Skupina coxeterů - Coxeter group
v matematika, a Skupina coxeterů, pojmenoval podle H. S. M. Coxeter, je abstraktní skupina který připouští a formální popis ve smyslu odrazy (nebo kaleidoskopická zrcátka ). Konečné Coxeterovy skupiny jsou skutečně konečnými euklidovskými reflexní skupiny; the skupiny symetrie z pravidelný mnohostěn jsou příkladem. Ne všechny skupiny Coxeteru jsou však konečné a ne všechny lze popsat z hlediska symetrie a euklidovské odrazy. Byly zavedeny skupiny coxeterů (Coxeter 1934 ) jako abstrakce reflexních skupin a konečné Coxeterovy skupiny byly klasifikovány v roce 1935 (Coxeter 1935 ).
Skupiny coxeterů nacházejí uplatnění v mnoha oblastech matematiky. Mezi příklady konečných Coxeterových skupin patří skupiny symetrie běžné polytopy a Weylovy skupiny z jednoduché Lie algebry. Mezi příklady nekonečných Coxeterových skupin patří trojúhelníkové skupiny souhlasí s pravidelné mozaikování z Euklidovské letadlo a hyperbolická rovina a Weylovy skupiny nekonečně dimenzionálních Kac – Moodyho algebry.
Standardní reference zahrnují (Humphreys 1992 ) a (Davis 2007 ).
Definice
Formálně, a Skupina coxeterů lze definovat jako a skupina s prezentace
kde a pro .Kondice znamená žádný vztah formuláře by měla být uložena.
Dvojice kde je skupina Coxeter s generátory se nazývá a Coxeter systém. Všimněte si, že obecně je ne jednoznačně určeno . Například Coxeter skupiny typu a jsou izomorfní, ale Coxeterovy systémy nejsou ekvivalentní (vysvětlení této notace viz níže).
Z výše uvedené definice lze okamžitě vyvodit řadu závěrů.
- Vztah znamená, že pro všechny ; jako takové jsou generátory involuce.
- Li , pak generátory a dojíždět. Z toho vyplývá, že to pozorujeme
- ,
- dohromady s
- to naznačuje
- .
- Alternativně, protože generátory jsou evoluce, , tak , a tedy se rovná komutátor.
- Aby se zabránilo nadbytečnosti vztahů, je nutné to předpokládat . Z toho vyplývá, že to pozorujeme
- ,
- dohromady s
- to naznačuje
- .
- Alternativně, a jsou konjugované prvky, tak jako .
Coxeterova matice a Schläfliho matice
The Coxeterova matice je , symetrická matice se záznamy . Ve skutečnosti každá symetrická matice s diagonálními položkami výlučně 1 a nediagonálními položkami v sadě je Coxeterova matice.
Coxeterovu matici lze pohodlně kódovat pomocí a Coxeterův diagram, podle následujících pravidel.
- Vrcholy grafu jsou označeny indexem generátoru.
- Vrcholy a sousedí právě tehdy .
- Okraj je označen hodnotou kdykoli je hodnota nebo vyšší.
Zejména dva generátory dojíždět právě když nejsou spojeny hranou. Kromě toho, pokud má Coxeterův graf dva nebo více připojené komponenty, přidružená skupina je přímý produkt skupin přidružených k jednotlivým složkám disjunktní unie Coxeterových grafů poskytuje a přímý produkt skupin Coxeter.
Coxeterova matice, , souvisí s Schläfliho matice se záznamy , ale prvky jsou upraveny, jsou úměrné Tečkovaný produkt párových generátorů. Schläfliho matice je užitečná, protože je vlastní čísla určit, zda je skupina Coxeter konečný typ (všechny pozitivní), afinní typ (všechny nezáporné, alespoň jedna nula), nebo neurčitý typ (v opačném případě). Neurčitý typ se někdy dále dělí, např. do hyperbolických a dalších Coxeterových skupin. Existuje však několik neekvivalentních definic pro hyperbolické Coxeterovy skupiny.
