Jednotný mnohostěn - Uniform polytope

tento článek možná matoucí nebo nejasné čtenářům. Prosím, pomoz nám objasnit článek. Možná o tom bude diskuse diskusní stránka. (Září 2008) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Konvexní jednotné polytopy

2D	3D
Zkráceno trojúhelník nebo uniforma šestiúhelník, s Coxeterův diagram .	Zkrácený osmistěn,
4D	5 D
Zkrácená 16 buněk,	Zkrácený 5-orthoplex,

A jednotný polytop dimenze tři nebo vyšší je a vrchol-tranzitivní polytop ohraničený uniformou fazety. Jednotné polytopy ve dvou rozměrech jsou pravidelné mnohoúhelníky (definice je odlišná ve 2 dimenzích, aby se vyloučily vertex-tranzitivní sudé polygony, které střídají dvě různé délky hran).

Toto je zevšeobecnění starší kategorie semiregulární polytopes, ale zahrnuje také běžné polytopy. Dále, hvězda pravidelná tváře a vrcholové postavy (hvězdné polygony ), což značně rozšiřuje možná řešení. Striktní definice vyžaduje, aby jednotné polytopy byly konečné, zatímco rozsáhlejší definice to umožňuje jednotné voštiny (2-dimenzionální obklady a vyšší dimenzionální voštiny ) z Euklidovský a hyperbolický prostor považovat také za polytopy.

Operace

Téměř každý jednotný mnohostěn může být generován a Wythoffova konstrukce, a představovaný a Coxeterův diagram. Mezi významné výjimky patří velký dirhombicosidodecahedron ve třech rozměrech a velký antiprism ve čtyřech rozměrech. Terminologie konvexních uniformních polytopů používaných v jednotný mnohostěn, jednotný 4-polytop, jednotný 5-polytop, jednotný 6-polytop, jednotné obklady, a konvexní jednotný plástev články vytvořil Norman Johnson.^{[Citace je zapotřebí ]}

Ekvivalentně lze wythoffovské polytopy generovat aplikací základních operací na běžné polytopy v dané dimenzi. Tento přístup poprvé použil Johannes Kepler, a je základem Conwayova mnohostěnová notace.

Provozovatelé oprav

Pravidelné n-polytopy mají n objednávky náprava. Nultá oprava je původní podoba. (n-1) -tá oprava je dvojí. A náprava redukuje hrany na vrcholy, a směrování redukuje plochy na vrcholy, a trirektifikace redukuje buňky na vrcholy, a quadirectification redukuje 4 tváře na vrcholy, a quintirectification zmenšil 5 tváří na vrcholy atd.

Prodloužený Schläfliho symbol lze použít k reprezentaci opravených formulářů s jediným dolním indexem:

• k-tá oprava = t_k{str₁, str₂, ..., s_n-1} = kr.

Provozovatelé zkrácení

Zkrácené operace, které lze použít na pravidelné n-polytopes v jakékoli kombinaci. Výsledný Coxeterův diagram má dva prstencové uzly a operace je pojmenována podle vzdálenosti mezi nimi. Zkrácení řeže vrcholy, cantellation řezání hran, runcination střihy tváří, sterilizace vyříznout buňky. Každá vyšší operace také řeže i ty nižší, takže cantellation také zkrátí vrcholy.

1. t_0,1 nebo t: Zkrácení - aplikován na mnohoúhelníky a vyšší. Zkrácení odstraní vrcholy a vloží novou fazetu na místo každého bývalého vrcholu. Tváře jsou zkráceny a jejich hrany se zdvojnásobí. (Termín, vytvořen Kepler, pochází z latiny truncare 'odříznout'.)

   

   • Existují také vyšší zkrácení: bitruncation t_1,2 nebo 2t, tritruncation t_2,3 nebo 3t, quadritruncation t_3,4 nebo 4t, quintitruncation t_4,5 nebo 5t, atd.
2. t_0,2 nebo rr: Kanylace - aplikován na mnohostěn a vyšší. Lze to považovat za nápravu náprava. Kanála zkrátí vrcholy i hrany a nahradí je novými fazetami. Buňky jsou nahrazeny topologicky rozšířený jejich kopie. (Termín, který vytvořil Johnson, je odvozen od slovesa převýšení, jako úkos, což znamená řezat se šikmou tváří.)

