Seznam neperiodických sad dlaždic - List of aperiodic sets of tiles

Popis zobrazíte kliknutím na „Zobrazit“.
A periodické obklady se zvýrazněnou základní jednotkou (trojúhelník) a primitivní buňkou (šestiúhelník). Obklad celé roviny lze generovat spojením kopií těchto trojúhelníkových záplat dohromady. K tomu je třeba základní trojúhelník otočit o 180 stupňů, aby se přizpůsobil od okraje k sousednímu trojúhelníku. Tak a trojúhelníkové obklady budou vygenerovány základní jednotky, tj vzájemně lokálně odvozitelné od obkladu barevnými dlaždicemi. Druhý obrázek nakreslený na obklad, bílý šestiúhelník, představuje primitivní buňku obkladu. Mohou být kopie odpovídající patche barevných dlaždic přeloženo k vytvoření nekonečného obkladu roviny. K dosažení tohoto cíle není nutné tento patch otáčet.

v geometrie, a obklady je oddíl roviny (nebo jiného geometrického nastavení) do uzavřených množin (tzv dlaždice), bez mezer nebo přesahů (kromě hranic dlaždic).[1] Obklady jsou považovány za periodické, pokud existují překlady ve dvou nezávislých směrech, které mapují obklady na sebe. Takový obklad se skládá z jediného základní jednotka nebo primitivní buňka který se nekonečně a pravidelně opakuje ve dvou nezávislých směrech.[2] Příklad takového obkladu je uveden v sousedním schématu (další informace viz popis obrázku). Obklady, které nelze zkonstruovat z jedné primitivní buňky, se nazývají neperiodické. Pokud daná sada dlaždic umožňuje pouze neperiodické obklady, pak se tato sada dlaždic nazývá neperiodické.[3] Obklady získané z neperiodické sady dlaždic se často nazývají neperiodické obklady, i když přesně řečeno, jsou to samotné dlaždice, které jsou neperiodické. (O samotném obkladu se říká, že je „neperiodický“.)

První tabulka vysvětluje zkratky použité ve druhé tabulce. Druhá tabulka obsahuje všechny známé neperiodické sady dlaždic a poskytuje některé další základní informace o každé sadě. Tento seznam dlaždic je stále neúplný.

Vysvětlení

ZkratkaVýznamVysvětlení
E2Euklidovské letadlonormální ploché letadlo
H2hyperbolická rovinaletadlo, kde paralelní postulát nedrží
E3Euklidovský 3 prostorprostor definovaný třemi kolmými souřadnými osami
MLDVzájemně lokálně odvozitelnédva obklady jsou považovány za vzájemně místně odvozitelné od sebe, pokud lze jeden obklad získat od druhého jednoduchým místním pravidlem (například odstraněním nebo vložením okraje)

Seznam

Tohle je dynamický seznam a nikdy nemusí být schopen splnit určité standardy pro úplnost. Můžete pomoci přidání chybějících položek s spolehlivé zdroje.
obraznázevPočet dlaždicProstorDatum publikaceOdkazyKomentáře
Trilobite and cross.svg
Trilobit a křížové dlaždice2E21999[4]Obklady MLD z sklony židlí
Penrose P1.svg
Dlaždice Penrose P16E21974[5][6]Obklady MLD z obkladů P2 a P3, Robinsonovy trojúhelníky a „Hvězdice, list břečťanu, hex“
Kite Dart.svg
Dlaždice Penrose P22E21977[7][8]Obklady MLD z obkladů P1 a P3, Robinsonovy trojúhelníky a „Hvězdice, list břečťanu, hex“
Oblouky Penrose P3. Svg
Dlaždice Penrose P32E21978[9][10]Obklady MLD z obkladů P1 a P2, Robinsonovy trojúhelníky a „Hvězdice, list břečťanu, hex“
Binární obklady oblouky. Svg
Binární dlaždice2E21988[11][12]Ačkoli mají podobný tvar jako dlaždice P3, obklady nejsou MLD od sebe navzájem. Vyvinuto ve snaze modelovat atomové uspořádání v binárních slitinách
Robinson Tiles.svg
Robinsonské dlaždice6E21971[13][14]Dlaždice vynucují aperiodicitu vytvořením nekonečné hierarchie čtvercových mřížek
Bez obrázkuDlaždice Ammann A16E21977[15][16]Dlaždice vynucují aperiodicitu vytvořením nekonečného hierarchického binárního stromu.
