonických pevných látek, ale pozitivní demonstrace existence kterékoli dané pevné látky je samostatná otázka - ta vyžaduje explicitní konstrukci.

Geometrický důkaz

Polygonové sítě kolem vrcholu

{3,3} Vada 180 °	{3,4} Vada 120 °	{3,5} Vada 60 °	{3,6} Defekt 0 °
{4,3} Vada 90 °	{4,4} Defekt 0 °	{5,3} Defekt 36 °	{6,3} Defekt 0 °
Vrchol potřebuje alespoň 3 tváře a defekt úhlu. Porucha úhlu 0 ° vyplní euklidovskou rovinu pravidelným obkladem. Podle Descartova věta, počet vrcholů je 720 ° /přeběhnout.

Následující geometrický argument je velmi podobný argumentu danému Euklid v Elementy:

1. Každý vrchol tělesa musí být vrcholem alespoň pro tři tváře.
2. V každém vrcholu tělesa musí být součet úhlů mezi sousedními plochami mezi jejich sousedními stranami menší než 360 °. Množství menší než 360 ° se nazývá defekt úhlu.
3. Úhly na všech vrcholech všech ploch platonického tělesa jsou totožné: každý vrchol každé plochy musí přispívat méně než 360°/3 = 120°.
4. Pravidelné mnohoúhelníky šest nebo více stran má pouze úhly 120 ° nebo více, takže společnou plochou musí být trojúhelník, čtverec nebo pětiúhelník. U těchto různých tvarů tváří platí následující:
   • Trojúhelníkový tváře: Každý vrchol pravidelného trojúhelníku je 60 °, takže tvar může mít 3, 4 nebo 5 trojúhelníků, které se setkávají na vrcholu; jedná se o čtyřstěn, osmistěn a dvacetistěn.
   • Náměstí tváře: Každý vrchol čtverce je 90 °, takže je možné pouze jedno uspořádání se třemi plochami na vrcholu, krychli.
   • Pětiúhelníkový tváře: Každý vrchol je 108 °; opět je možné pouze jedno uspořádání tří tváří ve vrcholu, dvanáctistěn.

Dohromady to umožňuje 5 možných platonických pevných látek.

Topologický důkaz

Čistě topologické důkaz lze provést pouze za použití kombinatorických informací o pevných látkách. Klíč je Eulerovo pozorování že PROTI − E + F = 2, a skutečnost, že pF = 2E = qV, kde p znamená počet okrajů každé plochy a q pro počet hran, které se setkávají v každém vrcholu. Kombinací těchto rovnic získáme rovnici

${displaystyle {frac {2E} {q}} - E + {frac {2E} {p}} = 2.}$

Jednoduchá algebraická manipulace pak dává

${displaystyle {1 over q} + {1 over p} = {1 over 2} + {1 over E}.}$

Od té doby E je přísně pozitivní, co musíme mít

${displaystyle {frac {1} {q}} + {frac {1} {p}}> {frac {1} {2}}.}$

S využitím toho, že p a q musí být oba alespoň 3, lze snadno vidět, že pro {existuje pouze pět možnostíp, q}:

{3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.

Geometrické vlastnosti

Úhly

Existuje celá řada úhly spojené s každým platonickým tělesem. The vzepětí úhel je vnitřní úhel mezi dvěma rovinami obličeje. Úhel vzepětí, θ, pevné látky {p,q} je dáno vzorcem

${displaystyle sin {heta over 2} = {frac {cos left ({frac {pi} {q}} ight)} {sin left ({frac {pi} {p}} ight)}}.}$

Toto je někdy výhodněji vyjádřeno v podmínkách tečna podle

${displaystyle an {heta over 2} = {frac {cos left ({frac {pi} {q}} ight)} {sin left ({frac {pi} {h}} ight)}}.}$

Množství h (volal Číslo coxeteru ) je 4, 6, 6, 10 a 10 pro čtyřstěn, krychli, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěnu.

