Simplexní - Simplex

Čtyři simplexy, které lze plně reprezentovat ve 3D prostoru.

v geometrie, a simplexní (množný: simplexes nebo jednoduchosti) je zobecněním pojmu a trojúhelník nebo čtyřstěn na libovolné rozměry.

Například,

• 0-simplex je a směřovat,
• 1-simplex je a úsečka,
• 2-simplex je a trojúhelník,
• 3-simplex je a čtyřstěn,
• 4-simplex je a 5článková.

Konkrétně a k-jednodušší je k-dimenzionální polytop který je konvexní obal jeho k + 1 vrcholy. Více formálně předpokládejme k + 1 bod ${displaystyle u_ {0}, tečky, u_ {k} v mathbb {R} ^ {k}}$ jsou afinně nezávislý, což znamená ${displaystyle u_ {1} -u_ {0}, tečky, u_ {k} -u_ {0}}$ jsou lineárně nezávislé.Pak je nimi určený simplex je množina bodů

${displaystyle C = left {heta _ {0} u_ {0} + dots + heta _ {k} u_ {k} ~ {igg |} ~ sum _ {i = 0} ^ {k} heta _ {i} = 1 {mbox {and}} heta _ {i} geq 0 {mbox {for all}} iight}.}$

A obyčejný simplex^[1] je simplex, který je také běžný mnohostěn. Pravidelný n-simplex může být sestaven z pravidelného (n - 1) -simplex připojením nového vrcholu ke všem původním vrcholům o společnou délku hrany.

The standardní simplex nebo pravděpodobnost simplex ^[2] je simplex vytvořený z k + 1 standardní jednotkové vektory nebo

${displaystyle {xin mathbb {R} ^ {k + 1}: x_ {0} + tečky + x_ {k} = 1, x_ {i} geq 0, i = 0, tečky, k}.}$

v topologie a kombinatorika, je běžné „lepit dohromady“ jednoduchosti za vzniku a zjednodušený komplex. Přidružená kombinatorická struktura se nazývá an abstraktní zjednodušený komplex, v tomto kontextu slovo „simplex“ jednoduše znamená jakýkoli konečná množina vrcholů.

Dějiny

Koncept simplexu byl znám William Kingdon Clifford, který o těchto tvarech psal v roce 1886, ale nazval je „prime confines“. Henri Poincaré, psát o algebraická topologie v roce 1900 jim říkal „zobecněný čtyřstěn“. V roce 1902 Pieter Hendrik Schoute popsal koncept nejprve pomocí latinský superlativ jednoduché („nejjednodušší“) a poté se stejným latinským adjektivem v normální formě simplexní ("jednoduchý").^[3]

The obyčejný simplex rodina je první ze tří běžný mnohostěn rodiny, označené Donald Coxeter tak jako α_n, další dva jsou křížový mnohostěn rodina, označená jako β_na hyperkrychle, označené jako y_n. Čtvrtá rodina, mozaikování n-dimenzionálního prostoru nekonečně mnoha hyperkrychlemi, označil jako δ_n.^[4]

Elementy

Konvexní trup jakékoli neprázdné podmnožiny n + 1 bodů, které definují n-simplex se nazývá a tvář simplexu. Tváře jsou samy o sobě jednoduchostmi. Zejména konvexní trup podmnožiny velikosti m + 1 (z n + 1 definujících bodů) je m-simplex, zvaný an m-tvář z n-jednodušší. 0-tváře (tj. Samotné definující body jako sady velikosti 1) se nazývají vrcholy (singulární: vrchol), 1-tváře se nazývají hrany, (n - 1) -tvory se nazývají fazetya podešev n-face je celek n-simplex sám. Obecně platí, že počet m-faces se rovná binomický koeficient ${displaystyle {binom {n + 1} {m + 1}}}$.^[5] V důsledku toho počet m- tváře n-simplex najdete ve sloupci (m + 1) řádku (n +1) z Pascalův trojúhelník. Simplex A je coface simplexu B -li B je tváří A. Tvář a aspekt může mít různé významy při popisu typů jednoduchostí v a zjednodušený komplex; vidět jednoduchý komplex pro více podrobností.

Počet 1 tváří (hran) n-jednodušší je n-th číslo trojúhelníku, počet 2 tváří n-simplex je (n - 1) th čtyřstěn číslo, počet 3 tváří n-simplex je (n - 2) th 5-cell number, and so on.

n-Jednoduché prvky^[6]

Δn	název	Schläfli Coxeter	0- tváře (vrcholy)	1- tváře (hrany)	2- tváře	3- tváře	4- tváře	5- tváře	6- tváře	7- tváře	8- tváře	9- tváře	10- tváře	Součet = 2n+1 − 1
Δ0	0-simplexní (směřovat )	( )	1											1
Δ1	1-simplexní (úsečka )	{ } = ( ) ∨ ( ) = 2 · ( )	2	1										3
Δ2	2-simplexní (trojúhelník )	{3} = 3 · ( )	3	3	1									7
Δ3	3-simplexní (čtyřstěn )	{3,3} = 4 · ( )	4	6	4	1								15
Δ4	4-simplexní (5článková )	{33} = 5 · ( )	5	10	10	5	1							31
Δ5	5-simplexní	{34} = 6 · ( )	6	15	20	15	6	1						63
Δ6	6-simplexní	{35} = 7 · ( )	7	21	35	35	21	7	1					127
Δ7	7-simplexní	{36} = 8 · ( )	8	28	56	70	56	28	8	1				255
Δ8	8-simplexní	{37} = 9 · ( )	9	36	84	126	126	84	36	9	1			511
Δ9	9-simplexní	{38} = 10 · ( )	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1		1023
Δ10	10-simplexní	{39} = 11 · ( )	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1	2047

