Šestiúhelník - Hexagon

Pravidelný šestiúhelník
Pravidelný šestiúhelník
Typ	Pravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy	6
Schläfliho symbol	{6}, t {3}
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Vzepětí (D.6), objednat 2 × 6
Vnitřní úhel (stupňů )	120°
Duální mnohoúhelník	Já
Vlastnosti	Konvexní, cyklický, rovnostranný, isogonal, isotoxální

v geometrie, a šestiúhelník (z řecký ἕξ hex„šest“ a γωνία, gonía„roh, úhel“) je šestistranný polygon nebo 6-gon. Součet vnitřních úhlů všech jednoduchý (non-self-intersection) šestiúhelník je 720 °.

Pravidelný šestiúhelník

A pravidelný šestiúhelník má Schläfliho symbol {6}^[1] a mohou být také konstruovány jako a zkrácen rovnostranný trojúhelník, t {3}, který střídá dva typy hran.

Podrobná animace konstrukce pravidelného šestiúhelníku pomocí kompas a pravítko, dána Euklid je Elementy, Kniha IV, Proposition 15: to je možné jako 6 ${ displaystyle =}$ 2 × 3, produkt síly dvou a odlišný Fermat připraví.

Když je délka strany AB je dáno, pak nakreslíme kolem bodu A a kolem bodu B kruhový oblouk. The průsečík M je středem opsaná kružnice. Přeneste úsečka AB čtyřikrát na opsané kružnici a spojte rohové body.

Pravidelný šestiúhelník je definován jako šestiúhelník, který je obojí rovnostranný a rovnoramenný. to je bicentrický, což znamená, že je to obojí cyklický (má vymezený kruh) a tangenciální (má vepsaný kruh).

Společná délka stran se rovná poloměru opsaná kružnice nebo obvod, což se rovná ${ displaystyle { tfrac {2} { sqrt {3}}}}$ krát apothem (poloměr vepsaný kruh ). Vše interní úhly jsou 120 stupňů. Pravidelný šestiúhelník má šest rotační symetrie (rotační symetrie řádu šest) a šest reflexní symetrie (šest linií symetrie), tvořící dihedrální skupina D₆. Nejdelší úhlopříčky pravidelného šestiúhelníku, spojující diametrálně opačné vrcholy, mají dvojnásobnou délku než jedna strana. Z toho je patrné, že a trojúhelník s vrcholem ve středu pravidelného šestiúhelníku a sdílením jedné strany s šestiúhelníkem je rovnostranný, a že pravidelný šestiúhelník lze rozdělit na šest rovnostranných trojúhelníků.

Jako čtverce a rovnostranný trojúhelníky, pravidelné šestiúhelníky zapadají do sebe bez jakýchkoli mezer dlaždice letadlo (tři šestiúhelníky, které se setkávají na každém vrcholu), a proto jsou užitečné pro konstrukci mozaikování. Buňky a úl plástev jsou z tohoto důvodu šestihranné a protože tvar efektivně využívá prostor a stavební materiály. The Voronoiho diagram pravidelné trojúhelníkové mřížky je voštinová mozaikování šestiúhelníků. Obvykle se to nepovažuje za triambus, i když je to rovnostranné.

Parametry

Maximální průměr (což odpovídá dlouhému úhlopříčka šestiúhelníku), D, je dvojnásobek maximálního poloměru nebo circumradius, R, což se rovná délce strany, t. Minimální průměr nebo průměr napsaný kruh (oddělení rovnoběžných stran, vzdálenost mezi plochami, krátká úhlopříčka nebo výška, když spočívá na rovném podkladu), d, je dvojnásobek minimálního poloměru nebo inradius, r. Maxima a minima jsou spojeny stejným faktorem:

${ displaystyle { frac {1} {2}} d = r = cos (30 ^ { circ}) R = { frac { sqrt {3}} {2}} R = { frac { sqrt {3}} {2}} t}$ a podobně ${ displaystyle d = { frac { sqrt {3}} {2}} D.}$

