Skupina coxeterů - Coxeter group

v matematika, a Skupina coxeterů, pojmenoval podle H. S. M. Coxeter, je abstraktní skupina který připouští a formální popis ve smyslu odrazy (nebo kaleidoskopická zrcátka ). Konečné Coxeterovy skupiny jsou skutečně konečnými euklidovskými reflexní skupiny; the skupiny symetrie z pravidelný mnohostěn jsou příkladem. Ne všechny skupiny Coxeteru jsou však konečné a ne všechny lze popsat z hlediska symetrie a euklidovské odrazy. Byly zavedeny skupiny coxeterů (Coxeter 1934 ) jako abstrakce reflexních skupin a konečné Coxeterovy skupiny byly klasifikovány v roce 1935 (Coxeter 1935 ).

Skupiny coxeterů nacházejí uplatnění v mnoha oblastech matematiky. Mezi příklady konečných Coxeterových skupin patří skupiny symetrie běžné polytopy a Weylovy skupiny z jednoduché Lie algebry. Mezi příklady nekonečných Coxeterových skupin patří trojúhelníkové skupiny souhlasí s pravidelné mozaikování z Euklidovské letadlo a hyperbolická rovina a Weylovy skupiny nekonečně dimenzionálních Kac – Moodyho algebry.

Standardní reference zahrnují (Humphreys 1992 ) a (Davis 2007 ).

Definice

Formálně, a Skupina coxeterů lze definovat jako a skupina s prezentace

${ displaystyle left langle r_ {1}, r_ {2}, ldots, r_ {n} mid (r_ {i} r_ {j}) ^ {m_ {ij}} = 1 pravý rangle}$

kde ${ displaystyle m_ {ii} = 1}$ a ${ displaystyle m_ {ij} geq 2}$ pro ${ displaystyle i neq j}$.Kondice ${ displaystyle m_ {ij} = infty}$ znamená žádný vztah formuláře ${ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {m}}$ by měla být uložena.

Dvojice ${ displaystyle (W, S)}$ kde ${ displaystyle W}$ je skupina Coxeter s generátory ${ displaystyle S = {r_ {1}, tečky, r_ {n} }}$ se nazývá a Coxeter systém. Všimněte si, že obecně ${ displaystyle S}$ je ne jednoznačně určeno ${ displaystyle W}$. Například Coxeter skupiny typu ${ displaystyle B_ {3}}$ a ${ displaystyle A_ {1} krát A_ {3}}$ jsou izomorfní, ale Coxeterovy systémy nejsou ekvivalentní (vysvětlení této notace viz níže).

Z výše uvedené definice lze okamžitě vyvodit řadu závěrů.

• Vztah ${ displaystyle m_ {ii} = 1}$ znamená, že ${ displaystyle (r_ {i} r_ {i}) ^ {1} = (r_ {i}) ^ {2} = 1}$ pro všechny ${ displaystyle i}$ ; jako takové jsou generátory involuce.
• Li ${ displaystyle m_ {ij} = 2}$, pak generátory ${ displaystyle r_ {i}}$ a ${ displaystyle r_ {j}}$ dojíždět. Z toho vyplývá, že to pozorujeme

${ displaystyle xx = yy = 1}$,

dohromady s

${ displaystyle xyxy = 1}$

to naznačuje

${ displaystyle xy = x (xyxy) y = (xx) yx (yy) = yx}$.

Alternativně, protože generátory jsou evoluce, ${ displaystyle r_ {i} = r_ {i} ^ {- 1}}$, tak ${ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {2} = r_ {i} r_ {j} r_ {i} r_ {j} = r_ {i} r_ {j} r_ {i} ^ {- 1} r_ {j} ^ {- 1}}$, a tedy se rovná komutátor.

• Aby se zabránilo nadbytečnosti vztahů, je nutné to předpokládat ${ displaystyle m_ {ij} = m_ {ji}}$. Z toho vyplývá, že to pozorujeme

${ displaystyle yy = 1}$,

dohromady s

${ displaystyle (xy) ^ {m} = 1}$

to naznačuje

${ displaystyle (yx) ^ {m} = (yx) ^ {m} yy = y (xy) ^ {m} y = yy = 1}$.

