Eulerova charakteristika - Euler characteristic - Wikipedia

v matematika a konkrétněji v algebraická topologie a polyedrická kombinatorika, Eulerova charakteristika (nebo Eulerovo číslonebo Euler – Poincaréova charakteristika) je topologický invariant, číslo, které popisuje a topologický prostor Tvar nebo struktura bez ohledu na způsob ohýbání. Běžně se označuje ${ displaystyle chi}$ (Řecké malé písmeno chi ).

Eulerova charakteristika byla původně definována pro mnohostěn a slouží k prokázání různých vět o nich, včetně klasifikace Platonické pevné látky. Bylo uvedeno pro platonické pevné látky v roce 1537 v nepublikovaném rukopisu Francesco Maurolico.^[1] Leonhard Euler, pro něž je koncept pojmenován, jej zavedl pro konvexní mnohostěny obecněji, ale nedokázal důsledně dokázat, že jde o invariant. V moderní matematice Eulerova charakteristika vychází z homologie a abstraktněji homologická algebra.

Mnohostěn

The Eulerova charakteristika ${ displaystyle chi}$ byla podle vzorce klasicky definována pro povrchy mnohostěnů

${ displaystyle chi = V-E + F}$

kde PROTI, E, a F jsou příslušně čísla vrcholy (rohy), hrany a tváře v daném mnohostěnu. Žádný konvexní mnohostěn povrch má Eulerovu charakteristiku

${ displaystyle V-E + F = 2.}$

Tuto rovnici uvádí Leonhard Euler v roce 1758,^[2] je známý jako Eulerův mnohostěnný vzorec.^[3] Odpovídá Eulerově charakteristice koule (tj. χ = 2) a platí shodně pro sférický mnohostěn. Ilustrace vzorce na některých mnohostěnách je uvedena níže.

název	obraz	Vrcholy PROTI	Hrany E	Tváře F	Eulerova charakteristika: PROTI − E + F
Čtyřstěn		4	6	4	2
Hexahedron nebo krychle		8	12	6	2
Octahedron		6	12	8	2
Dodecahedron		20	30	12	2
Dvacetistěnu		12	30	20	2

Povrchy nekonvexních mnohostěnů mohou mít různé Eulerovy vlastnosti:

název	obraz	Vrcholy PROTI	Hrany E	Tváře F	Eulerova charakteristika: PROTI − E + F
Tetrahemihexahedron		6	12	7	1
Octahemioctahedron		12	24	12	0
Cubohemioctahedron		12	24	10	−2
Malý hvězdný dvanáctistěn		12	30	12	−6
Velký hvězdný dvanáctistěn		20	30	12	2

U běžných mnohostěnů Arthur Cayley odvodil upravenou formu Eulerova vzorce pomocí hustota D, vrchol obrázek hustota d_protia hustota obličeje ${ displaystyle d_ {f}}$:

${ displaystyle d_ {v} V-E + d_ {f} F = 2D.}$

Tato verze platí jak pro konvexní mnohostěny (kde jsou hustoty všechny 1), tak pro nekonvexní Kepler-Poinsotův mnohostěn.

Projektivní mnohostěn všechny mají Eulerovu charakteristiku 1, jako skutečná projektivní rovina, zatímco povrchy toroidní mnohostěn všechny mají Eulerovu charakteristiku 0, jako torus.

Rovinné grafy

Pro připojenou lze definovat Eulerovu charakteristiku rovinné grafy stejně ${ displaystyle V-E + F}$ vzorec jako pro mnohostěnné povrchy, kde F je počet ploch v grafu, včetně vnější plochy.

Eulerova charakteristika libovolného grafu spojeného s rovinou G je 2. To lze snadno dokázat indukcí počtu ploch určených G, počínaje stromem jako základním případem. Pro stromy ${ displaystyle E = V-1}$ a ${ displaystyle F = 1}$. Pokud má G komponenty C (odpojené grafy), ukazuje to stejný argument indukcí na F ${ displaystyle V-E + F-C = 1}$. Jeden z mála článků o teorii grafů Cauchyho také dokazuje tento výsledek.

Přes stereografická projekce letadlo se mapuje do dvourozměrné sféry, takže připojený graf se mapuje na polygonální rozklad koule, který má Eulerovu charakteristiku 2. Toto hledisko je implicitní v Cauchyově důkazu Eulerova vzorce uvedeného níže.

