Čtyřboký-oktaedrický plástev - Tetrahedral-octahedral honeycomb

Střídavý kubický plástev

Typ	Jednotný plástev
Rodina	Alternativní hyperkubický plástev Simplectic plástev
Indexování^[1]	J_21,31,51, A₂ Ž₉, G.₁
Schläfliho symboly	h {4,3,4} {3^[4]} ht_0,3{4,3,4} h {4,4} h {∞} ht_0,2{4,4} h {∞} h {∞} h {∞} h {∞} s {∞} s {∞} s {∞}
Coxeterovy diagramy	= = = =
Buňky	{3,3} {3,4}
Tváře	trojúhelník {3}
Postava hrany	[{3,3}.{3,4}]² (obdélník )
Vrcholová postava	(cuboctahedron )
Skupina symetrie	Fm3m (225)
Skupina coxeterů	${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ , [4,3^1,1]
Dvojí	Dodecahedrille kosočtverečný dodekahedrální plástev Buňka:
Vlastnosti	vrchol-tranzitivní, hrana tranzitivní, quasiregular plástev

The čtyřstěnný-oktaedrický plástev, střídaný kubický plástev je quasiregular vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v Euklidovský 3prostor. Skládá se ze střídání pravidelných oktaedra a čtyřstěn v poměru 1: 2.

Jiná jména zahrnují poloviční kubický plástev, poloviční kubická buněčnostnebo tetragonální disfenoidní cellulace. John Horton Conway nazývá tento plástev a tetroctahedrillea jeho duální a dodecahedrille.

to je vrchol-tranzitivní s 8 čtyřstěn a 6 oktaedra kolem každého vrchol. to je hrana tranzitivní na každém okraji se střídají 2 čtyřstěny a 2 osmistěny.

A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

Je součástí nekonečné rodiny jednotné voštiny volala střídané hyperkubické voštiny, vytvořený jako střídání z hyperkubického plástve a je složen z demihypercube a křížový mnohostěn fazety. Je také součástí další nekonečné rodiny jednotných voštin zvaných simplectic voštiny.

V tomto případě 3-prostoru, kubický plástev se střídá, čímž se kubické buňky redukují na čtyřstěny a odstraněné vrcholy vytvářejí oktaedrické dutiny. Jako takový to může být reprezentováno prodlouženým Schläfliho symbol h {4,3,4} jako obsahující polovina vrcholy {4,3,4} kubické voštiny.

Existuje podobný plást krouživý čtyřboký-oktaedrický plástev který má vrstvy otočené o 60 stupňů, takže polovina okrajů má spíše sousední než střídavý čtyřstěn a osmistěn.

Tetrahedrálně-oktaedrický plástev může mít svou symetrii zdvojnásobenou umístěním čtyřstěnu na oktaedrické buňky, čímž vytvoří nejednotnou voštinu skládající se z čtyřstěn a oktaedra (jako trojúhelníkové antiprismy). Jeho vrcholná postava je řádu-3 zkrácený triakis čtyřstěn. Tento plástev je dvojí triakis zkrácený čtyřboký plástev, s triakis zkrácený čtyřboký buňky.

Kartézské souřadnice

Pro střídaný kubický plástev, s okraji rovnoběžnými s osami as délkou okraje 1, Kartézské souřadnice vrcholů jsou: (Pro všechny integrální hodnoty: i,j,k s i+j+k dokonce )

(i, j, k)

Tento diagram ukazuje rozložený pohled buněk obklopujících každý vrchol.

Symetrie

Existují dvě reflexní konstrukce a mnohé se střídají kubický plástev ty; příklady:

Symetrie	${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ , [4,3^1,1] = ½ ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ , [1⁺,4,3,4]	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ , [3^[4]] = ½ ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ , [1⁺,4,3^1,1]	[[(4,3,4,2⁺)]]	[(4,3,4,2⁺)]
Vesmírná skupina	Fm3m (225)	F43 m (216)	Já43 m (217)	P43 m (215)
obraz
Druhy čtyřstěnů	1	2	3	4
Coxeter diagram	=	= =

Střídavě kubické plástové plátky

The střídaný kubický plástev lze rozdělit na sekce, kde se z vnitřku oktaedru vytvářejí nové čtvercové plochy. Každý řez bude obsahovat nahoru a dolů čtvercové pyramidy a čtyřstěn sedí na jejich okrajích. Směr druhého řezu nepotřebuje žádné nové tváře a zahrnuje střídající se čtyřboký a osmistěn. Tato plástová deska je a včelí plástev spíše než uniformní, protože má nejednotné buňky.