Alternativně, ${ displaystyle (xy) ^ {k}}$ a ${ displaystyle (yx) ^ {k}}$ jsou konjugované prvky, tak jako ${ displaystyle y (xy) ^ {k} y ^ {- 1} = (yx) ^ {k} yy ^ {- 1} = (yx) ^ {k}}$.

Coxeterova matice a Schläfliho matice

The Coxeterova matice je ${ displaystyle n krát n}$, symetrická matice se záznamy ${ displaystyle m_ {ij}}$. Ve skutečnosti každá symetrická matice s diagonálními položkami výlučně 1 a nediagonálními položkami v sadě ${ displaystyle {2,3, ldots } cup { infty }}$ je Coxeterova matice.

Coxeterovu matici lze pohodlně kódovat pomocí a Coxeterův diagram, podle následujících pravidel.

• Vrcholy grafu jsou označeny indexem generátoru.
• Vrcholy ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle j}$ sousedí právě tehdy ${ displaystyle m_ {ij} geq 3}$.
• Okraj je označen hodnotou ${ displaystyle m_ {ij}}$ kdykoli je hodnota ${ displaystyle 4}$ nebo vyšší.

Zejména dva generátory dojíždět právě když nejsou spojeny hranou. Kromě toho, pokud má Coxeterův graf dva nebo více připojené komponenty, přidružená skupina je přímý produkt skupin přidružených k jednotlivým složkám disjunktní unie Coxeterových grafů poskytuje a přímý produkt skupin Coxeter.

Coxeterova matice, ${ displaystyle M_ {ij}}$, souvisí s ${ displaystyle n krát n}$ Schläfliho matice ${ displaystyle C}$ se záznamy ${ displaystyle C_ {ij} = - 2 cos ( pi / M_ {ij})}$, ale prvky jsou upraveny, jsou úměrné Tečkovaný produkt párových generátorů. Schläfliho matice je užitečná, protože je vlastní čísla určit, zda je skupina Coxeter konečný typ (všechny pozitivní), afinní typ (všechny nezáporné, alespoň jedna nula), nebo neurčitý typ (v opačném případě). Neurčitý typ se někdy dále dělí, např. do hyperbolických a dalších Coxeterových skupin. Existuje však několik neekvivalentních definic pro hyperbolické Coxeterovy skupiny.

Příklady

Skupina coxeterů	A1× A1	A2	B2	H2	G2	${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	A3	B3	D4	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$
Coxeterův diagram
Coxeterova matice	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 2 2 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 3 3 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 4 4 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 5 5 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 6 6 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & infty infty & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 3 & 2 3 & 1 & 3 2 & 3 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 4 & 2 4 & 1 & 3 2 & 3 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 3 & 2 & 2 3 & 1 & 3 & 3 2 & 3 & 1 & 2 2 & 3 & 2 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 3 & 2 & 3 3 & 1 & 3 & 2 2 & 3 & 1 & 3 3 & 2 & 3 & 1 end {smallmatrix}} right]}$
Schläfliho matice	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & 0 0 & 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & -1 - 1 & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & - { sqrt {2}} - { sqrt {2}} & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & - phi - phi & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & - { sqrt {3}} - { sqrt {3}} & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & -2 - 2 & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & -1 & , 0 - 1 & , 2 & -1 , 0 & -1 & , 2 end {smallmatrix}} že jo]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & - { sqrt {2}} & , 0 - { sqrt {2}} & , 2 & -1 , 0 & , - 1 & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & -1 & , 0 & , 0 - 1 & , 2 & -1 & -1 , 0 & -1 & , 2 & , 0 , 0 & -1 & , 0 & , 2 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} , 2 & -1 & , 0 & -1 - 1 & , 2 & -1 & , 0 , 0 & -1 & , 2 & -1 - 1 & , 0 & -1 & , 2 end {smallmatrix}} right]}$

Příklad

Graf ${ displaystyle A_ {n}}$ ve kterém vrcholy 1 až n jsou umístěny v řadě s každým vrcholem spojeným neznačeným okraj svým přímým sousedům vede k symetrická skupina S_n+1; the generátory odpovídají transpozice (1 2), (2 3), ... , (n n+1). Dojíždějí vždy dvě po sobě jdoucí transpozice, zatímco (k k+1) (k+1 k+2) dává 3-cyklus (k k+2 k+1). To samozřejmě ukazuje jen to S_{n + 1} je kvocientová skupina skupiny Coxeter popsané v grafu, ale není příliš obtížné zkontrolovat, zda platí rovnost.