Plocha pravidelného šestiúhelníku

${ displaystyle { begin {aligned} A & = { frac {3 { sqrt {3}}} {2}} R ^ {2} = 3Rr = 2 { sqrt {3}} r ^ {2} & = { frac {3 { sqrt {3}}} {8}} D ^ {2} = { frac {3} {4}} Dd = { frac { sqrt {3}} {2 }} d ^ {2} & přibližně 2,598R ^ {2} přibližně 3,464r ^ {2} & přibližně 0,6495D ^ {2} přibližně 0,866d ^ {2}. end {zarovnáno }}}$

Pro všechny běžné polygon, oblast lze také vyjádřit pomocí apothem A a obvod str. Pro běžný šestiúhelník jsou dány vztahem A = r, a str${ displaystyle {} = 6R = 4r { sqrt {3}}}$, tak

${ displaystyle { begin {aligned} A & = { frac {ap} {2}} & = { frac {r cdot 4r ​​{ sqrt {3}}} {2}} = 2r ^ {2 } { sqrt {3}} & přibližně 3,464r ^ {2}. end {zarovnáno}}}$

Pravidelný šestiúhelník vyplňuje zlomek ${ displaystyle { tfrac {3 { sqrt {3}}} {2 pi}} přibližně 0,8270}$ jeho opsaná kružnice.

Pokud má pravidelný šestiúhelník po sobě následující vrcholy A, B, C, D, E, F a pokud P je jakýkoli bod v kružnici mezi B a C, pak PE + PF = PA + PB + PC + PD.

Vyplývá to z poměru circumradius na inradius že poměr výšky k šířce běžného šestiúhelníku je 1: 1,1547005; to je šestiúhelník s dlouhým úhlopříčka 1,0000000 bude mít vzdálenost 0,8660254 mezi rovnoběžnými stranami.

Bod v rovině

Pro libovolný bod v rovině pravidelného šestiúhelníku s obvodem ${ displaystyle R}$, jehož vzdálenosti k těžišti pravidelného šestiúhelníku a jeho šesti vrcholů jsou ${ displaystyle L}$ a ${ displaystyle d_ {i}}$ respektive máme ^[2]

${ displaystyle d_ {1} ^ {2} + d_ {4} ^ {2} = d_ {2} ^ {2} + d_ {5} ^ {2} = d_ {3} ^ {2} + d_ { 6} ^ {2} = 2 (R ^ {2} + L ^ {2}),}$

${ displaystyle d_ {1} ^ {2} + d_ {3} ^ {2} + d_ {5} ^ {2} = d_ {2} ^ {2} + d_ {4} ^ {2} + d_ { 6} ^ {2} = 3 (R ^ {2} + L ^ {2}),}$

${ displaystyle d_ {1} ^ {4} + d_ {3} ^ {4} + d_ {5} ^ {4} = d_ {2} ^ {4} + d_ {4} ^ {4} + d_ { 6} ^ {4} = 3 ((R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {2} + 2R ^ {2} L ^ {2}).}$

Li ${ displaystyle d_ {i}}$ jsou vzdálenosti od vrcholů pravidelného šestiúhelníku k jakémukoli bodu na jeho kruhovém kruhu ^[2]

${ displaystyle ( sum _ {i = 1} ^ {6} d_ {i} ^ {2}) ^ {2} = 4 sum _ {i = 1} ^ {6} d_ {i} ^ {4 }.}$

Symetrie

Šest řádků odraz pravidelného šestiúhelníku s Dih₆ nebo r12 symetrie, objednávka 12.

Dihedrické symetrie se dělí podle toho, zda procházejí vrcholy (d pro úhlopříčku) nebo hrany (str pro svislice) Cyklické symetrie ve středním sloupci jsou označeny jako G pro jejich centrální gyrační příkazy. Plná symetrie regulárního tvaru je r12 a není označena žádná symetrie a1.

The pravidelný šestiúhelník má Dih₆ symetrie, řád 12. Existují tři dihedrální podskupiny: Dih₃, Dih₂a Dih₁a čtyři cyklický podskupiny: Z₆, Z₃, Z₂a Z₁.

