Obklady Ammann – Beenker - Ammann–Beenker tiling

Část obkladů Ammannovou neperiodickou sadou dlaždic A5, zdobená konečnými místními pravidly shody, která vynucují nekonečnou globální strukturu obkladů Amman – Beenker.

v geometrie, an Obklady Ammann – Beenker je neperiodické obklady které lze generovat buď neperiodickou sadou prototily jak to udělal Robert Ammann v 70. letech nebo metodou cut-and-project, jak to provedl nezávisle F. P. M. Beenker Protože všechny obklady získané pomocí dlaždic jsou neperiodické, jsou obklady Ammann – Beenker považovány za neperiodické obklady.^{[Citace je zapotřebí ]} Jsou jednou z pěti sad obkladů objevených Ammannem a popsaných v Obklady a vzory.^[1]

Obklady Ammann – Beenker mají mnoho vlastností podobných těm slavnějším Penroseovy obklady, zejména:

Jsou neperiodické, což znamená, že jim žádné chybí translační symetrie.
Jejich neperiodicita je implikována jejich hierarchickou strukturou: obklady jsou substituční obklady vyplývající ze substitučních pravidel pro pěstování větších a větších oprav. Tato substituční struktura také naznačuje, že:
Jakákoli konečná oblast (patch) v obkladu se v tomto obkladu a ve skutečnosti v jakémkoli jiném obkladu objeví nekonečně mnohokrát. Takže nekonečné obklady vypadají navzájem podobně, pokud se člověk dívá pouze na konečné skvrny.
Oni jsou kvazikrystalický: implementováno jako fyzická struktura, kterou vyrobí obklad Ammann – Beenker Braggova difrakce; difraktogram odhaluje jak základní osminásobnou symetrii, tak pořadí na velké vzdálenosti. Toto pořadí odráží skutečnost, že tilings jsou organizovány nikoli translační symetrií, ale spíše procesem, který se někdy nazývá „deflace“ nebo „inflace“.
Celá tato nekonečná globální struktura je vynucena místními pravidly párování dlaždic, mezi nejjednoduššími neperiodickými sadami dlaždic, jaké kdy byly nalezeny, Ammannovou sadou A5. ^[1]

Byly navrženy různé metody k popisu obkladů: pravidla shody, substituce, řezy a schémata projektu ^[2] a krytiny.^[3]^[4] V roce 1987 Wang, Chen a Kuo oznámili objev kvazikrystalu s osmibokou symetrií.^[5]

Popis dlaždic

Ammánský pár A a B dlaždic A5, zdobený shodnými pravidly; jakékoli obklady těmito obklady jsou nutně neperiodické, a dlaždice jsou proto neperiodické.

Ammann A5 substituční pravidla, sloužící k prokázání, že dlaždice A5 mohou tvořit pouze neperiodické hierarchické dlaždice a jsou tedy neperiodickými dlaždicemi.

Tato dlažba existuje ve 2D ortogonální projekci 4D 8-8 duoprism vyrobeno od 16 oktaedrické hranoly.

Ammánské dlaždice A a B v jeho páru A5 o 45–135 stupňů kosočtverec a trojúhelník 45–45–90 stupňů zdobený odpovídajícími pravidly, která v každé oblasti umožňovala pouze určitá uspořádání, nutící neperiodické, hierarchické a kvaziperiodické struktury každého z nekonečného počtu jednotlivých Ammann – Beenkerových obkladů.

Alternativní sada dlaždic, také objevená Ammannem, a označená jako „Ammann 4“ v Grünbaum a Shephard,^[1] sestává ze dvou nekonvexních pravoúhlých hran. Jeden se skládá ze dvou čtverců překrývajících se na menším čtverci, zatímco druhý se skládá z velkého čtverce připojeného k menšímu čtverci. Níže uvedená schémata ukazují kusy a část naklonění.

Toto je pravidlo nahrazení alternativní sady dlaždic.

Vztah mezi těmito dvěma sadami dlaždic.

Kromě hranových šipek v obvyklé sadě dlaždic lze pravidla shody pro obě sady dlaždic vyjádřit nakreslením kusů velkých šipek na vrcholech a jejich požadavkem, aby se spojily dohromady do plných šipek.

Katz^[6] prostudoval další povolená naklonění zrušením omezení vrcholů a uložením pouze požadavku, aby se shodovaly šipky na okraji. Protože tento požadavek je sám zachován substitučními pravidly, má každá nová dlažba nekonečnou sekvenci "zvětšených" kopií získaných postupnými aplikacemi substitučního pravidla. Každý obklad v sekvenci je nerozeznatelný od skutečného obkladu Ammann – Beenker v postupně větším měřítku. Protože některé z těchto obkladů jsou periodické, vyplývá z toho, že při pohledu na jakoukoli konečnou plochu obkladu nelze určit žádnou výzdobu dlaždic, která by vynucovala aperiodicitu. Orientaci vrcholních šipek, které vynucují aperiodicitu, lze tedy odvodit pouze z celého nekonečného obkladu.