Spojení s reflexními skupinami

Skupiny coxeterů jsou hluboce propojeny reflexní skupiny. Jednoduše řečeno, skupiny Coxeter jsou abstraktní skupiny (dané prostřednictvím prezentace), zatímco reflexní skupiny jsou beton skupiny (uvedené jako podskupiny lineární skupiny nebo různé generalizace). Skupiny Coxeter vyrostly ze studia reflexních skupin - jsou abstrakcí: reflexní skupina je podskupinou lineární skupiny generované odrazy (které mají pořadí 2), zatímco skupina Coxeter je abstraktní skupina generovaná involucemi (prvky pořadí 2, abstrahující od odrazů), a jehož vztahy mají určitou formu (${ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {k}}$, souhlasí s hyperplanes setkání pod úhlem ${ displaystyle pi / k}$, s ${ displaystyle r_ {i} r_ {j}}$ být v pořádku k abstrahování z rotace o ${ displaystyle 2 pi / k}$).

Abstraktní skupina reflexní skupiny je Coxeterova skupina, zatímco naopak reflexní skupina může být viděna jako lineární reprezentace skupiny Coxeter. Pro konečný reflexní skupiny, to vede k přesné korespondenci: každá konečná Coxeterova skupina připouští věrné zobrazení jako konečná reflexní skupina nějakého euklidovského prostoru. U nekonečných skupin Coxeteru však skupina Coxeter nemusí připustit reprezentaci jako reflexní skupinu.

Historicky (Coxeter 1934 ) dokázal, že každá reflexní skupina je Coxeterova skupina (tj. má prezentaci, kde všechny vztahy mají formu ${ displaystyle r_ {i} ^ {2}}$ nebo ${ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {k}}$), a tento článek skutečně představil pojem skupiny Coxeter, zatímco (Coxeter 1935 ) prokázal, že každá konečná Coxeterova skupina měla zastoupení jako reflexní skupina, a klasifikovala konečné Coxeterovy skupiny.

Skupiny konečných coxeterů

Coxeterovy grafy konečných Coxeterových skupin.

Klasifikace

Skupiny konečných Coxeterů byly klasifikovány do (Coxeter 1935 ), ve smyslu Coxeter – Dynkinovy ​​diagramy; všechny jsou zastoupeny reflexní skupiny konečných trojrozměrných euklidovských prostorů.

Skupiny konečných Coxeterů se skládají ze tří jednoparametrových rodin se vzrůstající hodností ${ displaystyle A_ {n}, B_ {n}, D_ {n},}$ jedna rodina jednoho parametru dimenze dva, ${ displaystyle I_ {2} (p),}$ a šest výjimečný skupiny: ${ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, H_ {3},}$ a ${ displaystyle H_ {4}}$. Produktem konečně mnoha skupin Coxeter v tomto seznamu je opět skupina Coxeter a všechny konečné skupiny Coxeter vznikají tímto způsobem.

Weylovy skupiny

Mnoho, ale ne všechny, jsou Weylovy skupiny a všechny Weylova skupina lze realizovat jako skupina Coxeter. Weylovy skupiny jsou rodiny ${ displaystyle A_ {n}, B_ {n},}$ a ${ displaystyle D_ {n},}$ a výjimky ${ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4},}$ a ${ displaystyle I_ {2} (6),}$ označeno ve Weylově zápisu skupiny jako ${ displaystyle G_ {2}.}$ Výjimkou jsou non-Weylové skupiny ${ displaystyle H_ {3}}$ a ${ displaystyle H_ {4},}$ a rodina ${ displaystyle I_ {2} (p)}$ kromě případů, kdy se to shoduje s jednou z Weylových skupin (jmenovitě ${ displaystyle I_ {2} (3) cong A_ {2}, I_ {2} (4) cong B_ {2},}$ a ${ displaystyle I_ {2} (6) cong G_ {2}}$).