Laicky řečeno, an n-simplex je jednoduchý tvar (mnohoúhelník), který vyžaduje n rozměry. Zvažte úsečku AB jako „tvar“ v jednorozměrném prostoru (jednorozměrný prostor je čára, ve které leží segment). Jeden může umístit nový bod C někde mimo linku. Nový tvar, trojúhelník ABC, vyžaduje dva rozměry; nemůže se vejít do původního jednorozměrného prostoru. Trojúhelník je 2-simplexní, jednoduchý tvar, který vyžaduje dva rozměry. Zvažte trojúhelník ABC, tvar v 2-dimenzionálním prostoru (rovina, ve které se nachází trojúhelník). Jeden může umístit nový bod D někde mimo letadlo. Nový tvar, čtyřstěn abeceda, vyžaduje tři rozměry; nemůže se vejít do původního 2-dimenzionálního prostoru. Čtyřstěn je 3-simplex, jednoduchý tvar, který vyžaduje tři rozměry. Zvažte čtyřstěn abeceda, tvar v trojrozměrném prostoru (3-prostor, ve kterém leží čtyřstěn). Jeden může umístit nový bod E někde mimo 3prostor. Nový tvar ABCDE, zvaný 5 buněk, vyžaduje čtyři rozměry a nazývá se 4-simplex; nemůže zapadnout do původního trojrozměrného prostoru. (Rovněž jej nelze snadno vizualizovat.) Tuto myšlenku lze zobecnit, tj. Přidat jeden nový bod mimo aktuálně obsazený prostor, což vyžaduje přechod do další vyšší dimenze, aby se nový tvar udržel. S touto myšlenkou lze pracovat i obráceně: úsečka, se kterou jsme začali, je jednoduchý tvar, který vyžaduje 1-dimenzionální prostor k jeho uchycení; úsečka je 1-simplex. Samotný úsečkový segment byl vytvořen tak, že začal s jediným bodem v 0-dimenzionálním prostoru (tento počáteční bod je 0-simplex) a přidáním druhého bodu, který vyžadoval zvětšení do 1-dimenzionálního prostoru.

Více formálně, (n + 1) -simplex lze zkonstruovat jako spojení (operátor)) objektu n-simplex a bod, (). An (m + n + 1) -simplex může být konstruován jako spojení m-simplex a an n-jednodušší. Tyto dva jednoduchosti jsou orientovány tak, aby byly od sebe zcela normální, s překladem ve směru kolmém k oběma z nich. 1-simplex je spojení dvou bodů: () ∨ () = 2 · (). Obecný 2-simplex (scalenový trojúhelník) je spojení tří bodů: () ∨ () ∨ (). An rovnoramenný trojúhelník je spojení 1-simplexu a bodu: {} ∨ (). An rovnostranný trojúhelník je 3 · () nebo {3}. Obecný 3-simplex je spojení 4 bodů: () ∨ () ∨ () ∨ (). 3-simplex se zrcadlovou symetrií lze vyjádřit jako spojení hrany a dvou bodů: {} ∨ () ∨ (). 3-simplex s trojúhelníkovou symetrií lze vyjádřit jako spojení rovnostranného trojúhelníku a 1 bodu: 3. () ∨ () nebo {3} ∨ (). A pravidelný čtyřstěn je 4 · () nebo {3,3} atd.

Celkový počet tváří je vždy a síla dvou minus jedna. Toto číslo (projekce tesseract ) ukazuje centroidy 15 ploch čtyřstěnu.

Počet obličejů ve výše uvedené tabulce je stejný jako v Pascalův trojúhelník, bez levé úhlopříčky.

V některých konvencích^[7] prázdná množina je definována jako (-1) -simplex. Definice simplexu výše má stále smysl, pokud n = -1. Tato konvence je běžnější v aplikacích na algebraickou topologii (například zjednodušená homologie ) než ke studiu polytopů.

Symetrické grafy pravidelných jednoduchostí

Tyto Petrie polygony (šikmé ortogonální projekce) zobrazují všechny vrcholy pravidelného simplexu na kružnici a všechny páry vrcholů spojené hranami.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20

Standardní simplex

Standardní 2-simplexní vstup R³

The Standard n-jednodušší (nebo jednotka n-jednodušší) je podmnožinou Rⁿ⁺¹ dána

${displaystyle Delta ^ {n} = left {(t_ {0}, dots, t_ {n}) in mathbb {R} ^ {n + 1} ~ {ig |} ~ sum _ {i = 0} ^ {n } t_ {i} = 1 {ext {and}} t_ {i} geq 0 {ext {pro všechny}} iight}}$

Simplex Δⁿ leží v afinní nadrovina získáno odstraněním omezení t_i ≥ 0 ve výše uvedené definici.