Ammann A2.svg
Dlaždice Ammann A22E21986[17][18]
Ammann A3.svg
Dlaždice Ammann A33E21986[17][18]
Ammann A4.svg
Dlaždice Ammann A42E21986[17][18][19]Obklady MLD s Ammann A5.
Ammann A5.svg
Dlaždice Ammann A52E21982[20][21][22]Obklady MLD s Ammann A4.
Bez obrázkuPenroseovy šestihranné trojúhelníkové dlaždice2E21997[23][23][24]
Goldren Triangle 200px.png
Zlatý trojúhelník dlaždice10E22001[25][26]datum je pro zjištění shodných pravidel. Duální na Ammann A2
Socolar.svg
Socolar dlaždice3E21989[27][28][29]Obklady MLD z obkladů u dlaždic Štítu
Shield.svg
Štítové dlaždice4E21988[30][31][32]Obklady MLD z obkladů u dlaždic Socolar
Čtvercové trojúhelníkové dlaždice.svg
Čtvercové trojúhelníkové dlaždice5E21986[33][34]
Hvězdice ivyleaf hex.svg
Hvězdice, břečťanový list a šestihranné dlaždice3E2[35][36][37]Obklady jsou MLD na trojúhelníky Penrose P1, P2, P3 a Robinson
Robinsonův trojúhelníkový rozklad. Svg
Robinsonův trojúhelník4E2[17]Obklady jsou MLD na Penrose P1, P2, P3 a „Hvězdice, list břečťanu, hex“.
Danzer trojúhelníky.svg
Danzerovy trojúhelníky6E21996[38][39]
Větrník 1. sv
Dlaždice větrníkE21994[40][41][42][43]Datum je pro zveřejnění pravidel shody.
Socolar-Taylor tile.svg
Dlaždice Socolar – Taylor1E22010[44][45]Ne připojená sada. Aperiodické hierarchické obklady.
Bez obrázkuWang dlaždice20426E21966[46]
Bez obrázkuWang dlaždice104E22008[47]
Bez obrázkuWang dlaždice52E21971[13][48]Dlaždice vynucují aperiodicitu vytvořením nekonečné hierarchie čtvercových mřížek
Wang 32 dlaždic.svg
Wang dlaždice32E21986[49]Lokálně odvozitelné od dlaždic Penrose.
Bez obrázkuWang dlaždice24E21986[49]Lokálně odvozitelné od obkladu A2
Wang 16 dlaždic.svg
Wang dlaždice16E21986[17][50]Odvozeno od obkladu A2 a jeho Ammann barů
Wang 14 dlaždic.svg
Wang dlaždice14E21996[51][52]
Wang 13 dlaždic.svg
Wang dlaždice13E21996[53][54]
Wang 11 dlaždic.svg
Wang dlaždice11E22015[55]
Bez obrázkuDecagonal Sponge dlaždice1E22002[56][57]Porézní dlaždice sestávající z nepřekrývajících se sad bodů
Bez obrázkuGoodman-Strauss silně neperiodické dlaždice85H22005[58]
Bez obrázkuGoodman-Strauss silně neperiodické dlaždice26H22005[59]
Goodman-Straussova hyperbolická dlaždice.svg
Hyperbolická dlaždice Böröczky1Hn1974[60][61][59][62]Pouze slabě neperiodické
Bez obrázkuSchmittova dlaždice1E31988[63]Šroub-periodický
SCD tile.svg
Dlaždice Schmitt – Conway – Danzer1E3[63]Periodicky šroub a konvexní
Socolar Taylor 3D.svg
Dlaždice Socolar – Taylor1E32010[44][45]Periodické ve třetí dimenzi
Bez obrázkuPenrose rhombohedra2E31981[64][65][66][67][68][69][70][71]
Sítě pro ikosahedrickou neperiodickou dlaždici set.svg
Mackay – Ammán rhombohedra4E31981[35]Ikosahedrální symetrie. Jedná se o zdobené Penrose rhombohedra s odpovídajícím pravidlem, které vynucuje periodicitu.