The úhlový nedostatek na vrcholu mnohostěn je rozdíl mezi součtem úhlů obličeje v tomto vrcholu a 2π. Vada, δ, na kterémkoli vrcholu platonických těles {p,q} je

${displaystyle delta = 2pi -qpi left (1- {2 over p} ight).}$

Podle Descartovy věty se to rovná 4π děleno počtem vrcholů (tj. celková vada u všech vrcholů je 4π).

Trojrozměrný analog rovinného úhlu je a plný úhel. Plný úhel, Ω, na vrcholu platonického tělesa je dáno, pokud jde o úhel vzepětí

${displaystyle Omega = q heta - (q-2) pi.,}$

To vyplývá z sférický přebytek vzorec pro a sférický mnohoúhelník a skutečnost, že vrchol obrázek mnohostěnu {p,q} je pravidelný q-gon.

Objemový úhel obličeje podřízeného od středu platonického tělesa se rovná objemovému úhlu plné koule (4π steradians) děleno počtem tváří. To se rovná úhlovému deficitu jeho duálu.

Níže jsou uvedeny různé úhly spojené s platonickými tělesy. Číselné hodnoty objemových úhlů jsou uvedeny v steradians. Konstanta φ = 1 + √5/2 je Zlatý řez.

Mnohostěn	Dihedrální úhel (θ)	opáleníθ/2	Přeběhnout (δ)	Vrchol plný úhel (Ω)	Tvář plný úhel
čtyřstěn	70.53°	${displaystyle 1 nad {sqrt {2}}}$	${displaystyle pi}$	${displaystyle cos ^ {- 1} left ({frac {23} {27}} ight) quad cca 0,551286}$	${displaystyle pi}$
krychle	90°	${displaystyle 1}$	${displaystyle pi over 2}$	${displaystyle {frac {pi} {2}} čtyřkolka přibližně 1,57080}$	${displaystyle 2pi nad 3}$
osmistěn	109.47°	${displaystyle {sqrt {2}}}$	${displaystyle {2pi} nad 3}$	${displaystyle 4sin ^ {- 1} vlevo ({1 více než 3} v noci) čtyřkolka přibližně 1,35935}$	${displaystyle pi over 2}$
dvanáctistěn	116.57°	${displaystyle varphi}$	${displaystyle pi over 5}$	${displaystyle pi - an ^ {- 1} left ({frac {2} {11}} ight) quad cca 2,96174}$	${displaystyle pi over 3}$
dvacetistěnu	138.19°	${displaystyle varphi ^ {2}}$	${displaystyle pi over 3}$	${displaystyle 2pi -5sin ^ {- 1} vlevo ({2 za 3} ight) čtyřkolka přibližně 2,63455}$	${displaystyle pi over 5}$

Poloměry, plocha a objem

Další ctností pravidelnosti je, že platonické pevné látky mají všechny tři soustředné sféry:

• the ohraničená koule který prochází všemi vrcholy,
• the midsphere to je tečna ke každému okraji ve středu okraje a
• the vepsaná koule to je tečna ke každému obličeji ve středu obličeje.

The poloměry těchto sfér se nazývá circumradius, midradiusa inradius. Jedná se o vzdálenosti od středu mnohostěnu k vrcholům, středovým bodům okrajů a středům obličejů. Cirkumradius R a inradius r pevné látky {p, q} s délkou hrany A jsou dány

${displaystyle R = left ({a over 2} ight) an {frac {pi} {q}} an {frac {heta} {2}}}$

${displaystyle r = left ({a over 2} ight) cot {frac {pi} {p}} an {frac {heta} {2}}}$

kde θ je úhel vzepětí. Midradius ρ darováno

${displaystyle ho = left ({a over 2} ight) {frac {cos left ({frac {pi} {p}} ight)} {sin left ({frac {pi} {h}} ight)}}}$

kde h je veličina použitá výše v definici vzepětí (h = 4, 6, 6, 10 nebo 10). Poměr circumradius k inradius je symetrický v p a q:

