Dodecadodecahedron - Dodecadodecahedron

Dodecadodecahedron
Typ	Jednotný hvězdný mnohostěn
Elementy	F = 24, E = 60 PROTI = 30 (χ = −6)
Tváře po stranách	12{5}+12{5/2}
Wythoffův symbol	2 | 5 5/2 2 | 5 5/3 2 | 5/2 5/4 2 | 5/3 5/4
Skupina symetrie	Jáh, [5,3], *532
Odkazy na rejstřík	U36, C45, Ž73
Duální mnohostěn	Mediální kosočtverečný triacontahedron
Vrcholová postava	5.5/2.5.5/2
Zkratka Bowers	Dělal

3D model dodecadodecahedron

v geometrie, dodecadodecahedron je nekonvexní jednotný mnohostěn, indexováno jako U₃₆.^[1] To je náprava z velký dvanáctistěn (a to jeho duální, malý hvězdný dvanáctistěn ). To bylo objeveno nezávisle na Hesse  (1878 ), Badoureau (1881 ) a Pitsch (1882 ).

Okraje tohoto modelu tvoří 10 uprostřed šestiúhelníky, a tyto, promítané do a koule, stát se 10 velké kruhy. Těchto 10 spolu s velkými kruhy z projekcí dvou dalších mnohostěnů tvoří 31 velkých kruhů sférického dvacetistěnu použitý při stavbě geodetické kopule.

Wythoffovy konstrukce

Má čtyři Wythoffovy konstrukce mezi čtyřmi Schwarzův trojúhelník rodiny: 2 | 5 5/2, 2 | 5 5/3, 2 | 5/2 5/4, 2 | 5/3 5/4, ale představují shodné výsledky. Podobně to může být dáno čtyři prodloužené Schläfliho symboly: r {5 / 2,5}, r {5 / 3,5}, r {5 / 2,5 / 4} a r {5 / 3,5 / 4} nebo jako Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy: , , , a .

Síť

Tvar se stejným vnějším vzhledem jako dodecadodecahedron lze sestavit složením těchto sítí:

12 pentagramů a 20 kosočtverečný klastry jsou nutné. Tato konstrukce však nahrazuje křížení pětiúhelníkových ploch dodecadodecahedronu nepřekračujícími sadami kosočtverců, takže neprodukuje stejnou vnitřní strukturu.

Související mnohostěn

Své konvexní obal je icosidodecahedron. Sdílí také své uspořádání hran s malý dodecahemicosahedron (společné s pentagramovými tvářemi) a s velký dodecahemicosahedron (společné pětiúhelníkové tváře).

Dodecadodecahedron	Malý dodecahemicosahedron
Velký dodecahemicosahedron	Icosidodecahedron (konvexní obal )

Animovaná zkrácená sekvence od {5/2, 5} do {5, 5/2}

Tento mnohostěn lze považovat za opraveno velký dvanáctistěn. Je centrem zkrácené sekvence mezi a malý hvězdný dvanáctistěn a velký dvanáctistěn:

The zkrácen malý hvězdný dvanáctistěn vypadá jako dvanáctistěn na povrchu, ale má 24 tváří: 12 pětiúhelníky ze zkrácených vrcholů a 12 překrývajících se jako (zkrácené pentagramy). Samotné zkrácení dodecadodecahedronu není jednotné a pokus o jeho jednotu vede k a degenerovat mnohostěn (to vypadá jako malý kosočtverec s polygony {10/2} vyplňujícími dvanáctistěnnou sadu děr), ale má jednotnou quasitruncation, zkrácený dodecadodecahedron.

název	Malý hvězdný dvanáctistěn	Zkrácený malý hvězdný dodekahedron	Dodecadodecahedron	Zkráceno skvělý dvanáctistěn	Skvělý dvanáctistěn
Coxeter-Dynkin diagram
Obrázek

Je to topologicky ekvivalentní a kvocientový prostor z hyperbolický objednávka 4 pětiúhelníkové obklady, zkreslením pentagramy zpět do normálu pětiúhelníky. Jako takový je topologicky a pravidelný mnohostěn indexu dva:^[2][3]

Barvy na obrázku výše odpovídají červeným pentagramům a žlutým pětiúhelníkům dodecadodecahedron v horní části tohoto článku.

Mediální kosočtverečný triacontahedron

Mediální kosočtverečný triacontahedron
Typ	Hvězdný mnohostěn
Tvář
Elementy	F = 30, E = 60 PROTI = 24 (χ = −6)
Skupina symetrie	Jáh, [5,3], *532
Odkazy na rejstřík	DU36
duální mnohostěn	Dodecadodecahedron

The mediální kosočtverečný triacontahedron je nekonvexní isohedrální mnohostěn. To je dvojí dodecadodecahedron. Má 30 protínajících se kosočtverečný tváře.

Může se také nazývat malý stialovaný triacontahedron.

Stelace

The mediální kosočtverečný triacontahedron je stellation z kosočtverečný triacontahedron, což je duál icosidodecahedronu, konvexní trup dodecadodecahedronu (duální k původnímu mediálnímu kosočtverečnému triacontahedronu).

Související hyperbolické obklady

Je to topologicky ekvivalentní kvocientovému prostoru hyperbolický objednávka-5 čtvercových obkladů, zkreslením kosočtverců do čtverce. Jako takový je topologicky a pravidelný mnohostěn indexu dva:^[4]

Všimněte si, že čtvercový obklad řádu 5 je duální oproti objednávka 4 pětiúhelníkové obklady a kvocientový prostor pětiúhelníkového obkladu řádu 4 je topologicky ekvivalentní s duálním mediálním kosočtverečným triacontahedronem, dodecadodecahedronem.

Viz také

• Seznam jednotných mnohostěnů

Reference

• Badoureau (1881), „Mémoire sur les figures isoscèles“, Journal de l'École Polytechnique, 49: 47–172
• Hess, Edmund (1878), Vier archimedeische Polyeder höherer ArtCassel. Čt. Kay, JFM  10.0346.03
• Pitsch (1882), "Über halbreguläre Sternpolyheder", Zeitschrift für das Realschulwesen, 7, JFM  14.0448.01
• Wenninger, Magnus (1983), Duální modely, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511569371, ISBN  978-0-521-54325-5, PAN  0730208

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Dodecadodecahedron“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Mediální kosočtverec Triacontahedron". MathWorld.
• Jednotná mnohostěna a duály