Bez obrázkuWang kostky21E31996[72]
Bez obrázkuWang kostky18E31999[73]
Bez obrázkuDanzer čtyřstěn4E31989[74][75]
Já a L dlaždice.png
Já a L dlaždice2En pro všechna n ≥ 31999[76]

Reference

  1. ^ Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1977), „Tilings by Regular Polygons“, Matematika. Mag., 50 (5): 227–247, doi:10.2307/2689529, JSTOR  2689529
  2. ^ Edwards, Steve, „Základní regiony a primitivní buňky“, Obkladové letadlo a fantazie, Kennesaw State University, archivováno od originálu dne 2010-09-16, vyvoláno 2017-01-11
  3. ^ Wagon, Steve (2010), Mathematica v akci (3. vyd.), Springer Science & Business Media, str. 268, ISBN  9780387754772
  4. ^ Goodman-Strauss, Chaim (1999), „Aperiodická sada plochých dlaždic“, Evropská J. Combin., 20 (5): 375–384, doi:10.1006 / eujc.1998.0281 (předtisk k dispozici )
  5. ^ Penrose, Rogere (1974), „Role estetiky v čistém a aplikovaném matematickém výzkumu“, Býk. Inst. Matematika. A jeho aplikace., 10 (2): 266–271
  6. ^ Mikhael, Jules (2010), Koloidní monovrstvy na kvaziperiodických laserových polích (PDF) (Dr. rer. Natesis), str. 23, doi:10.18419 / opus-4924, archivováno (PDF) od originálu 2010-09-28
  7. ^ Gardner, Martin (Leden 1977), „Matematické hry: Mimořádné neperiodické obklady, které obohacují teorii dlaždic“, Scientific American, 236 (1): 110–121, Bibcode:1977SciAm.236a.110G, doi:10.1038 / scientificamerican0177-110
  8. ^ Gardner, Martin (1997), Penroseovy dlaždice na šifry padacích dveří (Revidované vydání.), The Mathematical Association of America, s. 86, ISBN  9780883855218
  9. ^ Penrose, Roger (1978), "Pentaplexity", Heuréka, 39: 16–22
  10. ^ Penrose, Roger (1979), "Pentaplexita", Matematika. Intell., 2 (1): 32–37, doi:10.1007 / bf03024384, S2CID  120305260, archivováno od originálu 2010-09-23, vyvoláno 2010-07-26
  11. ^ Lançon, F .; Billard, L. (1988), „Dvojrozměrný systém s kvazikrystalickým základním stavem“ (PDF), Journal de Physique, 49 (2): 249–256, CiteSeerX  10.1.1.700.3611, doi:10.1051 / jphys: 01988004902024900, archivováno (PDF) od původního dne 2010-09-29
  12. ^ Godrèche, C .; Lançon, F. (1992), "Jednoduchý příklad non-pisotského obkladu s pětinásobnou symetrií" (PDF), Journal de Physique I, 2 (2): 207–220, Bibcode:1992JPhy1 ... 2..207G, doi:10.1051 / jp1: 1992134, archivováno (PDF) od původního dne 2010-09-29
  13. ^ A b Robinson, Raphael M. (1971), „Nerozhodnutelnost a neperiodicita naklápění v rovině“, Inventiones Mathematicae, 12 (3): 177–209, Bibcode:1971InMat..12..177R, doi:10.1007 / BF01418780, S2CID  14259496
  14. ^ Goodman-Strauss, Chaim (1999), Sadoc, J. F .; Rivier, N. (eds.), "Aperiodic Hierarchical tilings", Řada NATO ASISérie E: Aplikované vědy, 354 (Pěny a emulze): 481–496, doi:10.1007/978-94-015-9157-7_28, ISBN  978-90-481-5180-6
  15. ^ Gardner, Martin (2001), Kolosální kniha matematikyW. W. Norton & Company, str. 76, ISBN  978-0393020236