Důkaz Eulerova vzorce

První kroky důkazu v případě krychle

Existuje mnoho důkazů o Eulerově vzorci. Jeden byl dán Cauchy v roce 1811, následovně. Vztahuje se na jakýkoli konvexní mnohostěn a obecněji na jakýkoli mnohostěn, jehož hranice je topologicky ekvivalentní ke kouli a jehož tváře jsou topologicky ekvivalentní diskům.

Odstraňte jednu stranu polyedrického povrchu. Odtažením okrajů chybějící plochy od sebe přetvořte zbytek do rovinného grafu bodů a křivek takovým způsobem, že obvod chybějící plochy bude umístěn zvenčí a obklopí získaný graf, jak je znázorněno na první ze tří grafů pro speciální případ krychle. (Předpoklad, že polyedrický povrch je na začátku homeomorfní pro kouli, je to, co to umožňuje.) Po této deformaci nejsou pravidelné plochy obecně pravidelné. Počet vrcholů a hran zůstalo stejné, ale počet ploch byl snížen o 1. Proto se prokázání Eulerova vzorce pro mnohostěn redukuje na dokazování PROTI − E + F = 1 pro tento deformovaný, rovinný objekt.

Pokud existuje plocha s více než třemi stranami, nakreslete úhlopříčku - to znamená křivku skrz plochu spojující dva vrcholy, které ještě nejsou spojeny. Přidá jeden okraj a jednu plochu a nezmění počet vrcholů, takže nezmění množství PROTI − E + F. (Předpoklad, že všechny tváře jsou disky, je zde potřeba, aby se ukázal prostřednictvím Jordanova věta o křivce že tato operace zvýší počet ploch o jednu.) Pokračujte v přidávání hran tímto způsobem, dokud nebudou všechny plochy trojúhelníkové.

Opakovaně použijte některou z následujících dvou transformací a zachujte invariant, že vnější hranice je vždy a jednoduchý cyklus:

1. Odstraňte trojúhelník, jehož vnější hrana sousedí pouze s jedním okrajem, jak ukazuje druhý graf. Tím se sníží počet hran a ploch o jednu a nezmění se počet vrcholů, takže se zachová PROTI − E + F.
2. Odstraňte trojúhelník se dvěma hranami sdílenými vnějškem sítě, jak ukazuje třetí graf. Každé odstranění trojúhelníku odstraní vrchol, dvě hrany a jednu plochu, takže se zachová PROTI − E + F.

Tyto transformace nakonec redukují rovinný graf na jediný trojúhelník. (Bez invariantu jednoduchého cyklu by odstranění trojúhelníku mohlo odpojit zbývající trojúhelníky a zneplatnit zbytek argumentu. Platné pořadí odstranění je elementárním příkladem ostřelování.)

V tomto bodě má osamělý trojúhelník PROTI = 3, E = 3 a F = 1, takže PROTI − E + F = 1. Protože každý ze dvou výše uvedených transformačních kroků tuto veličinu zachoval, ukázali jsme si to PROTI − E + F = 1 pro zdeformovaný, rovinný objekt, což se projevuje PROTI − E + F = 2 pro mnohostěn. To dokazuje teorém.

Další důkazy viz Dvacet důkazů Eulerova vzorce podle David Eppstein.^[4] Několik příkladů, včetně jejich nedostatků a omezení, se používá jako příklady v Důkazy a vyvrácení podle Imre Lakatos.^[5]

Topologická definice

Polyedrické povrchy diskutované výše jsou v moderním jazyce dvojrozměrné konečné CW-komplexy. (Jsou-li použity pouze trojúhelníkové plochy, jsou dvojrozměrné konečné zjednodušené komplexy.) Obecně platí, že pro každý konečný komplex CW platí Eulerova charakteristika lze definovat jako střídavý součet

${ displaystyle chi = k_ {0} -k_ {1} + k_ {2} -k_ {3} + cdots,}$

kde k_n označuje počet buněk dimenze n v komplexu.

Podobně pro zjednodušený komplex platí Eulerova charakteristika rovná se střídavý součet

${ displaystyle chi = k_ {0} -k_ {1} + k_ {2} -k_ {3} + cdots,}$

kde k_n označuje počet n-simplexy v komplexu.