${displaystyle {R over r} = an {frac {pi} {p}} an {frac {pi} {q}} = {frac {sqrt {{sin ^ {- 2} {left ({frac {heta} { 2}} ight)}} - {cos ^ {2} {left ({frac {alpha} {2}} ight)}}}} {sin {left ({frac {alpha} {2}} ight)}} }.}$

The plocha povrchu, A, z platonického tělesa {p, q} lze snadno vypočítat jako oblast obyčejného p-x krát počet tváří F. Tohle je:

${displaystyle A = left ({a over 2} ight) ^ {2} Fpcot {frac {pi} {p}}.}$

The objem se počítá jako F násobek objemu pyramida jehož základna je pravidelná p-gon a jehož výška je inradius r. To znamená

${displaystyle V = {frac {1} {3}} rA.}$

V následující tabulce jsou uvedeny různé poloměry platonických těles spolu s jejich povrchovou plochou a objemem. Celková velikost je stanovena délkou hrany, Ase bude rovnat 2.

Mnohostěn (A = 2)	Inradius (r)	Midradius (ρ)	Circumradius (R)	Plocha povrchu (A)	Objem (PROTI)	Objem (hrany jednotek)
čtyřstěn	${displaystyle 1 nad {sqrt {6}}}$	${displaystyle 1 nad {sqrt {2}}}$	${displaystyle {sqrt {3 nad 2}}}$	${displaystyle 4 {sqrt {3}}}$	${displaystyle {frac {sqrt {8}} {3}} přibližně 0,942809}$	${displaystyle cca 0,117851}$
krychle	${displaystyle 1,}$	${displaystyle {sqrt {2}}}$	${displaystyle {sqrt {3}}}$	${displaystyle 24,}$	${displaystyle 8,}$	${displaystyle 1,}$
osmistěn	${displaystyle {sqrt {2 nad 3}}}$	${displaystyle 1,}$	${displaystyle {sqrt {2}}}$	${displaystyle 8 {sqrt {3}}}$	${displaystyle {frac {sqrt {128}} {3}} přibližně 3,771236}$	${displaystyle cca 0,471404}$
dvanáctistěn	${displaystyle {frac {varphi ^ {2}} {xi}}}$	${displaystyle varphi ^ {2}}$	${displaystyle {sqrt {3}}, varphi}$	${displaystyle 12 {sqrt {25 + 10 {sqrt {5}}}}}$	${displaystyle {frac {20varphi ^ {3}} {xi ^ {2}}} přibližně 61,304952}$	${displaystyle cca 7,663 319}$
dvacetistěnu	${displaystyle {frac {varphi ^ {2}} {sqrt {3}}}}$	${displaystyle varphi}$	${displaystyle xi varphi}$	${displaystyle 20 {sqrt {3}}}$	${displaystyle {frac {20varphi ^ {2}} {3}} přibližně 17,453560}$	${displaystyle cca 2,181695}$

Konstanty φ a ξ ve výše uvedeném jsou dány

${displaystyle varphi = 2cos {pi over 5} = {frac {1+ {sqrt {5}}} {2}} qquad xi = 2sin {pi over 5} = {sqrt {frac {5- {sqrt {5}} } {2}}} = 5 ^ {frac {1} {4}} varphi ^ {- {frac {1} {2}}}.}$

Mezi platonickými pevnými látkami lze jako nejlepší přiblížení ke kouli považovat buď dvanáctistěn nebo dvacetistěn. Dvacetistěn má největší počet tváří a největší úhel vzepětí, nejpevněji obejme svou vepsanou kouli a jeho poměr povrchu k objemu je nejblíže sféře stejné velikosti (tj. Buď stejného povrchu nebo stejný objem.) Dodekahedron má naproti tomu nejmenší úhlovou vadu, největší vrcholový plný úhel a nejvíce vyplňuje svoji ohraničenou sféru.