The n + 1 vrcholy standardu n- jednoduché jsou body E_i ∈ Rⁿ⁺¹, kde

E₀ = (1, 0, 0, ..., 0),

E₁ = (0, 1, 0, ..., 0),

${displaystyle vdots}$

E_n = (0, 0, 0, ..., 1).

K dispozici je kanonická mapa ze standardu n- jednoduché na libovolné n-simplex s vrcholy (proti₀, ..., proti_n) dána

${displaystyle (t_ {0}, ldots, t_ {n}) mapsto sum _ {i = 0} ^ {n} t_ {i} v_ {i}}$

Koeficienty t_i se nazývají barycentrické souřadnice bodu v n-jednodušší. Takový obecný simplex se často nazývá afinní n-jednodušší, zdůraznit, že kanonická mapa je afinní transformace. To je také někdy nazýváno orientovaný afinní n-jednodušší zdůraznit, že kanonická mapa může být zachování orientace nebo couvání.

Obecněji řečeno, existuje kanonická mapa ze standardu ${displaystyle (n-1)}$-simplex (s n vrcholy) na libovolné polytop s n vrcholy, dané stejnou rovnicí (modifikace indexování):

${displaystyle (t_ {1}, ldots, t_ {n}) mapsto sum _ {i = 1} ^ {n} t_ {i} v_ {i}}$

Tito jsou známí jako zobecněné barycentrické souřadnice a vyjádřit každý polytop jako obraz simplexu: ${displaystyle Delta ^ {n-1} woheadrightarrow P.}$

Běžně používaná funkce od Rⁿ do interiéru standardu ${displaystyle (n-1)}$-jednodušší je funkce softmax nebo normalizovaná exponenciální funkce; toto zobecňuje standardní logistická funkce.

Příklady

• Δ⁰ jde o to 1 palec R¹.
• Δ¹ je úsečka spojující (1,0) a (0,1) v R².
• Δ² je rovnostranný trojúhelník s vrcholy (1,0,0), (0,1,0) a (0,0,1) v R³.
• Δ³ je pravidelný čtyřstěn s vrcholy (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) a (0,0,0,1) v R⁴.

Zvyšování souřadnic

Alternativní souřadnicový systém je dán převzetím neurčitý součet:

${displaystyle {egin {aligned} s_ {0} & = 0 s_ {1} & = s_ {0} + t_ {0} = t_ {0} s_ {2} & = s_ {1} + t_ {1 } = t_ {0} + t_ {1} s_ {3} & = s_ {2} + t_ {2} = t_ {0} + t_ {1} + t_ {2} & dots s_ {n} & = s_ {n-1} + t_ {n-1} = t_ {0} + t_ {1} + cdots + t_ {n-1} s_ {n + 1} & = s_ {n} + t_ {n } = t_ {0} + t_ {1} + cdots + t_ {n} = 1end {zarovnáno}}}$

Tím se získá alternativní prezentace pomocí objednat, a to jako neklesající n-tuples mezi 0 a 1:

${displaystyle Delta _ {*} ^ {n} = left {(s_ {1}, ldots, s_ {n}) v mathbb {R} ^ {n} mid 0 = s_ {0} leq s_ {1} leq s_ {2} leq dots leq s_ {n} leq s_ {n + 1} = 1ight}.}$

Geometricky to je n-dimenzionální podmnožina ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ (maximální rozměr, kódová dimenze 0) spíše než ${displaystyle mathbb {R} ^ {n + 1}}$ (kodimenzionální 1). Fazety, které na standardním simplexu odpovídají zmizení jedné souřadnice, ${displaystyle t_ {i} = 0,}$ zde odpovídají stejné po sobě následující souřadnice, ${displaystyle s_ {i} = s_ {i + 1},}$ zatímco interiér odpovídá tomu, jak se nerovnosti stávají přísný (rostoucí sekvence).

Klíčovým rozdílem mezi těmito prezentacemi je chování pod permutujícími souřadnicemi - standardní simplex je stabilizován permutujícími souřadnicemi, zatímco permutující prvky „uspořádaného simplexu“ jej nenechávají invariantním, protože permutováním uspořádané sekvence je obecně neuspořádaný. Ve skutečnosti je objednaný simplex (uzavřený) základní doména pro působení symetrické skupiny na n-krychle, což znamená, že oběžná dráha uspořádaného simplexu pod n! prvky symetrické skupiny rozděluje n- kostka do ${displaystyle n!}$ většinou disjunktní simplexy (disjunktní kromě hranic), což ukazuje, že tento simplex má objem ${displaystyle 1 / n!}$ Alternativně lze svazek vypočítat iterovaným integrálem, jehož po sobě jdoucí celá čísla jsou ${displaystyle 1, x, x ^ {2} / 2, x ^ {3} / 3!, tečky, x ^ {n} / n!}$

Další vlastností této prezentace je, že používá pořadí, ale ne sčítání, a lze ji tedy definovat v jakékoli dimenzi nad libovolnou uspořádanou množinou a lze ji například použít k definování nekonečně rozměrného simplexu bez problémů konvergence součtů.

