Petrie dual - Petrie dual
v teorie topologických grafů, Petrie dual z vložený graf (na 2-potrubí se všemi tvářemi disky) je další vložený graf, který má Petrie polygony prvního vložení jako jeho tváře.[1]
Petrieho dual se také nazývá Petriálnía dvojice Petrie vloženého grafu mohou být označeny .[2]Lze jej získat od podepsaného rotační systém nebo pásový graf znázornění vložení otočením každého okraje vložení.
Vlastnosti
Jako obvykle duální graf opakováním Petrieho duální operace se dvakrát vrátíte k původnímu vložení povrchu. Na rozdíl od obvyklého duálního grafu (což je vložení obecně odlišného grafu do stejné plochy) je Petrieho duální vložení stejného grafu do obecně jiného povrchu.[1]
Povrchová dualita a Petrieho dualita jsou dvě ze šesti Operace Wilson a společně vygenerují skupinu těchto operací.[3]
Pravidelný mnohostěn
Aplikování Petrie dual na a pravidelný mnohostěn vyrábí a běžná mapa.[2] Počet zkosení h-gonal face is G/2h, kde G je skupinová objednávka, a h je číslo coxeteru skupiny.
Například Petrieho duální kostka (a bipartitní graf s osmi vrcholy a dvanácti hranami vloženými do koule se šesti čtvercovými plochami) má čtyři[4] šestihranné plochy, rovníky krychle. Topologicky tvoří vložení stejného grafu do torusu.[1]
Takto získané pravidelné mapy jsou následující.
- The petriální čtyřstěn, {3,3}π, má 4 vrcholy, 6 hran a 3 šikmé čtvercové plochy. S Eulerova charakteristika, χz 1 je topologicky totožný s hemi-kostka, {4,3}/2.
- The petriální kostka, {4,3}π, má 8 vrcholů, 12 hran a 4 šikmé šestiúhelníky, zde zbarvené červeně, zeleně, modře a oranžově. S Eulerovou charakteristikou 0 je také vidět na čtyřech šestihranných plochách šestihranný obklad jako typ {6,3}(2,0).
- The petrial octahedron, {3,4}π, má 6 vrcholů, 12 hran a 4 zkosené šestiúhelníkové plochy. Má Eulerovu charakteristiku −2 a má mapování na hyperbolický objednávka 4 šestihranný obklad, jako typ {6,4}3.
- The petriální dvanáctistěn, {5,3}π, má 20 vrcholů, 30 okrajů a 6 šikmých desetibokých ploch a Eulerovu charakteristiku −4, související s hyperbolickým obkladem jako typ {10,3}5.
- The petrosvětový dvacetistěn, {3,5}π, má 12 vrcholů, 30 hran a 6 šikmých desetibokých ploch a Eulerovu charakteristiku −12, související s hyperbolickým obkladem jako typ {10,5}3.
název | Petriální čtyřstěn | Petriální krychle | Petriální osmistěn | Petriální dvanáctistěn | Petriální dvacetistěnu |
---|---|---|---|---|---|
Symbol | {3,3}π , {4,3}3 | {4,3}π , {6,3}4 | {3,4}π , {6,4}3 | {5,3}π , {10,3} | {3,5}π , {10,5} |
(v, e, f), χ | (4,6,3), χ = 1 | (8,12,4), χ = 0 | (6,12,4), χ = −2 | (20,30,6), χ = −4 | (12,30,6), χ = −12 |
Tváře | 3 šikmé čtverce | 4 zkosené šestiúhelníky | 6 zkosených desítek | ||
obraz | |||||
Animace | |||||
Příbuzný čísla | {4,3}3 = {4,3}/2 = {4,3}(2,0) | {6,3}3 = {6,3}(2,0) | {6,4}3 = {6,4}(4,0) | {10,3}5 | {10,5}3 |
K dispozici jsou také 4 petrialy z Kepler – Poinsotův mnohostěn:
- The petriální velký dvanáctistěn, {5,5/2}π, má 12 vrcholů, 30 hran a 10 zkosených šestiúhelníkových ploch s Eulerova charakteristika, χ, -8.
- The petriální malý hvězdný dodekahedron, {5/2,5}π, má 12 vrcholů, 30 hran a 10 zkosených šestiúhelníkových ploch s χ -8.
- The petrial velký dvacetistěn, {3,5/2}π, má 12 vrcholů, 30 okrajů a 6 zkosení dekagram tváře s χ -12.
- The petriální velký hvězdný dodekahedron, {5/2,3}π, má 20 vrcholů, 30 hran a 6 zkosených desítek ploch s χ -4.
název | Petriální skvělý dvanáctistěn | Petriální malé hvězdné dvanáctistěn | Petriální skvělý dvacetistěnu | Petriální skvěle hvězdný dvanáctistěn |
---|---|---|---|---|
Symbol | {5,5/2}π , {6,5/2} | {5/2,5}π , {6,5} | {3,5/2}π , {10/3,5/2} | {5/2,3}π , {10/3,3} |
(v, e, f), χ | (12,30,10), χ = -8 | (12,30,10), χ = -8 | (12,30,6), χ = -12 | (20,30,6), χ = -4 |
Tváře | 10 šikmých šestiúhelníků | 6 zkosení dekagramy (načrtnutý jeden modrý dekagram) | ||
obraz | ||||
Animace |
Reference
- ^ A b C Gorini, Catherine A. (2000), Geometrie v práci, Poznámky MAA, 53, Cambridge University Press, str. 181, ISBN 9780883851647
- ^ A b McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002), Abstraktní pravidelné Polytopes Encyklopedie matematiky a její aplikace, 92, Cambridge University Press, str. 192, ISBN 9780521814966
- ^ Jones, G. A .; Thornton, J. S. (1983), „Operace na mapách a vnější automatizmy“, Journal of Combinatorial Theory, Řada B, 35 (2): 93–103, doi:10.1016/0095-8956(83)90065-5, PAN 0733017
- ^ Octahedral symetry is order 48, Coxeter number is 6, 48 / (2 × 6) = 4