To lze prokázat porovnáním omezení na (nepřímé) Dynkinovy ​​diagramy s omezeními Coxeterových diagramů konečných skupin: formálně Coxeterův graf lze získat z Dynkinův diagram zrušením směru hran a nahrazením každé dvojité hrany hranou označenou 4 a každou trojitou hranou hranou označenou 6. Všimněte si také, že každá konečně vygenerovaná skupina Coxeter je automatická skupina.^[1] Dynkinovy ​​diagramy mají další omezení, že jediné povolené okrajové štítky jsou 2, 3, 4 a 6, což vede k výše uvedenému. Geometricky to odpovídá krystalografická věta o omezení, a skutečnost, že vyloučené polytopy nevyplňují prostor nebo dlaždice v rovině - pro ${ displaystyle H_ {3},}$ dvanáctistěn (duálně, dvacetistěn) nevyplňuje prostor; pro ${ displaystyle H_ {4},}$ 120 buněk (duálně, 600 buněk) nevyplňuje prostor; pro ${ displaystyle I_ {2} (p)}$ A p-gon nerozkládá letadlo s výjimkou ${ displaystyle p = 3,4,}$ nebo ${ displaystyle 6}$ (trojúhelníkové, čtvercové a šestihranné obklady).

Dále si povšimněte (směrovaných) Dynkinových diagramů B_n a C_n dají vzniknout stejné Weylově skupině (tedy Coxeterově skupině), protože se liší jako režie grafy, ale souhlasím jako neorientovaný grafy - směrové záležitosti pro kořenové systémy, ale ne pro skupinu Weyl; to odpovídá hyperkrychle a křížový mnohostěn jsou různé pravidelné polytopy, ale mají stejnou skupinu symetrie.

Vlastnosti

Některé vlastnosti konečných neredukovatelných Coxeterových skupin jsou uvedeny v následující tabulce. Pořadí redukovatelných skupin lze vypočítat součinem jejich neredukovatelných objednávek podskupin.