Tyto symetrie vyjadřují devět odlišných symetrií pravidelného šestiúhelníku. John Conway označí je dopisem a skupinovou objednávkou.^[3] r12 je plná symetrie a a1 není symetrie. p6, an isogonal šestiúhelník sestrojený ze tří zrcadel může střídat dlouhé a krátké hrany a d6, an isotoxální šestiúhelník konstruovaný se stejnými délkami hran, ale vrcholy střídající dva různé vnitřní úhly. Tyto dvě formy jsou duální navzájem a mají polovinu pořadí symetrie pravidelného šestiúhelníku. The i4 formy jsou pravidelné šestiúhelníky zploštělé nebo roztažené podél jednoho směru symetrie. To může být viděno jako protáhlý kosočtverec, zatímco d2 a p2 lze považovat za vodorovně a svisle protáhlé draci. g2 šestiúhelníky, s protilehlými stranami rovnoběžnými, se také nazývají šestihranné rovnoběžníky.

Každá podskupina symetrie umožňuje jeden nebo více stupňů volnosti pro nepravidelné formy. Pouze g6 podskupina nemá žádné stupně volnosti, ale lze ji vidět jako směrované hrany.

Příklad šestiúhelníků podle symetrie
r12 pravidelný i4 d6 isotoxální g6 režie p6 isogonal d2 g2 Všeobecné paralelní přihlášení p2 g3 a1

Šestiúhelníky symetrie g2, i4, a r12, tak jako rovnoběžníky umí teselovat euklidovskou rovinu překladem. jiný šestiúhelníkové tvary mohou obkládat letadlo s různou orientací.

p6m (* 632)	cmm (2 * 22)	p2 (2222)	p31m (3 * 3)	pmg (22 *)		pg (× ×)
r12	i4	g2	d2	d2	p2	a1

Skupiny A2 a G2

Kořeny skupiny A2

Kořeny skupiny G2

6 kořenů jednoduchá Lieova skupina A2, zastoupená a Dynkinův diagram , jsou v pravidelném šestihranném vzoru. Dva jednoduché kořeny mají mezi sebou úhel 120 °.

12 kořenů Výjimečná skupina Lie G2, zastoupená a Dynkinův diagram jsou také v šestihranném vzoru. Dva jednoduché kořeny dvou délek mají mezi sebou úhel 150 °.

Pitva

6 kostek projekce	12 disekce kosočtverce

Coxeter uvádí, že každý zonogon (a 2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky), do kterých lze členit m(m-1) / 2 rovnoběžníky.^[4]To platí zejména pro pravidelné mnohoúhelníky s rovnoměrně mnoha stranami, v tom případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Tento rozklad pravidelného šestiúhelníku je založen na a Petrie polygon projekce a krychle, se 3 ze 6 čtvercových ploch. jiný rovnoběžníky a projektivní směry krychle jsou rozřezány uvnitř obdélníkové kvádry.

Rozdělení šestiúhelníků na tři kosodélníky a rovnoběžníky
2D	Kosočtverce	Rovnoběžníky
	Běžný {6}	Šestihranný rovnoběžníky
3D	Čtvercové tváře		Obdélníkové plochy
	Krychle		Obdélníkový kvádr

Související polygony a obklady

Běžný šestiúhelník má Schläfliho symbol {6}. Pravidelný šestiúhelník je součástí pravidelného šestihranný obklad, {6,3}, se třemi šestiúhelníkovými plochami kolem každého vrcholu.

Pravidelný šestiúhelník lze také vytvořit jako a zkrácen rovnostranný trojúhelník, se symbolem Schläfli t {3}. Při pohledu na dva typy (barvy) hran má tento formulář pouze D.₃ symetrie.

A zkrácen hexagon, t {6}, je a dodekagon, {12}, přičemž se střídají dva typy (barvy) hran. An střídal hexagon, h {6}, je rovnostranný trojúhelník, {3}. Pravidelný šestiúhelník může být hvězdný s rovnostrannými trojúhelníky na jeho okrajích, vytvářející a hexagram. Pravidelný šestiúhelník lze rozdělit na šest rovnostranné trojúhelníky přidáním středového bodu. Tento vzor se opakuje v rámci regulárního trojúhelníkové obklady.