Projekce na standardní simplex

Zejména v numerických aplikacích teorie pravděpodobnosti A projekce na standardní simplex je zajímavé. Dáno ${displaystyle, (p_ {i}) _ {i}}$ s možná negativními položkami, nejbližší bod ${displaystyle left (t_ {i} ight) _ {i}}$ na simplexu má souřadnice

${displaystyle t_ {i} = max {p_ {i} + Delta ,, 0},}$

kde ${displaystyle Delta}$ je zvolen tak, že ${displaystyle sum _ {i} max {p_ {i} + Delta ,, 0} = 1.}$

${displaystyle Delta}$ lze snadno vypočítat z třídění ${displaystyle p_ {i}}$.^[8]Přístup třídění trvá ${displaystyle O (nlog n)}$ složitost, kterou lze vylepšit na ${displaystyle O (n)}$ složitost prostřednictvím medián-nález algoritmy.^[9] Promítání do simplexu je výpočtově podobné promítání do ${displaystyle ell _ {1}}$ míč.

Roh krychle

Konečně jednoduchá varianta je nahradit „sčítání do 1“ za „sčítání do maximálně 1“; toto zvýší dimenzi o 1, takže pro zjednodušení zápisu se indexace změní:

${displaystyle Delta _ {c} ^ {n} = left {(t_ {1}, ldots, t_ {n}) v mathbb {R} ^ {n} ~ {ig |} ~ součet _ {i = 1} ^ {n} t_ {i} leq 1 {ext {and}} t_ {i} geq 0 {ext {for all}} iight}.}$

Tím se získá n-simplex jako roh n-cube a je to standardní ortogonální simplex. Toto je simplex používaný v simplexní metoda, který je založen na počátku a lokálně modeluje vrchol na polytopu s n fazety.

Kartézské souřadnice pro pravidelnou n-dimenzionální simplex v Rⁿ

Jedním ze způsobů, jak zapsat pravidelné n-simplex in Rⁿ je vybrat dva body jako první dva vrcholy, zvolit třetí bod pro vytvoření rovnostranného trojúhelníku, zvolit čtvrtý bod pro vytvoření pravidelného čtyřstěnu atd. Každý krok vyžaduje splnění rovnic, které zajistí, že každý nově zvolený vrchol spolu s dříve vybranými vrcholy vytvoří pravidelný simplex. Existuje několik sad rovnic, které lze zapsat a použít pro tento účel. Patří mezi ně rovnost všech vzdáleností mezi vrcholy; rovnost všech vzdáleností od vrcholů ke středu simplexu; skutečnost, že úhel procházející novým vrcholem libovolnými dvěma dříve zvolenými vrcholy je ${displaystyle pi / 3}$; a skutečnost, že úhel procházející středem simplexu libovolnými dvěma vrcholy je ${displaystyle arccos (-1 / n)}$.

Je také možné přímo zapsat konkrétní pravidelný n-simplex in Rⁿ které lze poté podle potřeby přeložit, otočit a zmenšit. Jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout, je následující. Označte základní vektory Rⁿ podle E₁ přes E_n. Začněte standardem (n − 1)-simplex, což je konvexní trup základních vektorů. Přidáním dalšího vrcholu se stanou tváří obyčejného hráče n-jednodušší. Dodatečný vrchol musí ležet na přímce kolmé k barycentru standardního simplexu, takže má tvar (α /n, ..., α /n) pro nějaké skutečné číslo α. Vzhledem k tomu, že čtvercová vzdálenost mezi dvěma základními vektory je 2, aby další vrchol vytvořil pravidelný n-simplex, druhá mocnina vzdálenosti mezi ním a kterýmkoli základním vektorem musí být také 2. Tím se získá kvadratická rovnice pro α. Řešení této rovnice ukazuje, že pro další vrchol existují dvě možnosti:

${displaystyle {frac {1} {n}} (13:00 {sqrt {n + 1}}) cdot (1, dots, 1).}$

Každý z nich, společně se standardními bazickými vektory, poskytuje regulární n-jednodušší.

Výše uvedené pravidelné n-simplex není zaměřen na původ. Lze jej přeložit na počátek odečtením průměru jeho vrcholů. Změnou měřítka lze určit délku strany jednotky. Výsledkem je simplex, jehož vrcholy jsou:

${displaystyle {frac {1} {sqrt {2}}} mathbf {e} _ {i} - {frac {1} {n {sqrt {2}}}} {igg (} 13:00 {frac {1} {sqrt {n + 1}}} {igg)} cdot (1, tečky, 1),}$

pro ${displaystyle 1leq ileq n}$, a

${displaystyle mp {frac {1} {2 {sqrt {n + 1}}} cdot (1, dots, 1).}$

Tento simplex je vepsán do hypersféry o poloměru ${displaystyle {sqrt {n / (2 (n + 1))}}}$.

Při jiném změně měřítka vznikne simplex, který je zapsán do jednotkové hypersféry. Když je to hotové, jeho vrcholy jsou

${displaystyle {sqrt {1 + n ^ {- 1}}} cdot mathbf {e} _ {i} -n ^ {- 3/2} ({sqrt {n + 1}} pm 1) cdot (1, tečky , 1),}$

kde ${displaystyle 1leq ileq n}$, a

${displaystyle mp n ^ {- 1/2} cdot (1, dots, 1).}$

Délka strany tohoto simplexu je ${displaystyle {sqrt {2 (n + 1) / n}}}$.