Bod ve vesmíru

Pro libovolný bod v prostoru platonického tělesa s poloměrem ${displaystyle R}$, jehož vzdálenosti k těžišti platonického tělesa a jeho ${displaystyle n}$ vrcholy jsou ${displaystyle L}$ a ${displaystyle d_ {i}}$ respektive a

${displaystyle S _ {[n]} ^ {(2m)} = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m}}$,

my máme^[7]

${displaystyle S _ {[4]} ^ {(2)} = S _ {[6]} ^ {(2)} = S _ {[8]} ^ {(2)} = S _ {[12]} ^ {( 2)} = S _ {[20]} ^ {(2)} = R ^ {2} + L ^ {2},}$

${displaystyle S _ {[4]} ^ {(4)} = S _ {[6]} ^ {(4)} = S _ {[8]} ^ {(4)} = S _ {[12]} ^ {( 4)} = S _ {[20]} ^ {(4)} = (R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {2} + {frac {4} {3}} R ^ {2} L ^ {2},}$

${displaystyle S _ {[6]} ^ {(6)} = S _ {[8]} ^ {(6)} = S _ {[12]} ^ {(6)} = S _ {[20]} ^ {( 6)} = (R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {3} + 4R ^ {2} L ^ {2} (R ^ {2} + L ^ {2}),}$

${displaystyle S _ {[12]} ^ {(8)} = S _ {[20]} ^ {(8)} = (R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {4} + 8R ^ {2 } L ^ {2} (R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {2} + {frac {16} {5}} R ^ {4} L ^ {4},}$

${displaystyle S _ {[12]} ^ {(10)} = S _ {[20]} ^ {(10)} = (R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {5} + {frac {40 } {3}} R ^ {2} L ^ {2} (R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {3} + 16R ^ {4} L ^ {4} (R ^ {2} + L ^ {2}).}$

Pro všech pět platonických pevných látek máme ^[7]

${displaystyle S _ {[n]} ^ {(4)} + {frac {16} {9}} R ^ {4} = (S _ {[n]} ^ {(2)} + {frac {2} { 3}} R ^ {2}) ^ {2}.}$

Li ${displaystyle d_ {i}}$ jsou vzdálenosti od ${displaystyle n}$ vrcholy platonického tělesa do libovolného bodu na jeho opsané kouli ^[7]

${displaystyle 4 (sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2}) ^ {2} = 3nsum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {4}.}$

Rupertova vlastnost

Mnohostěn P se říká, že má Rupert vlastnost, pokud je mnohostěn stejné nebo větší velikosti a stejného tvaru jako P může projít dírou dovnitř P.^[8]Všech pět platónských pevných látek má tuto vlastnost.^[8][9][10]

Symetrie

Duální mnohostěn

Duální sloučeniny

Každý mnohostěn má duální (neboli „polární“) mnohostěn se zaměněnými plochami a vrcholy. Duál každého platonického tělesa je dalším platonickým tělesem, takže můžeme uspořádat pět těles do dvojic.

• Čtyřstěn je self-dual (tj. jeho duální je další čtyřstěn).
• Krychle a osmistěn tvoří dvojici.
• Dvanáctistěn a dvacetistěn tvoří dvojici.

Pokud má mnohostěn Schläfliho symbol {p, q}, pak má jeho duální symbol {q, p}. Ve skutečnosti lze každou kombinatorickou vlastnost jedné platonické pevné látky interpretovat jako další kombinatorickou vlastnost duálu.

Jeden lze postavit duální mnohostěn tak, že vrcholy duálního jsou středy tváří původní postavy. Spojení středů sousedních ploch v originálu tvoří okraje duální a tím zamění počet ploch a vrcholů při zachování počtu okrajů.

Obecněji lze platonické těleso zdvojnásobit s ohledem na kouli o poloměru d soustředně s pevnou látkou. Poloměry (R, ρ, r) pevné látky a látky její dvojí (R*, ρ*, r*) souvisí s

${displaystyle d ^ {2} = R ^ {ast} r = r ^ {ast} R = ho ^ {ast} ho.}$

Dualizace s ohledem na střední sféru (d = ρ) je často výhodné, protože střední sféra má stejný vztah k oběma mnohostěnům. Brát d² = Rr získá dvojitou pevnou látku se stejným obvodem a poloměrem (tj. R* = R a r* = r).

