Obklady kosočtverce - Rhombille tiling

„Omílání bloky“ přeadresuje tady. Pro další použití viz Jacobův žebřík (hračka).
Obklady kosočtverce
1 uniforma 7 dual.svg
TypLaves obklady
Tváře60 ° - 120 ° kosočtverec
Coxeterův diagramCDel node.pngCDel 3.pngCDel uzel f1.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel uzel h1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel uzel f1.png
Skupina symetriep6m, [6,3], * 632
p3m1, [3[3]], *333
Rotační skupinap6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
Duální mnohostěnTrihexagonální obklady
Konfigurace obličejeV3.6.3.6
Obkladová plocha 3-6-3-6.svg
Vlastnostihrana tranzitivní tvář-tranzitivní

v geometrie, kosočtverečný obklad,[1] také známý jako omílací bloky,[2] reverzibilní kostky, nebo kostková mříž, je mozaikování stejných 60 ° kosočtverec na Euklidovské letadlo. Každý kosočtverec má dva 60 ° a dva 120 ° úhly; kosočtverec s tímto tvarem se někdy také nazývá diamanty. Sady tří kosočtverců se setkávají v úhlech 120 ° a sady šesti kosočtverců se setkávají v úhlech 60 °.

Vlastnosti

Dva šestihranné obklady s červenými a modrými okraji v kosočtvercových obkladech
Čtyři šestihranné obklady s červenými, zelenými, modrými a purpurovými okraji uvnitř obkladu kosočtverce[3]

Obklady kosočtverce lze považovat za dělení a šestihranný obklad s každým šestiúhelník rozdělena na tři kosočtverec setkání ve středu šestiúhelníku. Toto členění představuje a pravidelné složené obklady. To může také být viděno jako dělení čtyř hexagonálních náklonů, přičemž každý šestiúhelník je rozdělen na 12 kosočtverců.

Úhlopříčky každého kosočtverce jsou v poměru 1:√3.To je dvojité obklady z trihexagonal obklady nebo kagome mříž. Jako duální na a jednotné obklady, je to jeden z jedenácti možných Laves tilings a v konfigurace obličeje pro monohedrální obklady označuje se [3.6.3.6].[4]

Je to také jeden z 56 možných isohedral tilings čtyřúhelníky[5] a jeden z pouhých osmi obkladů roviny, ve které každá hrana leží na linii symetrie obkladu.[6]

Obdélníkový obklad překrýval jeho dvojí, trihexagonal obklady

Je možné vložit kosočtverečný obklad do podmnožiny trojrozměrného objektu celočíselná mřížka, skládající se z bodů (X,y,z) s |X + y + z| ≤ 1, a to takovým způsobem, že dva vrcholy sousedí právě tehdy, jsou-li odpovídající mřížové body v jednotkové vzdálenosti od sebe, a tím silněji, že počet hran v nejkratší cestě mezi dvěma vrcholy obkladu je stejně jako Vzdálenost na Manhattanu mezi odpovídajícími mřížovými body. Obklady kosočtverce lze tedy považovat za příklad nekonečna graf jednotkové vzdálenosti a částečná kostka.[7]

Umělecké a dekorativní aplikace

Obklady kosočtverce lze interpretovat jako izometrická projekce pohled na sadu kostek dvěma různými způsoby, tvořící a reverzibilní postava související s Necker Cube. V této souvislosti je známá jako iluze „reverzibilních kostek“.[8]

V M. C. Escher umělecká díla Proměna I, Metamorfóza II, a Metamorfóza III Escher používá tuto interpretaci obkladů jako způsob morfování mezi dvourozměrnými a trojrozměrnými formami.[9] V dalším ze svých děl Cyklus (1938) se Escher pohrával s napětím mezi dvourozměrností a trojrozměrností tohoto obkladu: kreslí v něm budovu, která má oba velké kubické bloky jako architektonické prvky (nakreslené izometricky) a patro nahoře obložené kosočtverečným obkladem . Lidská postava sestupuje z terasy kolem kostek a stává se více stylizovanou a dvourozměrnou.[10] Tyto práce zahrnují pouze jedinou trojrozměrnou interpretaci obkladů, ale v Konvexní a konkávní Escher experimentuje s reverzibilními postavami obecněji a zahrnuje vyobrazení iluze reverzibilních kostek na vlajce ve scéně.[11]