   

   • Existují také vyšší cantelace: bicantellation t_1,3 nebo r2r, trikantelace t_2,4 nebo r3r, kvadricantellace t_3,5 nebo r4r, atd.
   • t_0,1,2 nebo tr: Cantitruncation - aplikován na mnohostěn a vyšší. Je to vidět jako zkrácení jeho náprava. Cantitruncation zkrátí vrcholy i hrany a nahradí je novými fazetami. Buňky jsou nahrazeny topologicky rozšířený jejich kopie. (Souhrnný termín kombinuje cantellaci a zkrácení)
     • Existují také vyšší cantelace: bicantitruncation t_1,2,3 nebo t2r, tricantitruncation t_2,3,4 nebo t3r, quadricantitruncation t_3,4,5 nebo t4r, atd.
3. t_0,3: Runcination - aplikován na Jednotný 4-polytop a vyšší. Runcination zkrátí vrcholy, hrany a plochy a nahradí je každý novými fazetami. 4 tváře jsou nahrazeny topologicky rozšířenými kopiemi. (Termín, který vytvořil Johnson, je odvozen z latiny runcina 'tesaři letadlo '.)
   • Existují také vyšší runcinace: biruncination t_1,4, triruncinace t_2,5, atd.
4. t_0,4 nebo 2r2r: Sterilizace - aplikován na Jednotné 5-polytopes a vyšší. Lze na něj pohlížet jako na směřující jeho směrování. Sterilizace zkrátí vrcholy, hrany, plochy a buňky a každý nahradí novými fazetami. 5 tváří je nahrazeno topologicky rozšířenými vlastními kopiemi. (Termín, který vytvořil Johnson, je odvozen z řečtiny stereos 'pevný'.)
   • Existují také vyšší sterilizace: bisterikace t_1,5 nebo 2r3r, tristerikace t_2,6 nebo 2r4r, atd.
   • t_0,2,4 nebo 2t2r: Stericantellation - aplikován na Jednotné 5-polytopes a vyšší. Lze to považovat za bitrunování jeho směrování.
     • Existují také vyšší sterilizace: bistericantellace t_1,3,5 nebo 2t3r, tristericantellation t_2,4,6 nebo 2t4r, atd.
5. t_0,5: Pentellation - aplikován na Jednotné 6-polytopes a vyšší. Pentellation zkrátí vrcholy, hrany, tváře, buňky a 4 tváře a každý nahradí novými fazetami. 6 tváří je nahrazeno topologicky rozšířenými kopiemi. (Pentellace je odvozena z řečtiny pente 'Pět'.)
   • Existují také vyšší pentellations: bipentellation t_1,6, tripentellation t_2,7, atd.
6. t_0,6 nebo 3r3r: Hexikace - aplikován na Jednotné 7-polytopes a vyšší. Lze to považovat za trirektifikaci své trirektifikace. Hexikace zkrátí vrcholy, hrany, tváře, buňky, 4 tváře a 5 tváří a každý nahradí novými fazetami. Sedm tváří je nahrazeno topologicky rozšířenými vlastními kopiemi. (Hexikace je odvozena z řečtiny hex 'šest'.)
   • Existují také vyšší hexifikace: bihexikace: t_1,7 nebo 3r4r, trihexikace: t_2,8 nebo 3r5r, atd.
   • t_0,3,6 nebo 3t3r: Hexiruncinated - aplikován na Jednotné 7-polytopes a vyšší. Lze to považovat za tritruntování jeho trirektifikace.
     • Existují také vyšší hexiruncinace: bihexiruncinated: t_1,4,7 nebo 3t4r, trihexiruncinated: t_2,5,8 nebo 3t5r, atd.
7. t_0,7: Heptellace - aplikován na Jednotné 8-polytopes a vyšší. Heptellace zkrátí vrcholy, hrany, tváře, buňky, 4 tváře, 5 tváří a 6 tváří a každý nahradí novými fazetami. 8 tváří je nahrazeno topologicky rozšířenými vlastními kopiemi. (Heptellace je odvozena z řečtiny Hepta ‚sedm '.)
   • Existují také vyšší heptellace: biheptellation t_1,8, triheptellation t_2,9, atd.
8. t_0,8 nebo 4r4r: Octellation - aplikován na Jednotné 9-polytopes a vyšší.
9. t_0,9: Ennecation - aplikován na Jednotné 10-polytopes a vyšší.

Kromě toho lze provádět kombinace zkrácení, které také generují nové jednotné polytopy. Například a runcitruncation je runcination a zkrácení aplikovány společně.

Pokud jsou použity všechny zkrácení najednou, lze operaci obecně nazvat an omnitruncation.

