Seznam euklidovských uniformních obkladů - List of Euclidean uniform tilings
Tato tabulka ukazuje 11 konvexních jednotné obklady (pravidelné a semiregulární) Euklidovské letadlo a jejich dvojí obklady.
Jsou tři normální[1] a osm semiregulárních obklady v letadle. Semiregular tilings tvoří nové tilings z jejich dualů, každý vyrobený z jednoho typu nepravidelného obličeje.
John Conway nazývá tyto uniformní duály Katalánské obklady, souběžně s Katalánština pevná mnohostěn.
Uniform tilings are listed by their konfigurace vrcholů posloupnost ploch, které existují na každém vrcholu. Například 4.8.8 znamená jeden čtverec a dva osmiúhelníky na vrcholu.
Těchto 11 stejnoměrných obkladů má 32 různých jednotné barvy. Jednotné zbarvení umožňuje identické oboustranné polygony na vrcholu, které mají být zbarveny odlišně, při zachování jednotnosti vrcholů a transformační kongruence mezi vrcholy. (Poznámka: Některé z obkladových obrázků zobrazených níže jsou ne barevná uniforma)
Kromě 11 konvexních rovnoměrných obkladů existují také 14 nekonvexních obkladů, použitím hvězdné polygony a konfigurace vertexů obrácené orientace.
Laves tilings
V knize z roku 1987 Obklady a vzory, Branko Grünbaum volá vrcholově uniformní tilings Archimedean souběžně s Archimédovy pevné látky. Jejich dvojité obklady jsou nazývány Laves tilings na počest krystalograf Fritz Laves.[2][3] Také se jim říká Shubnikov – Lavesovy obklady po Shubnikov, Alekseĭ Vasilʹevich.[4] John Conway volal uniformní duály Katalánské obklady, souběžně s Katalánština pevná mnohostěn.
Obklady Laves mají vrcholy ve středech pravidelných mnohoúhelníků a hrany spojující středy pravidelných mnohoúhelníků, které sdílejí hranu. The dlaždice z Lavesových obkladů se nazývají planigony. To zahrnuje 3 pravidelné dlaždice (trojúhelník, čtverec a šestiúhelník) a 8 nepravidelných.[5] Každý vrchol má kolem sebe rovnoměrně rozmístěné hrany. Trojrozměrné analogy planigony jsou nazývány stereohedrony.
Tyto dvojité obklady jsou uvedeny podle jejich konfigurace obličeje, počet tváří v každém vrcholu tváře. Například V4.8.8 znamená rovnoramenné trojúhelníkové dlaždice s jedním rohem se čtyřmi trojúhelníky a dvěma rohy obsahujícími osm trojúhelníků. Orientace vrcholných planigonů (až D12 ) jsou v souladu s vrcholovými diagramy v následujících částech.
Trojúhelníky | Čtyřúhelníky | Pětiúhelníky | Šestiúhelník | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() V63 ![]() ![]() ![]() | ![]() V4.82 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() V4.6.12 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() V3.122 ![]() | ![]() V44 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() V (3.6)2 ![]() | ![]() V3.4.6.4 ![]() | ![]() V32.4.3.4 ![]() | ![]() V34.6 ![]() | ![]() V33.42 ![]() | ![]() V36 ![]() |
Konvexní rovnoměrné naklánění euklidovské roviny
Všechny reflexní formy mohou být vytvořeny pomocí Wythoffovy konstrukce, reprezentováno Wythoff symboly nebo Coxeter-Dynkinovy diagramy, z nichž každý pracuje na jednom ze tří Schwarzův trojúhelník (4,4,2), (6,3,2) nebo (3,3,3), se symetrií představovanou Skupiny coxeterů: [4,4], [6,3] nebo [3[3]]. Střídavě formy jako snub mohou být také reprezentovány speciálními značkami v každém systému. Pouze jeden jednotný obklad nemůže být vytvořen Wythoffovým procesem, ale může být proveden pomocí prodloužení trojúhelníkového obkladu. Existuje také ortogonální konstrukce zrcadla [∞, 2, ∞], která je vnímána jako dvě sady paralelních zrcadel vytvářejících obdélníkovou základní doménu. Pokud je doména čtvercová, lze tuto symetrii zdvojnásobit diagonálním zrcadlem do rodiny [4,4].
Rodiny:
- (4,4,2), , [4,4] - Symetrie regulárního čtvercové obklady
- , [∞,2,∞]
- (6,3,2), , [6,3] - Symetrie regulárního šestihranný obklad a trojúhelníkové obklady.