Projekce skládáním

The střídaný kubický plástev lze ortogonálně promítnout do roviny čtvercové obklady podle a geometrické skládání operace, která mapuje jeden pár zrcadel do sebe. Projekce střídaný kubický plástev vytvoří dvě ofsetové kopie čtvercového obkladu uspořádání vrcholů letadla:

Coxeter skupina	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {2}}$
Coxeter diagram
obraz
název	střídaný kubický plástev	čtvercové obklady

Mřížka A3 / D3

Své uspořádání vrcholů představuje A₃ mříž nebo D₃ mříž.^[2]^[3] Tato mříž je známá jako obličejově centrovaná kubická mříž v krystalografii a označuje se také jako kubická těsně zabalená mříž protože jeho vrcholy jsou středy úzkého balení se stejnými koulemi, které dosahuje nejvyšší možné průměrné hustoty. Tetrahedrálně-oktaedrický plástev je trojrozměrný případ a simplectic voštinový. Jeho buňka Voronoi je kosočtverečný dvanáctistěn, duální z cuboctahedron vrchol číslo pro voštinu tet-oct.

D⁺
₃ balení může být konstruováno spojením dvou D₃ (nebo A.₃) svazy. D⁺
_n balení je pouze mřížkou pro sudé rozměry. Líbající číslo je 2²=4, (2^n-1 pro n <8, 240 pro n = 8 a 2n (n-1) pro n> 8).^[4]

∪

A^*
₃ nebo D.^*
₃ mříž (také nazývaná A⁴
₃ nebo D.⁴
₃) lze sestrojit spojením všech čtyř A₃ mřížky a je totožný s uspořádání vrcholů z disphenoid čtyřboký plástev, dvojitý plástev uniformy bitunovaný kubický plástev:^[5] Je to také tělo centrované kubické, spojení dvou kubické voštiny ve dvou pozicích.

∪

= duální

=

∪

.

The líbání číslo z D.^*
₃ mřížka je 8^[6] a jeho Voronoi mozaikování je bitunovaný kubický plástev, , obsahující všechny zkrácený oktaedrický Voronoiovy buňky, .^[7]

Související voštiny

C3 voštiny

[4,3,4], , Skupina coxeterů generuje 15 permutací jednotných voštin, 9 s odlišnou geometrií včetně střídaného kubického voštiny. The rozšířený krychlový plástev (také známý jako runcinovaný tesseraktický plástev) je geometricky identický s krychlovým plástem.

C3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	[4,3,4]		×1	₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆
Fm3m (225)	2⁻:2	[1⁺,4,3,4] ↔ [4,3^1,1]	↔	Polovina	₇, ₁₁, ₁₂, ₁₃
Já43 m (217)	4^Ó:2	[[(4,3,4,2⁺)]]		Polovina × 2	₍₇₎,
Fd3m (227)	2⁺:2	[[1⁺,4,3,4,1⁺]] ↔ [[3^[4]]]	↔	Čtvrtletí × 2	₁₀,
Im3m (229)	8^Ó:2	[[4,3,4]]		×2	₍₁₎, ₈, ₉

B3 voštiny

[4,3^1,1], , Skupina coxeterů generuje 9 permutací jednotných voštin, 4 s odlišnou geometrií včetně střídaného kubického voštiny.