Hodnost n	Skupina symbol	Střídat symbol	Závorka notace	Coxeter graf	Úvahy m = ​1⁄2nh[2]	Číslo coxeteru h	Objednat	Struktura skupiny[3]	Příbuzný polytopes
1	A1	A1	[ ]		1	2	2	${ displaystyle S_ {2}}$	{ }
2	A2	A2	[3]		3	3	6	${ displaystyle S_ {3} cong D_ {6} cong operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (2) cong operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (4)}$	{3}
3	A3	A3	[3,3]		6	4	24	${ displaystyle S_ {4}}$	{3,3}
4	A4	A4	[3,3,3]		10	5	120	${ displaystyle S_ {5}}$	{3,3,3}
5	A5	A5	[3,3,3,3]		15	6	720	${ displaystyle S_ {6}}$	{3,3,3,3}
n	An	An	[3n−1]	...	n(n + 1)/2	n + 1	(n + 1)!	${ displaystyle S_ {n + 1}}$	n-jednodušší
2	B2	C2	[4]		4	4	8	${ displaystyle C_ {2} wr S_ {2} cong D_ {8} cong operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (3) cong operatorname {GO} _ {2} ^ { +} (5)}$	{4}
3	B3	C3	[4,3]		9	6	48	${ displaystyle C_ {2} wr S_ {3} cong S_ {4} krát 2}$	{4,3} / {3,4}
4	B4	C4	[4,3,3]		16	8	384	${ displaystyle C_ {2} wr S_ {4}}$	-{4,3,3} / {3,3,4}
5	B5	C5	[4,3,3,3]		25	10	3840	${ displaystyle C_ {2} wr S_ {5}}$	{4,3,3,3} / {3,3,3,4}
n	Bn	Cn	[4,3n−2]	...	n2	2n	2n n!	${ displaystyle C_ {2} wr S_ {n}}$	n-krychle / n-orthoplex
4	D4	B4	[31,1,1]		12	6	192	${ displaystyle C_ {2} ^ {3} S_ {4} cong 2 ^ {1 + 4} dvojtečka S_ {3}}$	h {4,3,3} / {3,31,1}
5	D5	B5	[32,1,1]		20	8	1920	${ displaystyle C_ {2} ^ {4} S_ {5}}$	h {4,3,3,3} / {3,3,31,1}
n	Dn	Bn	[3n−3,1,1]	...	n(n − 1)	2(n − 1)	2n−1 n!	${ displaystyle C_ {2} ^ {n-1} S_ {n}}$	n-demicube / n-orthoplex
6	E6	E6	[32,2,1]		36	12	51840 (72x6!)	${ displaystyle operatorname {GO} _ {6} ^ {-} (2) cong operatorname {SO} _ {5} (3) cong operatorname {PSp} _ {4} (3) colon 2 cong operatorname {PSU} _ {4} (2) colon 2}$	221, 122
7	E7	E7	[33,2,1]		63	18	2903040 (72x8!)	${ displaystyle operatorname {GO} _ {7} (2) krát 2 cong operatorname {Sp} _ {6} (2) krát 2}$	321, 231, 132
8	E8	E8	[34,2,1]		120	30	696729600 (192x10!)	${ displaystyle 2 cdot operatorname {GO} _ {8} ^ {+} (2)}$	421, 241, 142
4	F4	F4	[3,4,3]		24	12	1152	${ displaystyle operatorname {GO} _ {4} ^ {+} (3) cong 2 ^ {1 + 4} dvojtečka (S_ {3} krát S_ {3})}$	{3,4,3}
2	G2	– (D6 2)	[6]		6	6	12	${ displaystyle D_ {12} cong operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (5) cong operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (7)}$	{6}
2	H2	G2	[5]		5	5	10	${ displaystyle D_ {10} cong operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (4)}$	{5}
3	H3	G3	[3,5]		15	10	120	${ displaystyle 2 krát A_ {5}}$	{3,5} / {5,3}
4	H4	G4	[3,3,5]		60	30	14400	${ displaystyle 2 cdot (A_ {5} krát A_ {5}) dvojtečka 2}$[A]	{5,3,3} / {3,3,5}
2	Já2(n)	Dn 2	[n]		n	n	2n	${ displaystyle D_ {2n}}$ ${ displaystyle cong operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (n-1)}$ když n = pk + 1, p primární${ displaystyle cong operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (n + 1)}$ když n = pk − 1, p primární	{p}

Skupiny symetrie běžných polytopů

Všechno skupiny symetrie z běžné polytopy jsou konečné skupiny Coxeterů. Všimněte si, že duální polytopy mají stejnou skupinu symetrie.

Existují tři řady běžných polytopů ve všech rozměrech. Skupina symetrie regulárního n-simplexní je symetrická skupina S_n+1, také známý jako Coxeterova skupina typu A_n. Skupina symetrie n-krychle a jeho duální, n-křížový mnohostěn, je B_na je znám jako hyperoktaedrická skupina.

Výjimečné pravidelné polytopy v rozměrech dva, tři a čtyři odpovídají ostatním skupinám Coxeter. Ve dvou rozměrech je dihedrální skupiny, což jsou skupiny symetrie pravidelné mnohoúhelníky, tvoří sérii Já₂(p). Ve třech dimenzích je skupina symetrie regulárního dvanáctistěn a jeho dvojí, pravidelné dvacetistěnu, je H₃, známý jako plná ikosaedrální skupina. Ve čtyřech rozměrech existují tři speciální pravidelné polytopy, 24článková, 120 buněk a 600 buněk. První má skupinu symetrie F₄, zatímco další dva jsou dvojí a mají skupinu symetrie H₄.

Coxeterovy skupiny typu D_n, E₆, E₇, a E₈ jsou skupiny symetrie určitých semiregular polytopes.