Obecněji řečeno, pro všechny topologický prostor, můžeme definovat nth Betti číslo b_n jako hodnost z n-th singulární homologie skupina. The Eulerova charakteristika pak lze definovat jako střídavý součet

${ displaystyle chi = b_ {0} -b_ {1} + b_ {2} -b_ {3} + cdots.}$

Toto množství je dobře definované, pokud jsou čísla Betti konečná a pokud jsou nad určitým indexem nulován₀. Pro zjednodušené komplexy to není stejná definice jako v předchozím odstavci, ale výpočet homologie ukazuje, že obě definice budou mít stejnou hodnotu pro ${ displaystyle chi}$.

Vlastnosti

Eulerova charakteristika se chová dobře s ohledem na mnoho základních operací v topologických prostorech, jak je uvedeno dále.

Homotopy invariance

Homologie je topologický invariant a navíc a homotopy neměnný: Dva topologické prostory, které jsou ekvivalent homotopy mít izomorfní homologické skupiny. Z toho vyplývá, že Eulerova charakteristika je také homotopy neměnná.

Například jakýkoli smluvní prostor (tj. jedna homotopie ekvivalentní bodu) má triviální homologii, což znamená, že 0. Bettiho číslo je 1 a ostatní 0. Proto je jeho Eulerova charakteristika 1. Tento případ zahrnuje Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ jakékoli dimenze, stejně jako pevná jednotková koule v jakémkoli euklidovském prostoru - jednorozměrný interval, dvourozměrný disk, trojrozměrná koule atd.

Pro další příklad je jakýkoli konvexní mnohostěn homeomorfní s trojrozměrným míč, takže jeho povrch je homeomorfní (tedy homotopický ekvivalent) s dvojrozměrným koule, který má Eulerovu charakteristiku 2. To vysvětluje, proč konvexní mnohostěny mají Eulerovu charakteristiku 2.

Princip začlenění - vyloučení

Li M a N jsou libovolné dva topologické prostory, pak je pro ně Eulerova charakteristika disjunktní unie je součet jejich Eulerových charakteristik, protože homologie je aditivní v disjunktním spojení:

${ displaystyle chi (M sqcup N) = chi (M) + chi (N).}$

Obecněji, pokud M a N jsou podprostory většího prostoru X, pak také jejich spojení a průnik. V některých případech se Eulerova charakteristika řídí verzí zásada začlenění - vyloučení:

${ displaystyle chi (M cup N) = chi (M) + chi (N) - chi (M cap N).}$

To platí v následujících případech:

• -li M a N jsou excisivní pár. Zejména pokud interiéry z M a N uvnitř unie stále pokrývají unii.^[6]
• -li X je místně kompaktní prostor a jeden používá Eulerovy charakteristiky s kompaktní podporuje, žádné předpoklady M nebo N jsou potřeba.
• -li X je stratifikovaný prostor všechny jejichž vrstvy jsou rovnoměrné, platí princip zahrnutí – vyloučení, pokud M a N jsou odbory vrstev. To platí zejména, pokud M a N jsou poddruhy a komplex algebraická rozmanitost.^[7]

Obecně je zásada zahrnutí - vyloučení nepravdivá. A protiklad je dána užíváním X být skutečná linie, M A podmnožina skládající se z jednoho bodu a N the doplněk z M.

Připojená suma

Pro dva připojené uzavřené rozdělovače n ${ displaystyle M, N}$ lze získat nové připojené potrubí ${ displaystyle M #N}$přes připojená suma Eulerova charakteristika souvisí se vzorcem ^[8]

${ displaystyle chi (M #N) = chi (M) + chi (N) - chi (S ^ {n}).}$

Vlastnost produktu

Také Eulerova charakteristika každého produktový prostor M × N je

${ displaystyle chi (M krát N) = chi (M) cdot chi (N).}$

Těmto vlastnostem sčítání a násobení se také těší mohutnost z sady. Tímto způsobem lze Eulerovu charakteristiku považovat za zobecnění mohutnosti; vidět [1].

Krycí prostory

Podobně pro k-sheeted pokrývající prostor ${ displaystyle { tilde {M}} na M,}$ jeden má

${ displaystyle chi ({ tilde {M}}) = k cdot chi (M).}$

Obecněji, pro a rozvětvený krycí prostor, Eulerovu charakteristiku krytu lze vypočítat z výše uvedeného, ​​s korekčním faktorem pro body rozvětvení, který získá Riemann – Hurwitzův vzorec.

Fibrační vlastnost

Vlastnost produktu platí mnohem obecněji, protože fibrace za určitých podmínek.