Pravidelný šestiúhelník lze rozšířit na pravidelný dodekagon přidáním střídání čtverce a rovnostranné trojúhelníky kolem toho. Tento vzor se opakuje uvnitř rhombitrihexagonal obklady.

Pravidelný {6}	Zkráceno t {3} = {6}	Hypertrunkové trojúhelníky			Hvězdný Hvězdná postava 2{3}	Zkráceno t {6} = {12}	Střídavě h {6} = {3}

Přešel šestiúhelník	Konkávní šestiúhelník	Samovolně se protínající šestiúhelník (hvězdný polygon )	Členitý {6}	Rozšířené Střed {6} v {12}	A šikmý šestiúhelník, v rámci krychle

Je jich šest samopříčné šestiúhelníky s uspořádání vrcholů pravidelného šestiúhelníku:

Samovolně se protínající šestiúhelníky s pravidelnými vrcholy

Dih2			Dih1		Dih3
Obrázek osm	Center-flip	Unicursal	Rybí ocas	Double-ocas	Trojitý ocas

Šestihranné struktury

Giant's Causeway detailní

Od včel voštiny do Giant's Causeway, hexagonální vzory jsou v přírodě převládající kvůli jejich účinnosti. V šestihranná mřížka každý řádek je tak krátký, jak jen může být, pokud má být velká plocha vyplněna co nejmenším počtem šestiúhelníků. To znamená, že voštiny vyžadují méně vosk postavit a získat hodně síly pod komprese.

Jsou nazývány nepravidelné šestiúhelníky s rovnoběžnými protilehlými hranami rovnoběžníky a rovinu lze také překládat. Ve třech rozměrech, šestihranné hranoly s rovnoběžnými protilehlými plochami rovnoběžníky a tyto mohou překládat 3prostor.

Teselace šestiúhelníkového hranolu

Formulář	Šestihranný obklad	Šestihranný hranolový plástev
Pravidelný
Rovnoběžníkové

Teselace šestiúhelníky

Kromě pravidelného šestiúhelníku, který určuje jedinečnou mozaikování roviny, může každý nepravidelný šestiúhelník, který splňuje Kritérium Conway bude dlaždice letadlo.

Šestiúhelník vepsaný do kuželovitého řezu

Pascalova věta (také známý jako „Hexagrammum Mysticum Theorem“) uvádí, že pokud je libovolný šestiúhelník zapsán do kuželovitý řez a dvojice protilehlých strany jsou prodlouženy dokud se nesetkají, tři průsečíky budou ležet na přímce, „Pascalově přímce“ této konfigurace.

Cyklický šestiúhelník

The Lemoine šestiúhelník je cyklický šestiúhelník (jeden vepsaný do kruhu) s vrcholy danými šesti průsečíky okrajů trojúhelníku a třemi liniemi, které jsou rovnoběžné s okraji, které procházejí jeho symmediánský bod.

Pokud jsou po sobě jdoucí strany cyklického šestiúhelníku A, b, C, d, E, F, pak se tři hlavní úhlopříčky protínají v jediném bodě právě tehdy eso = bdf.^[5]

Pokud jsou pro každou stranu cyklického šestiúhelníku přilehlé strany prodlouženy k jejich průsečíku a tvoří trojúhelník vně od dané strany, pak jsou segmenty spojující obvody protilehlých trojúhelníků souběžně.^[6]

Pokud má šestiúhelník vrcholy na obvod z akutní trojúhelník v šesti bodech (včetně tří vrcholů trojúhelníku), kde se rozšířené nadmořské výšky trojúhelníku setkávají s kruhovým kruhem, je pak plocha šestiúhelníku dvakrát větší než plocha trojúhelníku.^{[7]:p. 179}

Šestiúhelník tangenciální k kuželovitému řezu

Nechť ABCDEF je šestiúhelník tvořený šesti tečny kuželovitého řezu. Pak Brianchonova věta uvádí, že tři hlavní úhlopříčky AD, BE a CF se protínají v jednom bodě.