  16. ^ Grünbaum, Branko & Shephard, Geoffrey C. (1986), Obklady a vzory, New York: W. H. Freeman, ISBN  978-0-7167-1194-0, podle Holandský, Steven (2003), Aperiodické obklady, University of Wisconsin - Green Bay, archivovány od originál dne 30. 8. 2006, vyvoláno 2011-04-02; srov. Savard, John J. G., Aperiodické obklady v konvenčních mřížkách
  17. ^ A b C d E Grünbaum, Branko & Shephard, Geoffrey C. (1986), Obklady a vzory, New York: W. H. Freeman, ISBN  978-0-7167-1194-0
  18. ^ A b C Ammann, Robert; Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (červenec 1992), „Aperiodické dlaždice“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 8 (1): 1–25, doi:10.1007 / BF02293033, S2CID  39158680
  19. ^ Harriss, Edmund; Frettlöh, Dirk, "Ammann A4", Tilings Encyclopedia, Bielefeld University
  20. ^ Beenker, F. P. M. (1982), Algebraická teorie neperiodických naklonění roviny pomocí dvou jednoduchých stavebních bloků: čtverce a kosočtverceZpráva TH, 82-WSK04, Eindhoven University of Technology
  21. ^ Komatsu, Kazushi; Nomakuchi, Kentaro; Sakamoto, Kuniko; Tokitou, Takashi (2004), „Reprezentace Ammann-Beenkerových naklonění automatem“, Nihonkai Math. J., 15 (2): 109–118, archivováno od původního dne 2010-09-29, vyvoláno 2017-01-12
  22. ^ Harriss, Edmund; Frettlöh, Dirk, „Ammann-Beenker“, Tilings Encyclopedia, Bielefeld University
  23. ^ A b Penrose, R. (1997), „Poznámky k obkladům: Podrobnosti a (1 + ε + ε2) neperiodická sada. ", Řada NATO ASISérie C: Matematické a fyzikální vědy, 489 (Mathematics of Long-Range Aperiodic Order): 467–497, doi:10.1007/978-94-015-8784-6_18, ISBN  978-0-7923-4506-0
  24. ^ Goodman-Strauss, Chaim (2003), Neperiodická dvojice dlaždic (PDF), University of Arkansas
  25. ^ Danzer, Ludwig; van Ophuysen, Gerrit (2001), „Druh plošných trojúhelníkových obkladů s inflačním faktorem ", Res. Býk. Panjab Univ. Sci., 50 (1–4): 137–175, PAN  1914493
  26. ^ Gelbrich, G (1997), „Fraktální Penrosovy dlaždice II. Dlaždice s fraktální hranicí jako duální dualy Penrosových trojúhelníků“, Aequationes Mathematicae, 54 (1–2): 108–116, doi:10.1007 / bf02755450, PAN  1466298, S2CID  120531480
  27. ^ Socolar, Joshua E. S. (1989), „Jednoduché osmiboké a dodekagonální kvazikrystaly“, Fyzický přehled B, 39 (15): 10519–51, Bibcode:1989PhRvB..3910519S, doi:10.1103 / PhysRevB.39.10519, PMID  9947860
  28. ^ Gähler, Franz; Lück, Reinhard; Ben-Abraham, Shelomo I .; Gummelt, Petra (2001), „Dodecagonal tilings as maximal cluster coverings“, Feroelektrika, 250 (1): 335–338, doi:10.1080/00150190108225095, S2CID  123171399
  29. ^ Savard, John J. G., Obklady Socolar
  30. ^ Gähler, Franz (1988), „Krystalografie dodekagonálních kvazikrystalů"" (PDF), Janot, Christian (ed.), Kvazikrystalické materiály: Sborník z I.L.L. / Codest Workshop, Grenoble, 21. – 25. Března 1988, Singapur: World Scientific, s. 272–284
  31. ^ Gähler, Franz; Frettlöh, Dirk, "Štít", Tilings Encyclopedia, Bielefeld University