Vysoce symetrický způsob konstrukce regulárního n-simplex je použít reprezentaci cyklická skupina Z_{n + 1} podle ortogonální matice. Tohle je n × n ortogonální matice Q takhle Q^{n + 1} = Já je matice identity, ale žádná nižší síla Q je. Uplatnění sil této matice na vhodný vektor proti vytvoří vrcholy pravidelné n-jednodušší. Chcete-li to provést, nejprve si všimněte, že pro každou ortogonální matici Q, existuje výběr základu, ve kterém Q je bloková diagonální matice

${displaystyle Q = operatorname {diag} (Q_ {1}, Q_ {2}, dots, Q_ {k}),}$

kde každý Q_i je ortogonální a buď 2 × 2 nebo 1 × 1. K tomu, aby Q mít pořádek n + 1, všechny tyto matice musí mít dělení pořadí n + 1. Proto každý Q_i je buď a 1 × 1 matice, jejíž jediný záznam je 1 nebo když n je zvláštní, −1; nebo je to 2 × 2 matice formuláře

${displaystyle {egin {pmatrix} cos {frac {2pi omega _ {i}} {n + 1}} & - sin {frac {2pi omega _ {i}} {n + 1}} sin {frac {2pi omega _ {i}} {n + 1}} & cos {frac {2pi omega _ {i}} {n + 1}} konec {pmatrix}},}$

kde každý ω_i je celé číslo mezi nulou a n včetně. Postačující podmínkou pro to, aby oběžná dráha bodu byla regulárním simplexem, je matice Q_i tvoří základ pro netriviální neredukovatelné skutečné reprezentace Z_{n + 1}, a vektor, který se otáčí, není stabilizován žádným z nich.

Z praktického hlediska pro n i to znamená, že každá matice Q_i je 2 × 2, existuje rovnost množin

${displaystyle {omega _ {1}, n + 1-omega _ {1}, tečky, omega _ {n / 2}, n + 1-omega _ {n / 2}} = {1, tečky, n}, }$

a pro každého Q_i, položky z proti na kterém Q_i činy nejsou oba nulové. Například když n = 4, jedna možná matice je

${displaystyle {egin {pmatrix} cos (2pi / 5) & - sin (2pi / 5) & 0 & 0 sin (2pi / 5) & cos (2pi / 5) & 0 & 0 0 & 0 & cos (4pi / 5) & - sin (4pi / 5 ) 0 & 0 & sin (4pi / 5) & cos (4pi / 5) end {pmatrix}}.}$

Toto aplikujeme na vektor (1, 0, 1, 0) má za následek simplex, jehož vrcholy jsou

${displaystyle {egin {pmatrix} 1 0 1 0end {pmatrix}}, {egin {pmatrix} cos (2pi / 5) sin (2pi / 5) cos (4pi / 5) sin (4pi / 5 ) end {pmatrix}}, {egin {pmatrix} cos (4pi / 5) sin (4pi / 5) cos (8pi / 5) sin (8pi / 5) end {pmatrix}}, {egin {pmatrix} cos (6pi / 5) sin (6pi / 5) cos (2pi / 5) sin (2pi / 5) konec {pmatrix}}, {egin {pmatrix} cos (8pi / 5) sin (8pi / 5 ) cos (6pi / 5) sin (6pi / 5) konec {pmatrix}},}$

každý z nich má vzdálenost √ 5 od ostatních. Kdy n je liché, podmínka znamená, že přesně jeden z diagonálních bloků je 1 × 1, rovná −1, a jedná se o nenulový vstup ve výši proti; zatímco zbývající diagonální bloky řekněme Q₁, ..., Q_{(n − 1) / 2}, jsou 2 × 2, existuje rovnost množin

${displaystyle {omega _ {1}, - omega _ {1}, tečky, omega _ {(n-1) / 2}, - omega _ {n-1) / 2}} = {1, tečky, (n -1) / 2, (n + 3) / 2, tečky, n},}$

a každý diagonální blok působí na dvojici záznamů proti které nejsou oba nulové. Například, když n = 3, matice může být

${displaystyle {egin {pmatrix} 0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 end {pmatrix}}.}$

Pro vektor (1, 0, 1/√2), výsledný simplex má vrcholy

${displaystyle {egin {pmatrix} 1 0 1 / surd 2end {pmatrix}}, {egin {pmatrix} 0 1 -1 / surd 2end {pmatrix}}, {egin {pmatrix} -1 0 1 / surd 2end {pmatrix}}, {egin {pmatrix} 0 -1 -1 / surd 2end {pmatrix}},}$

každý z nich má vzdálenost 2 od ostatních.

Geometrické vlastnosti

Hlasitost

The hlasitost z n-simplex in n-dimenzionální prostor s vrcholy (proti₀, ..., proti_n) je

${displaystyle left | {1 over n!} det {egin {pmatrix} v_ {1} -v_ {0}, & v_ {2} -v_ {0}, & dots, & v_ {n} -v_ {0} end {pmatrix }} hned |}$

kde každý sloupec n × n určující je rozdíl mezi vektory představující dva vrcholy.^[10] Symetrickější způsob, jak to napsat, je

${displaystyle left | {1 over n!} det {egin {pmatrix} v_ {0} & v_ {1} & cdots & v_ {n} 1 & 1 & cdots & 1end {pmatrix}} ight |}$

Dalším běžným způsobem výpočtu objemu simplexu je přes Cayley – Menger determinant. Může také vypočítat objem simplexu vloženého do prostoru vyšší dimenze, např. Trojúhelníku ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$.^[11]