Li ${ displaystyle p tračník E do B}$ je fibrace s vláknem F, se základnou B spojeno s cestou a fibrace je orientovatelná na pole K, potom Eulerova charakteristika s koeficienty v poli K. splňuje vlastnosti produktu:^[9]

${ displaystyle chi (E) = chi (F) cdot chi (B).}$

To zahrnuje produktové prostory a krycí prostory jako speciální případy, což lze prokázat Serre spektrální sekvence o homologii fibrace.

U svazků vláken to lze chápat také ve smyslu a přenosová mapa ${ displaystyle tau dvojtečka H _ {*} (B) až H _ {*} (E)}$ - všimněte si, že se jedná o zvedání a jde „špatnou cestou“ - jejíž složení s projekční mapou ${ displaystyle p _ {*} dvojtečka H _ {*} (E) až H _ {*} (B)}$ je násobení pomocí Eulerova třída vlákna:^[10]

${ displaystyle p _ {*} circ tau = chi (F) cdot 1.}$

Příklady

Povrchy

Eulerovu charakteristiku lze snadno vypočítat pro obecné povrchy nalezením polygonizace povrchu (tj. Popis jako CW-komplex ) a pomocí výše uvedených definic.

název	obraz	Eulerova charakteristika
Interval		1
Kruh		0
Disk		1
Koule		2
Torus (Produkt dvou kruhů)		0
Dvojitý torus		−2
Trojitý torus		−4
Skutečná projektivní rovina		1
Möbiusův proužek		0
Kleinova láhev		0
Dvě koule (nepřipojené) (Nespojené spojení dvou sfér)		2 + 2 = 4
Tři koule (nepřipojeno) (Nesouvislé spojení tří koulí)		2 + 2 + 2 = 6

Fotbalový míč

Je běžné konstruovat fotbalové míče spojením pětiúhelníkových a šestihranných dílů, přičemž tři kusy se setkávají u každého vrcholu (viz například Adidas Telstar ). Li P pětiúhelníky a H používají se šestiúhelníky, pak existují F = P + H tváře, PROTI = (5 P + 6 H) / 3 vrcholy a E = (5 P + 6 H) / 2 hrany. Eulerova charakteristika je tedy

${ displaystyle V-E + F = { frac {5P + 6H} {3}} - { frac {5P + 6H} {2}} + P + H = { frac {P} {6}}. }$

Protože koule má Eulerovu charakteristiku 2, vyplývá z toho P = 12. To znamená, že takto konstruovaný fotbalový míč má vždy 12 pětiúhelníků. V zásadě je počet šestiúhelníků neomezený. Tento výsledek platí pro fullereny a Goldbergova mnohostěna.

Libovolné rozměry

The n-dimenzionální sféra má singulární homologické skupiny rovné

${ displaystyle H_ {k} (S ^ {n}) = { begin {cases} mathbb {Z} & k = 0, n {0 } & { text {jinak,}} end { případy}}}$

proto má Betti číslo 1 v rozměrech 0 a na všechna ostatní čísla Betti jsou 0. Jeho Eulerova charakteristika je pak 1 + (−1)ⁿ - to znamená buď 0 nebo 2.

The n-dimenzionální skutečné projektivní prostor je podíl z n- koule u antipodální mapa. Z toho vyplývá, že jeho Eulerova charakteristika je přesně poloviční oproti odpovídající sféře - buď 0 nebo 1.

The n-dimenzionální torus je produktový prostor n kruhy. Jeho Eulerova charakteristika je 0, podle vlastnosti produktu. Obecněji řečeno, jakýkoli kompaktní paralelizovatelné potrubí, včetně jakéhokoli kompaktu Lež skupina, má Eulerovu charakteristiku 0.^[11]

Eulerova charakteristika každého Zavřeno lichý-dimenzionální potrubí je také 0.^[12] Důvodem pro orientovatelné příklady je důsledek Poincaré dualita. Tato vlastnost platí obecněji pro všechny kompaktní stratifikovaný prostor všechny jejichž vrstvy mají zvláštní rozměr. Platí také pro uzavřené liché trojrozměrné neorientovatelné rozdělovače prostřednictvím dvou na jednoho orientovatelný dvojitý kryt.

Vztahy k jiným invarianty

Eulerova charakteristika uzavřeného orientovatelný povrch lze vypočítat z jeho rod G (počet Tori v připojená suma rozklad povrchu; intuitivně počet "úchytů") jako

${ displaystyle chi = 2-2g.}$

Eulerovu charakteristiku uzavřeného neorientovatelného povrchu lze vypočítat z jeho neorientovatelného rodu k (počet skutečné projektivní roviny ve spojeném součtu rozkladu povrchu) jako

${ displaystyle chi = 2-k.}$

U uzavřených hladkých potrubí se Eulerova charakteristika shoduje s Eulerovo číslo, tj Eulerova třída jeho tečný svazek hodnoceno na základní třída potrubí. Třída Euler se zase týká všech ostatních charakteristické třídy z vektorové svazky.

