Polytopová směs - Polytope compound

A polyedrická sloučenina je postava, která se skládá z několika mnohostěnů sdílejících a společné centrum. Jsou to trojrozměrné analogy polygonální sloučeniny tak jako hexagram.

Vnější vrcholy sloučeniny lze spojit za vzniku a konvexní mnohostěn volal jeho konvexní obal. Sloučenina je a fazetování jeho konvexního trupu.

Další konvexní mnohostěn je tvořen malým centrálním prostorem běžný všem členům sloučeniny. Tento mnohostěn lze použít jako jádro pro sadu stellations.

Pravidelné sloučeniny

Pravidelná mnohostěnná sloučenina může být definována jako sloučenina, která, jako běžný mnohostěn, je vrchol-tranzitivní, hrana tranzitivní, a tvář-tranzitivní. Existuje pět běžných sloučenin mnohostěnů:

Pravidelná směs (Symbol coxeteru)	Obrázek	Sférické	Konvexní obal	Společné jádro	Skupina symetrie	Podskupina omezující do jednoho složka	Dvojitá pravidelná sloučenina
Dva čtyřstěny {4,3}[2{3,3}]{3,4}			Krychle [1]	Octahedron	*432 [4,3] Óh	*332 [3,3] Td	Dva čtyřstěny
Pět čtyřstěnů {5,3}[5{3,3}]{3,5}			Dodecahedron [1]	Dvacetistěnu [1]	532 [5,3]+ Já	332 [3,3]+ T	Chirál dvojče (Enantiomorf)
Deset čtyřstěnů 2{5,3}[10{3,3}]2{3,5}			Dodecahedron [1]	Dvacetistěnu	*532 [5,3] Jáh	332 [3,3] T	Deset čtyřstěnů
Pět kostek 2{5,3}[5{4,3}]			Dodecahedron [1]	Kosočtverečný triacontahedron [1]	*532 [5,3] Jáh	3*2 [3,3] Th	Pět osmistěn
Pět osmistěn [5{3,4}]2{3,5}			Icosidodecahedron [1]	Dvacetistěnu [1]	*532 [5,3] Jáh	3*2 [3,3] Th	Pět kostek

Nejznámější je pravidelná sloučenina dvou čtyřstěn, často nazývaný stella octangula, jméno, které mu bylo přiděleno Kepler. Vrcholy dvou čtyřstěnů definují a krychle a průsečík těchto dvou definuje regulární osmistěn, který sdílí stejné roviny obličeje jako sloučenina. Sloučenina dvou čtyřstěnů je tedy a stellation osmistěnu a ve skutečnosti jeho jediná konečná stellace.

Pravidelný sloučenina pěti čtyřstěnů přichází ve dvou enantiomorfní verze, které dohromady tvoří běžnou sloučeninu deseti čtyřstěnů.^[1] Pravidelná sloučenina deseti čtyřstěn může být také sestrojena z pěti Stellae octangulae.^[1]

Každá z pravidelných čtyřboká sloučenin je duální nebo duální vůči svému chirálnímu dvojčeti; regulární sloučenina pěti kostek a regulární složka pěti oktaedrů jsou navzájem dvojí.

Pravidelné polyedrické sloučeniny lze tedy také považovat za duální pravidelné sloučeniny.

Coxeterova notace pro běžné sloučeniny je uvedena v tabulce výše, včetně Schläfliho symboly. Materiál uvnitř hranatých závorek, [d{p,q}], označuje složky sloučeniny: d oddělit {p,q}. Materiál před hranaté závorky označují vrcholové uspořádání sloučeniny: C{m,n}[d{p,q}] je sloučenina d {p,q} sdílí vrcholy {m,n} započítáno C krát. Materiál po hranaté závorky označují fazetové uspořádání sloučeniny: [d{p,q}]E{s,t} je sloučenina d {p,q} sdílí tváře uživatele {s,t} započítáno E krát. Mohou být kombinovány: tedy C{m,n}[d{p,q}]E{s,t} je sloučenina d {p,q} sdílí vrcholy {m,n} započítáno C krát a tváře {s,t} započítáno E krát. Tuto notaci lze zobecnit na sloučeniny v libovolném počtu rozměrů.^[2]

Duální sloučeniny

Zkrácený čtyřstěn (světlo) a triakis čtyřstěn (temný)

Snub kostka (světlo) a pětiúhelníkový icositetrahedron (temný)

Icosidodecahedron (světlo) a kosočtverečný triacontahedron (temný)

Duální sloučeniny Archimedean a Katalánština pevné látky

A dvojí sloučenina se skládá z mnohostěnu a jeho duální, uspořádané vzájemně kolem společné intersphere nebo midsphere, takže hrana jednoho mnohostěnu protíná dvojitý okraj dvojitého mnohostěnu. Existuje pět dvojitých sloučenin pravidelné mnohostěny.