Bez 1 /n! je to vzorec pro objem souboru n-rovnoběžník. Lze to chápat následovně: Předpokládejme, že P je n-paralelotop vytvořený na základě ${displaystyle (v_ {0}, e_ {1}, ldots, e_ {n})}$ z ${displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$Vzhledem k obměně ${displaystyle sigma}$ z ${displaystyle {1,2, ldots, n}}$, zavolejte seznam vrcholů ${displaystyle v_ {0}, v_ {1}, ldots, v_ {n}}$ A n-cesta pokud

${displaystyle v_ {1} = v_ {0} + e_ {sigma (1)}, v_ {2} = v_ {1} + e_ {sigma (2)}, ldots, v_ {n} = v_ {n-1 } + e_ {sigma (n)}}$

(takže existují n! n-cesta a ${displaystyle v_ {n}}$ nezávisí na permutaci). Následující tvrzení platí:

Li P je jednotka n-hypercube, pak spojení n-simplexy tvořené konvexním trupem každého z nich n-cesta je Pa tyto simplexy jsou shodné a párové nepřekrývající se.^[12] Obzvláště objem takového simplexu je

${displaystyle {frac {operatorname {Vol} (P)} {n!}} = {frac {1} {n!}}.}$

Li P je obecný rovnoběžník, platí stejná tvrzení, kromě toho, že v dimenzi> 2 již neplatí, že simplexy musí být shodné po dvou; přesto jejich objemy zůstávají stejné, protože n-parallelotope je obraz jednotky n-hypercube lineárním izomorfismem, který vysílá kanonický základ ${displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ na ${displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {n}}$. Stejně jako dříve to znamená, že objem simplexu pocházejícího z n-path je:

${displaystyle {frac {operatorname {Vol} (P)} {n!}} = {frac {det (e_ {1}, ldots, e_ {n})} {n!}}.}$

Naopak, vzhledem k n-jednodušší ${displaystyle (v_ {0}, v_ {1}, v_ {2}, ldots v_ {n})}$ z ${displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$, lze předpokládat, že vektory ${displaystyle e_ {1} = v_ {1} -v_ {0}, e_ {2} = v_ {2} -v_ {1}, ldots e_ {n} = v_ {n} -v_ {n-1}}$ tvoří základ ${displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$. Vzhledem k rovnoběžníku postavenému z ${displaystyle v_ {0}}$ a ${displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {n}}$, jeden vidí, že předchozí vzorec je platný pro každý simplex.

Nakonec je vzorec na začátku této části získán pozorováním toho

${displaystyle det (v_ {1} -v_ {0}, v_ {2} -v_ {0}, ldots v_ {n} -v_ {0}) = det (v_ {1} -v_ {0}, v_ { 2} -v_ {1}, ldots, v_ {n} -v_ {n-1}).}$

Z tohoto vzorce okamžitě vyplývá, že jde o objem podle standardu n-simplex (tj. mezi počátkem a simplexem v Rⁿ⁺¹) je

${displaystyle {1 over (n + 1)!}}$

Objem pravidelného n-simplex s délkou strany jednotky je

${displaystyle {frac {sqrt {n + 1}} {n! {sqrt {2 ^ {n}}}}}}$

jak je vidět z vynásobení předchozího vzorce Xⁿ⁺¹, abyste získali hlasitost pod n-simplex jako funkce vzdálenosti jeho vrcholu X od původu, odlišující se od X, v ${displaystyle x = 1 / {sqrt {2}}}$ (Kde n-simplex side length is 1), and normalizing by the length ${displaystyle dx / {sqrt {n + 1}}}$ přírůstku, ${displaystyle (dx / (n + 1), ldots, dx / (n + 1))}$, podél normálního vektoru.

Dihedrální úhly pravidelného n-simplexu

Libovolné dvě (n-1) -dimenzionální tváře regulárního n-dimenzionální simplex jsou samy o sobě pravidelné (n-1)-dimenzionální jednoduchosti a mají to samé vzepětí úhel cos⁻¹(1/n).^[13][14]

To lze vidět poznamenáním, že střed standardního simplexu je ${displaystyle ({frac {1} {n + 1}}, tečky, {frac {1} {n + 1}})}$, a středy jeho ploch jsou souřadnicovými permutacemi ${displaystyle (0, {frac {1} {n}}, tečky, {frac {1} {n}})}$. Potom symetrií vektor směřující z ${displaystyle ({frac {1} {n + 1}}, tečky, {frac {1} {n + 1}})}$ na ${displaystyle (0, {frac {1} {n}}, tečky, {frac {1} {n}})}$ je kolmá na tváře. Takže vektory kolmé k plochám jsou permutace ${displaystyle (-n, 1, dots, 1)}$, ze kterých se počítají vzepětí.

Jednoduchosti s „ortogonálním rohem“

„Ortogonální roh“ zde znamená, že existuje vrchol, ve kterém jsou všechny sousední hrany párově ortogonální. Okamžitě z toho vyplývá, že všichni sousedí tváře jsou po dvou kolmé. Takovými jednoduchostmi jsou zobecnění pravoúhlých trojúhelníků a pro ně existuje n-dimenzionální verze Pythagorova věta:

Součet čtverců (n - 1) -dimenzionální objemy fazet sousedících s ortogonálním rohem se rovnají čtvercům (n - 1) -dimenzionální objem fazety naproti ortogonálnímu rohu.