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Coxeter group“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Květen 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Tabulka neredukovatelných rodin polypů
Rodina n	n-simplexní	n-hyperkrychle	n-orthoplex	n-demicube	1k2	2k1	k21	pětiúhelníkový mnohostěn
Skupina	An	Bn		Já2(p) Dn	E6 E7 E8 F4 G2			Hn
2	Trojúhelník	Náměstí		p-gon (příklad: p = 7 )	Šestiúhelník			Pentagon
3	Čtyřstěn	Krychle	Octahedron	Čtyřstěn				Dodecahedron	Dvacetistěnu
4	5článková	Tesseract	16 buněk	Demitesseract	24článková			120 buněk	600 buněk
5	5-simplexní	5 kostek	5-orthoplex	5-demicube
6	6-simplexní	6 kostek	6-orthoplex	6-demicube	122	221
7	7-simplexní	7 kostek	7-orthoplex	7-demicube	132	231	321
8	8-simplexní	8 kostek	8-orthoplex	8-demicube	142	241	421
9	9-simplexní	9 kostek	9-orthoplex	9-demicube
10	10-simplexní	10 kostek	10-orthoplex	10-demicube

Skupiny afinních coxeterů

Coxeterovy diagramy pro skupiny Affine Coxeter

Stiefelův diagram pro ${ displaystyle G_ {2}}$ kořenový systém

The afinní skupiny Coxeter tvoří druhou důležitou řadu Coxeterových skupin. Nejsou samy o sobě konečné, ale každá obsahuje a normální abelian podskupina takové, že odpovídající kvocientová skupina je konečný. V každém případě je kvocientová skupina sama Coxeterovou skupinou a Coxeterův graf afinní Coxeterovy skupiny je získán z Coxeterova grafu skupiny kvocientů přidáním dalšího vrcholu a jedné nebo dvou dalších hran. Například pro n ≥ 2, graf sestávající z n+1 vrcholy v kruhu jsou získány z A_n tímto způsobem a odpovídající Coxeterova skupina je afinní Weylova skupina A_n. Pro n = 2, toto může být zobrazeno jako podskupina skupiny symetrie standardního obkladu roviny rovnostrannými trojúhelníky.

Obecně platí, že vzhledem k kořenovému systému lze vytvořit přidružený Stiefel diagram, sestávající z hyperplanesů kolmých ke kořenům spolu s určitými překlady těchto hyperplanesů. Afinní skupina Coxeter (nebo afinní Weylova skupina) je skupina generovaná (afinními) odrazy o všech hyperplanech v diagramu.^[4] Stiefelův diagram rozděluje rovinu na nekonečně mnoho propojených komponent výklenkya afinní skupina Coxeter působí volně a přechodně na výklenky, stejně jako běžná skupina Weyl působí volně a přechodně na Weylovy komory. Obrázek vpravo ilustruje Stiefelův diagram pro ${ displaystyle G_ {2}}$ kořenový systém.

Předpokládat ${ displaystyle R}$ je neredukovatelný kořenový systém hodnosti ${ displaystyle r> 1}$ a nechte ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {r}}$ být sbírkou jednoduchých kořenů. Nechť také ${ displaystyle alpha _ {r + 1}}$ označují nejvyšší kořen. Potom je afinní skupina Coxeter generována běžnými (lineárními) odrazy nad hyperplany kolmými na ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {r}}$, spolu s afinním odrazem o překladu nadroviny kolmé na ${ displaystyle alpha _ {r + 1}}$. Coxeterův graf pro afinní Weylovou skupinu je Coxeter – Dynkinův diagram pro ${ displaystyle R}$, spolu s jedním dalším uzlem přidruženým k ${ displaystyle alpha _ {r + 1}}$. V tomto případě lze jeden výklenek Stiefelova diagramu získat tak, že vezmeme základní Weylovu komoru a rozřízneme ji překládáním nadroviny kolmo na ${ displaystyle alpha _ {r + 1}}$.^[5]

Následuje seznam afinních skupin Coxeteru:

Skupina symbol	Witt symbol	Bracket notation	Coxeter graf	Související uniformní mozaikování
${ displaystyle { tilde {A}} _ {n}}$	${ displaystyle P_ {n + 1}}$	[3[n]]	... nebo ...	Simplectic plástev
${ displaystyle { tilde {B}} _ {n}}$	${ displaystyle S_ {n + 1}}$	[4,3n − 3,31,1]	...	Demihyperkubický plástev
${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{n}}$	${ displaystyle R_ {n + 1}}$	[4,3n−2,4]	...	Hyperkubický plástev
${ displaystyle { tilde {D}} _ {n}}$	${ displaystyle Q_ {n + 1}}$	[ 31,1,3n−4,31,1]	...	Demihyperkubický plástev
${ displaystyle { tilde {E}} _ {6}}$	${ displaystyle T_ {7}}$	[32,2,2]	nebo	222
${ displaystyle { tilde {E}} _ {7}}$	${ displaystyle T_ {8}}$	[33,3,1]	nebo	331, 133
${ displaystyle { tilde {E}} _ {8}}$	${ displaystyle T_ {9}}$	[35,2,1]		521, 251, 152
${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$	${ displaystyle U_ {5}}$	[3,4,3,3]		16článkový plástev 24článkový plástev
${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$	${ displaystyle V_ {3}}$	[6,3]		Šestihranný obklad a Trojúhelníkový obklad
${ displaystyle { tilde {I}} _ {1}}$	${ displaystyle W_ {2}}$	[∞]		Apeirogon

Dolní index skupinových symbolů je v každém případě o jeden menší než počet uzlů, protože každá z těchto skupin byla získána přidáním uzlu do grafu konečné skupiny.

Skupiny hyperbolických coxeterů

Je jich nekonečně mnoho hyperbolické skupiny Coxeter popisující reflexní skupiny v hyperbolický prostor, zejména včetně skupin hyperbolických trojúhelníků.

Částečné objednávky

Výběr generátorů odrazů vede k délková funkce ℓ na skupině Coxeter, jmenovitě minimální počet použití generátorů potřebných k vyjádření prvku skupiny; to je přesně délka v slovo metrické v Cayleyův graf. Výraz pro proti použitím ℓ(proti) generátory je a omezené slovo. Například permutace (13) v S₃ má dvě redukovaná slova, (12) (23) (12) a (23) (12) (23). Funkce ${ displaystyle v až (-1) ^ { ell (v)}}$ definuje mapu ${ displaystyle G až { pm 1 },}$ zobecňující podepsat mapu pro symetrickou skupinu.

Použitím redukovaných slov lze definovat tři dílčí objednávky ve skupině Coxeter, (vpravo) slabý řád, absolutní pořadí a Bruhatův řád (pojmenováno pro François Bruhat ). Prvek proti překračuje prvek u v pořadí Bruhat, pokud nějaké (nebo ekvivalentně nějaké) redukované slovo pro proti obsahuje redukované slovo pro u jako podřetězec, kde jsou vynechána některá písmena (v jakékoli poloze). Ve slabém pořadí proti ≥ u pokud nějaké omezené slovo pro proti obsahuje redukované slovo pro u jako počáteční segment. Délka slova z toho ve skutečnosti dělá a odstupňovaná poset. The Hasse diagramy odpovídající těmto řádům jsou předměty studia a vztahují se k Cayleyův graf určeny generátory. Absolutní řád je definován analogicky k slabému řádu, ale s generující množinou / abecedou sestávající ze všech konjugátů generátorů Coxeter.

Například permutace (1 2 3) v S₃ má pouze jedno redukované slovo, (12) (23), takže pokrývá (12) a (23) v pořadí Bruhat, ale pouze kryje (12) ve slabém pořadí.

Homologie

Protože skupina Coxeter ${ displaystyle W}$ je generováno konečně mnoha prvky řádu 2, jeho abelianizace je základní abelianská 2 skupina, tj. je izomorfní s přímým součtem několika kopií cyklická skupina ${ displaystyle Z_ {2}}$. To může být přepracováno z hlediska prvního homologická skupina z ${ displaystyle W}$.