Skupina coxeterů | A1× A1 | A2 | B2 | H2 | G2 | A3 | B3 | D4 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Coxeterův diagram | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Coxeterova matice | ||||||||||
Schläfliho matice |
Příklad
Graf ve kterém vrcholy 1 až n jsou umístěny v řadě s každým vrcholem spojeným neznačeným okraj svým přímým sousedům vede k symetrická skupina Sn+1; the generátory odpovídají transpozice (1 2), (2 3), ... , (n n+1). Dojíždějí vždy dvě po sobě jdoucí transpozice, zatímco (k k+1) (k+1 k+2) dává 3-cyklus (k k+2 k+1). To samozřejmě ukazuje jen to Sn + 1 je kvocientová skupina skupiny Coxeter popsané v grafu, ale není příliš obtížné zkontrolovat, zda platí rovnost.
Spojení s reflexními skupinami
Skupiny coxeterů jsou hluboce propojeny reflexní skupiny. Jednoduše řečeno, skupiny Coxeter jsou abstraktní skupiny (dané prostřednictvím prezentace), zatímco reflexní skupiny jsou beton skupiny (uvedené jako podskupiny lineární skupiny nebo různé generalizace). Skupiny Coxeter vyrostly ze studia reflexních skupin - jsou abstrakcí: reflexní skupina je podskupinou lineární skupiny generované odrazy (které mají pořadí 2), zatímco skupina Coxeter je abstraktní skupina generovaná involucemi (prvky pořadí 2, abstrahující od odrazů), a jehož vztahy mají určitou formu (, souhlasí s hyperplanes setkání pod úhlem , s být v pořádku k abstrahování z rotace o ).
Abstraktní skupina reflexní skupiny je Coxeterova skupina, zatímco naopak reflexní skupina může být viděna jako lineární reprezentace skupiny Coxeter. Pro konečný reflexní skupiny, to vede k přesné korespondenci: každá konečná Coxeterova skupina připouští věrné zobrazení jako konečná reflexní skupina nějakého euklidovského prostoru. U nekonečných skupin Coxeteru však skupina Coxeter nemusí připustit reprezentaci jako reflexní skupinu.
Historicky (Coxeter 1934 ) dokázal, že každá reflexní skupina je Coxeterova skupina (tj. má prezentaci, kde všechny vztahy mají formu nebo ), a tento článek skutečně představil pojem skupiny Coxeter, zatímco (Coxeter 1935 ) prokázal, že každá konečná Coxeterova skupina měla zastoupení jako reflexní skupina, a klasifikovala konečné Coxeterovy skupiny.
Skupiny konečných coxeterů

Klasifikace
Skupiny konečných Coxeterů byly klasifikovány do (Coxeter 1935 ), ve smyslu Coxeter – Dynkinovy diagramy; všechny jsou zastoupeny reflexní skupiny konečných trojrozměrných euklidovských prostorů.
Skupiny konečných Coxeterů se skládají ze tří jednoparametrových rodin se vzrůstající hodností jedna rodina jednoho parametru dimenze dva, a šest výjimečný skupiny: a . Produktem konečně mnoha skupin Coxeter v tomto seznamu je opět skupina Coxeter a všechny konečné skupiny Coxeter vznikají tímto způsobem.
Weylovy skupiny
Mnoho, ale ne všechny, jsou Weylovy skupiny a všechny Weylova skupina lze realizovat jako skupina Coxeter. Weylovy skupiny jsou rodiny a a výjimky a označeno ve Weylově zápisu skupiny jako Výjimkou jsou non-Weylové skupiny a a rodina kromě případů, kdy se to shoduje s jednou z Weylových skupin (jmenovitě a ).