- (3,3,3), , [3[3]]
Skupina [4,4]
Rovnoměrné obklady (Platonický a archimédský) | Vrcholová postava a dvojí tvář Symbol (y) Wythoff Skupina symetrie Coxeterův diagram (s) | Dvojí -uniformní obklady (zvané Laves nebo Katalánština obklady) |
---|---|---|
![]() Čtvercové obklady (čtverylka) | ![]() ![]() 4.4.4.4 (nebo 44) 4 | 2 4 p4m, [4,4], (*442) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() self-dual (čtverylka) |
![]() Zkrácený čtvercový obklad (zkrácený čtyřúhelník) | ![]() ![]() 4.8.8 2 | 4 4 4 4 2 | p4m, [4,4], (*442) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Tetrakis čtvercové obklady (kisquadrille) |
![]() Tlumené čtvercové obklady (snub quadrille) | ![]() ![]() 3.3.4.3.4 | 4 4 2 p4g, [4+,4], (4*2) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Káhirské pětiúhelníkové obklady (Čtyřnásobný pentille) |
Skupina [6,3]
Platonické a archimédovské obklady | Vrcholová postava a dvojí tvář Symbol (y) Wythoff Skupina symetrie Coxeterův diagram (s) | Dvojí Laves tilings |
---|---|---|
![]() Šestihranný obklad (hextille) | ![]() ![]() 6.6.6 (nebo 63) 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 | p6m, [6,3], (*632) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Trojúhelníkový obklad (deltille) |
![]() Trihexagonální obklady (hexadeltille) | ![]() ![]() (3.6)2 2 | 6 3 3 3 | 3 p6m, [6,3], (*632) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Obklady kosočtverce (kosočtverec) |
![]() Zkrácený šestihranný obklad (zkrácený hextille) | ![]() ![]() 3.12.12 2 3 | 6 p6m, [6,3], (*632) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Triakis trojúhelníkové obklady (kisdeltille) |
![]() Trojúhelníkový obklad (deltille) | ![]() ![]() 3.3.3.3.3.3 (nebo 36) 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3 p6m, [6,3], (*632) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Šestihranný obklad (hextille) |
![]() Rhombitrihexagonal obklady (kosočtverec) | ![]() ![]() 3.4.6.4 3 | 6 2 p6m, [6,3], (*632) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Deltoidní trihexagonální obklady (tetrille) |
![]() Zkrácené trihexagonální obklady (zkrácený hexadeltille) | ![]() ![]() 4.6.12 2 6 3 | p6m, [6,3], (*632) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Kisrhombille obklady (kisrhombille) |
![]() Tlumit trihexagonální obklady (urážka hextille) | ![]() ![]() 3.3.3.3.6 | 6 3 2 p6, [6,3]+, (632) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Floretové pětiúhelníkové obklady (Šestinásobný pentille) |
Non-Wythoffian uniformní obklady
Platonické a archimédovské obklady | Vrcholová postava a dvojí tvář Symbol (y) Wythoff Skupina symetrie Coxeterův diagram | Dvojí Laves tilings |
---|---|---|
![]() Podlouhlé trojúhelníkové obklady (isosnub quadrille) | ![]() ![]() 3.3.3.4.4 2 | 2 (2 2) cmm, [∞,2+,∞], (2*22) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Prizmatické pětiúhelníkové obklady (iso (4-) pentille) |
Jednotná barviva
K dispozici je celkem 32 jednotných barev 11 jednotných obkladů:
- Trojúhelníkový obklad - 9 jednotných barev, 4 wythoffianské, 5 newythoffianské
- Čtvercové obklady - 9 barev: 7 wythoffian, 2 nonwythoffian
- Šestihranný obklad - 3 barviva, vše wythoffian
- Trihexagonální obklady - 2 barviva, obě wythoffian
- Tlumené čtvercové obklady - 2 barviva, obě střídavě wythoffian
- Zkrácený čtvercový obklad - 2 barviva, obě wythoffian
- Zkrácený šestihranný obklad - 1 zbarvení, wythoffian
- Rhombitrihexagonal obklady - 1 zbarvení, wythoffian
- Zkrácené trihexagonální obklady - 1 zbarvení, wythoffian
- Tlumit šestihranné obklady - 1 zbarvení, střídaný wythoffian
- Podlouhlé trojúhelníkové obklady - 1 zbarvení, newythoffian
Viz také
- Konvexní jednotný plástev - 28 jednotných 3rozměrných mozaikování, paralelní konstrukce s konvexními jednotnými euklidovskými rovinnými obklady.
- Seznam mozaikování
- Prahová hodnota perkolace
- Rovnoměrné naklánění v hyperbolické rovině
Reference
- ^ Nový druh vědy [1]
- ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Obklady a vzory. W. H. Freeman and Company. str.59, 96. ISBN 0-7167-1193-1.
- ^ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (18. dubna 2008). „Kapitola 21, Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů, euklidovská rovinná mozaikování". Symetrie věcí. A K Peters / CRC Press. str. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. Archivovány od originál dne 19. září 2010.
- ^ Encyklopedie matematiky: Orbit - Rayleighova rovnice, 1991
- ^ Ivanov, A. B. (2001) [1994], "Planigon", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Další čtení
- Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (18. dubna 2008). „Kapitola 19, Archimédovy obklady, tabulka 19,1 ". Symetrie věcí. A K Peters / CRC Press. ISBN 978-1-56881-220-5. Archivovány od originál dne 19. září 2010.
- Coxeter, H.S.M.; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). "Jednotná mnohostěna". Phil. Trans. 246 A: 401–450.
- Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 2–3 Kruhové ucpávky, mozaikování rovin a sítě, s. 34–40).
- Asaro, Laura; Hyde, John; Jensen, Melanie; Mann, Casey; Schroeder, Tyler. „Jednotná hrana-C-barvy Archimedových obkladů " (PDF). University of Washington. (Casey Mann na University of Washington )
- Grünbaum, Branko; Shepard, Geoffrey (Listopad 1977). „Tilings by Regular polygons“ (PDF).
- Seymour, Dale; Britton, Jill (1989). Úvod do mozaikování. Publikace Dale Seymour. str.50–57, 71-74. ISBN 978-0866514613.