Skupiny symetrie

V matematice je pojem symetrie je studován s představou a matematická skupina. Každý mnohostěn má přidružené skupina symetrie, což je množina všech transformací (Euklidovské izometrie ) které ponechávají mnohostěn neměnný. The objednat skupiny symetrie je počet symetrií mnohostěnu. Jeden často rozlišuje mezi skupina plné symetrie, který zahrnuje odrazy a správná skupina symetrie, který zahrnuje pouze rotace.

Skupiny symetrie platonických těles jsou zvláštní třídou trojrozměrné skupiny bodů známý jako polyedrické skupiny. Vysoký stupeň symetrie platonických pevných látek lze interpretovat mnoha způsoby. Nejdůležitější je, že vrcholy každé tělesa jsou ekvivalentní pod akce skupiny symetrie, stejně jako hrany a plochy. Jeden říká, že akce skupiny symetrie je tranzitivní na vrcholech, hranách a plochách. Ve skutečnosti je to další způsob, jak definovat pravidelnost mnohostěnu: mnohostěn je pravidelný právě když je vrcholová uniforma, okrajová uniforma, a uniforma tváře.

S platónskými pevnými látkami jsou spojeny pouze tři skupiny symetrie spíše než pět, protože skupina symetrie jakéhokoli mnohostěnu se shoduje se skupinou jeho duálního. To lze snadno zjistit zkoumáním konstrukce dvojitého mnohostěnu. Jakákoli symetrie originálu musí být symetrií duálu a naopak. Tři polyedrické skupiny jsou:

• the čtyřboká skupina T,
• the oktaedrická skupina Ó (což je také skupina symetrie krychle) a
• the ikosahedrální skupina Já (což je také skupina symetrie dvanáctistěnu).

Pořadí řádných (rotačních) skupin je 12, 24 a 60 - přesně dvojnásobný počet hran v příslušných mnohostěnech. Pořadí skupin plné symetrie je opět dvakrát tolik (24, 48 a 120). Pro odvození těchto skutečností viz (Coxeter 1973). Všechny platonické pevné látky kromě čtyřstěnu jsou centrálně symetrický, což znamená, že jsou zachovány pod odraz skrz původ.

V následující tabulce jsou uvedeny různé vlastnosti symetrie platonických těles. Uvedené skupiny symetrie jsou úplné skupiny s podskupinami rotace uvedenými v závorkách (obdobně pro počet symetrií). Wythoffova konstrukce kaleidoskopu je metoda pro konstrukci mnohostěnů přímo z jejich skupin symetrie. Jsou uvedeny jako reference pro Wythoffův symbol pro každou platonickou pevnou látku.

Mnohostěn	Schläfli symbol	Wythoff symbol	Dvojí mnohostěn	Skupina symetrie (Odraz, rotace)
				Polyhedrální	Schön.	Kormidelník.	Koule.	Objednat
čtyřstěn	{3, 3}	3 | 2 3	čtyřstěn	Čtyřboká	Td T	[3,3] [3,3]+	*332 332	24 12
krychle	{4, 3}	3 | 2 4	osmistěn	Osmistěn	Óh Ó	[4,3] [4,3]+	*432 432	48 24
osmistěn	{3, 4}	4 | 2 3	krychle
dvanáctistěn	{5, 3}	3 | 2 5	dvacetistěnu	Icosahedral	Jáh Já	[5,3] [5,3]+	*532 532	120 60
dvacetistěnu	{3, 5}	5 | 2 3	dvanáctistěn