B3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Objednat	Voštiny
Fm3m (225)	2⁻:2	[4,3^1,1] ↔ [4,3,4,1⁺]	↔	×1	₁, ₂, ₃, ₄
Fm3m (225)	2⁻:2	<[1⁺,4,3^1,1]> ↔ <[3^[4]]>	↔	×2	₍₁₎, ₍₃₎
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	<[4,3^1,1]>		×2	₅, ₆, ₇, ₍₆₎, ₉, ₁₀, ₁₁

A3 voštiny

Tento plástev je jedním z pět odlišných jednotných voštin^[8] postavena ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ Skupina coxeterů. Symetrii lze vynásobit symetrií prstenů v Coxeter – Dynkinovy diagramy:

A3 voštiny
Prostor skupina	Fibrifold	Náměstí symetrie	Rozšířené symetrie	Rozšířené diagram	Rozšířené skupina	Voštinové diagramy
F43 m (216)	1^Ó:2	a1	[3^[4]]		${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$	(Žádný)
Fm3m (225)	2⁻:2	d2	<[3^[4]]> ↔ [4,3^1,1]	↔	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×2₁ ↔ ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$	₁, ₂
Fd3m (227)	2⁺:2	g2	[[3^[4]]] nebo [2⁺[3^[4]]]	↔	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×2₂	₃
Odpoledne3m (221)	4⁻:2	d4	<2[3^[4]]> ↔ [4,3,4]	↔	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×4₁ ↔ ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$	₄
Já3 (204)	8^-O	r8	[4[3^[4]]]⁺ ↔ [[4,3⁺,4]]	↔	½ ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×8 ↔ ½ ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ ×2	_(*)
Im3m (229)	8^Ó:2	r8	[4[3^[4]]] ↔ [[4,3,4]]	↔	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ ×8 ↔ ${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$ ×2	₅

Kvaziregulární voštiny

Kvaziregulární polychora a voštiny: h {4, p, q}
Prostor	Konečný	Afinní	Kompaktní	Paracompact
Schläfli symbol	h {4,3,3}	h {4,3,4}	h {4,3,5}	h {4,3,6}	h {4,4,3}	h {4,4,4}
Schläfli symbol	${ displaystyle left {3, {3 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {3, {4 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {3, {5 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {3, {6 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {4, {4 na vrcholu 3} right }}$	${ displaystyle left {4, {4 na vrcholu 4} right }}$
Coxeter diagram	↔	↔	↔	↔	↔	↔
Coxeter diagram	↔					↔
obraz
Vrchol postava r {p, 3}

Kantický kubický plástev

Kantický kubický plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	h₂{4,3,4}
Coxeterovy diagramy	= =
Buňky	t {3,4} r {4,3} t {3,3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	obdélníkový pyramida
Skupiny coxeterů	[4,3^1,1], ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ [3^[4]], ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$
Skupina symetrie	Fm3m (225)
Dvojí	napůl zploštělý osmistěn Buňka:
Vlastnosti	vrchol-tranzitivní

The cantic kubický plástev, cantic cubic cellulation nebo zkrácený poloviční kubický plástev je jednotné vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v euklidovském 3-prostoru. Skládá se z zkrácená oktaédra, cuboctahedra a zkrácený čtyřstěn v poměru 1: 1: 2. Své vrchol obrázek je obdélníkový pyramida.

John Horton Conway nazývá tento plástev a zkrácený tetraoktaedrillea jeho dvojí napůl zploštělý osmistěn.

Symetrie

Má dvě různé jednotné konstrukce. The ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$ konstrukci lze vidět střídavě barevnou zkrácený čtyřstěn.

Symetrie	[4,3^1,1], ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ =<[3^[4]]>	[3^[4]], ${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$
Vesmírná skupina	Fm3m (225)	F43 m (216)
Zbarvení
Coxeter	=	=
Vrcholová postava

Související voštiny

Souvisí to s cantellated kubický plástev. Rhombicuboctahedra se redukují na zkrácený osmistěn a kostky se redukují na zkrácený čtyřstěn.

kanylovaný kubický	Kantický kubický
, , rr {4,3}, r {4,3}, {4,3}	, , t {3,4}, r {4,3}, t {3,3}

Runcic kubický plástev

Runcic kubický plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	h₃{4,3,4}
Coxeterovy diagramy	=
Buňky	rr {4,3} {4,3} {3,3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	trojúhelníkový frustum
Skupina coxeterů	${ displaystyle { tilde {B}} _ {4}}$ , [4,3^1,1]
Skupina symetrie	Fm3m (225)
Dvojí	čtvrt kubil Buňka:
Vlastnosti	vrchol-tranzitivní

The runový kubický plástev nebo runová kubická buněčná filtrace je jednotné vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v euklidovském 3-prostoru. Skládá se z rhombicuboctahedra, kostky, a čtyřstěn v poměru 1: 1: 2. Své vrchol obrázek je trojúhelníkový frustum, se čtyřstěnem na jednom konci, krychlí na opačném konci a třemi kosočtverci kolem lichoběžníkových stran.

