Order-6 šestihranný obkladový plástev - Order-6 hexagonal tiling honeycomb

Order-6 šestihranný obkladový plástev
Perspektivní projekce Pohled od středu města Poincaré model disku
Typ	Hyperbolický pravidelný plástev Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	{6,3,6} {6,3[3]}
Coxeterův diagram	↔ ↔
Buňky	{6,3}
Tváře	šestiúhelník {6}
Postava hrany	šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	{3,6} nebo {3[3]}
Dvojí	Self-dual
Skupina coxeterů	${ displaystyle { overline {Z}} _ {3}}$, [6,3,6] ${ displaystyle { overline {VP}} _ {3}}$, [6,3[3]]
Vlastnosti	Pravidelný, quasiregular

V oblasti hyperbolická geometrie, objednávka 6 šestihranný obklad voštinový je jedním z 11 pravidelné paracompaktní voštiny v trojrozměrném hyperbolický prostor. to je paracompact protože má buňky s nekonečným počtem tváří. Každá buňka je a šestihranný obklad jehož vrcholy leží na a horosféra: plochá rovina v hyperbolickém prostoru, která se blíží k jedinému ideální bod v nekonečnu.

The Schläfliho symbol šestihranného obkladového pláství je {6,3,6}. Od té doby šestihranný obklad roviny je {6,3}, má tento plást šest takových šestihranných náklonů, které se setkávají na každém okraji. Od Schläfliho symbolu trojúhelníkové obklady je {3,6} vrchol obrázek této voštiny je trojúhelníkový obklad. V každém vrcholu tohoto plástu se tedy setkává nekonečně mnoho šestihranných obkladů.^[1]

A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

Související obklady

Plástev šestihranných obkladů řádu 6 je analogický s 2D hyperbolikem apeirogonální obklady nekonečného řádu, {∞, ∞}, s nekonečným apeirogonal plochy se všemi vrcholy na ideální ploše.

Obsahuje a ta taška 2-hypercyklus povrchy, které jsou podobné paracompaktním obkladům a (dále jen zkrácený trojúhelníkový obklad nekonečného řádu a objednávka 3 apeirogonal obklady, v uvedeném pořadí):

Symetrie

Vztahy podskupin:
↔

Voštinový šestihranný obklad řádu 6 má konstrukci poloviční symetrie: .

Má také podskupinu indexu 6, [6,3^*, 6], s jednoduchou základní doménou. Tato podskupina odpovídá a Coxeterův diagram se šesti větvemi řádu 3 a třemi větvemi nekonečného řádu ve tvaru trojúhelníkového hranolu: .

Související polytopy a voštiny

Voštinový šestihranný obklad řádu 6 je a pravidelný hyperbolický plástev ve 3-prostoru a jedna z jedenácti paracompaktních voštin ve 3-prostoru.

11 paracompact pravidelných voštin
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Existují devět jednotných voštin v [6,3,6] Skupina coxeterů rodina, včetně této pravidelné formy.

[6,3,6] rodinné voštiny

{6,3,6}	r {6,3,6}	t {6,3,6}	rr {6,3,6}	t0,3{6,3,6}	2t {6,3,6}	tr {6,3,6}	t0,1,3{6,3,6}	t0,1,2,3{6,3,6}

Tato plástev má příbuzné střídal plástev trojúhelníkový obkladový plástev, ale s nižší symetrií: ↔ .

Plástev šestihranných obkladů řádu 6 je součástí řady pravidelných polychora a voštiny s trojúhelníkové obklady vrcholové postavy:

Hyperbolické jednotné voštiny: {p, 3,6}

Formulář	Paracompact				Nekompaktní
název	{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{6,3,6}	{7,3,6}	{8,3,6}	... {∞,3,6}
obraz
Buňky	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Je také součástí posloupnosti pravidelných polychora a voštiny s šestihranný obklad buňky:

{6,3, p} voštiny [ proti t E ]
Prostor	H3
Formulář	Paracompact				Nekompaktní
název	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Coxeter
obraz
Vrchol postava {3, str}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Je také součástí posloupnosti pravidelných polychora a voštiny s pravidelným deltahedral vrcholové postavy:

{p, 3, p} běžné voštiny
Prostor	S3	Euklidovský E3	H3
Formulář	Konečný	Afinní	Kompaktní	Paracompact	Nekompaktní
název	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3,6}	{7,3,7}	{8,3,8}	...{∞,3,∞}
obraz
Buňky	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
Vrchol postava	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Opravený šestihranný obkladový plást s objednávkou 6

Opravený šestihranný obkladový plást s objednávkou 6
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	r {6,3,6} nebo t1{6,3,6}
Coxeterovy diagramy	↔ ↔ ↔ ↔
Buňky	{3,6} r {6,3}
Tváře	trojúhelník {3} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	šestihranný hranol
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {Z}} _ {3}}$, [6,3,6] ${ displaystyle { overline {VP}} _ {3}}$, [6,3[3]] ${ displaystyle { overline {PP}} _ {3}}$, [3[3,3]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The opravený objednávkový šestihranný obkladový plást, t₁{6,3,6}, má trojúhelníkové obklady a trihexagonal obklady fazety, s a šestihranný hranol vrchol obrázek.

to může také být viděno jako čtvrtina objednávky-6 šestihranný obklad voštinový, q {6,3,6}, ↔ .