Obklady kosočtverce podlahová mozaika v Delos
Vzor kosočtverce na podlaze Katedrála v Sieně

Kosočtverec obklady se také používá jako design pro parkety[12] a pro obklady podlah nebo stěn, někdy se změnami tvarů kosočtverců.[13] Objevuje se ve starogréckém patře mozaiky z Delos[14] a z italských podlahových krytin z 11. století,[15] ačkoli dlaždice s tímto vzorem v Katedrála v Sieně jsou novějšího ročníku.[16] v prošívání, je známý od padesátých let 19. století jako vzor „omílání bloků“, odkazující na vizuální disonanci způsobenou jeho zdvojnásobenou trojrozměrnou interpretací.[2][15][17] Jako vzor prošívání má také mnoho dalších jmen, včetně krychle, nebeských schodů a Pandořiny skříňky.[17] Bylo navrženo, aby se jako signál v Podzemní dráha: když otroci viděli, jak to visí na plotu, měli zabalit své věci a uprchnout. Vidět Přikrývky podzemní dráhy.[18] V těchto dekorativních aplikacích se kosočtverečky mohou objevit ve více barvách, ale obvykle mají tři úrovně stínování, nejjasnější pro kosočtverce s horizontálními dlouhými úhlopříčkami a tmavší pro kosočtverce s dalšími dvěma orientacemi, aby se zlepšil jejich vzhled trojrozměrnosti. Existuje jediná známá instance implicitního kosočtverce a trihexagonal obklady v Anglická heraldika - v náručí Geal / e.[19]

Další aplikace

Obklady kosočtverce lze považovat za výsledek překrytí dvou různých šestihranných obkladů, překládaných tak, že některé vrcholy jednoho obkladu přistávají ve středech šestiúhelníků druhého obkladu. Lze jej tedy použít k definování blokovat mobilní automaty ve kterých jsou buňky automatu kosočtverce kosočtvercového obkladu a bloky ve střídavých krocích automatu jsou šestiúhelníky dvou překrytých šestihranných obkladů. V této souvislosti se po videohře nazývá „Q * bert sousedství“ Q * bert který představoval izometrický pohled na pyramidu kostek jako její hrací pole. Sousedí Q * bert lze použít k podpoře univerzální výpočet pomocí simulace počítače s kulečníkovou koulí.[20]

v fyzika kondenzovaných látek, kosočtverečný obklad je znám jako kostková mříž, nakrájená mřížkanebo duální kagome mříž. Je to jedna z několika opakujících se struktur používaných k vyšetřování Ising modely a související systémy roztočit interakce v křemelina krystaly,[21] a také to bylo studováno v teorie perkolace.[22]

Související mnohostěny a obklady

Kombinačně ekvivalentní náklony rovnoběžníky

Kosočtverec obklady je dvojí z trihexagonal obklady.Jedná se o jeden z mnoha různých způsobů obložení letadla shodnými kosočtverci. Mezi další patří a diagonálně zploštělá variace čtvercového obkladu (s translační symetrií na všech čtyřech stranách kosočtverců), obklady používané Miura-ori skládací vzor (střídavě mezi translační a reflexní symetrií) a Penroseovy obklady který používá dva druhy kosočtverců s ostrými úhly 36 ° a 72 ° periodicky Pokud je povolen více než jeden typ kosočtverce, jsou možné další obklady, včetně těch, které jsou topologicky ekvivalentní obkladům kosočtverce, ale s nižší symetrií.

Obklady kombinačně ekvivalentní kosočtvercovým obkladům lze také realizovat pomocí rovnoběžníků a interpretovat jako axonometrické projekce trojrozměrných kubických kroků.

Je jich jen osm mozaikování hran, naklánění roviny s vlastností, že odražením kterékoli dlaždice přes kteroukoli z jejích hran se vytvoří další dlaždice; jedním z nich je kosočtverečný obklad.[23]