Střídání

Střídání a zkrácený cuboctahedron vyrábí a urážka kostka.

Jedna speciální operace, tzv střídání, odstraní alternativní vrcholy z mnohostěnu pouze s rovnoměrnými plochami. Alternativní všesměrový polytop se nazývá a urážet.

Výsledné polytopy lze vždy konstruovat a nejsou obecně reflexní a také obecně nemají jednotný řešení polytopů.

Sada polytopů vytvořených střídáním hyperkrychle jsou známé jako demicubes. Ve třech rozměrech to vytváří a čtyřstěn; ve čtyřech rozměrech to vytváří a 16 buněk nebo demitesseract.

Vrcholová postava

Z nich lze sestrojit jednotné polytopy vrchol obrázek, uspořádání hran, ploch, buněk atd. kolem každého vrcholu. Jednotné polytopy představované a Coxeterův diagram, označující aktivní zrcadla kroužky, mají reflexní symetrii a lze je jednoduše konstruovat rekurzivními odrazy vrcholné figury.

Menší počet nereflexních uniformních polytopů má jednu vrcholnou postavu, ale neopakuje se jednoduchými odrazy. Většina z nich může být reprezentována operacemi jako střídání jiných jednotných polytopů.

Čísla vrcholů pro Coxeterovy diagramy s jedním prstencem lze z diagramu sestrojit odstraněním prstencového uzlu a vyzváněním sousedních uzlů. Tyto vrcholové postavy jsou samy o sobě vrcholné.

Mnohostěnné polytopy lze zkonstruovat o něco složitějším konstrukčním procesem a jejich topologie není jednotným polytopem. Například vrcholová figura a zkrácen obyčejný mnohostěn (se 2 kroužky) je pyramida. An všudypřítomný mnohostěn (všechny uzly vyzváněly) bude mít vždy nepravidelný simplexní jako jeho vrcholná postava.

Circumradius

Jednotné polytopy mají stejnou délku hran a všechny vrcholy jsou ve stejné vzdálenosti od středu, nazývané circumradius.

Lze použít jednotné polytopy, jejichž obvod je rovný délce hrany vrcholové postavy pro jednotné voštiny. Například pravidelné šestiúhelník se dělí na 6 rovnostranných trojúhelníků a je vrcholnou hodnotou pro regulární trojúhelníkové obklady. Také cuboctahedron rozděluje se na 8 pravidelných čtyřstěnů a 6 čtvercových pyramid (polovina osmistěn ) a jedná se o vrcholnou hodnotu pro střídaný kubický plástev.

Jednotné polytopy podle rozměru

Je užitečné klasifikovat jednotné polytopy podle rozměrů. To odpovídá počtu uzlů na Coxeterově diagramu nebo počtu hyperplánů ve Wythoffianově konstrukci. Protože (n+1) -rozměrné polytopy jsou obklady n-dimenzionální sférický prostor, obklady n-dimenzionální Euklidovský a hyperbolický prostor jsou také považovány za (n+1) -dimenzionální. Proto jsou obklady dvourozměrného prostoru seskupeny s trojrozměrnými tělesy.

Jedna dimenze

Jediným jednorozměrným mnohostěnem je úsečka. Odpovídá rodině Coxeterů A.₁.

Dva rozměry

Ve dvou rozměrech existuje nekonečná rodina konvexních uniformních polytopů, tzv pravidelné mnohoúhelníky, nejjednodušší je rovnostranný trojúhelník. Zkrácené pravidelné polygony jsou geometricky dvoubarevné quasiregular polygony s dvojnásobným počtem stran, t {p} = {2p}. Níže je zobrazeno prvních několik pravidelných mnohoúhelníků (a kvaziregulárních tvarů):

název	Trojúhelník (2-simplexní )	Náměstí (2-orthoplex ) (2 kostky )	Pentagon	Šestiúhelník	Sedmiúhelník	Osmiúhelník	Enneagon	Decagon	Hendecagon
Schläfli	{3}	{4} t {2}	{5}	{6} t {3}	{7}	{8} t {4}	{9}	{10} t {5}	{11}
Coxeter diagram
obraz
název	Dodekagon	Tridecagon	Tetradekagon	Pentadekagon	Hexadekagon	Heptadekagon	Octadecagon	Enneadecagon	Icosagon
Schläfli	{12} t {6}	{13}	{14} t {7}	{15}	{16} t {8}	{17}	{18} t {9}	{19}	{20} t {10}
Coxeter diagram
obraz

