Ikosahedrální plástev - Icosahedral honeycomb

Ikosahedrální plástev
Poincaré model disku
Typ	Hyperbolický pravidelný plástev Jednotný hyperbolický plástev
Schläfliho symbol	{3,5,3}
Coxeterův diagram
Buňky	{3,5}
Tváře	trojúhelník {3}
Postava hrany	trojúhelník {3}
Vrcholová postava	dvanáctistěn
Dvojí	Self-dual
Skupina coxeterů	${displaystyle {overline {J}} _ {3}}$ , [3,5,3]
Vlastnosti	Pravidelný

The dvacetistěnový plástev je jedním ze čtyř kompaktních pravidelných doplňování prostoru mozaikování (nebo voštiny ) v hyperbolický 3-prostor. S Schläfliho symbol {3,5,3}, jsou tři icosahedra kolem každého okraje a 12 icosahedra kolem každého vrcholu, v pravidelných dodekahedrál vrchol obrázek.

A geometrický plástev je vyplňování prostoru z mnohostěnný nebo vyšší dimenze buňky, aby zde nebyly žádné mezery. Je to příklad obecnější matematické obklady nebo mozaikování v libovolném počtu rozměrů.

Voštiny jsou obvykle konstruovány jako obyčejné Euklidovský ("plochý") prostor, jako konvexní jednotné voštiny. Mohou být také postaveny v neeuklidovské prostory, jako hyperbolické jednotné voštiny. Jakékoli konečné jednotný polytop lze promítnout na jeho okolní vytvořit jednotný plástev ve sférickém prostoru.

Popis

The vzepětí úhel a pravidelný dvacetistěn je kolem 138,2 °, takže je nemožné umístit tři icosahedry kolem okraje v euklidovském 3-prostoru. V hyperbolickém prostoru však může mít správně upravená ikosahedra úhly vzepětí přesně 120 stupňů, takže tři z nich se vejdou kolem okraje.

Voštinový pohled v perspektivě mimo modelový disk Poincare

Související pravidelné voštiny

Ve 3D hyperbolickém prostoru jsou čtyři pravidelné kompaktní voštiny:

Čtyři pravidelné kompaktní voštiny v H³
{5,3,4}	{4,3,5}	{3,5,3}	{5,3,5}

Související pravidelné polytopes a voštiny

Je členem posloupnosti běžná polychora a voštiny {3,p, 3} s deltrahedral buňky:

{3,p, 3} polytopy
Prostor	S³		H³
Formulář	Konečný		Kompaktní	Paracompact	Nekompaktní
{3,p,3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
obraz
Buňky	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
Vrchol postava	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Je také členem posloupnosti běžná polychora a voštiny {p,5,p}, s vrcholové postavy složený z pětiúhelníků:

{p,5,p} pravidelné voštiny
Prostor	H³
Formulář	Paracompact	Nekompaktní
název	{3,5,3}	{4,5,4}	{5,5,5}	{6,5,6}	{7,5,7}	{8,5,8}	...{∞,5,∞}
obraz
Buňky {p,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	{∞,5}
Vrchol postava {5,p}	{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	{5,∞}

Jednotné voštiny

Existují devět jednotných voštin v [3,5,3] Skupina coxeterů rodiny, včetně této pravidelné formy i bitruncated forma, t_1,2{3,5,3}, , také zvaný zkrácený dodekaedrický plástev, z nichž každá buňka je zkrácená dodekahedra.

[3,5,3] rodina voštiny
t₁{3,5,3}	t_0,1{3,5,3}	t_0,2{3,5,3}	t_0,3{3,5,3}

t_1,2{3,5,3}	t_0,1,2{3,5,3}	t_0,1,3{3,5,3}	t_0,1,2,3{3,5,3}

Rektifikovaný dvacetistěnový plástev

Rektifikovaný dvacetistěnový plástev
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	r {3,5,3} nebo t₁{3,5,3}
Coxeterův diagram
Buňky	r {3,5} {5,3}
Tváře	trojúhelník {3} Pentagon {5}
Vrcholová postava	trojúhelníkový hranol
Skupina coxeterů	${displaystyle {overline {J}} _ {3}}$ , [3,5,3]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The usměrněný ikosahedrický plástev, t₁{3,5,3}, , se střídá dvanáctistěn a icosidodecahedron buňky s a trojúhelníkový hranol vrchol obrázek:

Perspektivní projekce od středu města Poincaré model disku

Související plástev

K dispozici jsou čtyři opravené kompaktní pravidelné voštiny:

Čtyři opravené pravidelné kompaktní voštiny v H³
obraz
Symboly	r {5,3,4}	r {4,3,5}	r {3,5,3}	r {5,3,5}
Vrchol postava

Zkrácený icosahedral voštinový

Zkrácený icosahedral voštinový
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	t {3,5,3} nebo t_0,1{3,5,3}
Coxeterův diagram
Buňky	t {3,5} {5,3}
Tváře	Pentagon {5} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	trojúhelníková pyramida
Skupina coxeterů	${displaystyle {overline {J}} _ {3}}$ , [3,5,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The zkrácený dvacetistěnový plástev, t_0,1{3,5,3}, , se střídá dvanáctistěn a zkrácený dvacetistěn buňky s a trojúhelníková pyramida vrchol obrázek.