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} | A_ {k} | ^ {2} = | A_ {0} | ^ {2}}$

kde ${displaystyle A_ {1} ldots A_ {n}}$ jsou fazety, které jsou vzájemně po sobě kolmé, ale ne kolmo na ${displaystyle A_ {0}}$, což je faseta naproti ortogonálnímu rohu.

Pro 2-simplexní teorém je Pythagorova věta pro trojúhelníky s pravým úhlem a pro 3-simplex to je de Guaova věta pro čtyřstěn s ortogonálním rohem.

Vztah k (n + 1) -hypercube

The Hasseův diagram obličejové mřížky n-simplex je izomorfní s grafem (n + 1)-hyperkrychle Hrany s vrcholy hyperkrychle mapovanými na každý z n-simplexovy prvky, včetně celého simplexu a nulového mnohostěnu jako krajních bodů mřížky (mapované na dva protilehlé vrcholy na hyperkrychli). Tuto skutečnost lze použít k efektivnímu výčtu mřížky tváře simplexu, protože obecnější algoritmy výčtu mřížky tváře jsou výpočetně nákladnější.

The n-simplex je také vrchol obrázek z (n + 1) -hypercube. Je to také aspekt z (n + 1)-orthoplex.

Topologie

Topologicky, an n-simplex je ekvivalent do n-míč. Každý n-simplex je n-dimenzionální rozdělovač s rohy.

Pravděpodobnost

V teorii pravděpodobnosti body standardu n-simplex v (n + 1) -prostor tvoří prostor možných rozdělení pravděpodobnosti na konečné množině sestávající z n + 1 možných výsledků. Korespondence je následující: Pro každé rozdělení popsané jako uspořádané (n + 1) n-tice pravděpodobností, jejichž součet je (nutně) 1, přiřadíme bod simplexu, jehož barycentrické souřadnice jsou právě tyto pravděpodobnosti. To znamená, že je přiřazen také k-tý vrchol simplexu, který má jako barycentrický koeficient k-tu pravděpodobnost (n + 1) n-tice. Tato korespondence je afinní homeomorfismus.

Sloučeniny

Vzhledem k tomu, že všechny jednoduchosti jsou samy duální, mohou tvořit řadu sloučenin;

• Dva trojúhelníky tvoří a hexagram {6/2}.
• Dva čtyřstěny tvoří a sloučenina dvou čtyřstěnů nebo stella octangula.
• Dvě 5-buňky tvoří a sloučenina dvou 5 buněk ve čtyřech rozměrech.

Algebraická topologie

v algebraická topologie se jako stavební kameny pro konstrukci zajímavé třídy používají jednoduchosti topologické prostory volala zjednodušené komplexy. Tyto prostory jsou vytvořeny z jednoduchých prvků slepených dohromady v a kombinační móda. K definování určitého druhu se používají jednoduché komplexy homologie volala zjednodušená homologie.

Konečná sada k-simplexy vložené do otevřená podmnožina z Rⁿ se nazývá afinní k-řetěz. Simplexes v řetězci nemusí být jedinečné; mohou se vyskytnout u multiplicita. Spíše než používat standardní množinovou notaci k označení afinního řetězce, je místo toho standardní praxí používat k oddělování každého člena v sadě znaménka plus. Pokud mají některé simplexy opak orientace, před nimi je znaménko mínus. Pokud se některé z simplexů vyskytnou v sadě více než jednou, je před nimi přidán počet celých čísel. Afinní řetězec má tedy symbolickou formu součtu s celočíselnými koeficienty.

Všimněte si, že každý aspekt n-simplex je afinní (n - 1) -simplex, a tím i hranice z n-simplex je afinita n - 1-řetěz. Pokud tedy označíme jeden pozitivně orientovaný afinní simplex jako

${displaystyle sigma = [v_ {0}, v_ {1}, v_ {2}, ldots, v_ {n}]}$

s ${displaystyle v_ {j}}$ označující vrcholy, pak hranici ${displaystyle částečná sigma}$ z σ je řetěz

${displaystyle partial sigma = sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} [v_ {0}, ldots, v_ {j-1}, v_ {j + 1}, ldots, v_ { n}].}$

Z tohoto výrazu a linearity operátoru hranice vyplývá, že hranice hranice simplexu je nula:

${displaystyle částečné ^ {2} sigma = částečné vlevo (součet _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} [v_ {0}, ldots, v_ {j-1}, v_ {j + 1}, ldots, v_ {n}] ight) = 0.}$

Podobně je hranice hranice řetězce nulová: ${displaystyle partial ^ {2} ho = 0}$.

Obecněji lze simplex (a řetězec) vložit do a potrubí pomocí plynulé, rozlišitelné mapy ${displaystyle fcolon mathbb {R} ^ {n} ightarrow M}$. V tomto případě jak konvence součtu pro označení množiny, tak hraniční operace dojíždějí s vkládání. To znamená,

${displaystyle fleft (sum olimits _ {i} a_ {i} sigma _ {i} ight) = součet olimits _ {i} a_ {i} f (sigma _ {i})}$

Kde ${displaystyle a_ {i}}$ jsou celá čísla označující orientaci a multiplicitu. Pro hraničního operátora ${displaystyle částečné}$, jeden má:

${displaystyle částečný f (ho) = f (částečný ho)}$

kde ρ je řetěz. Hraniční operace dojíždí s mapováním, protože na konci je řetězec definován jako množina a trochu více a operace množiny dojíždí vždy s provoz mapy (podle definice mapy).