To lze prokázat porovnáním omezení na (nepřímé) Dynkinovy diagramy s omezeními Coxeterových diagramů konečných skupin: formálně Coxeterův graf lze získat z Dynkinův diagram zrušením směru hran a nahrazením každé dvojité hrany hranou označenou 4 a každou trojitou hranou hranou označenou 6. Všimněte si také, že každá konečně vygenerovaná skupina Coxeter je automatická skupina.[1] Dynkinovy diagramy mají další omezení, že jediné povolené okrajové štítky jsou 2, 3, 4 a 6, což vede k výše uvedenému. Geometricky to odpovídá krystalografická věta o omezení, a skutečnost, že vyloučené polytopy nevyplňují prostor nebo dlaždice v rovině - pro dvanáctistěn (duálně, dvacetistěn) nevyplňuje prostor; pro 120 buněk (duálně, 600 buněk) nevyplňuje prostor; pro A p-gon nerozkládá letadlo s výjimkou nebo (trojúhelníkové, čtvercové a šestihranné obklady).
Dále si povšimněte (směrovaných) Dynkinových diagramů Bn a Cn dají vzniknout stejné Weylově skupině (tedy Coxeterově skupině), protože se liší jako režie grafy, ale souhlasím jako neorientovaný grafy - směrové záležitosti pro kořenové systémy, ale ne pro skupinu Weyl; to odpovídá hyperkrychle a křížový mnohostěn jsou různé pravidelné polytopy, ale mají stejnou skupinu symetrie.
Vlastnosti
Některé vlastnosti konečných neredukovatelných Coxeterových skupin jsou uvedeny v následující tabulce. Pořadí redukovatelných skupin lze vypočítat součinem jejich neredukovatelných objednávek podskupin.
Hodnost n | Skupina symbol | Střídat symbol | Závorka notace | Coxeter graf | Úvahy m = 1⁄2nh[2] | Číslo coxeteru h | Objednat | Struktura skupiny[3] | Příbuzný polytopes |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | A1 | A1 | [ ] | ![]() | 1 | 2 | 2 | { } | |
2 | A2 | A2 | [3] | ![]() ![]() ![]() | 3 | 3 | 6 | {3} | |
3 | A3 | A3 | [3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 6 | 4 | 24 | {3,3} | |
4 | A4 | A4 | [3,3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 10 | 5 | 120 | {3,3,3} | |
5 | A5 | A5 | [3,3,3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 15 | 6 | 720 | {3,3,3,3} | |
n | An | An | [3n−1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | n(n + 1)/2 | n + 1 | (n + 1)! | n-jednodušší | |
2 | B2 | C2 | [4] | ![]() ![]() ![]() | 4 | 4 | 8 | {4} | |
3 | B3 | C3 | [4,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 9 | 6 | 48 | {4,3} / {3,4} | |
4 | B4 | C4 | [4,3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 16 | 8 | 384 | -{4,3,3} / {3,3,4} | |
5 | B5 | C5 | [4,3,3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 25 | 10 | 3840 | {4,3,3,3} / {3,3,3,4} | |
n | Bn | Cn | [4,3n−2] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | n2 | 2n | 2n n! | n-krychle / n-orthoplex | |
4 | D4 | B4 | [31,1,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 12 | 6 | 192 | h {4,3,3} / {3,31,1} | |
5 | D5 | B5 | [32,1,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 20 | 8 | 1920 | h {4,3,3,3} / {3,3,31,1} | |
n | Dn | Bn | [3n−3,1,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | n(n − 1) | 2(n − 1) | 2n−1 n! | n-demicube / n-orthoplex | |
6 | E6 | E6 | [32,2,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 36 | 12 | 51840 (72x6!) | ||
7 | E7 | E7 | [33,2,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 63 | 18 | 2903040 (72x8!) | 321, 231, 132 | |
8 | E8 | E8 | [34,2,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 120 | 30 | 696729600 (192x10!) | 421, 241, 142 | |
4 | F4 | F4 | [3,4,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 24 | 12 | 1152 | {3,4,3} | |
2 | G2 | – (D6 2) | [6] | ![]() ![]() ![]() | 6 | 6 | 12 | {6} | |
2 | H2 | G2 | [5] | ![]() ![]() ![]() | 5 | 5 | 10 | {5} | |
3 | H3 | G3 | [3,5] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 15 | 10 | 120 | {3,5} / {5,3} | |
4 | H4 | G4 | [3,3,5] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 60 | 30 | 14400 | [A] | {5,3,3} / {3,3,5} |
2 | Já2(n) | Dn 2 | [n] | ![]() ![]() ![]() | n | n | 2n | když n = pk + 1, p primární když n = pk − 1, p primární | {p} |
Skupiny symetrie běžných polytopů
Všechno skupiny symetrie z běžné polytopy jsou konečné skupiny Coxeterů. Všimněte si, že duální polytopy mají stejnou skupinu symetrie.