  32. ^ Gähler, Franz (1993), „Pravidla shody pro kvazikrystaly: metoda rozkladu“ (PDF), Časopis nekrystalických pevných látek, 153–154 (postupy čtvrté mezinárodní konference o kvazikrystalech): 160–164, Bibcode:1993JNCS..153..160G, CiteSeerX  10.1.1.69.2823, doi:10.1016 / 0022-3093 (93) 90335-u, archivováno (PDF) od originálu 2010-10-01
  33. ^ Stampfli, P. (1986), „Dodecagonal Quasiperiodic Lattice in Two Dimensions“, Helv. Phys. Acta, 59: 1260–1263
  34. ^ Hermisson, Joachim; Richard, Christoph; Baake, Michael (1997), „Průvodce strukturou symetrie tříd kvaziperiodického obkladu“, Journal de Physique I, 7 (8): 1003–1018, Bibcode:1997JPhy1 ... 7.1003H, CiteSeerX  10.1.1.46.5796, doi:10.1051 / jp1: 1997200
  35. ^ A b Pane, Eriku. A. (1991), „Kvazikrystaly a Penrosovy vzory“ (PDF), Současná věda, 61 (5): 313–319, archivováno (PDF) z původního dne 27. září 2010
  36. ^ Olamy, Z .; Kléman, M. (1989), „Dvourozměrný neperiodický hustý obklad“ (PDF), Journal de Physique, 50 (1): 19–33, doi:10.1051 / jphys: 0198900500101900, archivováno (PDF) od originálu 2010-11-01
  37. ^ Mihalkovič, M .; Henley, C. L .; Widom, M. (2004), „Kombinované zpřesnění dat difrakce energie desetiúhelníkového AlNiCo“, Časopis nekrystalických pevných látek, 334–335 (8. mezinárodní konference o kvazikrystalech): 177–183, arXiv:cond-mat / 0311613, Bibcode:2004JNCS..334..177M, doi:10.1016 / j.jnoncrysol.2003.11.034, S2CID  18958430
  38. ^ Nischke, K.-P .; Danzer, L. (1996), „Konstrukce pravidel inflace založená na n-fold symetry ", Diskrétní a výpočetní geometrie, 15 (2): 221–236, doi:10.1007 / bf02717732, S2CID  22538367
  39. ^ Hayashi, Hiroko; Kawachi, Yuu; Komatsu, Kazushi; Konda, Aya; Kurozoe, Miho; Nakano, Fumihiko; Odawara, Naomi; Onda, Rika; Sugio, Akinobu; Yamauchi, Masatetsu (2009), „Abstract: Notes on vertex atlas of plaar Danzer tiling“ (PDF), Japonská konference o výpočetní geometrii a grafech, Kanazawa, 11. – 13. Listopadu 2009
  40. ^ Radin, Charles (1994), „Sklopení větrníku letadla“, Annals of Mathematics, Druhá série, 139 (3): 661–702, CiteSeerX  10.1.1.44.9723, doi:10.2307/2118575, JSTOR  2118575, PAN  1283873
  41. ^ Radin, Charles (1993), „Symetrie náklonu roviny“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 29 (2): 213–217, arXiv:matematika / 9310234, Bibcode:1993math ..... 10234R, CiteSeerX  10.1.1.45.5319, doi:10.1090 / s0273-0979-1993-00425-7, S2CID  14935227
  42. ^ Radin, Charles; Wolff, Mayhew (1992), „Vesmírné obklady a místní izomorfismus“, Geom. Dedicata, 42 (3): 355–360, doi:10.1007 / bf02414073, PAN  1164542, S2CID  16334831
  43. ^ Radin, C (1997), „Aperiodic tilings, ergodic theory, and rotations“, Řada NATO ASI, Řada C: Matematické a fyzikální vědy, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 489 (Matematika dalekonosného neperiodického řádu), PAN  1460035
  44. ^ A b Socolar, Joshua E. S .; Taylor, Joan M. (2011), „Aperiodic hexagonal tile“, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 118 (8): 2207–2231, arXiv:1003,4279v1, doi:10.1016 / j.jcta.2011.05.001, S2CID  27912253