Je to analogické s 2D hyperbolickým objednávka 4 apeirogonal obklady, r {∞, ∞} s nekonečným apeirogonal plochy se všemi vrcholy na ideální ploše.

Související voštiny

Šestihranný obkladový plást řádu 6 je součástí řady voštin s šestihranný hranol vrcholové postavy:

r {p, 3,6}

[

• proti
• t
• E

]

Prostor	H3
Formulář	Paracompact				Nekompaktní
název	r {3,3,6}	r {4,3,6}	r {5,3,6}	r {6,3,6}	r {7,3,6}	... r {∞, 3,6}
obraz
Buňky {3,6}	r {3,3}	r {4,3}	r {5,3}	r {6,3}	r {7,3}	r {∞, 3}

Je také součástí matice trojrozměrných čtvrtkových voštin: q {2p, 4,2q}

Euklidovský/hyperbolický(paracompact/nekompaktní) čtvrtiny voštin q {p, 3, q}
p q	4	6	8	... ∞
4	q {4,3,4} ↔ ↔	q {4,3,6} ↔ ↔	q {4,3,8} ↔	q {4,3, ∞} ↔
6	q {6,3,4} ↔ ↔	q {6,3,6} ↔	q {6,3,8} ↔	q {6,3, ∞} ↔
8	q {8,3,4} ↔	q {8,3,6} ↔	q {8,3,8} ↔	q {8,3, ∞} ↔
... ∞	q {∞, 3,4} ↔	q {∞, 3,6} ↔	q {∞, 3,8} ↔	q {∞, 3, ∞} ↔

Zkrácený voštinový šestihranný obklad řádu 6

Zkrácený šestihranný obkladový plást řádu 6
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t {6,3,6} nebo t0,1{6,3,6}
Coxeterův diagram	↔
Buňky	{3,6} t {6,3}
Tváře	trojúhelník {3} dodekagon {12}
Vrcholová postava	šestihranná pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {Z}} _ {3}}$, [6,3,6] ${ displaystyle { overline {VP}} _ {3}}$, [6,3[3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The zkrácený voštinový šestihranný obklad řádu 6, t_0,1{6,3,6}, má trojúhelníkové obklady a komolý šestihranný obklad fazety, s a šestihranná pyramida vrchol obrázek.^[2]

Bitmunkovaný řádový šestihranný obkladový plástev

Bitmunkovaný řádový šestihranný obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	bt {6,3,6} nebo t1,2{6,3,6}
Coxeterův diagram	↔
Buňky	t {3,6}
Tváře	šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	čtyřstěn
Skupiny coxeterů	${ displaystyle 2 times { overline {Z}} _ {3}}$, [[6,3,6]] ${ displaystyle { overline {VP}} _ {3}}$, [6,3[3]] ${ displaystyle { overline {V}} _ {3}}$, [3,3,6]
Vlastnosti	Pravidelný

The bitruncated order-6 hexagonal tiling honeycomb je konstrukce s nižší symetrií regulárního šestihranný obkladový plástev, ↔ . Obsahuje šestihranný obklad fazety, s a čtyřstěn vrchol obrázek.

Cantellated order-6 hexagonal tiling honeycomb

Cantellated order-6 hexagonal tiling honeycomb
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	rr {6,3,6} nebo t0,2{6,3,6}
Coxeterův diagram	↔
Buňky	r {3,6} rr {6,3} {} x {6}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	klín
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {Z}} _ {3}}$, [6,3,6] ${ displaystyle { overline {VP}} _ {3}}$, [6,3[3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantellated order-6 hexagonal tiling honeycomb, t_0,2{6,3,6}, má trihexagonal obklady, rhombitrihexagonal obklady, a šestihranný hranol buňky s a klín vrchol obrázek.

Cantitruncated objednávka 6 šestihranný obkladový plástev

Cantitruncated objednávka 6 šestihranný obklad plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	tr {6,3,6} nebo t0,1,2{6,3,6}
Coxeterův diagram	↔
Buňky	tr {3,6} t {3,6} {} x {6}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} dodekagon {12}
Vrcholová postava	zrcadlový sfénoid
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {Z}} _ {3}}$, [6,3,6] ${ displaystyle { overline {VP}} _ {3}}$, [6,3[3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantitruncated order-6 hexagonal tiling honeycomb, t_0,1,2{6,3,6}, má šestihranný obklad, zkrácené trihexagonální obklady, a šestihranný hranol buňky s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.