Existují tři řady běžných polytopů ve všech rozměrech. Skupina symetrie regulárního n-simplexní je symetrická skupina Sn+1, také známý jako Coxeterova skupina typu An. Skupina symetrie n-krychle a jeho duální, n-křížový mnohostěn, je Bna je znám jako hyperoktaedrická skupina.
Výjimečné pravidelné polytopy v rozměrech dva, tři a čtyři odpovídají ostatním skupinám Coxeter. Ve dvou rozměrech je dihedrální skupiny, což jsou skupiny symetrie pravidelné mnohoúhelníky, tvoří sérii Já2(p). Ve třech dimenzích je skupina symetrie regulárního dvanáctistěn a jeho dvojí, pravidelné dvacetistěnu, je H3, známý jako plná ikosaedrální skupina. Ve čtyřech rozměrech existují tři speciální pravidelné polytopy, 24článková, 120 buněk a 600 buněk. První má skupinu symetrie F4, zatímco další dva jsou dvojí a mají skupinu symetrie H4.
Coxeterovy skupiny typu Dn, E6, E7, a E8 jsou skupiny symetrie určitých semiregular polytopes.
![]() | tento článek ne uvést žádný Zdroje.Květen 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Skupiny afinních coxeterů


The afinní skupiny Coxeter tvoří druhou důležitou řadu Coxeterových skupin. Nejsou samy o sobě konečné, ale každá obsahuje a normální abelian podskupina takové, že odpovídající kvocientová skupina je konečný. V každém případě je kvocientová skupina sama Coxeterovou skupinou a Coxeterův graf afinní Coxeterovy skupiny je získán z Coxeterova grafu skupiny kvocientů přidáním dalšího vrcholu a jedné nebo dvou dalších hran. Například pro n ≥ 2, graf sestávající z n+1 vrcholy v kruhu jsou získány z An tímto způsobem a odpovídající Coxeterova skupina je afinní Weylova skupina An. Pro n = 2, toto může být zobrazeno jako podskupina skupiny symetrie standardního obkladu roviny rovnostrannými trojúhelníky.
Obecně platí, že vzhledem k kořenovému systému lze vytvořit přidružený Stiefel diagram, sestávající z hyperplanesů kolmých ke kořenům spolu s určitými překlady těchto hyperplanesů. Afinní skupina Coxeter (nebo afinní Weylova skupina) je skupina generovaná (afinními) odrazy o všech hyperplanech v diagramu.[4] Stiefelův diagram rozděluje rovinu na nekonečně mnoho propojených komponent výklenkya afinní skupina Coxeter působí volně a přechodně na výklenky, stejně jako běžná skupina Weyl působí volně a přechodně na Weylovy komory. Obrázek vpravo ilustruje Stiefelův diagram pro kořenový systém.