  45. ^ A b Socolar, Joshua E. S .; Taylor, Joan M. (2011), „Vynucení neperiodicity jedinou dlaždicí“, Matematický zpravodaj, 34 (1): 18–28, arXiv:1009,1419v1, doi:10.1007 / s00283-011-9255-r, S2CID  10747746
  46. ^ Burger, Robert (1966), „Nerozhodnutelnost problému Domino“, Monografie Americké matematické společnosti, 66 (66), doi:10.1090 / poznámka / 0066, ISBN  978-0-8218-1266-2
  47. ^ Ollinger, Nicolas (2008), „Substituční systémy dva za dvěma a nerozhodnutelnost problému Domino“ (PDF), Logika a teorie algoritmů, Přednášky v informatice, 5028, Springer, str. 476–485, CiteSeerX  10.1.1.371.9357, doi:10.1007/978-3-540-69407-6_51, ISBN  978-3-540-69405-2
  48. ^ Kari, J.; Papasoglu, P. (1999), „Deterministické sady periodických dlaždic“, Geometrická a funkční analýza, 9 (2): 353–369, doi:10,1007 / s000390050090, S2CID  8775966
  49. ^ A b Lagae, Ares; Kari, Jarkko; Dutré, Phillip (2006), Aperiodické sady čtvercových dlaždic s barevnými rohy, Nahlásit CW, 460, KU Lovaň, str. 15, CiteSeerX  10.1.1.89.1294
  50. ^ Carbone, Alessandra; Gromov, Mikhael; Prusinkiewicz, Przemyslaw (2000), Formování vzorů v biologii, vizi a dynamice, Singapur: World Scientific, ISBN  978-981-02-3792-9
  51. ^ Kari, Jarkko (1996), „Malá neperiodická sada dlaždic Wang“, Diskrétní matematika, 160 (1–3): 259–264, doi:10.1016 / 0012-365X (95) 00120-L
  52. ^ Lagae, Ares (2007), Dlaždicové metody v počítačové grafice (PDF) (Disertační práce), KU Lovaň, str. 149, ISBN  978-90-5682-789-2, archivovány z originál (PDF) dne 06.10.2010
  53. ^ Culik, Karel; Kari, Jarkko (1997), „O neperiodických sadách Wangových dlaždic“, Základy informatiky, Přednášky v informatice, 1337, str. 153–162, doi:10.1007 / BFb0052084, ISBN  978-3-540-63746-2
  54. ^ Culik, Karel (1996), „Neperiodická sada 13 Wangových dlaždic“, Diskrétní matematika, 160 (1–3): 245–251, CiteSeerX  10.1.1.53.5421, doi:10.1016 / S0012-365X (96) 00118-5
  55. ^ Jeandel, Emmanuel; Rao, Michael (2015), „Neperiodická sada 11 dlaždic Wang“, VR, arXiv:1506.06492, Bibcode:2015arXiv150606492J
  56. ^ Zhu, Feng (2002), Hledání univerzální dlaždice (PDF) (Bakalářská práce), Williams College
  57. ^ Bailey, Duane A .; Zhu, Feng (2001), Sponge-like (téměř) univerzální dlaždice (PDF), CiteSeerX  10.1.1.103.3739
  58. ^ Goodman-Strauss, Chaim (2010), „Hierarchická silně neperiodická sada dlaždic v hyperbolické rovině“ (PDF), Teoretická informatika, 411 (7–9): 1085–1093, doi:10.1016 / j.tcs.2009.11.018
  59. ^ A b Goodman-Strauss, Chaim (2005), „Silně neperiodická sada dlaždic v hyperbolické rovině“, Vymyslet. Matematika., 159 (1): 130–132, Bibcode:2004InMat.159..119G, CiteSeerX  10.1.1.477.1974, doi:10.1007 / s00222-004-0384-1, S2CID  5348203
  60. ^ Böröczky, K. (1974), „Gömbkitöltések állandó görbületü terekben I“, Matematikai Lapok, 25: 265–306
  61. ^ Böröczky, K. (1974), „Gömbkitöltések állandó görbületü terekben II“, Matematikai Lapok, 26: 67–90