V přírodě a technologii

Čtyřstěn, krychle a osmistěn se přirozeně vyskytují v krystalové struktury. V žádném případě nevyčerpávají počet možných forem krystalů. Mezi nimi však není ani pravidelný dvacetistěn, ani pravidelný dvanáctistěn. Jedna z forem, nazývaná pyritohedron (pojmenovaný pro skupinu minerály z nichž je to typické) má dvanáct pětiúhelníkových ploch, uspořádaných do stejného vzoru jako tváře pravidelného dvanáctistěnu. Tváře pyritohedronu však nejsou pravidelné, takže pyritohedron také není pravidelný. Allotropy boru a mnoho sloučeniny boru, jako karbid boru, zahrnují diskrétní B₁₂ icosahedra v jejich krystalových strukturách. Karboranové kyseliny také mají molekulární struktury přibližující se pravidelné dvacetistěně.

Circogonia icosahedra, druh radiolaria, ve tvaru a pravidelný dvacetistěn.

Na počátku 20. století Ernst Haeckel popsal (Haeckel, 1904) řadu druhů Radiolaria, z nichž některé kostry mají tvar různých pravidelných mnohostěnů. Mezi příklady patří Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometus a Circorrhegma dodecahedra. Tvary těchto tvorů by měly být zřejmé z jejich jmen.

Mnoho viry, tak jako opar virus, mají tvar pravidelného dvacetistěnu. Virové struktury jsou postaveny z opakovaných identických protein podjednotky a dvacetistěn je nejjednodušší tvar sestavit pomocí těchto podjednotek. Používá se běžný mnohostěn, protože může být sestaven z jedné základní jednotkové bílkoviny používané znovu a znovu; to šetří místo ve viru genom.

v meteorologie a klimatologie, globální numerické modely atmosférického proudění mají stále větší zájem, který používají geodetické sítě které jsou založeny na dvacetistěnu (rafinovaný triangulace ) namísto běžněji používaných zeměpisná délka /zeměpisná šířka mřížka. To má výhodu rovnoměrně rozloženého prostorového rozlišení bez singularity (tj. póly) na úkor poněkud větší numerické obtížnosti.

Geometrie vesmírné rámy je často založen na platonických pevných látkách. V systému MERO se platonické pevné látky používají pro pojmenování různých konfigurací prostorových rámců. Například, 1/2O + T označuje konfiguraci vytvořenou z jedné poloviny osmistěnu a čtyřstěnu.

Několik Platonické uhlovodíky byly syntetizovány, včetně kubánský a dodekahedran.

• 

  Čtyřstěn

• 

  Kubánský

• 

  Dodecahedrane

Platonické pevné látky se často používají k výrobě kostky, protože kostky těchto tvarů lze vyrobit veletrh. Šestistranné kostky jsou velmi běžné, ale ostatní čísla se běžně používají v hry na hrdiny. Takové kostky se běžně označují jako dn kde n je počet tváří (d8, d20 atd.); vidět kostková notace Více podrobností.

Sada mnohostěnných kostek.

Tyto tvary se často objevují v jiných hrách nebo hlavolamech. Hádanky podobné a Rubikova kostka přicházejí ve všech pěti tvarech - viz magická mnohostěna.

Tekuté krystaly se symetrií platonických pevných látek

Pro mezilehlou fázi materiálu tzv tekuté krystaly, existenci takových symetrií poprvé navrhl v roce 1981 H. Kleinert a K. Maki.^[11][12]V hliníku byla ikosaedrální struktura objevena tři roky poté Dan Shechtman, což mu vyneslo Nobelova cena za chemii v roce 2011.

Související mnohostěny a mnohostěny

Jednotná mnohostěna

Existují čtyři pravidelné mnohostěny, které nejsou konvexní, tzv Kepler – Poinsotův mnohostěn. Všechny tyto mají ikosahedrální symetrie a lze je získat jako stellations dvanáctistěnu a dvacetistěnu.