Jádro je náprava obou pevných látek. Trup je duál této nápravy a jeho kosočtverečné plochy mají protínající se okraje dvou těles jako úhlopříčky (a mají své čtyři alternativní vrcholy). Pro konvexní pevné látky je to konvexní obal.

Dvojitá sloučenina	Obrázek	Trup	Jádro	Skupina symetrie
Dva čtyřstěn (Sloučenina dvou čtyřstěnů, hvězdný osmistěn )		Krychle	Octahedron	*432 [4,3] Óh
Krychle -osmistěn (Sloučenina krychle a osmistěnu )		Kosočtverečný dvanáctistěn	Cuboctahedron	*432 [4,3] Óh
Dodecahedron -dvacetistěnu (Sloučenina dodecahedron a icosahedron )		Kosočtverečný triacontahedron	Icosidodecahedron	*532 [5,3] Jáh
Malý hvězdný dvanáctistěn -velký dvanáctistěn (Sloučenina sD a gD )		Mediální kosočtverečný triacontahedron (Konvexní: Dvacetistěnu )	Dodecadodecahedron (Konvexní: Dodecahedron )	*532 [5,3] Jáh
Velký dvacetistěn -velký hvězdný dvanáctistěn (Sloučenina gI a gsD )		Velký kosočtverečný triacontahedron (Konvexní: Dodecahedron )	Velký icosidodecahedron (Konvexní: Dvacetistěnu )	*532 [5,3] Jáh

Čtyřstěn je dvojitý, takže dvojná sloučenina čtyřstěnu s jeho dvojitým je pravidelná hvězdný osmistěn.

Oktaedrické a dvacetistěnné duální sloučeniny jsou prvními hvězdami cuboctahedron a icosidodecahedron, resp.

Jednotné sloučeniny

V roce 1976 John Skilling publikoval Jednotné sloučeniny jednotných mnohostěnů který vyjmenoval 75 sloučenin (včetně 6 jako nekonečných hranolové sady sloučenin # 20 # 25) vyrobené z uniformních mnohostěnů s rotační symetrií. (Každý vrchol je vrchol-tranzitivní a každý vrchol je přechodný se všemi ostatními vrcholy.) Tento seznam obsahuje pět výše uvedených běžných sloučenin. [1]

75 jednotných sloučenin je uvedeno v tabulce níže. Většina je zobrazena jednotlivě zbarvená každým mnohostěnným prvkem. Některé chirální páry skupin obličejů jsou obarveny symetrií ploch v každém mnohostěnu.

• 1-19: Různé (4,5,6,9,17 je 5 běžné sloučeniny)

• 20-25: Hranolová symetrie zabudovaná do symetrie hranolu,

• 26-45: Hranolová symetrie vložená do osmistěn nebo ikosahedrální symetrie,

• 46-67: Tetrahedral symetry embedded in octahedral or icosahedral symetry,

• 68-75: enantiomorf páry

Jiné sloučeniny

Sloučenina čtyř kostek (vlevo) není ani běžná sloučenina, ani dvojitá sloučenina, ani jednotná sloučenina. Jeho duál, sloučenina čtyř oktaedrů (vpravo), je jednotná sloučenina.

• Sloučenina tří oktaedrů
• Složená ze čtyř kostek

Dva mnohostěny, které jsou sloučeninami, ale mají své prvky pevně zajištěné na svém místě, jsou malý komplexní icosidodecahedron (sloučenina z dvacetistěnu a velký dvanáctistěn ) a velký složitý icosidodecahedron (sloučenina z malý hvězdný dvanáctistěn a velký dvacetistěn ). Pokud definice a jednotný mnohostěn je zobecněn, jsou uniformní.