K dispozici je také nekonečná sada hvězdné polygony (pro každého jeden racionální číslo větší než 2), ale nejsou konvexní. Nejjednodušším příkladem je pentagram, což odpovídá racionálnímu číslu 5/2. Obyčejné hvězdicové polygony, {p / q}, mohou být zkráceny na semiregulární hvězdné polygony, t {p / q} = t {2p / q}, ale stanou se dvojitými kryty q je sudý. Zkrácení lze provést také pomocí polygonu s obrácenou orientací t {p / (p-q)} = {2p / (p-q)}, například t {5/3} = {10/3}.

název	Pentagram	Heptagramy		Octagram	Enneagramy		Dekagram	...n-agramů
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3} t {4/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3} t {5/3}	{p / q}
Coxeter diagram
obraz

Pravidelné mnohoúhelníky, zastoupené Schläfliho symbol {p} pro p-gon. Pravidelné polygony jsou samy duální, takže oprava vytvoří stejný polygon. Jednotná operace zkrácení zdvojnásobí strany na {2p}. Operace snub, která střídá zkrácení, obnoví původní polygon {p}. Všechny jednotné polygony jsou tedy také pravidelné. Následující operace lze provést na regulárních polygonech, aby se odvodily uniformní polygony, které jsou také regulárními polygony:

Úkon	Rozšířené Schläfli Symboly		Pravidelný výsledek	Coxeter diagram	Pozice		Symetrie
					(1)	(0)
Rodič	{p}	t0{p}	{p}		{}	--	[p] (objednávka 2p)
Opraveno (Dvojí)	r {p}	t1{p}	{p}		--	{}	[p] (objednávka 2p)
Zkráceno	t {p}	t0,1{p}	{2p}		{}	{}	[[p]] = [2p] (objednávka 4p)
Polovina	h {2p}		{p}		--	--	[1+, 2p] = [p] (objednávka 2p)
Snub	s {p}		{p}		--	--	[[p]]+= [p] (objednávka 2p)

Tři rozměry

Ve třech rozměrech bude situace zajímavější. Existuje pět konvexních pravidelných mnohostěnů, známých jako Platonické pevné látky:

název	Schläfli {p, q}	Diagram	obraz (průhledný)	obraz (pevný)	obraz (koule)	Tváře {p}	Hrany	Vrcholy {q}	Symetrie	Dvojí
Čtyřstěn (3-simplexní ) (Pyramida)	{3,3}					4 {3}	6	4 {3}	Td	(já)
Krychle (3 kostky ) (Hexahedron)	{4,3}					6 {4}	12	8 {3}	Óh	Octahedron
Octahedron (3-orthoplex )	{3,4}					8 {3}	12	6 {4}	Óh	Krychle
Dodecahedron	{5,3}					12 {5}	30	20 {3}2	Jáh	Dvacetistěnu
Dvacetistěnu	{3,5}					20 {3}	30	12 {5}	Jáh	Dodecahedron

Kromě nich existuje také 13 semiregular polyhedra, nebo Archimédovy pevné látky, které lze získat prostřednictvím Wythoffovy konstrukce, nebo prováděním operací, jako je zkrácení na platonických pevných látkách, jak ukazuje následující tabulka:

	Rodič	Zkráceno	Opraveno	Bitruncated (tr. duální)	Usměrněný (dvojí)	Cantellated	Omnitruncated (Cantitruncated)	Snub
Čtyřboká 3-3-2	{3,3}	(3.6.6)	(3.3.3.3)	(3.6.6)	{3,3}	(3.4.3.4)	(4.6.6)	(3.3.3.3.3)
Osmistěn 4-3-2	{4,3}	(3.8.8)	(3.4.3.4)	(4.6.6)	{3,4}	(3.4.4.4)	(4.6.8)	(3.3.3.3.4)
Icosahedral 5-3-2	{5,3}	(3.10.10)	(3.5.3.5)	(5.6.6)	{3,5}	(3.4.5.4)	(4.6.10)	(3.3.3.3.5)

K dispozici je také nekonečná sada hranoly, jeden pro každý regulární mnohoúhelník a odpovídající sadu antiprismy.

#	název	Obrázek	Obklady	Vrchol postava	Diagram a Schläfli symboly
P2 s	Hranol				tr {2, p}
Ap	Antiprism				sr {2, p}

Mezi uniformní hvězdné mnohostěny patří další 4 pravidelné hvězdné mnohostěny, dále jen Kepler-Poinsotův mnohostěn a 53 polohranných hvězd mnohostěnů. Existují také dvě nekonečné množiny, hvězdné hranoly (jeden pro každý hvězdný polygon) a hvězdné antiprizmy (jeden pro každé racionální číslo větší než 3/2).