The Multiplikátor Schur ${ displaystyle M (W)}$, což se rovná druhé homologické skupině ${ displaystyle W}$, byl vypočítán v (Ihara a Yokonuma 1965 ) pro skupiny konečné reflexe a v (Yokonuma 1965 ) pro skupiny afinní reflexe s jednotnějším účtem uvedeným v (Howlett 1988 ). Ve všech případech je Schurův multiplikátor také základní abelianskou 2 skupinou. Pro každou nekonečnou rodinu ${ displaystyle {W_ {n} }}$ konečných nebo afinních Weylových skupin, hodnost ${ displaystyle M (W_ {n})}$ stabilizuje jako ${ displaystyle n}$ jde do nekonečna.

Viz také

• Artin – prsa skupina
• Chevalley – Shephard – Toddova věta
• Komplexní reflexní skupina
• Coxeter prvek
• Iwahori – Hecke algebra, kvantová deformace skupinová algebra
• Kazhdan – Lusztigův polynom
• Nejdelší prvek skupiny Coxeter
• Supersolvable uspořádání

Poznámky

Reference

Další čtení

• Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Kombinatorika coxeterových skupin, Postgraduální texty z matematiky, 231Springer, ISBN  978-3-540-27596-1, Zbl  1110.05001
• Bourbaki, Nicolasi (2002), Ležové skupiny a Lie Algebry: kapitoly 4–6, Základy matematiky, Springer, ISBN  978-3-540-42650-9, Zbl  0983.17001
• Coxeter, H. S. M. (1934), "Diskrétní skupiny generované odrazy", Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, CiteSeerX  10.1.1.128.471, doi:10.2307/1968753, JSTOR  1968753
• Coxeter, H. S. M. (1935), „Úplný výčet konečných skupin formuláře ${ displaystyle r_ {i} ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {k_ {ij}} = 1}$", J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, doi:10.1112 / jlms / s1-10.37.21
• Davis, Michael W. (2007), Geometrie a topologie coxeterových skupin (PDF), ISBN  978-0-691-13138-2, Zbl  1142.20020
• Grove, Larry C .; Benson, Clark T. (1985), Skupiny konečných odrazů „Postgraduální texty z matematiky, 99Springer, ISBN  978-0-387-96082-1
• Hall, Brian C. (2015), Lieovy skupiny, Lieovy algebry a reprezentace: Základní úvod, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Humphreys, James E. (1992) [1990], Reflexní skupiny a skupiny coxeterů, Cambridge studia pokročilé matematiky, 29, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-43613-7, Zbl  0725.20028
• Kane, Richard (2001), Reflexní skupiny a neměnná teorie, CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN  978-0-387-98979-2, Zbl  0986.20038
• Hiller, Howard (1982), Geometrie Coxeterových skupin Poznámky k výzkumu v matematice, 54, Pitman, ISBN  978-0-273-08517-1, Zbl  0483.57002

• Ihara, S .; Yokonuma, Takeo (1965), „Na druhé kohomologické skupiny (Schurovy multiplikátory) skupin konečné reflexe“ (PDF), Jour. Fac. Sci. Univ. Tokio, oddíl. 1, 11: 155–171, Zbl  0136.28802, archivovány z originál (PDF) dne 23. 10. 2013
• Howlett, Robert B. (1988), „O Schurových multiplikátorech coxeterových skupin“, J. London Math. Soc., 2, 38 (2): 263–276, doi:10.1112 / jlms / s2-38.2.263, Zbl  0627.20019

• Vinberg, Ernest B. (1984), „Absence krystalografických skupin odrazů v Lobachevských prostorech velké dimenze“, Trudy Moskov. Rohož. Obshch., 47
• Yokonuma, Takeo (1965), „O druhých kohomologických skupinách (Schurových multiplikátorech) nekonečných skupin diskrétní reflexe“, Jour. Fac. Sci. Univ. Tokio, oddíl. 1, 11: 173–186, hdl:2261/6049, Zbl  0136.28803

externí odkazy

• „Coxeter group“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Coxeter group“. MathWorld.
• Software Jenn pro vizualizaci Cayleyových grafů konečných skupin Coxeteru až na čtyřech generátorech