V šestiúhelníku to je tangenciální ke kruhu a to má po sobě jdoucí stránky A, b, C, d, E, a F,^[8]

${ displaystyle a + c + e = b + d + f.}$

Rovnostranné trojúhelníky po stranách libovolného šestiúhelníku

Rovnostranné trojúhelníky po stranách libovolného šestiúhelníku

Pokud rovnostranný trojúhelník je konstruován externě na každé straně libovolného šestiúhelníku, pak středy segmentů spojujících centroidy protilehlých trojúhelníků tvoří další rovnostranný trojúhelník.^{[9]:Thm. 1}

Šikmý šestiúhelník

Pravidelný zkosený šestiúhelník viděný jako hrany (černé) a trojúhelníkový antiprism, symetrie D_3d, [2⁺, 6], (2 * 3), objednávka 12.

A šikmý šestiúhelník je zkosit mnohoúhelník se šesti vrcholy a hranami, ale neexistující ve stejné rovině. Vnitřek takového šestiúhelníku není obecně definován. A zkosení šestiúhelníku cik-cak má vrcholy střídající se mezi dvěma rovnoběžnými rovinami.

A pravidelný zkosený šestiúhelník je vrchol-tranzitivní se stejnými délkami hran. Ve třech rozměrech to bude cik-cak šikmý šestiúhelník a je vidět na vrcholech a bočních okrajích trojúhelníkový antiprism se stejným D_3d, [2⁺, 6] symetrie, řád 12.

The krychle a osmistěn (stejné jako trojúhelníkové antiprism) mají pravidelné šikmé šestiúhelníky jako Petrie polygony.

Šikmé šestiúhelníky na trojnásobných osách

Krychle

Octahedron

Petrie polygony

Pravidelný zkosený šestiúhelník je Petrie polygon pro tyto vyšší dimenzionální pravidelný, uniformní a duální mnohostěny a mnohostěny, zobrazené na těchto zkoseních ortogonální projekce:

4D		5 D
3-3 duoprism	3-3 duopyramid	5-simplexní

Konvexní rovnostranný šestiúhelník

A hlavní úhlopříčka šestiúhelníku je úhlopříčka, která rozděluje šestiúhelník na čtyřúhelníky. V každém konvexním rovnostranný šestiúhelník (jeden se všemi stranami rovnými) se společnou stranou A, tady existuje^{[10]:str.184, # 286.3} hlavní úhlopříčka d₁ takhle

${ displaystyle { frac {d_ {1}} {a}} leq 2}$

a hlavní úhlopříčka d₂ takhle

${ displaystyle { frac {d_ {2}} {a}}> { sqrt {3}}.}$

Mnohostěn s šestiúhelníky

Tady není žádný Platonická pevná látka vyrobeny pouze z pravidelných šestiúhelníků, protože šestiúhelníky mozaikový, což neumožňuje výsledek „složit“. The Archimédovy pevné látky s některými šestiúhelníkovými plochami jsou zkrácený čtyřstěn, zkrácený osmistěn, zkrácený dvacetistěn (z fotbal míč a fulleren sláva), zkrácený cuboctahedron a zkrácený icosidodecahedron. Tyto šestiúhelníky lze vzít v úvahu zkrácen trojúhelníky, s Coxeterovy diagramy formuláře a .