Stavby

Wythoffianské jednotné mnohostěny a obklady lze definovat podle nich Wythoffův symbol, který specifikuje základní region objektu. Rozšíření Schläfli notace, také používá Coxeter, platí pro všechny rozměry; skládá se z písmene „t“, za nímž následuje řada indexovaných čísel odpovídajících prstencovým uzlům Coxeterův diagram, a poté následuje Schläfliho symbol běžného semenného mnohostoru. Například zkrácený osmistěn je reprezentován zápisem: t_0,1{3,4}.

Úkon	Schläfli Symbol			Coxeter diagram		Wythoff symbol	Pozice:
Rodič	${displaystyle {egin {Bmatrix} p, qend {Bmatrix}}}$	{p, q}	t0{p, q}			q | 2 str	{p}	{ }	--	--	--	{ }
Usměrněný (nebo dvojí)	${displaystyle {egin {Bmatrix} q, pend {Bmatrix}}}$	{q, p}	t2{p, q}			p | 2 q	--	{ }	{q}	{ }	--	--
Zkráceno	${displaystyle t {egin {Bmatrix} p, qend {Bmatrix}}}$	t {p, q}	t0,1{p, q}			2 q | p	{2p}	{ }	{q}	--	{ }	{ }
Bitruncated (nebo zkrácený duální)	${displaystyle t {egin {Bmatrix} q, pend {Bmatrix}}}$	t {q, p}	t1,2{p, q}			2 p | q	{p}	{ }	{2q}	{ }	{ }	--
Opraveno	${displaystyle {egin {Bmatrix} p qend {Bmatrix}}}$	r {p, q}	t1{p, q}			2 | p q	{p}	--	{q}	--	{ }	--
Cantellated (nebo rozšířený )	${displaystyle r {egin {Bmatrix} p qend {Bmatrix}}}$	rr {p, q}	t0,2{p, q}			p q | 2	{p}	{ }×{ }	{q}	{ }	--	{ }
Cantitruncated (nebo Omnitruncated )	${displaystyle t {egin {Bmatrix} p qend {Bmatrix}}}$	tr {p, q}	t0,1,2{p, q}			2 p q |	{2p}	{ }×{}	{2q}	{ }	{ }	{ }

Úkon	Schläfli Symbol			Coxeter diagram		Wythoff symbol	Pozice:
Snub opravil	${displaystyle s {egin {Bmatrix} p qend {Bmatrix}}}$	sr {p, q}				| 2 p q	{p}	{3} {3}	{q}	--	--	--
Snub	${displaystyle s {egin {Bmatrix} p, qend {Bmatrix}}}$	s {p, 2q}	ht0,1{p, q}				s {2p}	{3}	{q}	--	{3}

Generování trojúhelníků

Čtyři rozměry

Ve čtyřech rozměrech je jich 6 konvexní pravidelné 4-polytopy, 17 hranolů na platonických a archimédských tělesech (kromě krychlového hranolu, který již byl počítán jako tesseract ) a dvě nekonečné množiny: hranoly na konvexních antiprismech a duoprismy. Existuje také 41 konvexních semiregulárních 4-polytopů, včetně ne-wythoffian velký antiprism a potlačit 24 buněk. Oba tyto speciální 4-polypy jsou složeny z podskupin vrcholů 600 buněk.

Čtyřrozměrné jednotné hvězdné polytopy nebyly všechny vyjmenovány. Mezi ty, které obsahují 10 pravidelných hvězd (Schläfli-Hess), 4-polytopy a 57 hranolů na jednotné hvězdné mnohostěně, stejně jako tři nekonečné rodiny: hranoly na hvězdných antiprismech, duoprismy tvořené množení dva hvězdné polygony a duoprismy vzniklé vynásobením obyčejného polygonu hvězdným polygonem. Existuje neznámý počet 4-polytopů, které nespadají do výše uvedených kategorií; dosud bylo objeveno přes tisíc.

Příklad čtyřstěnu v kubický plástev buňka.
Existují 3 pravé vzepětí (2 protínající se kolmá zrcadla):
Hrany 1 až 2, 0 až 2 a 1 až 3.