Obklady mají také extrémní vlastnost: mezi obklady, jejichž kosočtverce střídat (to znamená, že kdykoli dva kosočtverce sousedí nebo jsou odděleny řadou čtverců, objevují se v různých orientacích), je podíl čtverců v obkladech Ammann – Beenker minimální.^[7]

Vlastnosti poměru Pell a stříbro

Obklady Ammann – Beenker úzce souvisí s poměr stříbra ( ${displaystyle 1+ {sqrt {2}}}$ ) a Pell čísla.

the substituce systém ${displaystyle R o RrR; r o R}$ zavádí poměr jako měřítko: jeho maticí je Pellova substituční matice a řada slov produkovaných substitucí má tu vlastnost, že počet ${displaystyle r}$ s a ${displaystyle R}$ s se rovnají postupným číslům Pell.
the vlastní čísla substituční matice jsou ${displaystyle 1+ {sqrt {2}}}$ a ${displaystyle 1- {sqrt {2}}}$ .
V alternativní sadě dlaždic mají dlouhé okraje ${displaystyle 1+ {sqrt {2}}}$ krát delší strany než krátké hrany.
Jedna sada Conway červy, tvořené krátkými a dlouhými úhlopříčkami kosodélníků, tvoří výše uvedené řetězce, kde r je krátká úhlopříčka a R je dlouhá úhlopříčka. Proto Ammann bary také tvoří Pell objednané mřížky.^[8]

The Ammann bary pro obvyklou sadu dlaždic. Pokud se vezme, že tučně vnější čáry mají délku ${displaystyle 2 {sqrt {2}}}$ , pruhy rozdělují hrany na segmenty délky ${displaystyle 1+ {sqrt {2}}}$ a ${displaystyle {sqrt {2}} - 1}$ .

Tyče Ammann pro alternativní sadu dlaždic. Všimněte si, že pruhy pro asymetrickou dlaždici se rozprostírají částečně mimo ni.

Řezání a projektování

The tesseractic voštinový má osminásobnou rotační symetrii, což odpovídá osminásobné rotační symetrii tesseract. Rotační matice představující tuto symetrii je:

{displaystyle A = {egin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0end {bmatrix}}.}

Transformace této matice na nové souřadnice dané

{displaystyle B = {egin {bmatrix} -1 / 2 & 0 & -1 / 2 & {sqrt {2}} / 2 1/2 & {sqrt {2}} / 2 & -1 / 2 & 0 -1 / 2 & 0 & -1 / 2 & - {sqrt {2}} / 2 -1 / 2 a {sqrt {2}} / 2 & 1/2 a 0end {bmatrix}}}

bude vyrábět:

{displaystyle BAB ^ {- 1} = {egin {bmatrix} {sqrt {2}} / 2 & {sqrt {2}} / 2 & 0 & 0 - {sqrt {2}} / 2 & {sqrt {2}} / 2 & 0 & 0 0 & 0 & - {sqrt {2}} / 2 a {sqrt {2}} / 2 0 a 0 & - {sqrt {2}} / 2 & - {sqrt {2}} / 2end {bmatrix}}.}

Tato třetí matice pak odpovídá rotaci jak o 45 ° (v prvních dvou rozměrech), tak o 135 ° (v posledních dvou). Poté můžeme získat Ammann – Beenkerův obklad promítnutím desky hyperkrychlí buď na první dvě, nebo na poslední dvě z nových souřadnic.

Alternativně lze obklad Ammann – Beenker získat nakreslením kosodélníků a čtverců kolem průsečíků dvojice čtvercových mřížek stejného měřítka překrytých pod úhlem 45 stupňů. Tyto dvě techniky vyvinul Beenker ve své práci.

Související vysokorozměrné zabudování do tesseractic voštinový je konstrukce Klotz, jak je podrobně popsána v této přihlášce v dokumentu Baake and Joseph.^[9] Osmiboká akceptační doména tak může být dále rozdělena na části, z nichž každá pak vede k přesně jedné konfiguraci vrcholů. Kromě toho se relativní plocha kterékoli z těchto oblastí rovná frekvenci odpovídající konfigurace vrcholů v nekonečném obkladu.