Část pro páry enantiomorfů v seznamu Skilling neobsahuje sloučeninu dvou velký útlum dodecicosidodecahedra jako pentagram tváře by se shodovaly. Odstranění shodných tváří má za následek sloučenina dvaceti oktaedrů.

4-polytopové sloučeniny

Ortogonální projekce

75 {4,3,3}	75 {3,3,4}

Ve 4-dimenzích existuje velké množství pravidelných sloučenin pravidelných polytopů. Coxeter uvádí některé z nich ve své knize Pravidelné Polytopes^[3]. McMullen přidal do svého článku šest Nové pravidelné sloučeniny 4-polytopů^[4].

Self-duals:

Duální páry:

Jednotné směsi a duály s konvexními 4-polytopy:

Horní index (var) v tabulkách výše naznačuje, že značené sloučeniny jsou odlišné od ostatních sloučenin se stejným počtem složek.

Sloučeniny s běžnými hvězdnými 4-polytopy

Samodvojité hvězdné sloučeniny:

Duální páry složených hvězd:

Jednotné složené hvězdy a duály:

Sloučeniny s duálními

Duální pozice:

Skupinová teorie

Ve smyslu teorie skupin, pokud G je skupina symetrie polyedrické sloučeniny a skupina jedná přechodně na mnohostěnu (takže každý mnohostěn lze poslat na některý z ostatních, jako v uniformních sloučeninách), pak pokud H je stabilizátor jednoho zvoleného mnohostěnu lze mnohostěn identifikovat pomocí oběžná dráha G/H - coset gH odpovídá kterému mnohostěnu G pošle vybraný mnohostěn na.

Složené obklady

Existuje osmnáct dvouparametrových rodin pravidelných složených mozaikování euklidovské roviny. V hyperbolické rovině je známo pět rodin s jedním parametrem a sedmnáct ojedinělých případů, ale úplnost tohoto seznamu nebyla vyjmenována.

Skupiny euklidovských a hyperbolických sloučenin 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, p celé číslo) jsou analogické sférickému stella octangula, 2 {3,3}.

Několik příkladů euklidovských a hyperbolických regulárních sloučenin

Self-dual	Duální		Self-dual
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}

Známá rodina pravidelných euklidovských složených voštin v pěti nebo více rozměrech je nekonečná rodina sloučenin hyperkubické voštiny, všichni sdílejí vrcholy a tváře s dalším hyperkubickým plástem. Tato sloučenina může mít libovolný počet hyperkubických voštin.

Jsou tu také dvojí pravidelnost obkladové směsi. Jednoduchým příkladem je E.² sloučenina a šestihranný obklad a jeho dvojí trojúhelníkové obklady, který sdílí jeho hrany s deltoidní trihexagonální obklady. Euklidovské sloučeniny dvou hyperkubických voštin jsou pravidelné i dvojí pravidelné.

Poznámky pod čarou

externí odkazy

• MathWorld: Polyhedron Compound
• Sloučenina mnohostěn - z mnohostěnů virtuální reality
  • Jednotné sloučeniny jednotných mnohostěnů
• Skilling's 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Skilling's Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Polyedrické sloučeniny
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• Sloučenina malého hvězdicového dodekaedru a velkého dodekaedru {5 / 2,5} + {5,5 / 2}
• Klitzing, Richarde. "Složené polytopy".

Reference

• Skilling, John (1976), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79: 447–457, doi:10.1017 / S0305004100052440, PAN  0397554.
• Cromwell, Peter R. (1997), Mnohostěn, Cambridge.
• Wenninger, Magnus (1983), Duální modely, Cambridge, Anglie: Cambridge University Press, s. 51–53.
• Harman, Michael G. (1974), Polyedrické sloučeniny, nepublikovaný rukopis.
• Hess, Edmund (1876), „Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder“, Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg, 11: 5–97.
• Pacioli, Luca (1509), De Divina Proportione.
• Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN  0-486-61480-8
• Anthony Pugh (1976). Mnohostěn: Vizuální přístup. Kalifornie: University of California Press Berkeley. ISBN  0-520-03056-7. p. 87 Pět běžných sloučenin
• McMullen, Peter (2018), „New Regular Compounds of 4-Polytopes“, Nové trendy v intuitivní geometrii, 27: 307–320, doi:10.1007/978-3-662-57413-3_12.