cuboctahedron

icosidodecahedron

Další nejpravidelnější konvexní mnohostěny po platonických tělesech jsou cuboctahedron, což je náprava krychle a osmistěnu a icosidodecahedron, což je oprava dvanáctistěnu a dvacetistěnu (oprava dvojitého čtyřstěnu je pravidelný osmistěn). To jsou oba kvazi pravidelný, což znamená, že jsou vrcholově a okrajově uniformní a mají pravidelné tváře, ale tváře nejsou všechny shodné (přicházejí ve dvou různých třídách). Tvoří dva ze třinácti Archimédovy pevné látky, které jsou konvexní jednotná mnohostěna s mnohostěnnou symetrií. Jejich duály, kosočtverečný dvanáctistěn a kosočtverečný triacontahedron, jsou hranové a obličejové, ale jejich tváře nejsou pravidelné a jejich vrcholy jsou dva typy; jsou dva ze třinácti Katalánština pevné látky.

Jednotná mnohostěna tvoří mnohem širší třídu mnohostěnů. Tyto údaje jsou vrcholně uniformní a mají jeden nebo více typů pravidelný nebo hvězdné polygony pro tváře. Patří mezi ně všechny výše uvedené mnohostěny spolu s nekonečnou sadou hranoly, nekonečná sada antiprismy a 53 dalších nekonvexních forem.

The Johnson pevné látky jsou konvexní mnohostěny, které mají pravidelné plochy, ale nejsou jednotné. Mezi nimi je pět z osmi konvexních deltahedra, které mají stejné pravidelné plochy (všechny rovnostranné trojúhelníky), ale nejsou jednotné. (Další tři konvexní deltahedry jsou platonický čtyřstěn, osmistěn a dvacetistěn.)

Pravidelné mozaikování

Pravidelné sférické náklony

Platonické obklady
{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Pravidelné vzepětí
{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}...
Pravidelné hosohedrální obklady
{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}...

Strom pravidelné mozaikování roviny úzce souvisí s platonickými tělesy. Ve skutečnosti lze platonické pevné látky považovat za pravidelné mozaikování koule. To se provádí promítáním každé pevné látky na soustřednou sféru. Tváře se promítají do pravidelných sférické polygony které přesně pokrývají kouli. Sférické naklápění poskytují dvě nekonečné další sady pravidelných naklonění, hosohedra, {2,n} se 2 vrcholy u pólů a lune tváře a dvojí dihedra, {n, 2} se 2 hemisférickými plochami a pravidelně rozmístěnými vrcholy na rovníku. Takové teselace by se ve skutečném 3D prostoru zvrhly jako mnohostěny.

Lze ukázat, že každá pravidelná mozaikování koule se vyznačuje dvojicí celých čísel {p, q} s 1/p + 1/q > 1/2. Rovněž pravidelná mozaikování roviny je charakterizováno podmínkou 1/p + 1/q = 1/2. Existují tři možnosti:

Tři pravidelné náklony euklidovské roviny

{4, 4}	{3, 6}	{6, 3}

Podobným způsobem lze uvažovat o pravidelných mozaikování hyperbolická rovina. Ty se vyznačují stavem 1/p + 1/q < 1/2. Takových mozaikování je nekonečná rodina.

Příklad pravidelného náklonu hyperbolické roviny

{5, 4}	{4, 5}	{7, 3}	{3, 7}

Vyšší rozměry

Ve více než třech dimenzích se mnohostěn zobecňuje na polytopes, s konvexní vyšší dimenzí běžné polytopy jsou ekvivalenty trojrozměrných platonických pevných látek.

V polovině 19. století švýcarský matematik Ludwig Schläfli objevil čtyřrozměrné analogy platonických pevných látek, tzv konvexní pravidelné 4-polytopy. Těchto čísel je přesně šest; pět je analogických platonickým pevným látkám 5článková jako {3,3,3}, 16 buněk jako {3,3,4}, 600 buněk jako {3,3,5}, tesseract jako {4,3,3} a 120 buněk jako {5,3,3} a šestý, sebe-dual 24článková, {3,4,3}.