Souhrnný graf operací zkrácení

Každý běžný mnohostěn lze chápat jako obrazy a základní region v malém počtu zrcadel. V 4-dimenzionálním polytopu (nebo 3-dimenzionálním kubickém plástve) je základní oblast ohraničena čtyřmi zrcadly. Zrcadlo ve 4-prostoru je trojrozměrné nadrovina, ale pro naše účely je pohodlnější uvažovat pouze o jeho dvojrozměrném průsečíku s trojrozměrným povrchem hypersféra; tak zrcadla tvoří nepravidelný čtyřstěn.

Každý ze šestnácti běžné 4-polytopes je generován jednou ze čtyř skupin symetrie následujícím způsobem:

• skupina [3,3,3]: 5článková {3,3,3}, které je samo-duální;
• skupina [3,3,4]: 16 buněk {3,3,4} a jeho duální tesseract {4,3,3};
• skupina [3,4,3]: 24článková {3,4,3}, self-dual;
• skupina [3,3,5]: 600 buněk {3,3,5}, jeho duální 120 buněk {5,3,3} a jejich deset pravidelných hvězd.
• skupina [3^1,1,1]: obsahuje pouze opakované členy rodiny [3,3,4].

(Skupiny jsou pojmenovány v Coxeterova notace.)

Osm z konvexní jednotné voštiny v euklidovském 3-prostoru jsou analogicky generovány z kubický plástev {4,3,4}, použitím stejných operací, které se používají ke generování Wythoffianských uniformních 4-polytopů.

Pro daný simplex symetrie může být generující bod umístěn na kterýkoli ze čtyř vrcholů, 6 hran, 4 ploch nebo vnitřního objemu. Na každém z těchto 15 prvků je bod, jehož obrazy, odrážející se ve čtyřech zrcadlech, jsou vrcholy jednotného 4-polytopu.

Rozšířené symboly Schläfli jsou vyrobeny a t následuje zařazení jednoho až čtyř indexů 0,1,2,3. Pokud existuje jeden dolní index, generující bod je v rohu základní oblasti, tj. V bodě, kde se setkávají tři zrcadla. Tyto rohy jsou označeny jako

• 0: vrchol mateřského 4-polytopu (střed buňky duálního)
• 1: střed okraje rodiče (střed tváře duálu)
• 2: střed tváře rodiče (střed okraje duálního)
• 3: střed rodičovské buňky (vrchol duálu)

(U dvou samostatných 4-polytopů znamená „dual“ podobný 4-polytop v duální poloze.) Dva nebo více dolních indexů znamená, že generující bod je mezi vyznačenými rohy.

Konstruktivní shrnutí

Níže je shrnuto 15 konstruktivních forem podle rodiny. Self-dual rodiny jsou uvedeny v jednom sloupci a jiné jako dva sloupce se sdílenými položkami na symetrii Coxeterovy diagramy. Poslední 10. řádek obsahuje seznam konstrukcí s 24 buňkami. To zahrnuje všechny neprismatické jednotné 4-polytopy, s výjimkou ne-wythoffian velký antiprism, která nemá žádnou rodinu Coxeterů.