Předpokládat je neredukovatelný kořenový systém hodnosti a nechte být sbírkou jednoduchých kořenů. Nechť také označují nejvyšší kořen. Potom je afinní skupina Coxeter generována běžnými (lineárními) odrazy nad hyperplany kolmými na , spolu s afinním odrazem o překladu nadroviny kolmé na . Coxeterův graf pro afinní Weylovou skupinu je Coxeter – Dynkinův diagram pro , spolu s jedním dalším uzlem přidruženým k . V tomto případě lze jeden výklenek Stiefelova diagramu získat tak, že vezmeme základní Weylovu komoru a rozřízneme ji překládáním nadroviny kolmo na .[5]
Následuje seznam afinních skupin Coxeteru:
Skupina symbol | Witt symbol | Bracket notation | Coxeter graf | Související uniformní mozaikování |
---|---|---|---|---|
[3[n]] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() nebo ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Simplectic plástev | ||
[4,3n − 3,31,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Demihyperkubický plástev | ||
[4,3n−2,4] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Hyperkubický plástev | ||
[ 31,1,3n−4,31,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Demihyperkubický plástev | ||
[32,2,2] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 222 | ||
[33,3,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 331, 133 | ||
[35,2,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 521, 251, 152 | ||
[3,4,3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 16článkový plástev 24článkový plástev | ||
[6,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Šestihranný obklad a Trojúhelníkový obklad | ||
[∞] | ![]() ![]() ![]() | Apeirogon |
Dolní index skupinových symbolů je v každém případě o jeden menší než počet uzlů, protože každá z těchto skupin byla získána přidáním uzlu do grafu konečné skupiny.
Skupiny hyperbolických coxeterů
Je jich nekonečně mnoho hyperbolické skupiny Coxeter popisující reflexní skupiny v hyperbolický prostor, zejména včetně skupin hyperbolických trojúhelníků.
Částečné objednávky
Výběr generátorů odrazů vede k délková funkce ℓ na skupině Coxeter, jmenovitě minimální počet použití generátorů potřebných k vyjádření prvku skupiny; to je přesně délka v slovo metrické v Cayleyův graf. Výraz pro proti použitím ℓ(proti) generátory je a omezené slovo. Například permutace (13) v S3 má dvě redukovaná slova, (12) (23) (12) a (23) (12) (23). Funkce definuje mapu zobecňující podepsat mapu pro symetrickou skupinu.
Použitím redukovaných slov lze definovat tři dílčí objednávky ve skupině Coxeter, (vpravo) slabý řád, absolutní pořadí a Bruhatův řád (pojmenováno pro François Bruhat ). Prvek proti překračuje prvek u v pořadí Bruhat, pokud nějaké (nebo ekvivalentně nějaké) redukované slovo pro proti obsahuje redukované slovo pro u jako podřetězec, kde jsou vynechána některá písmena (v jakékoli poloze). Ve slabém pořadí proti ≥ u pokud nějaké omezené slovo pro proti obsahuje redukované slovo pro u jako počáteční segment. Délka slova z toho ve skutečnosti dělá a odstupňovaná poset. The Hasse diagramy odpovídající těmto řádům jsou předměty studia a vztahují se k Cayleyův graf určeny generátory. Absolutní řád je definován analogicky k slabému řádu, ale s generující množinou / abecedou sestávající ze všech konjugátů generátorů Coxeter.
Například permutace (1 2 3) v S3 má pouze jedno redukované slovo, (12) (23), takže pokrývá (12) a (23) v pořadí Bruhat, ale pouze kryje (12) ve slabém pořadí.
Homologie
Protože skupina Coxeter je generováno konečně mnoha prvky řádu 2, jeho abelianizace je základní abelianská 2 skupina, tj. je izomorfní s přímým součtem několika kopií cyklická skupina . To může být přepracováno z hlediska prvního homologická skupina z .