Související voštiny

Čtyři zkrácené pravidelné kompaktní voštiny v H³
obraz
Symboly	t {5,3,4}	t {4,3,5}	t {3,5,3}	t {5,3,5}
Vrchol postava

Bitruncated icosahedral plástev

Bitruncated icosahedral plástev
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	2t {3,5,3} nebo t_1,2{3,5,3}
Coxeterův diagram
Buňky	t {5,3}
Tváře	trojúhelník {3} desetiúhelník {10}
Vrcholová postava	tetragonální disphenoid
Skupina coxeterů	${displaystyle 2 imes {overline {J}} _ {3}}$ , [[3,5,3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní, hranový-tranzitivní, buněčný-tranzitivní

The bitruncated icosahedral honeycomb, t_1,2{3,5,3}, , má zkrácený dvanáctistěn buňky s a tetragonální disphenoid vrchol obrázek.

Související voštiny

Tři bitrunované kompaktní voštiny v H³
obraz
Symboly	2t {4,3,5}	2t {3,5,3}	2t {5,3,5}
Vrchol postava

Kanylovaný ikosaedrální plástev

Kanylovaný ikosaedrální plástev
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	rr {3,5,3} nebo t_0,2{3,5,3}
Coxeterův diagram
Buňky	rr {3,5} r {5,3} {} x {3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} Pentagon {5}
Vrcholová postava	klín
Skupina coxeterů	${displaystyle {overline {J}} _ {3}}$ , [3,5,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantellated icosahedral honeycomb, t_0,2{3,5,3}, , má rhombicosidodecahedron, icosidodecahedron, a trojúhelníkový hranol buňky s a klín vrchol obrázek.

Související voštiny

Čtyři cantellované pravidelné kompaktní voštiny v H³

obraz
Symboly	rr {5,3,4}	rr {4,3,5}	rr {3,5,3}	rr {5,3,5}
Vrchol postava

Cantitruncated icosahedral plástev

Cantitruncated icosahedral plástev
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	tr {3,5,3} nebo t_0,1,2{3,5,3}
Coxeterův diagram
Buňky	tr {3,5} t {5,3} {} x {3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} šestiúhelník {6} desetiúhelník {10}
Vrcholová postava	zrcadlový sfénoid
Skupina coxeterů	${displaystyle {overline {J}} _ {3}}$ , [3,5,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The cantitruncated icosahedral honeycomb, t_0,1,2{3,5,3}, , má zkrácený icosidodecahedron, zkrácený dvanáctistěn, a trojúhelníkový hranol buňky s a zrcadlový sfénoid vrchol obrázek.

Související voštiny

Čtyři cantruncated pravidelné kompaktní voštiny v H³
obraz
Symboly	tr {5,3,4}	tr {4,3,5}	tr {3,5,3}	tr {5,3,5}
Vrchol postava

Runcinated icosahedral honeycomb

Runcinated icosahedral honeycomb
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	t_0,3{3,5,3}
Coxeterův diagram
Buňky	{3,5} {}×{3}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4}
Vrcholová postava	pětiúhelníkový antiprism
Skupina coxeterů	${displaystyle 2 imes {overline {J}} _ {3}}$ , [[3,5,3]]
Vlastnosti	Vertex-transitive, edge-transitive

The runcinated icosahedral honeycomb, t_0,3{3,5,3}, , má dvacetistěnu a trojúhelníkový hranol buňky s a pětiúhelníkový antiprism vrchol obrázek.

Při pohledu ze středu trojúhelníkového hranolu

Související voštiny

Tři runcinované pravidelné kompaktní voštiny v H³
obraz
Symboly	t_0,3{4,3,5}	t_0,3{3,5,3}	t_0,3{5,3,5}
Vrchol postava

Runcitruncated icosahedral plástev

Runcitruncated icosahedral plástev
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	t_0,1,3{3,5,3}
Coxeterův diagram
Buňky	t {3,5} rr {3,5} {}×{3} {}×{6}
Tváře	trojúhelník {3} náměstí {4} Pentagon {5} šestiúhelník {6}
Vrcholová postava	rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida
Skupina coxeterů	${displaystyle {overline {J}} _ {3}}$ , [3,5,3]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The runcitruncated icosahedral plástev, t_0,1,3{3,5,3}, , má zkrácený dvacetistěn, rhombicosidodecahedron, šestihranný hranol, a trojúhelníkový hranol buňky, s rovnoramenný-lichoběžníkový pyramida vrchol obrázek.