A4	před naším letopočtem4		D4	F4	H4
[3,3,3]	[4,3,3]		[3,31,1]	[3,4,3]	[5,3,3]
5článková {3,3,3}	16 buněk {3,3,4}	tesseract {4,3,3}	demitesseract {3,31,1}	24článková {3,4,3}	600 buněk {3,3,5}	120 buněk {5,3,3}
rektifikovaný 5článkový r {3,3,3}	rektifikovaná 16článková r {3,3,4}	opravený tesseract r {4,3,3}	opravený demitesseract r {3,31,1}	rektifikovaná 24článková r {3,4,3}	opraveno 600 buněk r {3,3,5}	rektifikovaný 120 buněk r {5,3,3}
zkrácená 5článková t {3,3,3}	zkrácený 16 buněk t {3,3,4}	zkrácený tesseract t {4,3,3}	zkrácený demitesseract t {3,31,1}	zkrácený 24 buněk t {3,4,3}	zkrácený 600 buněk t {3,3,5}	zkrácený 120 buněk t {5,3,3}
cantellated 5-cell rr {3,3,3}	kanylovaný 16 buněk rr {3,3,4}	kanylovaný tesseract rr {4,3,3}	cantelated demitesseract 2r {3,31,1}	kanylovaný 24 buněk rr {3,4,3}	kanylovaný 600 buněk rr {3,3,5}	kanylovaný 120 buněk rr {5,3,3}
runcinated 5-cell t0,3{3,3,3}	runcinated 16-cell t0,3{3,3,4}	runcinovaný tesseract t0,3{4,3,3}		runcinated 24-cell t0,3{3,4,3}	runcinated 600-cell runcinated 120-cell t0,3{3,3,5}
bitruncated 5 buněk t1,2{3,3,3}	bitruncated 16 buněk 2t {3,3,4}	bitruncated tesseract 2t {4,3,3}	cantitruncated demitesseract 2t {3,31,1}	bitruncated 24 buněk 2t {3,4,3}	bitruncated 600 buněk bitruncated 120 buněk 2t {3,3,5}
cantitruncated 5-cell tr {3,3,3}	cantitruncated 16-cell tr {3,3,4}	cantitruncated tesseract tr {4,3,3}	omnitruncated demitesseract tr {3,31,1}	cantitruncated 24-cell tr {3,4,3}	cantitruncated 600-cell tr {3,3,5}	cantitruncated 120-cell tr {5,3,3}
runcitruncated 5-cell t0,1,3{3,3,3}	runcitruncated 16 buněk t0,1,3{3,3,4}	runcitruncated tesseract t0,1,3{4,3,3}	runcicantellated demitesseract rr {3,31,1}	runcitruncated 24 buněk t0,1,3{3,4,3}	runcitruncated 600-cell t0,1,3{3,3,5}	runcitruncated 120-cell t0,1,3{5,3,3}
omnitruncated 5-cell t0,1,2,3{3,3,3}	omnitruncated 16-cell t0,1,2,3{3,3,4}	všesměrový tesseract t0,1,2,3{3,3,4}		omnitruncated 24-cell t0,1,2,3{3,4,3}	omnitruncated 120-cell omnitruncated 600-cell t0,1,2,3{5,3,3}
	střídaný 16bitový kanál sr {3,3,4}		potlačit demitesseract sr {3,31,1}	Střídavě zkrácená 24článková s {3,4,3}

Zkrácené formy

Následující tabulka definuje všech 15 formulářů. Každá trunkční forma může mít jeden až čtyři typy buněk umístěné na pozicích 0,1,2,3, jak je definováno výše. Buňky jsou označeny polyedrickou zkrácenou notací.

• An n-gonal hranol je reprezentován jako: {n} × {2}.
• Zelené pozadí se zobrazuje na formulářích, které jsou ekvivalentní buď s rodiči, nebo s duálními.
• Červené pozadí ukazuje zkrácení rodiče a modré zkrácení duálního.

Úkon	Schläfliho symbol		Coxeter diagram	Buňky podle pozice:
				(3)	(2)	(1)	(0)
Rodič	{p, q, r}	t0{p, q, r}		{p, q}	--	--	--
Opraveno	r {p, q, r}	t1{p, q, r}		r {p, q}	--	--	{q, r}
Usměrněný (nebo opravený duální)	2r {p, q, r} = r {r, q, p}	t2{p, q, r}		{q, p}	--	--	r {q, r}
Trirektifikovaný (nebo dvojí )	3r {p, q, r} = {r, q, p}	t3{p, q, r}		--	--	--	{r, q}
Zkráceno	t {p, q, r}	t0,1{p, q, r}		t {p, q}	--	--	{q, r}
Bitruncated	2t {p, q, r}	2t {p, q, r}		t {q, p}	--	--	t {q, r}
Tritruncated (nebo zkrácený duální)	3t {p, q, r} = t {r, q, p}	t2,3{p, q, r}		{q, p}	--	--	t {r, q}
Cantellated	rr {p, q, r}	t0,2{p, q, r}		rr {p, q}	--	{} × {r}	r {q, r}
Bicantellated (nebo cantellated dual)	r2r {p, q, r} = rr {r, q, p}	t1,3{p, q, r}		r {p, q}	{p} × {}	--	rr {q, r}
Runcinated (nebo rozšířený )	e {p, q, r}	t0,3{p, q, r}		{p, q}	{p} × {}	{} × {r}	{r, q}
Cantitruncated	tr {p, q, r}	tr {p, q, r}		tr {p, q}	--	{} × {r}	t {q, r}
Bicantitruncated (nebo cantitruncated dual)	t2r {p, q, r} = tr {r, q, p}	t1,2,3{p, q, r}		t {q, p}	{p} × {}	--	tr {q, r}
Runcitruncated	Et{p, q, r}	t0,1,3{p, q, r}		t {p, q}	{2p} × {}	{} × {r}	rr {q, r}
Runcicantellated (nebo runcitruncated dual)	E3t{p, q, r} = et{r, q, p}	t0,2,3{p, q, r}		tr {p, q}	{p} × {}	{} × {2r}	t {r, q}
Runcicantitruncated (nebo všudypřítomný )	o {p, q, r}	t0,1,2,3{p, q, r}		tr {p, q}	{2p} × {}	{} × {2r}	tr {q, r}

Poloviční formy

Poloviční konstrukce existují s díry spíše než prstencové uzly. Pobočky sousedící díry a neaktivní uzly musí být sudé. Poloviční konstrukce má vrcholy identicky prstencovité konstrukce.