The Multiplikátor Schur , což se rovná druhé homologické skupině , byl vypočítán v (Ihara a Yokonuma 1965 ) pro skupiny konečné reflexe a v (Yokonuma 1965 ) pro skupiny afinní reflexe s jednotnějším účtem uvedeným v (Howlett 1988 ). Ve všech případech je Schurův multiplikátor také základní abelianskou 2 skupinou. Pro každou nekonečnou rodinu konečných nebo afinních Weylových skupin, hodnost stabilizuje jako jde do nekonečna.
Viz také
- Artin – prsa skupina
- Chevalley – Shephard – Toddova věta
- Komplexní reflexní skupina
- Coxeter prvek
- Iwahori – Hecke algebra, kvantová deformace skupinová algebra
- Kazhdan – Lusztigův polynom
- Nejdelší prvek skupiny Coxeter
- Supersolvable uspořádání
Poznámky
- ^ podskupina indexu 2
Reference
- ^ Brink, Brigitte; Howlett, Robert B. (1993), „Vlastnost konečnosti a automatická struktura pro skupiny Coxeter“, Mathematische Annalen, 296 (1): 179–190, doi:10.1007 / BF01445101, Zbl 0793.20036.
- ^ Coxeter, Pravidelné polytopy, §12.6 Počet odrazů, rovnice 12,61
- ^ Wilson, Robert A. (2009), „Kapitola 2“, Konečné jednoduché skupiny, Postgraduální texty z matematiky 251, 251, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5
- ^ Hall 2015 Oddíl 13.6
- ^ Hall 2015 Kapitola 13, Cvičení 12 a 13
Další čtení
- Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Kombinatorika coxeterových skupin, Postgraduální texty z matematiky, 231Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl 1110.05001
- Bourbaki, Nicolasi (2002), Ležové skupiny a Lie Algebry: kapitoly 4–6, Základy matematiky, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl 0983.17001
- Coxeter, H. S. M. (1934), "Diskrétní skupiny generované odrazy", Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, CiteSeerX 10.1.1.128.471, doi:10.2307/1968753, JSTOR 1968753
- Coxeter, H. S. M. (1935), „Úplný výčet konečných skupin formuláře ", J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, doi:10.1112 / jlms / s1-10.37.21
- Davis, Michael W. (2007), Geometrie a topologie coxeterových skupin (PDF), ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020
- Grove, Larry C .; Benson, Clark T. (1985), Skupiny konečných odrazů „Postgraduální texty z matematiky, 99Springer, ISBN 978-0-387-96082-1
- Hall, Brian C. (2015), Lieovy skupiny, Lieovy algebry a reprezentace: Základní úvod, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Humphreys, James E. (1992) [1990], Reflexní skupiny a skupiny coxeterů, Cambridge studia pokročilé matematiky, 29, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl 0725.20028
- Kane, Richard (2001), Reflexní skupiny a neměnná teorie, CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl 0986.20038
- Hiller, Howard (1982), Geometrie Coxeterových skupin Poznámky k výzkumu v matematice, 54, Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl 0483.57002
- Ihara, S .; Yokonuma, Takeo (1965), „Na druhé kohomologické skupiny (Schurovy multiplikátory) skupin konečné reflexe“ (PDF), Jour. Fac. Sci. Univ. Tokio, oddíl. 1, 11: 155–171, Zbl 0136.28802, archivovány z originál (PDF) dne 23. 10. 2013
- Howlett, Robert B. (1988), „O Schurových multiplikátorech coxeterových skupin“, J. London Math. Soc., 2, 38 (2): 263–276, doi:10.1112 / jlms / s2-38.2.263, Zbl 0627.20019
- Vinberg, Ernest B. (1984), „Absence krystalografických skupin odrazů v Lobachevských prostorech velké dimenze“, Trudy Moskov. Rohož. Obshch., 47
- Yokonuma, Takeo (1965), „O druhých kohomologických skupinách (Schurových multiplikátorech) nekonečných skupin diskrétní reflexe“, Jour. Fac. Sci. Univ. Tokio, oddíl. 1, 11: 173–186, hdl:2261/6049, Zbl 0136.28803