Jednotný 10-polytop - Uniform 10-polytope

Grafy tří pravidelný a související jednotné polytopy.

10-simplexní				Zkrácený 10-simplex				Rektifikovaný 10-simplex
Cantellated 10-simplex						Runcinated 10-simplex
Sterilovaný 10-simplex				Pentellated 10-simplex				Hexicated 10-simplex
Heptellated 10-simplex				Octellated 10-simplex				Ennecated 10-simplex
10-orthoplex				Zkrácený 10-orthoplex				Rektifikovaný 10-orthoplex
10 kostek				Zkrácená 10 kostka				Rektifikovaná 10 kostka
10-demicube						Zkrácená 10-demicube

V desetimenzionálním geometrie, 10-mnohostěn je 10-rozměrný polytop jehož hranici tvoří 9-mnohostěn fazety, přesně dva takové aspekty se scházejí u každého 8-mnohostěn hřbet.

A jednotný 10-polytop je ten, který je vrchol-tranzitivní a zkonstruována z jednotný fazety.

Pravidelné 10-polytopes

Pravidelné 10-polytopes může být reprezentován Schläfliho symbol {p, q, r, s, t, u, v, w, x}, s X {p, q, r, s, t, u, v, w} 9-mnohostěn fazety kolem každého vrchol.

Jsou přesně tři takové konvexní pravidelné 10-polytopes:

1. {3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-simplexní
2. {4,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10 kostek
3. {3,3,3,3,3,3,3,3,4} - 10-orthoplex

Neexistují žádné nekonvexní pravidelné 10-polytopy.

Eulerova charakteristika

Topologie kteréhokoli daného 10-polytopu je definována jeho Betti čísla a torzní koeficienty.^[1]

Hodnota Eulerova charakteristika použitý k charakterizaci mnohostěnů nezobecňuje užitečně na vyšší dimenze a je nulový pro všech 10 polytopů bez ohledu na jejich topologii. Tato nedostatečnost Eulerovy charakteristiky ke spolehlivému rozlišení mezi různými topologiemi ve vyšších dimenzích vedla k objevu sofistikovanějších čísel Betti.^[1]

Podobně je pojem orientovatelnosti mnohostěnu nedostatečný k charakterizaci povrchových kroucení toroidních polytopů, což vedlo k použití torzních koeficientů.^[1]

Jednotné 10-polytopes podle základních Coxeter skupin

Jednotné 10-polytopes s reflexní symetrií mohou být generovány těmito třemi skupinami Coxeter, reprezentovanými permutacemi prstenců Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy:

#	Skupina coxeterů		Coxeter-Dynkinův diagram
1	A10	[39]
2	B10	[4,38]
3	D10	[37,1,1]

Vybrané pravidelné a jednotné 10-polytopy z každé rodiny zahrnují:

1. Simplexní rodina: A₁₀ [3⁹] -
   • 527 uniformních 10-polytopů jako permutací prstenců ve skupinovém diagramu, včetně jednoho regulárního:
     1. {3⁹} - 10-simplexní -
2. Hypercube /orthoplex rodina: B₁₀ [4,3⁸] -
   • 1023 uniformních 10-polytopů jako permutací prstenců ve skupinovém diagramu, včetně dvou pravidelných:
     1. {4,3⁸} - 10 kostek nebo dekeract -
     2. {3⁸,4} - 10-orthoplex nebo desetiboj -
     3. h {4,3⁸} - 10-demicube .
3. Demihypercube D₁₀ rodina: [3^7,1,1] -
   • 767 uniformních 10-polytopů jako permutací prstenců ve skupinovém diagramu, včetně:
     1. 1_7,1 - 10-demicube nebo demidekeract -
     2. 7_1,1 - 10-orthoplex -

A₁₀ rodina

A₁₀ rodina má symetrii řádu 39 916 800 (11 faktoriál ).

Existuje 512 + 16-1 = 527 formulářů založených na všech permutacích Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy s jedním nebo více kroužky. 31 je zobrazeno níže: všechny jeden a dva prstencové formuláře a konečná všesměrová forma. Názvy zkratek ve stylu Bowers jsou uvedeny v závorkách pro křížové odkazy.