Šestiúhelníky dovnitř Archimédovy pevné látky
Čtyřboká	Osmistěn		Icosahedral
zkrácený čtyřstěn	zkrácený osmistěn	zkrácený cuboctahedron	zkrácený dvacetistěn	zkrácený icosidodecahedron

Existují i ​​jiné mnohostěnné symetrie s nataženými nebo zploštělými šestiúhelníky, jako jsou tyto Goldbergův mnohostěn G (2,0):

Šestiúhelníky v Goldbergově mnohostěně
Čtyřboká	Osmistěn	Icosahedral
Zkosený čtyřstěn	Zkosená kostka	Zkosený dvanáctistěn

K dispozici je také 9 Johnson pevné látky s pravidelnými šestiúhelníky:

Johnsonovy pevné látky a téměř zmeškané šestiúhelníky
trojúhelníková kopule	podlouhlá trojúhelníková kopule	gyroelongated trojúhelníkový kopule
rozšířený šestihranný hranol	parabiaugmentovaný šestihranný hranol	metabiaugmentovaný šestihranný hranol	triaugmentovaný šestihranný hranol
rozšířený zkrácený čtyřstěn	trojúhelníková hebesphenorotunda	Zkrácený triakis čtyřstěn

Hranoly s šestiúhelníky
Šestihranný hranol	Šestihranný antiprism	Šestihranná pyramida

Obklady s pravidelnými šestiúhelníky
Pravidelný	1 uniforma
{6,3}	r {6,3}	rr {6,3}	tr {6,3}
2 uniformní obklady

Galerie přírodních a umělých šestiúhelníků

• 

  Ideální krystalická struktura grafen je šestihranná mřížka.

• 

  Sestaven E-ELT zrcadlové segmenty

• 

  Úl plástev

• 

  Želvy želvy krunýř

• 

  Saturnův šestiúhelník, hexagonální mrakový vzor kolem severního pólu planety

• 

  Mikrograf sněhové vločky

• 

  Benzen, nejjednodušší aromatická sloučenina s šestihranným tvarem.

• 

  Šestihranný řád bublin v pěně.

• 

  Krystalová struktura a molekulární šestiúhelník složený z hexagonálních aromatických kruhů.

• 

  Přirozeně tvarované čedič sloupce z Giant's Causeway v Severní Irsko; velké masy musí pomalu ochladit, aby vytvořily polygonální zlomeninu

• 

  Letecký pohled na Fort Jefferson v Suchý národní park Tortugas

• 

  The Vesmírný dalekohled Jamese Webba zrcadlo se skládá z 18 šestihranných segmentů.

• 

  Metropolitní Francie má nejasně šestihranný tvar. Francouzsky, Hexagone odkazuje na evropskou pevninu ve Francii.

• 

  Šestihranný Hanksite krystal, jeden z mnoha hexagonální krystalový systém minerály

• 

  Šestihranná stodola

• 

  Šestiúhelník, šestihranný divadlo v Reading, Berkshire

• 

  Władysław Gliński šestihranný šach

• 

  Pavilon v Tchaj-wan botanické zahrady

• 

  Šestihranné okno

Viz také

• 24článková: a čtyřrozměrný obrázek, který, stejně jako šestiúhelník, má orthoplex fazety, je self-dual a mozaikové desky Euklidovský prostor
• Šestihranný krystalový systém
• Šestihranné číslo
• Šestihranný obklad: a pravidelné obklady šestiúhelníků v rovině
• Hexagram: šestistranná hvězda v pravidelném šestiúhelníku
• Unicursal hexagram: jedna cesta, šestistranná hvězda, uvnitř šestiúhelníku
• Plástové dohady
• Havannah: abstraktní desková hra hraná na šestibokém hexagonálním rastru

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Šestiúhelník". MathWorld.

Tento článek je Použití externí odkazy nemusí dodržovat zásady nebo pokyny Wikipedie. Prosím vylepšit tento článek odstraněním nadměrný nebo nemístný externí odkazy a případně převedení užitečných odkazů na odkazy pod čarou. (Listopad 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Definice a vlastnosti šestiúhelníku s interaktivní animací a konstrukce s kompasem a pravítkem.
• Úvod do šestihranné geometrie na Hexnet web věnovaný matematice šestiúhelníku.
• Cassini Images Bizarre Hexagon on Saturn
• Saturn's Strange Hexagon
• Šestiúhelníkový útvar kolem Saturnova severního pólu
• „Bizarní šestiúhelník spatřen na Saturnu“ - z ProfoundSpace.org (27. března 2007)