Ve všech dimenzích vyšších než čtyři existují pouze tři konvexní pravidelné polytopy: simplexní jako {3,3, ..., 3} hyperkrychle jako {4,3, ..., 3} a křížový mnohostěn jako {3,3, ..., 4}.^[13] Ve třech dimenzích se shodují se čtyřstěnem jako {3,3}, krychlí jako {4,3} a osmistěnem jako {3,4}.

Viz také

Reference

Zdroje

• Atiyah, Michael; Sutcliffe, Paul (2003). "Mnohostěn ve fyzice, chemii a geometrii". Milan J. Math. 71: 33–58. arXiv:math-ph / 0303071. doi:10.1007 / s00032-003-0014-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Boyer, Carl; Merzbach, Uta (1989). Dějiny matematiky (2. vyd.). Wiley. ISBN  0-471-54397-7.
• Coxeter, H. S. M. (1973). Pravidelné Polytopes (3. vyd.). New York: Dover Publications. ISBN  0-486-61480-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Euklid (1956). Heath, Thomas L. (vyd.). Třináct knih Euklidových prvků, knihy 10–13 (2. unabr. Ed.). New York: Dover Publications. ISBN  0-486-60090-4.
• Gardner, Martin (1987). 2. Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions, University of Chicago Press, Kapitola 1: Pět platonických těles, ISBN  0226282538
• Haeckel, Ernst E. (1904). Kunstformen der Natur. Dostupné jako Haeckel, E. (1998); Umělecké formy v přírodě, Prestel USA. ISBN  3-7913-1990-6.
• Kepler. Johannes Strena seu de nive sexangula (Na sněhové vločce šestihranné)Papír Keplera z roku 1611, který pojednával o příčině šestiúhelníkového tvaru sněhových krystalů a o formách a symetriích v přírodě. Hovoří o platonických pevných látkách.
• Kleinert, Hagen & Maki, K. (1981). „Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals“ (PDF). Fortschritte der Physik. 29 (5): 219–259. Bibcode:1981ForPh..29..219K. doi:10.1002 / prop.19810290503.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lloyd, David Robert (2012). „Kolik let jsou platonické tělesa?“. Bulletin BSHM: Journal of the British Society for the History of Mathematics. 27 (3): 131–140. doi:10.1080/17498430.2012.670845.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Pugh, Anthony (1976). Mnohostěn: Vizuální přístup. Kalifornie: University of California Press Berkeley. ISBN  0-520-03056-7.
• Weyl, Hermann (1952). Symetrie. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN  0-691-02374-3.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Wildberg, Christian (1988). Kritika Johna Philopona z Aristotelovy teorie éteru. Walter de Gruyter. str. 11–12. ISBN  9783110104462

externí odkazy

Tento článek je Použití externí odkazy nemusí dodržovat zásady nebo pokyny Wikipedie. Prosím vylepšit tento článek odstraněním nadměrný nebo nemístný externí odkazy a případně převedení užitečných odkazů na odkazy pod čarou. (Prosinec 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Platonické pevné látky na Encyclopaedia of Mathematics
• Weisstein, Eric W. "Platonická pevná látka". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Isohedron". MathWorld.
• Kniha XIII Euklidových Elementy.
• Interaktivní 3D mnohostěn v Javě
• Platonické pevné látky ve Vizuální mnohostěně
• Prohlížeč pevných těles je interaktivní 3D prohlížeč mnohostěnů, který umožňuje uložit model ve formátu svg, stl nebo obj.
• Interaktivní skládání / rozkládání platonických těles v Javě
• Papírové modely platonických pevných látek vytvořeno pomocí sítí vygenerovaných Stella software
• Platonické pevné látky Zdarma papírové modely (sítě)
• Špína, James; Steckles, Katie. "Platonické pevné látky". Numberphile. Brady Haran.
• Výuka matematiky s uměním studentem vytvořené modely
• Výuka matematiky s uměním pokyny pro učitele pro výrobu modelů
• Rámečky platonických těles obrázky algebraické povrchy
• Platonické pevné látky s nějakým derivace vzorce
• Jak vyrobit čtyři platonické pevné látky z krychle