John Horton Conway nazývá tento plástev a 3-RCO-trillea jeho dvojí čtvrt kubil.

Čtvrtletí

Dvojí a runový kubický plástev se nazývá a čtvrt kubil, s Coxeterův diagram , s tvářemi ve 2 ze 4 hydroplánů ${ displaystyle { tilde {B}} _ {4}}$ , [4,3^1,1] základní doména symetrie.

Buňky lze vidět jako 1/4 z členitý kostka pomocí 4 vrcholů a středu. Čtyři buňky existují kolem 6 hran a 3 buňky kolem 3 hran.

Související voštiny

Souvisí to s runcinated kubický plástev, se čtvrtinou kostek střídal do čtyřstěny a napůl rozšířený do rhombicuboctahedra.

Runcinated kubický	Runcic kubický =
{4,3}, {4,3}, {4,3}, {4,3} , , ,	h {4,3}, rr {4,3}, {4,3} , ,

Tuto voštinu lze rozdělit zkrácený čtvercový obklad letadla pomocí osmiúhelníky centra kosočtverce, tvořící čtvercové kopule. Tento včelí plástev je reprezentován Coxeterovým diagramem a symbol s₃{2,4,4}, s coxeterová notace symetrie [2⁺,4,4].

.

Runcicantic kubický plástev

Runcicantic kubický plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	h_2,3{4,3,4}
Coxeterovy diagramy	=
Buňky	tr {4,3} t {4,3} t {3,3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} osmiúhelník {8}
Vrcholová postava	zrcadlový sfénoid
Skupina coxeterů	${ displaystyle { tilde {B}} _ {4}}$ , [4,3^1,1]
Skupina symetrie	Fm3m (225)
Dvojí	napůl pyramidille Buňka:
Vlastnosti	vrchol-tranzitivní

The runcicantic kubický plástev nebo runcicantická kubická buněčná filtrace je jednotné vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v euklidovském 3-prostoru. Skládá se z zkrácený cuboctahedra, zkrácené kostky a zkrácený čtyřstěn v poměru 1: 1: 2, s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek. Souvisí to s runcicantellated kubický plástev.

John Horton Conway nazývá tento plástev a f-tCO-trillea jeho dvojí napůl pyramidille.

Poloviční pyramidille

Duální na runcitruncated kubický plástev se nazývá a napůl pyramidille, s Coxeterův diagram . Tváře existují ve 3 ze 4 hyperplánů [4,3^1,1], ${ displaystyle { tilde {B}} _ {3}}$ Skupina coxeterů.

Buňky jsou nepravidelné pyramidy a lze je vidět jako 1/12 a krychle nebo 1/24 a kosočtverečný dvanáctistěn, každý je definován třemi rohy a středem krychle.

Související šikmý apeirohedra

Související uniforma zkosit apeirohedron existuje se stejným uspořádání vrcholů, ale trojúhelníky a čtverec odstraněny. To může být viděno jako zkrácený čtyřstěn a zkrácené kostky zvětšené dohromady.

Související voštiny

Runcicantic kubický	Runcicantellated kubický

Gyrated čtyřboká-oktaedrická plástev

Gyrated čtyřboká-oktaedrální plástev
Typ	konvexní jednotný plástev
Coxeterovy diagramy
Schläfliho symboly	h {4,3,4}: g h {6,3} h {∞} s {3,6} h {∞} s {3^[3]} h {∞}
Buňky	{3,3} {3,4}
Tváře	trojúhelník {3}
Vrcholová postava	trojúhelníková orthobicupola G3.4.3.4
Vesmírná skupina	P6₃/ mmc (194) [3,6,2⁺,∞]
Dvojí	lichoběžníkovitý dodekahedrální plástev
Vlastnosti	vrchol-tranzitivní

The krouživý čtyřboký-oktaedrický plástev nebo střídaný kubický plástev je vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v Euklidovský 3prostor tvořeny oktaedra a čtyřstěn v poměru 1: 2.

to je vrcholová uniforma s 8 čtyřstěnem a 6 oktaédry kolem každého vrcholu.