Runcinated order-6 hexagonal tiling honeycomb

Runcinated order-6 hexagonal tiling honeycomb
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t0,3{6,3,6}
Coxeterův diagram	↔
Buňky	{6,3} {}×{6}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	trojúhelníkový antiprism
Skupiny coxeterů	${ displaystyle 2 times { overline {Z}} _ {3}}$, [[6,3,6]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The runcinated order-6 hexagonal tiling honeycomb, t_0,3{6,3,6}, má šestihranný obklad a šestihranný hranol buňky s a trojúhelníkový antiprism vrchol obrázek.

Je to analogické s 2D hyperbolikem rhombihexahexagonal obklady, rr {6,6}, se čtvercovými a šestihrannými plochami:

Runcitruncated objednávka 6 šestihranný obkladový plástev

Runcitruncated objednávka 6 šestihranný obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t0,1,3{6,3,6}
Coxeterův diagram
Buňky	t {6,3} rr {6,3} {} x {6} {} x {12}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} dodekagon {12}
Vrcholová postava	rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {Z}} _ {3}}$, [6,3,6]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcitruncated objednávka 6 šestihranný obklad voštinový, t_0,1,3{6,3,6}, má komolý šestihranný obklad, rhombitrihexagonal obklady, šestihranný hranol, a dodecagonal hranol buňky, s rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida vrchol obrázek.

Omnitruncated order-6 hexagonal tiling honeycomb

Omnitruncated order-6 hexagonal tiling honeycomb
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symbol	t0,1,2,3{6,3,6}
Coxeterův diagram
Buňky	tr {6,3} {} x {12}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} dodekagon {12}
Vrcholová postava	fylický disfenoid
Skupiny coxeterů	${ displaystyle 2 times { overline {Z}} _ {3}}$, [[6,3,6]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The omnitruncated order-6 hexagonal tiling honeycomb, t_0,1,2,3{6,3,6}, má zkrácené trihexagonální obklady a dodecagonal hranol buňky s a fylický disfenoid vrchol obrázek.

Střídavý šestihranný obkladový plást řádu 6

Střídavý šestihranný obkladový plást řádu 6
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	h {6,3,6}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	{3,6} {3[3]}
Tváře	trojúhelník {3}
Vrcholová postava	šestihranný obklad
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {VP}} _ {3}}$, [6,3[3]]
Vlastnosti	Pravidelný, quasiregular

The střídaný šestihranný obkladový plást řádu 6 je konstrukce symetrie regulární s nižší symetrií trojúhelníkový obkladový plástev, ↔ . Obsahuje trojúhelníkové obklady fazety v a šestihranný obklad vrchol obrázek.

Cantic order-6 šestihranný obkladový plástev

Cantic order-6 šestihranný obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	h2{6,3,6}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	t {3,6} r {6,3} h2{6,3}
Tváře	trojúhelník {3} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	trojúhelníkový hranol
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {VP}} _ {3}}$, [6,3[3]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The cantic order-6 hexagonal tiling honeycomb je konstrukce s nižší symetrií usměrněný trojúhelníkový obkladový plást, ↔ , s trihexagonal obklady a šestihranný obklad fazety v a trojúhelníkový hranol vrchol obrázek.

Runcic order-6 šestihranný obkladový plástev

Runcic order-6 šestihranný obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	h3{6,3,6}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	rr {3,6} {6,3} {3[3]} {3} x {}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	trojúhelníková kopule
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {VP}} _ {3}}$, [6,3[3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runový šestihranný obkladový plástev, h₃{6,3,6}, nebo , má šestihranný obklad, rhombitrihexagonal obklady, trojúhelníkové obklady, a trojúhelníkový hranol fazety, s a trojúhelníková kopule vrchol obrázek.

Runicantic order-6 hexagonální obkladový plástev

Runcicantic order-6 hexagonální obkladový plástev
Typ	Paracompact jednotný plástev
Schläfliho symboly	h2,3{6,3,6}
Coxeterovy diagramy	↔
Buňky	tr {6,3} t {6,3} h2{6,3} {} x {3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} dodekagon {12}
Vrcholová postava	obdélníkový pyramida
Skupiny coxeterů	${ displaystyle { overline {VP}} _ {3}}$, [6,3[3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcicantic order-6 hexagonální obkladový plástev, h_2,3{6,3,6}, nebo , obsahuje zkrácené trihexagonální obklady, komolý šestihranný obklad, trihexagonal obklady, a trojúhelníkový hranol fazety, s obdélníkovým pyramida vrchol obrázek.

Viz také

• Konvexní jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
• Pravidelné mozaikování hyperbolického 3-prostoru
• Paracompact jednotné voštiny

Reference

• Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
• Krása geometrie: Dvanáct esejů (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN  0-486-40919-8 (Kapitola 10, Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru ) Tabulka III
• Jeffrey R. Weeks Tvar vesmíru, 2. vydání ISBN  0-8247-0709-5 (Kapitola 16-17: Geometrie na trojnásobném potrubí I, II)
• Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis
  • N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
  • N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) Kapitola 13: Skupiny hyperbolických coxeterů