#	Graf	Coxeter-Dynkinův diagram Schläfliho symbol název	Počty prvků
			9 tváří	8 tváří	7 tváří	6 tváří	5 tváří	4 tváře	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
1		t0{3,3,3,3,3,3,3,3,3} 10-simplexní (ux)	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11
2		t1{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Rektifikovaný 10-simplex (ru)									495	55
3		t2{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Birectified 10-simplex (bru)									1980	165
4		t3{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Trirectified 10-simplex (tru)									4620	330
5		t4{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Quadrirectified 10-simplex (teru)									6930	462
6		t0,1{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Zkrácený 10-simplex (tu)									550	110
7		t0,2{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Cantellated 10-simplex									4455	495
8		t1,2{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Bitruncated 10-simplex									2475	495
9		t0,3{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Runcinated 10-simplex									15840	1320
10		t1,3{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Bicantellated 10-simplex									17820	1980
11		t2,3{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Tritruncated 10-simplex									6600	1320
12		t0,4{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Sterilovaný 10-simplex									32340	2310
13		t1,4{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Biruncinovaný 10-simplex									55440	4620
14		t2,4{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Tricantellated 10-simplex									41580	4620
15		t3,4{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Quadritruncated 10-simplex									11550	2310
16		t0,5{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Pentellated 10-simplex									41580	2772
17		t1,5{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Bistericated 10-simplex									97020	6930
18		t2,5{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Triruncinated 10-simplex									110880	9240
19		t3,5{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Quadricantellated 10-simplex									62370	6930
20		t4,5{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Quintitruncated 10-simplex									13860	2772
21		t0,6{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Hexicated 10-simplex									34650	2310
22		t1,6{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Bipentellated 10-simplex									103950	6930
23		t2,6{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Tristerikovaný 10-simplex									161700	11550
24		t3,6{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Quadriruncinated 10-simplex									138600	11550
25		t0,7{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Heptellated 10-simplex									18480	1320
26		t1,7{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Bihexicated 10-simplex									69300	4620
27		t2,7{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Tripentellated 10-simplex									138600	9240
28		t0,8{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Octellated 10-simplex									5940	495
29		t1,8{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Biheptellated 10-simplex									27720	1980
30		t0,9{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Ennecated 10-simplex									990	110
31		t0,1,2,3,4,5,6,7,8,9{3,3,3,3,3,3,3,3,3} Omnitruncated 10-simplex									199584000	39916800

B₁₀ rodina

Existuje 1023 formulářů založených na všech permutacích Coxeter-Dynkinovy ​​diagramy s jedním nebo více kroužky.

Níže je uvedeno dvanáct případů: deset jednozvonění (opraveno ) formy a dvě zkrácení. Názvy zkratek ve stylu Bowers jsou uvedeny v závorkách pro křížové odkazy.

#	Graf	Coxeter-Dynkinův diagram Schläfliho symbol název	Počty prvků
			9 tváří	8 tváří	7 tváří	6 tváří	5 tváří	4 tváře	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
1		t0{4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10 kostek (deker)	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024
2		t0,1{4,3,3,3,3,3,3,3,3} Zkrácená 10 kostka (tade)									51200	10240
3		t1{4,3,3,3,3,3,3,3,3} Rektifikovaná 10 kostka (řada)									46080	5120
4		t2{4,3,3,3,3,3,3,3,3} Usměrněná 10 krychle (známka)									184320	11520
5		t3{4,3,3,3,3,3,3,3,3} Trirektifikovaná 10 kostka (obchod)									322560	15360
6		t4{4,3,3,3,3,3,3,3,3} Quadrirectified 10-cube (terade)									322560	13440
7		t4{3,3,3,3,3,3,3,3,4} Quadrirectified 10-orthoplex (terake)									201600	8064
8		t3{3,3,3,3,3,3,3,4} Trirectified 10-orthoplex (trake)									80640	3360
9		t2{3,3,3,3,3,3,3,3,4} Usměrněný 10-orthoplex (brzda)									20160	960
10		t1{3,3,3,3,3,3,3,3,4} Rektifikovaný 10-orthoplex (hrábě)									2880	180
11		t0,1{3,3,3,3,3,3,3,3,4} Zkrácený 10-orthoplex (vzít)									3060	360
12		t0{3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-orthoplex (ka)	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20

D₁₀ rodina

D₁₀ rodina má symetrii řádu 1 857 945 600 (10 faktoriál × 2⁹).