Úkon	Schläfliho symbol		Coxeter diagram	Buňky podle pozice:
				(3)	(2)	(1)	(0)
Polovina Střídavě	h {p, 2q, r}	ht0{p, 2q, r}		h {p, 2q}	--	--	--
Střídavě opraveno	hod {2p, 2q, r}	ht1{2p, 2q, r}		h {2p, 2q}	--	--	h {2q, r}
Snub Střídavé zkrácení	s {p, 2q, r}	ht0,1{p, 2q, r}		s {p, 2q}	--	--	h {2q, r}
Bisnub Alternativní bitruncation	2 s {2p, q, 2r}	ht1,2{2p, q, 2r}		s {q, 2p}	--	--	s {q, 2r}
Snub opravil Střídavě zkráceno usměrněno	sr {p, q, 2r}	ht0,1,2{p, q, 2r}		sr {p, q}	--	s {2,2r}	s {q, 2r}
Omnisnub Alternativní omnitruncation	os {p, q, r}	ht0,1,2,3{p, q, r}		sr {p, q}	{p} × {}	{} × {r}	sr {q, r}

Pět a vyšší dimenze

V pěti a vyšších dimenzích jsou 3 běžné polytopy, hyperkrychle, simplexní a křížový mnohostěn. Jsou to zobecnění trojrozměrné krychle, čtyřstěnu a osmistěny. V těchto rozměrech nejsou žádné běžné hvězdné polytopy. Nej uniformnější výškové polytopy se získají úpravou pravidelných polytopů nebo převzetím kartézského součinu polytopů nižších rozměrů.

V šesti, sedmi a osmi rozměrech je výjimečný jednoduché Lieovy skupiny, E₆, E₇ a E₈ Pojď do hry. Umístěním prstenů na nenulový počet uzlů Coxeterovy diagramy, lze získat 63 nových 6-polytopů, 127 nových 7-polytopů a 255 nových 8-polytopů. Pozoruhodným příkladem je 4₂₁ polytop.

Jednotné voštiny

S tématem konečných jednotných polytopů souvisí jednotné voštiny v euklidovských a hyperbolických prostorech. Euklidovské jednotné voštiny jsou generovány afinní skupiny Coxeter a hyperbolické voštiny jsou generovány hyperbolické skupiny Coxeter. Mohou být vynásobeny dvě afinní skupiny Coxeter.

Existují dvě třídy hyperbolických Coxeterových skupin, kompaktní a paracompaktní. Jednotné voštiny generované kompaktními skupinami mají konečné fazety a vrcholové postavy a existují ve 2 až 4 dimenzích. Skupiny Paracompact mají afinní nebo hyperbolické podgrafy a nekonečné fazety nebo vrcholové postavy a existují ve 2 až 10 dimenzích.

Viz také

• Schläfliho symbol

Reference

• Coxeter Krása geometrie: Dvanáct esejůPublikace Dover, 1999, ISBN  978-0-486-40919-1 (Kapitola 3: Wythoffova konstrukce pro jednotné polytopy)
• Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
  • N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
• A. Boole Stott: Geometrický dedukce semiregular z pravidelných polytopů a prostorových výplní, Verhandelingen z Koninklijke akademie van Wetenschappen šířka jednotky Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• H.S.M. Coxeter:
  • H.S.M. Coxeter, SLEČNA. Longuet-Higgins a J.C.P. Mlynář: Jednotná mnohostěna, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973
• Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6
  • (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Jednotná mnohostěna, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50. (Používá se rozšířená Schläfliho notace)
• Marco Möller, Vierdimensionale Archimedische Polytope, Dizertační práce, Universität Hamburg, Hamburg (2004) (v němčině)

externí odkazy

• Olshevsky, Georgi. "Jednotný mnohostěn". Glosář pro hyperprostor. Archivovány od originál dne 4. února 2007.
• jednotné konvexní polytopy ve čtyřech rozměrech:, Marco Möller (v němčině)