Pro zavřené Riemannovy rozdělovače, Eulerovu charakteristiku lze také najít integrací zakřivení; viz Věta o Gauss-Bonnetovi pro dvourozměrný případ a zobecněná věta Gauss – Bonnet pro obecný případ.

Diskrétní analog Gauss-Bonnetovy věty je Descartes věta, že „celková vada“ a mnohostěn, měřeno v celých kruzích, je Eulerova charakteristika mnohostěnu; vidět vada (geometrie).

Hadwigerova věta charakterizuje Eulerovu charakteristiku jako unikátní (až do skalární násobení ) překlad-invariantní, konečně aditivní, ne nutně nezáporná množinová funkce definovaná na konečné odbory z kompaktní konvexní zapadá Rⁿ to je „homogenní stupně 0“.

Zobecnění

Pro každý kombinatorický buněčný komplex, jeden definuje Eulerovu charakteristiku jako počet 0 buněk, minus počet 1 buněk plus počet 2 buněk atd., pokud je tento střídavý součet konečný. Zejména Eulerova charakteristika konečné množiny je jednoduše její mohutnost a Eulerova charakteristika a graf je počet vrcholů minus počet hran.^[13]

Obecněji lze definovat Eulerovu charakteristiku kteréhokoli řetězový komplex být střídavým součtem hodnosti skupin homologie řetězového komplexu za předpokladu, že všechny tyto řady jsou konečné.^[14]

Verze Eulerovy charakteristiky použitá v algebraická geometrie je následující. Pro všechny koherentní svazek ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ na správné systém X, jeden definuje jeho Eulerovu charakteristiku

${ displaystyle chi ({ mathcal {F}}) = součet _ {i} (- 1) ^ {i} h ^ {i} (X, { mathcal {F}}),}$

kde ${ displaystyle h ^ {i} (X, { mathcal {F}})}$ je rozměr i-th svazek kohomologie skupina ${ displaystyle { mathcal {F}}}$. V tomto případě jsou rozměry konečné Grothendieckova věta o konečnosti. Toto je příklad Eulerovy charakteristiky řetězového komplexu, kde řetězový komplex má konečné rozlišení ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ acyklickými snopy.

Další zobecnění pojmu Eulerovy charakteristiky na rozdělovačích pochází orbifolds (vidět Eulerova charakteristika orbifold ). Zatímco každé potrubí má celočíselnou Eulerovu charakteristiku, oběžné potrubí může mít zlomkovou Eulerovu charakteristiku. Například slza orbifold má Eulerovu charakteristiku 1 + 1 /str, kde str je prvočíslo odpovídající úhlu kužele 2π / str.

Koncept Eulerovy charakteristiky omezené konečné poset je další zobecnění, důležité v kombinatorika. Poset je „ohraničený“, pokud má nejmenší a největší prvek; říkejte jim 0 a 1. Eulerova charakteristika takového posetu je definována jako celé číslo μ(0,1), kde μ je Möbiova funkce v tom posetu výskytová algebra.

To lze dále zobecnit definováním a Q-hodnota Eulerova charakteristika pro určité konečné Kategorie, pojem kompatibilní s Eulerovými charakteristikami výše zmíněných grafů, orbifoldů a posetů. V tomto nastavení je Eulerova charakteristika konečné skupina nebo monoidní G je 1 / |G| a Eulerova charakteristika konečné grupoid je součet 1 / |G_i|, kde jsme vybrali jednu reprezentativní skupinu G_i pro každou připojenou složku grupoidu.^[15]

Viz také

• Eulerův počet
• Eulerova třída
• Seznam témat pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi
• Seznam jednotných mnohostěnů

Reference

Poznámky

Bibliografie

• Richeson, David S.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press 2008.

Další čtení

• Flegg, H. Graham; Od geometrie po topologii, Dover 2001, s. 40.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Eulerova charakteristika". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Mnohostěnný vzorec". MathWorld.
• Matveev, S.V. (2001) [1994], "Eulerova charakteristika", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Animovaná verze důkazu Eulerova vzorce pomocí sférické geometrie.