  62. ^ Dolbilin, Nikkolai; Frettlöh, Dirk (2010), "Vlastnosti Böröczkyho obkladů ve vysokorozměrných hyperbolických prostorech" (PDF), Evropská J. Combin., 31 (4): 1181–1195, arXiv:0705.0291, CiteSeerX  10.1.1.246.9821, doi:10.1016 / j.ejc.2009.11.016, S2CID  13607905
  63. ^ A b Radin, Charles (1995), "Aperiodické obklady ve vyšších rozměrech" (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society Americká matematická společnost, 123 (11): 3543–3548, doi:10.2307/2161105, JSTOR  2161105, vyvoláno 2013-09-25
  64. ^ Mackay, Alan L. (1981), „De Nive Quinquangula: Na pětiúhelníkové sněhové vločce“ (PDF), Sov. Phys. Crystallogr., 26 (5): 517–522, archivováno (PDF) z původního dne 2010-10-06
  65. ^ Meisterernst, Götz, Experimente zur Wachstumskinetik Dekagonaler Quasikristalle (PDF) (Disertační práce), Ludwig Maximilian University v Mnichově, s. 18–19, archivováno (PDF) od originálu 2010-10-08
  66. ^ Jirong, Sun (1993), "Strukturní přechod trojrozměrného Penrosova obkladu pod fázovým napětím", Chinese Phys. Lett., 10 (8): 449–452, Bibcode:1993ChPhL..10..449S, doi:10.1088 / 0256-307x / 10/8/001
  67. ^ Inchbald, Guy (2002), 3-D kvazikrystalická struktura
  68. ^ Lord, E. A .; Ranganathan, S .; Kulkarni, U. D. (2001), „Quasicrystals: tiling versus shlukování“ (PDF), Filozofický časopis A, 81 (11): 2645–2651, Bibcode:2001PMagA..81.2645L, CiteSeerX  10.1.1.487.2640, doi:10.1080/01418610108216660, S2CID  138403519, archivováno (PDF) z původního dne 2010-10-06
  69. ^ Rudhart, Christoph Paul (červen 1999), Zur numerischen Simulation des Bruchs von Quasikristallen (Teze), University of Stuttgart, str. 11, doi:10.18419 / opus-4639
  70. ^ Lord, E. A .; Ranganathan, S .; Kulkarni, U. D. (2000), „Obklady, krytiny, shluky a kvazikrystaly“ (PDF), Současná věda, 78 (1): 64–72, archivováno (PDF) od originálu 2010-11-01
  71. ^ Katz, A. (1988), „Theory of Matching Rules for the 3-Dimensional Penrose Tilings“, Komunikace v matematické fyzice, 118 (2): 263–288, Bibcode:1988CMaPh.118..263K, doi:10.1007 / BF01218580, S2CID  121086829
  72. ^ Culik, Karel; Kari, Jarkko (1995), „Neperiodická sada Wangových kostek“, Journal of Universal Computer Science, 1 (10), CiteSeerX  10.1.1.54.5897, doi:10,3217 / jucs-001-10-0675
  73. ^ Walther. Gerd; Selter, Christoph, eds. (1999), Mathematikdidaktik als design science: Festschrift für Erich Christian Wittmann, Lipsko: Ernst Klett Grundschulverlag, ISBN  978-3-12-200060-8
  74. ^ Danzer, L. (1989), „Trojrozměrné analogy planárních Penrosových obkladů a kvazikrystalů“, Diskrétní matematika, 76 (1): 1–7, doi:10.1016 / 0012-365X (89) 90282-3
  75. ^ Zerhusen, Aaron (1997), Danzerův trojrozměrný obklad, University of Kentucky
  76. ^ Goodman-Strauss, Chaim (1999), „Aperiodic Pair of Tiles in En pro všechna n ≥ 3 ", Evropská J. Combin., 20 (5): 385–395, doi:10.1006 / eujc.1998.0282 (předtisk k dispozici )

externí odkazy