Sférický mnohostěn - Spherical polyhedron

Nejznámější sférický mnohostěn je fotbalový míč, myšlenka jako sférický zkrácený dvacetistěn.

Tento plážový míč ukazuje a hosohedron se šesti lunárními tvářemi, pokud jsou bílé kruhy na koncích odstraněny.

v matematika, a sférický mnohostěn nebo sférické obklady je obklady z koule ve kterém je povrch rozdělen nebo rozdělen pomocí velké oblouky do ohraničených oblastí zvaných sférické polygony. Hodně z teorie symetrické mnohostěn je nejpohodlněji odvozeno tímto způsobem.

Nejznámější sférický mnohostěn je fotbalový míč, myšlenka jako sférický zkrácený dvacetistěn. Dalším nejpopulárnějším sférickým mnohostěnem je plážový míč, myšlenka jako hosohedron.

Nějaký "nevhodný" mnohostěn, jako např hosohedra a jejich duální, dihedra, existují jako sférické mnohostěny, ale nemají analog s plochou tváří. Příklad šestihranného plážového míče, {2, 6}, je hosohedron a {6, 2} je jeho dvojitý dihedron.

Dějiny

První známé umělé mnohostěny jsou sférické mnohostěny vytesáno do kamene. Mnoho z nich bylo nalezeno v Skotsko, a zdá se, že k dnešnímu dni od neolitický období (nová doba kamenná).

Během 10. století islámský učenec Abū al-Wafā 'Būzjānī (Abu'l Wafa) napsal první seriózní studii sférických mnohostěnů.

Před dvěma sty lety, na počátku 19. století, Poinsot použil sférický mnohostěn k objevení čtyř pravidelná hvězdná mnohostěna.

V polovině 20. století Coxeter použil je k výčtu všech kromě jednoho z nich jednotná mnohostěna, výstavbou kaleidoskopů (Wythoffova konstrukce ).

Příklady

Všechno pravidelný mnohostěn, semiregular polyhedra a jejich duály lze promítat na kouli jako obklady:

Schläfli symbol	{p, q}	t {p, q}	r {p, q}	t {q, p}	{q, p}	rr {p, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
Vrchol konfigurace	str^q	q.2p. 2p	p.q.p.q	str. 2q. 2q	q^str	q.4.p.4	4,2q. 2p	3.3.q.3.p
Čtyřboká symetrie (3 3 2)	3³	3.6.6	3.3.3.3	3.6.6	3³	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3.3
Čtyřboká symetrie (3 3 2)	3³	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	3³	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3
Osmistěn symetrie (4 3 2)	4³	3.8.8	3.4.3.4	4.6.6	3⁴	3.4.4.4	4.6.8	3.3.3.3.4
Osmistěn symetrie (4 3 2)	4³	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	3⁴	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4
Icosahedral symetrie (5 3 2)	5³	3.10.10	3.5.3.5	5.6.6	3⁵	3.4.5.4	4.6.10	3.3.3.3.5
Icosahedral symetrie (5 3 2)	5³	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	3⁵	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5
Vzepětí příklad p = 6 (2 2 6)	6²	2.12.12	2.6.2.6	6.4.4	2⁶	4.6.4	4.4.12	3.3.3.6

Obklady koule trojúhelníky (dvacetistěn se zkreslenými některými jeho trojúhelníky).

n	2	3	4	5	6	7	8	10	...
n-Hranol (2 2 p)									...
n-Bipyramid (2 2 p)									...
n-Antiprism									...
n-Lichoběžník									...

Nesprávné případy

Sférické tilings umožňují případy, které mnohostěn ne, a to hosohedra: pravidelné číslice jako {2, n} a dihedra: pravidelné číslice jako {n, 2}.

Rodina pravidelných hosohedra (sférické obklady)
obraz									...
Schläfliho symbol	{2,1}	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}	...
Coxeterův diagram									...
Tváře a hrany	1	2	3	4	5	6	7	8	...
Vrcholy	2								...

Rodina pravidelných dihedra (sférické obklady)
obraz							...
Schläfliho symbol	h {2,2} = {1,2}	{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}	...
Coxeterův diagram							...
Tváře	2 {1}	2 {2}	2 {3}	2 {4}	2 {5}	2 {6}	...
Hrany a vrcholy	1	2	3	4	5	6	...

Vztah k naklánění projektivní roviny

Sférický mnohostěn, který má alespoň jeden inverzní symetrie souvisí s projektivní mnohostěn^[1] (mozaikování skutečná projektivní rovina ) - stejně jako koule má poměr 2: 1 krycí mapa projektivní roviny odpovídají projektivní mnohostěny pod 2násobným krytem sférickým mnohostěnům, které jsou symetrické pod odraz skrz původ.

Nejznámějšími příklady projektivní mnohostěny jsou pravidelné projektivní mnohostěny, kvocienty centrálně symetrický Platonické pevné látky, stejně jako dvě nekonečné třídy sudých dihedra a hosohedra:^[2]

Hemi-kostka, {4,3}/2
Hemi-oktaedron, {3,4}/2
Hemi-dodecahedron, {5,3}/2
Hemi-icosahedron, {3,5}/2
Hemi-dvojstěn, {2p, 2} / 2, p> = 1
Hemihosohedron, {2,2p} / 2, p> = 1

Viz také

Reference

^ McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002). „6C. Projektivní pravidelné polytopy“. Abstraktní pravidelné Polytopes. Cambridge University Press. str.162–5. ISBN 0-521-81496-0.
^ Coxeter, H.S.M. (1969). „§21.3 Pravidelné mapy'". Úvod do geometrie (2. vyd.). Wiley. str.386 –8. ISBN 978-0-471-50458-0. PAN 0123930.

Další čtení

Poinsot, L. (1810). „Memoire sur les polygones et polyèdres“. J. De l'École Polytechnique. 9: 16–48.
Coxeter, H.S.M.; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). "Jednotná mnohostěna". Phil. Trans. 246 A (916): 401–50. JSTOR 91532.
Coxeter, H.S.M. (1973). Pravidelné Polytopes (3. vyd.). Doveru. ISBN 0-486-61480-8.

[1] McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002). „6C. Projektivní pravidelné polytopy“. Abstraktní pravidelné Polytopes. Cambridge University Press. str.162–5. ISBN 0-521-81496-0.

[cox-2] Coxeter, H.S.M. (1969). „§21.3 Pravidelné mapy'". Úvod do geometrie (2. vyd.). Wiley. str.386 –8. ISBN 978-0-471-50458-0. PAN 0123930.

[1]

[2]