The runcicantellated icosahedral plástev je ekvivalentní runcitruncated icosahedral voštině.

Při pohledu ze středu trojúhelníkového hranolu

Související voštiny

Čtyři runcitrunované pravidelné kompaktní voštiny v H³


obraz
Symboly	t_0,1,3{5,3,4}	t_0,1,3{4,3,5}	t_0,1,3{3,5,3}	t_0,1,3{5,3,5}
Vrchol postava

Omnitruncated icosahedral plástev

Omnitruncated icosahedral honeycomb
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	t_0,1,2,3{3,5,3}
Coxeterův diagram
Buňky	tr {3,5} {}×{6}
Tváře	náměstí {4} šestiúhelník {6} dodekagon {10}
Vrcholová postava	fylický disfenoid
Skupina coxeterů	${displaystyle 2 imes {overline {J}} _ {3}}$ , [[3,5,3]]
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The omnitruncated icosahedral honeycomb, t_0,1,2,3{3,5,3}, , má zkrácený icosidodecahedron a šestihranný hranol buňky s a fylický disfenoid vrchol obrázek.

Soustředěný na šestihranný hranol

Související voštiny

Tři omnitrunované pravidelné kompaktní voštiny v H³

obraz
Symboly	t_0,1,2,3{4,3,5}	t_0,1,2,3{3,5,3}	t_0,1,2,3{5,3,5}
Vrchol postava

Omnisnub icosahedral plástev

Omnisnub icosahedral plástev
Typ	Jednotné voštiny v hyperbolickém prostoru
Schläfliho symbol	h (t_0,1,2,3{3,5,3})
Coxeterův diagram
Buňky	sr {3,5} s {2,3} irr. {3,3}
Tváře	trojúhelník {3} Pentagon {5}
Vrcholová postava
Skupina coxeterů	[[3,5,3]]⁺
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The omnisnub icosahedral plástev, h (t_0,1,2,3{3,5,3}), , má urážet dvanáctistěn, osmistěn, a čtyřstěn buňky s nepravidelným vrcholem. to je vrchol-tranzitivní, ale nelze je vyrobit s jednotnými buňkami.

Částečně zmenšený ikosahedrický plástev

Částečně zmenšený ikosahedrický plástev Parabidiminized icosahedral honeycomb
Typ	Jednotné voštiny
Schläfliho symbol	pd {3,5,3}
Coxeterův diagram	-
Buňky	{5,3} s {2,5}
Tváře	trojúhelník {3} Pentagon {5}
Vrcholová postava	čtyřstěnně snížen dvanáctistěn
Skupina coxeterů	¹/₅[3,5,3]⁺
Vlastnosti	Vrchol-tranzitivní

The částečně zmenšený ikosahedrický plástev nebo parabidiminated icosahedral plástev, pd {3,5,3}, je neythoffovský jednotný plástev s dvanáctistěn a pětiúhelníkový antiprism buňky s a čtyřstěnně zmenšený dodekahedron vrchol obrázek. Ikosahedrální buňky {3,5,3} jsou zmenšil na opačných vrcholech (parabidiminated), přičemž a pětiúhelníkový antiprism (parabidimiminovaný dvacetistěn ) jádro a vytváření nových buněk dodekaedronu nahoře i dole.^[1]^[2]

Viz také

Reference

^ Wendy Y. Krieger, Zdi a mosty: Pohled ze šesti dimenzí, Symetrie: Kultura a věda Svazek 16, číslo 2, strany 171–192 (2005) [1] Archivováno 07.10.2013 na Wayback Machine
^ http://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/pt353.htm

Coxeter, Pravidelné Polytopes, 3. místo. vyd., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tabulky I a II: Pravidelné polytopy a voštiny, str. 294–296)
Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejů, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Kapitola 10: Pravidelné voštiny v hyperbolickém prostoru, souhrnné tabulky II, III, IV, V, p212-213)
Norman Johnson Jednotné Polytopes, Rukopis
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
- N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) Kapitola 13: Skupiny hyperbolických coxeterů
Klitzing, Richarde. „Hyperbolické voštiny H3 hyperbolický řád 3 ikosaedrální teselace“.

[1] Wendy Y. Krieger, Zdi a mosty: Pohled ze šesti dimenzí, Symetrie: Kultura a věda Svazek 16, číslo 2, strany 171–192 (2005) [1] Archivováno 07.10.2013 na Wayback Machine

[2] ttp://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/pt353.htm

[1]

[2]