Není okrajová uniforma. Všechny hrany mají 2 čtyřstěny a 2 oktaedry, ale některé se střídají a některé jsou spárovány.

Lze to vidět jako reflexní vrstvy této vrstvy plástev:

Stavba pomocí gyrace

Jedná se o méně symetrickou verzi jiného plástve, čtyřstěnného a osmistěnného plástve, ve kterém je každá hrana obklopena střídavým čtyřstěnem a oktaedrem. Oba lze považovat za sestávající z vrstev o tloušťce jedné buňky, v nichž se tyto dva druhy buněk striktně střídají. Protože plochy na rovinách oddělujících tyto vrstvy tvoří a pravidelný vzor trojúhelníků, sousední vrstvy lze umístit tak, aby se každý osmistěn v jedné vrstvě setkal se čtyřstěnem v další vrstvě, nebo takže každá buňka splňuje buňku svého druhu (hranice vrstvy se tak stává a odraz letadlo). Druhá forma se nazývá gyrated.

Vrcholová figura se nazývá a trojúhelníková orthobicupola, ve srovnání s čtyřboká-oktaedrická voština, jejíž vrcholná postava cuboctahedron v nižší symetrii se nazývá a trojúhelníková gyrobicupola, takže předpona gyroskopu je v použití obrácena.

Čísla vrcholů
Plástev	Gyrated tet-oct	Reflexní tet-okt
obraz
název	trojúhelníková orthobicupola	trojúhelníková gyrobicupola
Vrcholová postava
Symetrie	D_3h, objednávka 12	D_3d, objednávka 12 (Ó_h, objednávka 48)

Konstrukce střídáním

Vrcholová postava s neplanárním 3.3.3.3 konfigurace vrcholů pro trojúhelníkové bipyramidy

Geometrii lze také zkonstruovat pomocí střídání operace aplikovaná na a šestihranný hranolový plástev. The šestihranný hranol buňky se stanou oktaedra a prázdnoty se vytvářejí trojúhelníkové bipyramidy které lze rozdělit na páry čtyřstěn tohoto plástve. Tento plást s bipyramidami se nazývá a ditetrahedral-octahedral plástev. K dispozici jsou 3 Coxeter-Dynkinovy diagramy, které lze vidět jako 1, 2 nebo 3 barvy osmistěny:

Gyroelongated alternovaný kubický plástev

Gyroelongated alternovaný kubický plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	h {4,3,4}: ge {3,6} h₁{∞}
Coxeterův diagram
Buňky	{3,3} {3,4} (3.4.4)
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava
Vesmírná skupina	P6₃/ mmc (194) [3,6,2⁺,∞]
Vlastnosti	vrchol-tranzitivní

The gyroelongated alternated cubic honeycomb nebo protáhlá trojúhelníková antiprismatická buněčnost je vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v Euklidovský 3prostor. Skládá se z oktaedra, trojúhelníkové hranoly, a čtyřstěn v poměru 1: 2: 2.

Je vrcholem tranzitivní se 3 oktaédry, 4 čtyřstěnmi a 6 trojúhelníkovými hranoly kolem každého vrcholu.

Je to jeden z 28 konvexní jednotné voštiny.

The prodloužený střídavý kubický plástev má stejné uspořádání buněk na každém vrcholu, ale celkové uspořádání se liší. V protáhlý forma, každý hranol se setká se čtyřstěnem na jedné ze svých trojúhelníkových ploch a osmistěnem na druhé; v gyroelongated tvar, hranol splňuje stejný druh deltahedron na každém konci.