Souvislá mapa ${displaystyle f: sigma ightarrow X}$ do a topologický prostor X se často označuje jako a jednotné číslo n-jednodušší. (Mapa se obecně nazývá „singulární“, pokud nemá nějakou žádoucí vlastnost, jako je kontinuita, a v tomto případě má tento termín odrážet skutečnost, že spojitá mapa nemusí být vložením.)^[15]

Algebraická geometrie

Protože klasická algebraická geometrie umožňuje hovořit o polynomiálních rovnicích, nikoli o nerovnostech, algebraický standard n-simplex je obecně definována jako podmnožina afinních (n + 1) -dimenzionální prostor, kde jsou všechny souřadnice součtu až 1 (čímž se vynechá část nerovnosti). Algebraický popis této sady je

${displaystyle Delta ^ {n}: = left {xin mathbb {A} ^ {n + 1} ~ {Big |} ~ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} = 1ight},}$

což se rovná systém - teoretický popis ${displaystyle Delta _ {n} (R) = operatorname {Spec} (R [Delta ^ {n}])}$ s

${displaystyle R [Delta ^ {n}]: = R [x_ {1}, ldots, x_ {n + 1}] vlevo / vlevo (1 součet x_ {i} ight) ight.}$

kruh pravidelných funkcí v algebraice n-simplex (pro jakýkoli prsten ${displaystyle R}$).

Použitím stejných definic jako pro klasiku n-jednodušší n-jednoduchosti pro různé rozměry n sestavit do jednoho zjednodušený objekt, zatímco prsteny ${displaystyle R [Delta ^ {n}]}$ shromáždit do jednoho kosimpliciálního objektu ${displaystyle R [Delta ^ {ullet}]}$ (v kategorii schémat, resp. prstenů, protože mapy obličeje a degenerace jsou všechny polynomické).

Algebraické n-simplices se používají ve vyšších K-teorie a v definici vyšší Chow skupiny.

Aplikace

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Prosince 2009)

• v statistika, jednoduchosti jsou ukázkové prostory údaje o složení a také se používají při vykreslování veličin, které se sčítají k 1, jako jsou podíly subpopulací, jako v a ternární spiknutí.
• v průmyslová statistika, vznikají zjednodušení při formulaci problému a při algoritmickém řešení. Při konstrukci chleba musí výrobce kombinovat droždí, mouku, vodu, cukr atd směsi záleží pouze na relativním poměru přísad: Pro optimální směs chleba platí, že pokud je mouka zdvojnásobena, měly by být zdvojnásobeny droždí. Takový problém se směsí je často formulován s normalizovanými omezeními, takže nezáporné složky se sečtou k jedné, v takovém případě proveditelná oblast vytvoří simplex. Kvalitu chlebových směsí lze odhadnout pomocí metodika povrchu odezvy, a pak lze místní maximum vypočítat pomocí a nelineární programování metoda, jako je sekvenční kvadratické programování.^[16]

• v operační výzkum, lineární programování problémy lze vyřešit pomocí simplexní algoritmus z George Dantzig.
• v geometrický design a počítačová grafika mnoho metod provádí nejprve zjednodušené triangulace domény a poté fit interpolace polynomy do každého simplexu.^[17]
• v chemie, hydridy většiny prvků v p-blok může připomínat simplex, pokud má každý spojit každý atom. Neon nereaguje s vodíkem a jako takový je bod, fluor váže se na jeden atom vodíku a tvoří liniový segment, kyslík vazby se dvěma vodíky v a ohnutý móda připomínající trojúhelník, dusík reaguje za vzniku a čtyřstěn, a uhlík se vytvoří struktura připomínající Schlegelův diagram 5 buněk. Tento trend pokračuje u těžších analogů každého prvku, stejně jako v případě, že je vodík nahrazen halogen atomy.

Viz také

Poznámky

Reference

• Rudin, Walter (1976). Principy matematické analýzy (3. vyd.). McGraw-Hill. ISBN  0-07-054235-X. (Jednoduchý přehled topologických vlastností najdete v kapitole 10.)
• Tanenbaum, Andrew S. (2003). "§2.5.3". Počítačové sítě (4. vydání). Prentice Hall. ISBN  0-13-066102-3.
• Devroye, Luc (1986). Nerovnoměrné generování náhodných variací. ISBN  0-387-96305-7. Archivovány od originál dne 05.05.2009.
• Coxeter, H.S.M. (1973). Pravidelné Polytopes (3. vyd.). Doveru. ISBN  0-486-61480-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  • str. 120–121, § 7.2. viz obrázek 7-2A
  • p. 296, tabulka I (iii): Pravidelné Polytopy, tři pravidelné Polytopy v n rozměry (n ≥ 5)
• Weisstein, Eric W. "Simplex". MathWorld.
• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Konvexní optimalizace. Cambridge University Press. ISBN  978-1-107-39400-1. Tak jako PDF

externí odkazy

• Olshevsky, Georgi. "Simplex". Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.