Oblast akceptační domény a odpovídající konfigurace vrcholů

Odkazy a poznámky

^ ^A ^b ^C Grünbaum, B.; Shephard, G. C. (1986). Obklady a vzory. New York: Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.
^ Beenker FPM, Algebraická teorie neperiodických naklonění roviny dvěma jednoduchými stavebními bloky: čtverec a kosočtverec, TH Report 82-WSK-04 (1982), Technische Hogeschool, Eindhoven
^ F. Gähler, Proceedings of the 6th International Conference on Quasicrystals, edited by S. Takeuchi and T. Fujiwara, WorldScientific, Singapore, 1998, str. 95.
^ Ben-Abraham, S. I .; Gähler, F. (1999). "Krycí popis klastru osmihranných kvazikrystalů MnSiAl" (PDF). Fyzický přehled B. 60 (2): 860–864. doi:10.1103 / PhysRevB.60.860. Archivovány od originál (PDF) dne 17. června 2007.
^ Wang, N .; Chen, H .; Kuo, K.H. (1987). „Dvourozměrný kvazikrystal s osminásobnou rotační symetrií“ (PDF). Dopisy o fyzické kontrole. 59 (9): 1010–1013. Bibcode:1987PhRvL..59.1010W. doi:10.1103 / PhysRevLett.59.1010. PMID 10035936.
^ Katz, A (1995). Msgstr "Pravidla shody a kvaziperiodicita: osmiboká naklonění". In Axel, F .; Gratias, D. (eds.). Kromě kvazikrystalů. Springer. 141–189. doi:10.1007/978-3-662-03130-8_6. ISBN 978-3-540-59251-8.
^ Bédaride, N .; Fernique, T. (2013). „The Ammann-Beenker Tilings Revisited“. V Schmid, S .; Withers, R .; Lifshitz, R. (eds.). Aperiodické krystaly. Springer. str. 59–65. arXiv:1208,3545v1. doi:10.1007/978-94-007-6431-6_8. ISBN 978-94-007-6430-9.
^ Socolar, J. E. S (1989). "Jednoduché osmihranné a dodecagonální kvazikrystaly". Fyzický přehled B. 39 (15): 10519–10551. Bibcode:1989PhRvB..3910519S. doi:10.1103 / PhysRevB.39.10519. PMID 9947860. MR0998533.
^ Baake, M; Joseph, D (1990). "Ideální a defektní konfigurace vrcholů v rovinné osmihranné kvazilattice". Fyzický přehled B. 42 (13): 8091–8102. Bibcode:1990PhRvB..42.8091B. doi:10.1103 / physrevb.42.8091.

externí odkazy

[ReferenceA-1] A ^b ^C Grünbaum, B.; Shephard, G. C. (1986). Obklady a vzory. New York: Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.

[2] Beenker FPM, Algebraická teorie neperiodických naklonění roviny dvěma jednoduchými stavebními bloky: čtverec a kosočtverec, TH Report 82-WSK-04 (1982), Technische Hogeschool, Eindhoven

[3] F. Gähler, Proceedings of the 6th International Conference on Quasicrystals, edited by S. Takeuchi and T. Fujiwara, WorldScientific, Singapore, 1998, str. 95.

[4] Ben-Abraham, S. I .; Gähler, F. (1999). "Krycí popis klastru osmihranných kvazikrystalů MnSiAl" (PDF). Fyzický přehled B. 60 (2): 860–864. doi:10.1103 / PhysRevB.60.860. Archivovány od originál (PDF) dne 17. června 2007.

[5] Wang, N .; Chen, H .; Kuo, K.H. (1987). „Dvourozměrný kvazikrystal s osminásobnou rotační symetrií“ (PDF). Dopisy o fyzické kontrole. 59 (9): 1010–1013. Bibcode:1987PhRvL..59.1010W. doi:10.1103 / PhysRevLett.59.1010. PMID 10035936.

[6] Katz, A (1995). Msgstr "Pravidla shody a kvaziperiodicita: osmiboká naklonění". In Axel, F .; Gratias, D. (eds.). Kromě kvazikrystalů. Springer. 141–189. doi:10.1007/978-3-662-03130-8_6. ISBN 978-3-540-59251-8.

[7] Bédaride, N .; Fernique, T. (2013). „The Ammann-Beenker Tilings Revisited“. V Schmid, S .; Withers, R .; Lifshitz, R. (eds.). Aperiodické krystaly. Springer. str. 59–65. arXiv:1208,3545v1. doi:10.1007/978-94-007-6431-6_8. ISBN 978-94-007-6430-9.

[8] Socolar, J. E. S (1989). "Jednoduché osmihranné a dodecagonální kvazikrystaly". Fyzický přehled B. 39 (15): 10519–10551. Bibcode:1989PhRvB..3910519S. doi:10.1103 / PhysRevB.39.10519. PMID 9947860. MR0998533.

[9] Baake, M; Joseph, D (1990). "Ideální a defektní konfigurace vrcholů v rovinné osmihranné kvazilattice". Fyzický přehled B. 42 (13): 8091–8102. Bibcode:1990PhRvB..42.8091B. doi:10.1103 / physrevb.42.8091.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]