Prodloužený střídavý kubický plástev

Prodloužený střídavý kubický plástev
Typ	Jednotný plástev
Schläfliho symbol	h {4,3,4}: e {3,6} g₁{∞}
Buňky	{3,3} {3,4} (3.4.4)
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	trojúhelníková kopule připojil se k rovnoramenům šestihranná pyramida
Skupina symetrie	[6,(3,2⁺,∞,2⁺)] ?
Vlastnosti	vrchol-tranzitivní

The prodloužený střídavý kubický plástev nebo prodloužená trojúhelníková gyroprismatická buněčná filtrace je vyplňování prostoru mozaikování (nebo plástev ) v Euklidovský 3prostor. Skládá se z oktaedra, trojúhelníkové hranoly, a čtyřstěn v poměru 1: 2: 2.

Je vrcholem tranzitivní se 3 oktaédry, 4 čtyřstěnmi a 6 trojúhelníkovými hranoly kolem každého vrcholu. Každý hranol se na jednom konci setkává s osmistěnem a na druhém se čtyřstěnem.

Je to jeden z 28 konvexní jednotné voštiny.

Má to gyrated formulář zvaný gyroelongated alternated cubic honeycomb se stejným uspořádáním buněk na každém vrcholu.

Viz také

Poznámky

^ Pro křížové odkazy jsou uvedeny seznamové indexy od Andreiniho (1-22), Williamse (1-2,9-19), Johnsona (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51- 52, 61-65) a Grünbaum (1-28).
^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/D3.html
^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A3.html
^ Conway (1998), str. 119
^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/Ds3.html
^ Conway (1998), str. 120
^ Conway (1998), str. 466
^ [1], OEIS sekvence A000029 6-1 případů, přeskočení jednoho s nulovými známkami

Reference

John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Symetrie věcí, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, Architectonic and Catoptric tessellations, s. 292-298, zahrnuje všechny neprismatické formy)
George Olshevsky, Jednotné panoploidní tetrakomby, Rukopis (2006) (Kompletní seznam 11 konvexních uniformních obkladů, 28 konvexních uniformních voštin a 143 konvexních uniformních tetrakomb)
Branko Grünbaum, Rovnoměrné obklady 3prostoru. Geombinatorika 4(1994), 49 - 56.
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis (1991)
Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.
Critchlow, Keith (1970). Order in Space: Design source book. Viking Press. ISBN 0-500-34033-1.
Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1,9 Jednotné prostorové výplně)
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Na regulárních a semiregulárních sítích mnohostěnů a na odpovídajících korelačních sítích) Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
D. M. Y. Sommerville, Úvod do geometrie n Rozměry. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 stran (vydání Dover Publications, 1958) Kapitola X: Pravidelné polytopy
Conway JH, Sloane NJH (1998). Balení koule, mřížky a skupiny (3. vyd.). ISBN 0-387-98585-9.

externí odkazy

proti t E Zásadní konvexní pravidelný a jednotné voštiny v rozměrech 2-9
Prostor	Rodina	${ displaystyle { tilde {A}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ / ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ / ${ displaystyle { tilde {E}} _ {n-1}}$
E²	Jednotné obklady	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Šestihranný
E³	Jednotný konvexní plástev	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	Jednotný 4-plástev	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	24článkový plástev
E⁵	Jednotný 5 voštin	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	Jednotný 6 voštin	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	Jednotný 7 voštin	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	Jednotný 8 voštin	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	Jednotný 9-plástev	{3^[10]}	δ₁₀	hδ₁₀	qδ₁₀
E^n-1	Jednotný (n-1)-plástev	{3^[n]}	δ_n	hδ_n	qδ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[1] Pro křížové odkazy jsou uvedeny seznamové indexy od Andreiniho (1-22), Williamse (1-2,9-19), Johnsona (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51- 52, 61-65) a Grünbaum (1-28).

[2] ttp://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/D3.html

[3] ttp://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A3.html

[4] Conway (1998), str. 119

[5] ttp://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/Ds3.html

[6] Conway (1998), str. 120

[7] Conway (1998), str. 466

[8] [1], OEIS sekvence A000029 6-1 případů, přeskočení jednoho s nulovými známkami

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]