Tato rodina má 3 × 256−1 = 767 wythoffovských uniformních polytopů, generovaných označením jednoho nebo více uzlů D₁₀ Coxeter-Dynkinův diagram. Z nich 511 (2 × 256-1) se opakuje od B₁₀ rodina a 256 jsou pro tuto rodinu jedinečné, přičemž 2 jsou uvedeny níže. Názvy zkratek ve stylu Bowers jsou uvedeny v závorkách pro křížové odkazy.

#	Graf	Coxeter-Dynkinův diagram Schläfliho symbol název	Počty prvků
			9 tváří	8 tváří	7 tváří	6 tváří	5 tváří	4 tváře	Buňky	Tváře	Hrany	Vrcholy
1		10-demicube (hede)	532	5300	24000	64800	115584	142464	122880	61440	11520	512
2		Zkrácená 10-demicube (thede)									195840	23040

Pravidelné a jednotné voštiny

Existují čtyři základní afinity Skupiny coxeterů které generují pravidelné a jednotné mozaikování v 9prostoru:

#	Skupina coxeterů		Coxeter-Dynkinův diagram
1	${ displaystyle { tilde {A}} _ {9}}$	[3[10]]
2	${ displaystyle { tilde {B}} _ {9}}$	[4,37,4]
3	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{9}}$	h [4,37,4] [4,36,31,1]
4	${ displaystyle { tilde {D}} _ {9}}$	q [4,37,4] [31,1,35,31,1]

Pravidelné a jednotné mozaikování zahrnují:

• Pravidelný 9-hyperkubický plástev, se symboly {4,3⁷,4},
• Jednotný střídal 9-hyperkubický plástev se symboly h {4,3⁷,4},

Pravidelné a jednotné hyperbolické voštiny

Neexistují žádné kompaktní hyperbolické Coxeterovy skupiny 10. úrovně, skupiny, které mohou generovat voštiny se všemi konečnými fazetami, a konečné vrchol obrázek. Existují však 3 nekompaktní hyperbolické Coxeterovy skupiny hodnosti 9, z nichž každá generuje jednotné voštiny v 9prostoru jako permutace prstenců Coxeterových diagramů.

${ displaystyle { bar {Q}} _ {9}}$ = [31,1,34,32,1]:

${ displaystyle { bar {S}} _ {9}}$ = [4,35,32,1]:

${ displaystyle E_ {10}}$ nebo ${ displaystyle { bar {T}} _ {9}}$ = [36,2,1]:

Tři voštiny z ${ displaystyle E_ {10}}$ rodina generovaná Coxeterovými diagramy s koncovým prstencem jsou:

• 6₂₁ plástev:
• 2₆₁ plástev:
• 1₆₂ plástev:

Reference

• T. Gosset: Na regulárních a polopravidelných obrázcích v prostoru n dimenzí, Posel matematiky, Macmillan, 1900
• A. Boole Stott: Geometrický dedukce semiregular z pravidelných polytopů a prostorových výplní, Verhandelingen z Koninklijke akademie van Wetenschappen šířka jednotky Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• H.S.M. Coxeter:
  • H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins und J.C.P. Mlynář: Jednotná mnohostěna, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. vydání, Dover New York, 1973
• Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
• Klitzing, Richarde. „10D uniformní polytopes (polyxenna)“.

externí odkazy

• Názvy polytopů
• Polytopy různých rozměrů, Jonathan Bowers
• Vícerozměrný glosář
• Glosář pro hyperprostor George Olshevsky.