Viz také

Reference

  1. ^ Conway, Johne; Burgiel, Heidi; Goodman-Strass, Chaim (2008), „Kapitola 21: Pojmenování archimédských a katalánských mnohostěnů a obkladů“, Symetrie věcí, AK Peters, str. 288, ISBN  978-1-56881-220-5.
  2. ^ A b Smith, Barbara (2002), Tumbling Blocks: Nové deky ze starého oblíbeného, Sběratelské knihy, ISBN  9781574327892.
  3. ^ Richard K. Guy & Robert E. Woodrow, Světlejší stránka matematiky: sborník z pamětní konference Eugène Strense o rekreační matematice a její historii, 1996, s. 79, obrázek 10.
  4. ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987), Obklady a vzory, New York: W. H. Freeman, ISBN  0-7167-1193-1. Sekce 2.7, Obklady s pravidelnými vrcholy, str. 95–98.
  5. ^ Grünbaum & Shephard (1987), Obrázek 9.1.2, Obklady P4-42, s. 477.
  6. ^ Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011), "Teselace hran a skládací skládačky", Matematický časopis, 84 (4): 283–289, arXiv:0908.3257, doi:10,4169 / math.mag.84.4.283, PAN  2843659.
  7. ^ Deza, Michel; Grishukhin, Viatcheslav; Shtogrin, Michail (2004), Škálovo-izometrické polytopální grafy v hyperkrychlích a kubických mřížkách: Polytopy v hyperkrychlích a , Londýn: Imperial College Press, s. 150, doi:10.1142/9781860945489, ISBN  1-86094-421-3, PAN  2051396.
  8. ^ Warren, Howard Crosby (1919), Lidská psychologie, Houghton Mifflin, str. 262.
  9. ^ Kaplan, Craig S. (2008), „Metamorphosis in Escher's art“, Mosty 2008: Matematické souvislosti v umění, hudbě a vědě (PDF), s. 39–46.
  10. ^ Escher, Maurits Cornelis (2001), M.C. Escher, grafické dílo, Taschen, str. 29–30, ISBN  9783822858646.
  11. ^ De May, Jos (2003), "Malování podle M. C. Eschera", v Schattschneider, D.; Emmer, M. (eds.), Dědictví M. C. Eschera: Oslava stého výročí, Springer, str. 130–141.
  12. ^ Schleining, Lon; O'Rourke, Randy (2003), „Podvádění očí padajícími kameny“, Treasure Chests: The Legacy of Extraordinary Boxes Taunton Press, str. 58, ISBN  9781561586516.
  13. ^ Teselace Tango „The Mathematical Tourist, Drexel University, vyvoláno 23. května 2012.
  14. ^ Dunbabin, Katherine M. D. (1999), Mozaiky řeckého a římského světa, Cambridge University Press, str. 32, ISBN  9780521002301.
  15. ^ A b Tatem, Mary (2010), „Tumbling Blocks“, Quilt of Joy: Stories of Hope from the Patchwork Life, Revell, str. 115, ISBN  9780800733643.
  16. ^ Wallis, Henry (1902), Italské keramické umění Bernard Quaritch, str. xxv.
  17. ^ A b Fowler, Earlene (2008), Omílací blokyTajemství Benni Harper, Penguin, ISBN  9780425221235. Toto je tajemný román, ale také obsahuje stručný popis vzoru přikrývky padajících bloků v jeho přední části.
  18. ^ Tobin, Jacqueline L .; Dobard, Raymond G. (2000), Skryté v prostém pohledu: Tajný příběh deky a podzemní dráhy, Random House Digital, Inc., s.81, ISBN  9780385497671.
  19. ^ Aux armes: symbolika, Symbolism in arms, Pleiade, vyvolány 2013-04-17.
  20. ^ Sousedství Q * Bert, Tim Tyler, přístup 2012-05-23.
  21. ^ Fisher, Michael E. (1959), „Transformace Isingových modelů“, Fyzický přehled, 113 (4): 969–981, Bibcode:1959PhRv..113..969F, doi:10.1103 / PhysRev.113.969.
  22. ^ Yonezawa, Fumiko; Sakamoto, Shoichi; Hori, Motoo (1989), "Perkolace ve dvojrozměrných mřížkách. I. Technika pro odhad prahových hodnot", Phys. Rev. B, 40 (1): 636–649, Bibcode:1989PhRvB..40..636Y, doi:10.1103 / PhysRevB.40.636.
  23. ^ Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011), "Teselace hran a skládací skládačky", Matematický časopis, 84 (4): 283–289, arXiv:0908.3257, doi:10,4169 / math.mag.84.4.283, PAN  2843659.

Další čtení

  • Keith Critchlow, Order in Space: Design source book, 1970, str. 77–76, vzor 1