Obklady větrník - Pinwheel tiling

v geometrie, obložení větrníku jsou neperiodické obklady definován Charles Radin a na základě stavby z důvodu John Conway Jsou to první známé neperiodické obklady, u nichž každá má tu vlastnost, že se jejich dlaždice objevují v nekonečně mnoha orientacích.

Conway mozaikování

Conwayův trojúhelníkový rozklad na homotetické menší trojúhelníky.

Nechat ${displaystyle T}$ být pravý trojúhelník s délkou strany ${displaystyle 1}$ , ${displaystyle 2}$ a ${displaystyle {sqrt {5}}}$ Conway si toho všiml ${displaystyle T}$ lze rozdělit na pět izometrických kopií jeho obrazu dilatací faktoru ${displaystyle 1 / {sqrt {5}}}$ .

Rostoucí posloupnost trojúhelníků, která definuje Conwayův obklad roviny.

Vhodným změnou měřítka a překládáním / otáčením lze tuto operaci iterovat a získat tak nekonečnou rostoucí sekvenci rostoucích trojúhelníků, které jsou vyrobeny z izometrických kopií ${displaystyle T}$ Spojení všech těchto trojúhelníků vede k obložení celé roviny izometrickými kopiemi ${displaystyle T}$ .

V tomto obkladu izometrické kopie ${displaystyle T}$ se objevují v nekonečně mnoha směrech (to je způsobeno úhly ${displaystyle arctan (1/2)}$ a ${displaystyle arctan (2)}$ z ${displaystyle T}$ , oba nelze srovnávat s ${displaystyle pi}$ Navzdory tomu mají všechny vrcholy racionální souřadnice.

Obložení větrníku

Obklady na větrník: dlaždice lze seskupit do sad po pěti (silné čáry) a vytvořit tak nový obklad na větrník (až do změny měřítka)

Radin spoléhal na výše uvedenou konstrukci Conway, aby definoval obklady větrníku. Obklady větrníku jsou obvykle obklady, jejichž dlaždice jsou izometrické kopie ${displaystyle T}$ , ve kterém může dlaždice protínat jinou dlaždici pouze na celé straně nebo na polovině délky ${displaystyle 2}$ strana a takové, které drží následující vlastnost. S ohledem na všechny obklady větrníku ${displaystyle P}$ , tam je obklad větrník ${displaystyle P '}$ který, jakmile je každá dlaždice rozdělena na pět následujících po konstrukci Conway, a výsledek je rozšířen o faktor ${displaystyle {sqrt {5}}}$ , je rovný ${displaystyle P}$ Jinými slovy lze dlaždice libovolných obkladů větrníku seskupit do sad po pěti do homotetických dlaždic, takže tyto homotetické dlaždice tvoří (až do změny měřítka) nový obklad větrníku.

Obklady konstruované Conwayem jsou obklady větrník, ale existuje nespočetně mnoho dalších obkladů větrník. místně k nerozeznání (tj., mají stejné konečné opravy). Všichni sdílejí s Conwayovou dlažbou vlastnost, že dlaždice se objevují v nekonečně mnoha orientacích (a vrcholy mají racionální souřadnice).

Hlavním výsledkem, který Radin prokázal, je to, že existuje konečná (i když velmi velká) sada takzvaných prototilů, z nichž každý je získán zbarvením stran ${displaystyle T}$ , takže obklady větrníku jsou přesně náklony roviny izometrickými kopiemi těchto prototilů, s podmínkou, že kdykoli se dvě kopie protnou v bodě, mají v tomto bodě stejnou barvu.^[1]Ve smyslu symbolická dynamika, to znamená, že obložení větrníku tvoří a měkký podřazení.

Zobecnění

Radin a Conway navrhli trojrozměrný analog, který byl nazván quaquaversal obklady.^[2] Existují další varianty a zevšeobecnění původní myšlenky.^[3]

Fraktál větrník

Jeden získá fraktál iterativním dělením ${displaystyle T}$ v pěti izometrických kopiích po konstrukci Conway a vyřazení středního trojúhelníku (ad infinitum). Tento „fraktál větrníku“ má Hausdorffova dimenze ${displaystyle d = {frac {ln 4} {ln {sqrt {5}}}} přibližně 1,7227}$ .

Použití v architektuře

Pískovcová fasáda náměstí Federace

Náměstí Federace, stavební komplex v australském Melbourne, má obklady větrník. V projektu se vzor obkladu používá k vytvoření strukturálního dílčího rámování pro fasády, což umožňuje výrobu fasád mimo staveniště, v továrně a později k vytvoření fasád. Systém obkladu větrníkem byl založen na jediném trojúhelníkovém prvku, který se skládá ze zinku, perforovaného zinku, pískovce nebo skla (známého jako dlaždice), který byl spojen se 4 dalšími podobnými dlaždicemi na hliníkovém rámu, aby vytvořil „panel“. K rámu z pozinkované oceli bylo připevněno pět panelů, které vytvořily „mega-panel“, které byly poté zvednuty na nosné rámy pro fasádu. Rotační umístění dlaždic dává fasádám náhodnější a nejistou kvalitu kompozice, i když proces jejich konstrukce je založen na prefabrikaci a opakování. Stejný systém obkladu pomocí větrníku se používá při vývoji konstrukčního rámu a zasklení pro „Atrium“ na náměstí Federace, ačkoli v tomto případě byla mřížka čepového kola vyrobena „trojrozměrně“, aby vytvořila konstrukci portálového rámu.

Reference

^ Radin, C. (květen 1994). "Větrník Tilings of the Plane". Annals of Mathematics. 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723. doi:10.2307/2118575. JSTOR 2118575.
^ Radin, C., Conway, J., Quaquaversal tiling and rotations, preprint, Princeton University Press, 1995
^ Sadun, L. (leden 1998). "Některé zevšeobecnění obložení větrníku". Diskrétní a výpočetní geometrie. 20 (1): 79–110. arXiv:matematika / 9712263. CiteSeerX 10.1.1.241.1917. doi:10.1007 / pl00009379.

externí odkazy

Větrník v encyklopedii Tilings
Dynamický větrník vyrobeno v GeoGebra

[1] Radin, C. (květen 1994). "Větrník Tilings of the Plane". Annals of Mathematics. 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723. doi:10.2307/2118575. JSTOR 2118575.

[2] Radin, C., Conway, J., Quaquaversal tiling and rotations, preprint, Princeton University Press, 1995

[3] Sadun, L. (leden 1998). "Některé zevšeobecnění obložení větrníku". Diskrétní a výpočetní geometrie. 20 (1): 79–110. arXiv:matematika / 9712263. CiteSeerX 10.1.1.241.1917. doi:10.1007 / pl00009379.

[1]

[2]

[3]